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高中數學必修3海倫公式的證明方法

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高中數學必修3海倫公式的證明方法

  數學是高中必修的一個課程,必修3中關于海倫公式的證明方法具體有哪些呢?下面是學習啦小編給大家?guī)淼母咧袛祵W必修3海倫公式的證明方法,希望對你有幫助。

  海倫公式的證明⑴

  與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C,則余弦定理為 [1]

  cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

  S=1/2*ab*sinC

  =1/2*ab*√(1-cos^2 C)

  =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

  =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

  =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

  =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

  =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

  設p=(a+b+c)/2

  則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

  上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

  =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  所以,三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  海倫公式的證明⑵

  中國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣,其實在《九章算術》中,已經有求三角形公式“底乘高的一半”,在實際丈量土地面積時,由于土地的面積并不是三角形,要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積?直到南宋,中國著名的數學家秦九韶提出了“三斜求積術”。

  秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數的一半,自乘而得一個數,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個。相減后余數被4除,所得的數作為“實”,作1作為“隅”,開平方后即得面積。

  所謂“實”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p為“隅”,q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜,所以

  q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

  當P=1時,△ 2=q,

  △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

  因式分解得

  △ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

  =1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

  =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

  =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

  =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

  =p(p-a)(p-b)(p-c)

  由此可得:

  S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  其中p=1/2(a+b+c)

  這與海倫公式完全一致,所以這一公式也被稱為“海倫-秦九韶公式”。

  S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.

  根據海倫公式,我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題:

  已知四邊形ABCD為圓的內接四邊形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四邊形ABCD的面積

  這里用海倫公式的推廣

  S圓內接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p為周長一半,a,b,c,d,為4邊)

  代入解得s=8√ 3

  海倫公式的證明⑶

  在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c

  O為其內切圓圓心,r為其內切圓半徑,p為其半周長

  有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

  r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

  ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

  ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

  =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

  =ptanA/2tanB/2tanC/2

  =r

  ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

  ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

  =p(p-a)(p-b)(p-c)

  ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

  海倫公式的證明⑷

  通過使用正弦定理和余弦定理的結合證明 (具體可以參考證明方法1)

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