2016九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷
2016九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷
同學(xué)們?cè)诎褦?shù)學(xué)理論知識(shí)復(fù)習(xí)好的同時(shí)，也應(yīng)該要多做月考試卷題，從題中找到自己的不足，及時(shí)學(xué)懂，下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于2016九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷，希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
2016九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷：
一、選擇題(每題3分共計(jì)30分)
1.下列各點(diǎn)中，在函數(shù) 的象上的是( )
A.(2，1) B.(﹣2，1) C.(2，﹣2) D.(1，2)
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
分析： 反比例函數(shù)的比例系數(shù)為﹣2，找到橫縱坐標(biāo)的積等于﹣2的坐標(biāo)即可.
解答： 解：A、2×1=2，不符合題意，
B、﹣2×1=﹣1，符合題意;
C、2×﹣2=﹣4，不符合題意;
D、1×2=2，不符合題意;
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 考查反比例函數(shù)象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn);用到的知識(shí)點(diǎn)為：反比例函數(shù)象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積等于反比例函數(shù)的比例系數(shù).
2.已知點(diǎn)P(x1，﹣2)、Q(x2，2)、R(x3，3)三點(diǎn)都在反比例函數(shù)y= 的象上，則下列關(guān)系正確的是( )
A.x1
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
專(zhuān)題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析式計(jì)算出x1、x3、x2的值，然后比較大小即可.
解答： 解：∵點(diǎn)P(x1，﹣2)、Q(x2，2)、R(x3，3)三點(diǎn)都在反比例函數(shù)y= 的象上，
∴x1=﹣ ，x2= ，x3= ，
∴x1
故選A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的象是雙曲線，象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.
3.若ab>0，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= 在同一坐標(biāo)系數(shù)中的大致象是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)的象;一次函數(shù)的象.
專(zhuān)題： 壓軸題.
分析： 根據(jù)ab>0，可得a、b同號(hào)，結(jié)合一次函數(shù)及反比例函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.
解答： 解：A、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a>0，b>0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab>0，故符合題意，本選項(xiàng)正確;
B、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0，b<0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab<0，故不符合題意，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0，b>0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab>0，故不符合題意，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a>0，b>0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab<0，故不符合題意，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的象性質(zhì)和一次函數(shù)函數(shù)的象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題.
4.已知∠1=∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是( )
A. B. C.∠B=∠D D.∠C=∠AED
考點(diǎn)： 相似三角形的判定.
專(zhuān)題： 幾何綜合題.
分析： 根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案.
解答： 解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
選項(xiàng)B中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定：
?、偃绻麅蓚€(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似;
?、谌绻麅蓚€(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似;
③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
5.已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三邊長(zhǎng)為3、4、5，如果△DEF的周長(zhǎng)為6，那么下列不可能是△DEF一邊長(zhǎng)的是( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3.
考點(diǎn)： 相似三角形的性質(zhì).
分析： 由△ABC的三邊長(zhǎng)為2、3、4，即可求得△ABC的周長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比得出兩三角形的相似比，再把各選項(xiàng)中的值與相似比相乘即可得出結(jié)論.
解答： 解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)為3、4、5，
∴△ABC的周長(zhǎng)=12，
∴ = =2，
A、1.5×2=3，與△ABC一邊長(zhǎng)相符，故本選項(xiàng)正確;
B、2×2=4，與△ABC一邊長(zhǎng)相符，故本選項(xiàng)正確;
C、2.5×2=5，與△ABC一邊長(zhǎng)相符，故本選項(xiàng)正確;
D、3×2=6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵.
6.兩個(gè)反比例函數(shù)y1= 和y= 在第一象限內(nèi)的象依次是C1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交C2于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交C2于點(diǎn)B，則四邊形PAOB的面積為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
專(zhuān)題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD= ，然后利用四邊形PAOB的面積=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD進(jìn)行計(jì)算.
解答： 解：∵PC⊥x軸，PD⊥y軸，
∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD= ×1= ，
∴四邊形PAOB的面積=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD=4﹣ ﹣ =3.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y= 象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
7.A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點(diǎn)，如果△RPQ∽△ABC，那么點(diǎn)R應(yīng)是甲、乙、丙、丁四點(diǎn)中的( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
考點(diǎn)： 相似三角形的性質(zhì).
專(zhuān)題： 網(wǎng)格型.
分析： 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，代入數(shù)值即可求得結(jié)果.
解答： 解：∵△RPQ∽△ABC， ∴△RPQ的高為6.
故點(diǎn)R應(yīng)是甲、乙、丙、丁四點(diǎn)中的乙處.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
8.已知：在△ABC中，BC=10，BC邊上的高h(yuǎn)=5，點(diǎn)E在邊AB上，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC邊于點(diǎn)F.點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接DE、DF.設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x，則△DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)象大致為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)象.
專(zhuān)題： 壓軸題;數(shù)形結(jié)合.
分析： 判斷出△AEF和△ABC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EF，再根據(jù)三角形的面積列式表示出S與x的關(guān)系式，然后得到大致象選擇即可.
解答： 解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ = ，
∴EF= •10=10﹣2x，
∴S= (10﹣2x)•x=﹣x2+5x=﹣(x﹣ )2+ ，
∴S與x的關(guān)系式為S=﹣(x﹣ )2+ (0
縱觀各選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)象符合.
故選：D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
9.(2015•重慶)在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊BO在x軸的負(fù)半軸上，∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，3 )，反比例函數(shù)y= 的象與菱形對(duì)角線AO交D點(diǎn)，連接BD，當(dāng)DB⊥x軸時(shí)，k的值是( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì);反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
專(zhuān)題： 壓軸題.
分析： 首先過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，3 )，可求得OC的長(zhǎng)，又由菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊BO在x軸的負(fù)半軸上，可求得OB的長(zhǎng)，且∠AOB=30°，繼而求得DB的長(zhǎng)，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，又由反比例函數(shù)y= 的象與菱形對(duì)角線AO交D點(diǎn)，即可求得答案.
解答： 解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，3 )，
∴OE=﹣m，CE=3 ，
∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，
∴OB=OC= =6，∠BOD= ∠BOC=30°，
∵DB⊥x軸，
∴DB=OB•tan30° =6× =2 ，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(﹣6，2 )，
∵反比例函數(shù)y= 的象與菱形對(duì)角線AO交D點(diǎn)，
∴k=xy=﹣12 .
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.注意準(zhǔn)確作出輔助線，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)是關(guān)鍵.
10.在Rt△ABC內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為a，b，c的三個(gè)正方形，則a，b，c滿(mǎn)足的關(guān)系式是( )
A.b=a+c B.b=ac C.b2=a2+c2 D.b=2a=2c
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
專(zhuān)題： 壓軸題.
分析： 因?yàn)镽t△ABC內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三個(gè)正方形，所以中三角形都相似，且與a、b、c關(guān)系密切的是△DHE和△GQF，只要它們相似即可得出所求的結(jié)論.
解答： 解：∵DH∥AB∥QF
∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B;
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°;
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ;
∴△DHE∽△GQF，
∴ac=(b﹣c)(b﹣a)
∴b2=ab+bc=b(a+c)，
∴b=a+c.
故選A.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定，同時(shí)還考查觀察能力和分辨能力.
二、填空題(每小題3分共計(jì)24分)
11.已知反比例函數(shù)y= ，其象在第一、第三象限內(nèi)，則k的值可為 k=3(答案不唯一) .(寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)k的值即可).
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)的性質(zhì).
專(zhuān)題： 壓軸題;開(kāi)放型.
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.
解答： 解：∵反比例函數(shù)y= ，其象在第一、第三象限內(nèi)，
∴k﹣2>0，
即k>2，k的值可為3(答案不唯一，只要符合k>2即可).
點(diǎn)評(píng)： 定義：一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y= (k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱(chēng)y是x的反比例函數(shù).
因?yàn)閥= 是一個(gè)分式，所以自變量x的取值范圍是x≠0.而y= 有時(shí)也被寫(xiě)成xy=k或y=kx﹣1.
性質(zhì)：①當(dāng)k>0時(shí)，象分別位于第一、三象限;當(dāng)k<0時(shí)，象分別位于第二、四象限;
?、诋?dāng)k>0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，在同一個(gè)象限，y隨x的增大而增大.
k>0時(shí)，函數(shù)在x<0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù);k<0時(shí)，函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù).
定義域?yàn)閤≠0;值域?yàn)閥≠0;
③因?yàn)樵趛= (k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交;
?、茉谝粋€(gè)反比例函數(shù)象上任取兩點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1=S2=|k|;
⑤反比例函數(shù)的象既是軸對(duì)稱(chēng)形，又是中心對(duì)稱(chēng)形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸y=x，y=﹣x(即第一、三象限，第二、四象限角平分線)，對(duì)稱(chēng)中心是坐標(biāo)原點(diǎn).
12.在比例尺為1：1 00 000的地上，量得甲、乙兩地的距離是15cm，則兩地的實(shí)際距離 15 km.
考點(diǎn)： 比例線段.
專(zhuān)題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)比例尺，由甲乙兩地上距離確定出實(shí)際距離即可.
解答： 解：根據(jù)題意得：15×100000=1500000(cm)=15000(m)=15(km)，
故答案為：15
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了比例線段，弄清題中的比例尺是解本題的關(guān)鍵.
13.正方形ABOC的邊長(zhǎng)為2，反比例函數(shù)y= 過(guò)點(diǎn)A，則k的值是 ﹣4 .
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
專(zhuān)題： 數(shù)形結(jié)合.
分析： 因?yàn)檫^(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得正方形的面積S是個(gè)定值，即S=|k|.
解答： 解：根據(jù)題意，知
|k|=22=4，k=±4，
又∵k<0，
∴k=﹣4.
故答案為：﹣4.
點(diǎn)評(píng)： 主要考查了反比例函數(shù) 中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn);這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類(lèi)題一定要正確理解k的幾何意義.
14.小明在A時(shí)測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為2m，B時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹(shù)的高度為 4 m.
考點(diǎn)： 平行投影;相似三角形的應(yīng)用.
專(zhuān)題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)題意，畫(huà)出示意，易得：Rt△EDC∽R(shí)t△CDF，進(jìn)而可得 = ;即DC2=ED•FD，代入數(shù)據(jù)可得答案.
解答： 解：：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥EF，
由題意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽R(shí)t△CDF，
有 = ;即DC2=ED•FD，
代入數(shù)據(jù)可得DC2=16，
DC=4;
故答案為：4.
點(diǎn)評(píng)： 本題通過(guò)投影的知識(shí)結(jié)合三角形的相似，求解高的大小;是平行投影性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.
15.(2015•連云港)在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，則邊AC的長(zhǎng)為 .
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì);平行線之間的距離;勾股定理.
專(zhuān)題： 壓軸題.
分析： 過(guò)點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中運(yùn)用三角函數(shù)可得 = ，易證△AEB∽△BFC，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出FC，然后在Rt△BFC中運(yùn)用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出AC的值.
解答： 解：過(guò)點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，.
∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，
∴tan∠BAC= = .
∵直線l1∥l2∥l3，
∴EF⊥l1，EF⊥l3，
∴∠AEB=∠BFC=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，
∴△BFC∽△AEB，
∴ = = .
∵EB=1，∴FC= .
在Rt△BFC中，
BC= = = .
在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，
AC= = = .
故答案為 .
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)、同角的余角相等等知識(shí)，構(gòu)造K型相似是解決本題的關(guān)鍵.
16.(2015•東營(yíng))一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則AC的長(zhǎng)為 .
考點(diǎn)： 平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題.
專(zhuān)題： 計(jì)算題.
分析： 將正方體展開(kāi)，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上，此時(shí)AB最短，根據(jù)三角形MCB與三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可.
解答： 解：將正方體展開(kāi)，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上，展開(kāi)此時(shí)AB最短，
∵△BCM∽△ACN，
∴ = ，即 = =2，即MC=2NC，
∴CN= MN= ，
在Rt△ACN中，根據(jù)勾股定理得：AC= = ，
故答案為： .
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練求出CN的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵.
17.四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y= 的象上，OA=1，OC=6，則正方形ADEF的邊長(zhǎng)為 2 .
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;解一元二次方程-因式分解法.
專(zhuān)題： 數(shù)形結(jié)合.
分析： 先確定B點(diǎn)坐標(biāo)(1，6)，根據(jù)反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k=6，則反比例函數(shù)解析式為y= ，設(shè)AD=t，則OD=1+t，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(1+t，t)，再利用根據(jù)反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得(1+t)•t=6，利用因式分解法可求出t的值.
解答： 解：∵OA=1，OC=6，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，6)，
∴k=1×6=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y= ，
設(shè)AD=t，則OD=1+t，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(1+t，t)，
∴(1+t)•t=6，
整理為t2+t﹣6=0，
解得t1=﹣3(舍去)，t2=2，
∴正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2.
故答案為：2.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的象是雙曲線，象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.
18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：t=﹣x﹣1，雙曲線y= .在l上取點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2，請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：過(guò)點(diǎn)A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2，過(guò)點(diǎn)B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，….記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an，若a1=2，a2015= ﹣ .
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
專(zhuān)題： 規(guī)律型.
分析： 首先根據(jù)a1=2，求出a2，a3，a4，a5的值，總結(jié)出其中的規(guī)律：每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán);然后用2015除以3，根據(jù)商和余數(shù)的情況，判斷出a2015的值是多少即可.
解答： 解：解：當(dāng)a1=2時(shí)，B1的縱坐標(biāo)為 ，
∵B1的縱坐標(biāo)和A2的縱坐標(biāo)相同，
∴A2的橫坐標(biāo)為a2=﹣1﹣ =﹣ ，
∵A2的橫坐標(biāo)和B2的橫坐標(biāo)相同，
∴B2的縱坐標(biāo)為b2= =﹣ ，
∵B2的縱坐標(biāo)和A3的縱坐標(biāo)相同，
∴A3的橫坐標(biāo)為a3=﹣1﹣(﹣ )=﹣ ，
∵A3的橫坐標(biāo)和B3的橫坐標(biāo)相同，
∴B3的縱坐標(biāo)為b3= =﹣3，
∵B3的縱坐標(biāo)和A4的縱坐標(biāo)相同，
∴A4的橫坐標(biāo)為a4=﹣1﹣(﹣3)=2，
∵A4的橫坐標(biāo)和B4的橫坐標(biāo)相同，
∴B4的縱坐標(biāo)為b4= ，
∴a1，a2，a3，a4，…，每3個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，分別是2、﹣ 、﹣ ，
∵2015÷3=671…2，
∴a2015是第672個(gè)循環(huán)的第2個(gè)數(shù)，
∴a2015=﹣ .
故答案為： .
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k;②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);③在象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
三、解答題(共計(jì)96分)
19.(9分)已知直線y=﹣3x與雙曲線y= 交于點(diǎn)P (﹣1，n).
(1)求m的值;
(2)若點(diǎn)A (x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線y= 上，且x1
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題;反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
分析： (1)根據(jù)點(diǎn)P(﹣1，n)在直線y=﹣3x上求出n的值，然后根據(jù)P點(diǎn)在雙曲線上求出m的值;
(2)首先判斷出m﹣5正負(fù)，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x1
解答： 解：(1)∵點(diǎn)P(﹣1，n)在直線y=﹣3x上，
∴n=﹣3×(﹣1)=3，
∵點(diǎn)P(﹣1，3)在雙曲線y= 上，
∴m﹣5=﹣3，
解得：m=2;
(2)∵m﹣5=﹣3<0，
∴當(dāng)x<0時(shí)，象在第二象限，y隨x的增大而增大，
∵點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2 )在函數(shù)y= 上，且x1
∴y1
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，本題難度不大.
20.(9分)已知：在△ABC中，D，E分別是AB，AC上一點(diǎn)，且∠AED=∠B.若AE=5，AB=9，CB=6.
(1)求證：△ADE∽△ACB;
(2)求ED的長(zhǎng).
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析： (1)根據(jù)有兩對(duì)角相等的兩個(gè)三角形相似證明即可.
(2)由(1)可知△AED∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等計(jì)算即可.
解答： 解：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC;
(2)∵△AED∽△ABC，
∵AE=5，AB=9，CB=6，
∴DE= .
點(diǎn)評(píng)： 本題考查相似三角形的判定.識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比.本題中把若干線段的長(zhǎng)度用同一線段來(lái)表示是求線段是否成比例時(shí)常用的方法.
21.(12分)已知反比例函數(shù) 的象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2，1)，一次函數(shù)y=kx+b的象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，3)與點(diǎn)A，且與反比例函數(shù)的象相交于另一點(diǎn)B.
(1)分別求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
(3)求三角形OAB的面積.
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
分析： (1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y= 可求出m，即可得到反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ;然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式為y=x+3;
(2)先解方程組 可確定B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，2);
(3)先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，然后利用S△OAB=S△OAC﹣S△OBC進(jìn)行計(jì)算.
解答： 解：(1)把A(﹣2，1)代入y= 得m=﹣2×1=﹣2，
所以反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ;
把A(﹣2，1)、C(0，3)代入y=kx+b得 ，解得 ，
所以一次函數(shù)解析式為y=x+3;
(2)解方程組 得 或 ，
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，2);
(3)把x=0代入y=x+3得y=3，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，
所以S△OAB=S△OAC﹣S△OBC
= ×3×2﹣ ×3×1
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式.也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
22.(12分)某測(cè)量工作人員與標(biāo)桿頂端F.電視塔頂端在同一直線上，已知此人眼睛距地面1.6米，標(biāo)桿為3.2米，且BC=1米，CD=5米，求電視塔的高ED.
考點(diǎn)： 相似三角形的應(yīng)用.
專(zhuān)題： 應(yīng)用題.
分析： 此題考查了相似三角形的性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造相似三角形.利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可.
解答： 解：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.
由題意可得：△AFG∽△AEH，
即 ，
解得：EH=9.6米.
∴ED=9.6+1.6=11.2米.
點(diǎn)評(píng)： 本題只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通過(guò)解方程求解即可.
23.(12分)甲、乙兩家超市進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，甲超市采用“買(mǎi)100減50”的促銷(xiāo)方式，即購(gòu)買(mǎi)商品的總金額滿(mǎn)100元但不足200元，少付50元;滿(mǎn)200元但不足300元，少付100元;….乙超市采用“打6折”的促銷(xiāo)方式，即顧客購(gòu)買(mǎi)商品的總金額打6折.
(1)若顧客在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品的總金額為x(100≤x<200)元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p= )，寫(xiě)出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明p隨x的變化情況;
(2)王強(qiáng)同學(xué)認(rèn)為：如果顧客購(gòu)買(mǎi)商品的總金額超過(guò)100元，實(shí)際上甲超市采用“打5折”、乙超市采用“打6折”，那么當(dāng)然選擇甲超市購(gòu)物.請(qǐng)你舉例反駁;
(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲乙兩商場(chǎng)的標(biāo)價(jià)都是x(300≤x<400)元，認(rèn)為選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品花錢(qián)較少?請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn)： 一次函數(shù)的應(yīng)用.
分析： (1)根據(jù)商家的優(yōu)惠率即可列出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并能得出p隨x的變化情況;
(2)在100≤x<200的范圍內(nèi)，取x>125的值時(shí)，都是選乙超市花錢(qián)較少，如：當(dāng)x=130時(shí)，在甲超市花130﹣50=80(元);在乙超市花130×0.6=78(元)，即可解答;
(3)當(dāng)300≤x<400時(shí)在甲超市購(gòu)買(mǎi)商品應(yīng)付款y1=x﹣150，在乙超市購(gòu)買(mǎi)商品應(yīng)付款y2=0.6x;分三種情況討論：①x﹣150=0.6x時(shí);②當(dāng)x﹣150>0.6x時(shí);③當(dāng)x﹣150<0.6x時(shí)，即可解答.
解答： 解：(1)∵購(gòu)買(mǎi)商品的總金額滿(mǎn)100元但不足200元，少付50元;
∴優(yōu)惠金額為50元，
∴P= (100≤x<200)，p隨x的增大而減小;
(2)在100≤x<200的范圍內(nèi)，取x>125的值時(shí)，都是選乙超市花錢(qián)較少，
如：當(dāng)x=130時(shí)，在甲超市花130﹣50=80(元);
在乙超市花130×0.6=78(元)，
注：在其它范圍也可，說(shuō)甲不是“打5折”也可.
(3)當(dāng)300≤x<400時(shí)在甲超市購(gòu)買(mǎi)商品應(yīng)付款y1=x﹣150，
在乙超市購(gòu)買(mǎi)商品應(yīng)付款y2=0.6x.
分三種情況：
?、賦﹣150=0.6x時(shí)，即x=375，在兩家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品花錢(qián)一樣;
②當(dāng)x﹣150>0.6x時(shí)，即375
③當(dāng)x﹣150<0.6x時(shí)，即300≤x<375，在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品花錢(qián)較少.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式等，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式.
24.(14分)已知反比例函數(shù)y= (x>0，k是常數(shù))的象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，4)，點(diǎn)B(m，n)，其中m>1，AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點(diǎn)為C.
(1)寫(xiě)出反比例函數(shù)解析式;
(2)求證：△ACB∽△NOM;
(3)若△ACB與△NOM的相似比為2，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)及AB所在直線的解析式.
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題.
專(zhuān)題： 數(shù)形結(jié)合.
分析： (1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y= 可得k的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可得AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，則 = ，再根據(jù)反比例函數(shù)解析式可得 =n，則 =m﹣1，而 = ，可得 = ，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM;
(3)根據(jù)△ACB與△NOM的相似比為2可得m﹣1=2，進(jìn)而得到m的值，然后可得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出AB的解析式即可.
解答： 解：(1)∵y= (x>0，k是常數(shù))的象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，4)，
∴k=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y= ;
(2)∵點(diǎn)A(1，4)，點(diǎn)B(m，n)，
∴AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，
∴ = = ﹣1，
∵B(m，n)在y= 上，
∴ =n，
∴ =m﹣1，而 = ，
∴ = ，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM;
(3)∵△ACB與△NOM的相似比為2，
∴m﹣1=2，
m=3，
∴B(3， )，
設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴解析式為y=﹣ x+ .
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，必然能使函數(shù)解析式左右相等.
25.(14分)(1)，直線y=k1 x+b與反比例函數(shù)y= 的象交于點(diǎn)A(1，6)，B(a，3)兩點(diǎn).
(1)求k1、k2的值;
(2)(1)，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的象交于點(diǎn)F，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請(qǐng)判斷FC和EF的大小，并說(shuō)明理由;
(3)(2)，已知點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，在第(2)問(wèn)的條件下，點(diǎn)P在x軸上，從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)四邊形PCQE的面積為S1，△DEQ的面積為S2，當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)及S1：S2的值.
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題.
分析： (1)把A點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式可求得k2，把B點(diǎn)代入可求得a的值，再把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求得k1;
(2)過(guò)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，由B點(diǎn)坐標(biāo)可求得BG和OG，再由等腰梯形的性質(zhì)可證明△BOG≌△CDE，由梯形的面積可求得EG的長(zhǎng)，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得F點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入雙曲線解析式可求得EF的長(zhǎng)，可證得FC=EF;
(3)由條件可證明△CED∽△PCD，可求得PD的長(zhǎng)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，可求得QH，則可求得△QDE和△PCD的面積，可求得S1和S2的值，可求得其值.
解答： 解：(1)∵反比例函數(shù)y= 的象過(guò)點(diǎn)A(1，6)，B(a，3)兩點(diǎn)，
∴6= ，解得k2=6，
∴3a=6，解得a=2，
∴B(2，3)，
∵直線y=k1 x+b過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴把A、B兩點(diǎn)代入可得 ，解得 ，
綜上可知k1=﹣3，k2=6;
(2)FC=EF.理由如下：
1，過(guò)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵B(2，3)，
∴OG=2，BG=3，
∵BC∥OD，OB=CD，
∴∠BOG=∠CDE，
在△BOG和△CDE中，
，
∴△BOG≌△CDE(AAS)，
∴OG=DE=2，CE=BG=3，
∵S梯形OBCD=12，
∴ (OD+BC)•CE=12，即(2×2+BC+BC)×3=24，
∴BC=2，
∴OE=OG+GE=2+2=4，
∴F點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，
∵F在雙曲線上，且由(1)可知雙曲線解析式為y= ，
∴y= = ，
∴EF= ，則FC=CE﹣EF=3﹣ = ，
∴FC=EF;
(3)在Rt△CED中，ED=2，CE=3，
∴CD= = = ，
當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，則∠CED=∠PCD，且∠CDE=∠PDC，
∴△CED∽△PCD，
∴ = ，即 = ，解得PD= ，
∴OP=PD﹣OD= ﹣6= ，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣ ，0);
2，過(guò)Q作QH由(2)知F為CE中點(diǎn)，又Q為CD中點(diǎn)，
∴H為DE中點(diǎn)，
∴QH= CE= ，
∴S2=S△QDE= DE•QH= ×2× = ，S△PDC= PD•CE= × ×3= ，
∴S1=S四邊形PCQE=S△QDE=S△PDC﹣S△QDE=S△PDC= ﹣ = ，
∴S1：S2= ： =11：2.
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).在(1)掌握交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，在(2)中求得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在(3)中求得PD長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，注意三角形中線定理的應(yīng)用.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中.
26.(14分)在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn).
(1)求證：△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x，BM2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值;
(3)若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化.當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍.
考點(diǎn)： 相似形綜合題.
專(zhuān)題： 壓軸題.
分析： (1)由對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似;
(2)如解答所示，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，由此構(gòu)造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最小值;
(3)如解答所示，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，須滿(mǎn)足的條件是“BE>MN”.分別求出BE與MN的表達(dá)式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍.
解答： (1)證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，
∴∠QAB=∠PAD，
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△ABQ.
(2)解：∵△ADP∽△ABQ，
∴ ，即 ，解得QB=2x.
∵DP=x，CD=AB=20，
∴PC=CD﹣DP=20﹣x.
如解答所示，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，
∵M(jìn)N⊥QC，CD⊥QC，點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，
∴點(diǎn)N為QC中點(diǎn)，MN為中位線，
∴MN= PC= (20﹣x)=10﹣ x，
BN= QC﹣BC= (BC+QB)﹣BC= (10+2x)﹣10=x﹣5.
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=(10﹣ x)2+(x﹣5)2= x2﹣20x+125，
∴y= x2﹣20x+125(0
∵y= x2﹣20x+125= (x﹣8)2+45，
∴當(dāng)x=8即DP=8時(shí)，y取得最小值為45，BM的最小值為 = .
(3)解：設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)E.
如解答所示，點(diǎn)M落在矩形ABCD外部，須滿(mǎn)足的條件是BE>MN.
∵△ADP∽△ABQ，
∴ ，即 ，解得QB= a.
∵AB∥CD，
∴△QBE∽△QCP，
∴ ，即 ，解得BE= .
∵M(jìn)N為中位線，
∴MN= PC= (a﹣8).
∵BE>MN，
∴ > (a﹣8)，解得a>12.5.
∴當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，a的取值范圍為：a>12.5.
點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線、勾股定理、二次函數(shù)的最值、解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度.解題關(guān)鍵是：第(2)問(wèn)中，由BM2=y，容易聯(lián)想到直角三角形與勾股定理;由最值容易聯(lián)想到二次函數(shù);第(3)問(wèn)中需要明確“點(diǎn)M落在矩形ABCD外部”所要滿(mǎn)足的條件.
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