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2017數(shù)學(xué)必修一函數(shù)應(yīng)用題及答案(2)

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  16.有下列四個命題:

 ?、俸瘮?shù)f(x)=|x||x-2|為偶函數(shù);

 ?、诤瘮?shù)y=x-1的值域為{y|y≥0};

 ?、垡阎螦={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若A∪B=A,則a的取值集合為{-1,13};

 ?、芗螦={非負實數(shù)},B={實數(shù)},對應(yīng)法則f:“求平方根”,則f是A到B的映射.你認為正確命題的序號為:________.

  【解析】 函數(shù)f(x)=|x||x-2|的定義域為(-∞,2)∪

  (2,+∞),它關(guān)于坐標原點不對稱,所以函數(shù)f(x)=|x||x-2|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),即命題①不正確;

  函數(shù)y=x-1的定義域為{x|x≥1},當(dāng)x≥1時,y≥0,即命題②正確;

  因為A∪B=A,所以B⊆A,若B=Ø,滿足B⊆A,這時a=0;若B≠Ø,由B⊆A,得a=-1或a=13.因此,滿足題設(shè)的實數(shù)a的取值集合為{-1,0,13},即命題③不正確;依據(jù)映射的定義知,命題④正確.

  【答案】 ②④

  三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

  17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2-3x-10的兩個零點為x1,x2(x1

  【解析】 A={x|x≤-2,或x≥5}.

  要使A∩B=Ø,必有2m-1≥-2,3m+2≤5,3m+2>2m-1,

  或3m+2<2m-1,

  解得m≥-12,m≤1,m>-3,或m<-3,即-12≤m≤1,或m<-3.

  18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].

  (1)當(dāng)a=-1時,求f(x)的最大值和最小值;

  (2)求實數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù).

  【解析】 (1)當(dāng)a=-1時,

  f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5].

  由于f(x)的對稱軸為x=1,結(jié)合圖象知,

  當(dāng)x=1時,f(x)的最小值為1,

  當(dāng)x=-5時,f(x)的最大值為37.

  (2)函數(shù)f(x)=(x+a)2+2-a2的圖象的對稱軸為x=-a,

  ∵f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù),

  ∴-a≤-5或-a≥5.

  故a的取值范圍是a≤-5或a≥5.

  19.(本小題滿分12分)(1)計算:27912+(lg5)0+(2764)-13;

  (2)解方程:log3(6x-9)=3.

  【解析】 (1)原式

  =25912+(lg5)0+343-13

  =53+1+43=4.

  (2)由方程log3(6x-9)=3得

  6x-9=33=27,∴6x=36=62,∴x=2.

  經(jīng)檢驗,x=2是原方程的解.

  20.(本小題滿分12分)有一批影碟機(VCD)原銷售價為每臺800元,在甲、乙兩家商場均有銷售,甲商場用下面的方法促銷:買一臺單價為780元,買兩臺單價為760元,依次類推,每多買一臺單價均減少20元,但每臺最低不低于440元;乙商場一律按原價的75%銷售,某單位需購買一批此類影碟機,問去哪家商場購買花費較少?

  【解析】 設(shè)購買x臺,甲、乙兩商場的差價為y,則去甲商場購買共花費(800-20x)x,由題意800-20x≥440.

  ∴1≤x≤18(x∈N).

  去乙商場花費800×75%x(x∈N*).

  ∴當(dāng)1≤x≤18(x∈N*)時

  y=(800-20x)x-600x=200x-20x2,

  當(dāng)x>18(x∈N*)時,y=440x-600x=-160x,

  則當(dāng)y>0時,1≤x≤10;

  當(dāng)y=0時,x=10;

  當(dāng)y<0時,x>10(x∈N).

  綜上可知,若買少于10臺,去乙商場花費較少;若買10臺,甲、乙商場花費相同;若買超過10臺,則去甲商場花費較少.

  21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).

  (1)求函數(shù)f(x)的定義域;

  (2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;

  【解析】 (1)由1+x>0,1-x>0,得-1

  ∴函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1).

  (2)定義域關(guān)于原點對稱,對于任意的x∈(-1,1),

  有-x∈(-1,1),

  f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)

  ∴f(x)為奇函數(shù).

  22.(本小題滿分14分)設(shè)a>0,f(x)=exa+aex是R上的偶函數(shù).

  (1)求a的值;

  (2)證明:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

  【解析】 (1)解:∵f(x)=exa+aex是R上的偶函數(shù),

  ∴f(x)-f(-x)=0.

  ∴exa+aex-e-xa-ae-x=0,

  即1a-aex+a-1ae-x=0

  1a-a(ex-e-x)=0.

  由于ex-e-x不可能恒為0,

  ∴當(dāng)1a-a=0時,式子恒成立.

  又a>0,∴a=1.

  (2)證明:∵由(1)知f(x)=ex+1ex,

  在(0,+∞)上任取x1

  f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2

  =(ex1-ex2)+(ex2-ex1)•1ex1+x2.

  ∵e>1,∴0

  ∴ex1+x2>1,(ex1-ex2)1-1ex1+x2<0,

  ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

  ∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

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