北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
同學(xué)們?cè)跈z驗(yàn)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果最直接的方法便是通過(guò)試題，同學(xué)們要準(zhǔn)備哪些數(shù)學(xué)期末試卷來(lái)練習(xí)呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷，希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷：
一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上)
1.方程x(x+2)=0的解是( )
A.﹣2 B.0，﹣2 C.0，2 D.無(wú)實(shí)數(shù)根
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】根據(jù)方程即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可;
【解答】解：x(x+2)=0，
x=0，x+2=0，
x1=0，x2=﹣2，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.
2.兩個(gè)相似三角形的相似比是2：3，則這兩個(gè)三角形的面積比是( )
A. ： B.2：3 C.2：5 D.4：9
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可.
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是2：3，
∴這兩個(gè)三角形的面積比是4：9，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.
3.在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，則cosA的值是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可.
【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB= = ，
∴cosA= = ，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.
4.已知A(﹣1，y1)，B(2，y2)是拋物線y=﹣(x+2)2+3上的兩點(diǎn)，則y1，y2的大小關(guān)系為( )
A.y1>y2 B.y1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，即可判定.
【解答】解：∵y=﹣(x+2)2+3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣2，拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x>﹣2，y隨x的增大而減小，
∵﹣2<﹣1<2，
所以y1>y2.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
5.小明為檢驗(yàn)M、N、P、Q四點(diǎn)是否共圓，用尺規(guī)分別作了MN、MQ的垂直平分線交于點(diǎn)O，則M、N、P、Q四點(diǎn)中，不一定在以O(shè)為圓心，OM為半徑的圓上的點(diǎn)是( )
A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】連接OM，ON，OQ，OP，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出OM=ON=OQ，據(jù)此可得出結(jié)論.
【解答】解：連接OM，ON，OQ，OP，
∵M(jìn)N、MQ的垂直平分線交于點(diǎn)O，
∴OM=ON=OQ，
∴M、N、Q再以點(diǎn)O為圓心的圓上，OP與ON的大小不能確定，
∴點(diǎn)P不一定在圓上.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的內(nèi)心，以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點(diǎn)，則r的取值范圍是( )
A.r≥1 B.1≤r≤ C.1≤r≤ D.1≤r≤4
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根據(jù)題意得出四邊形OECF是正方形，得出OF=CF，由勾股定理得出AB= =5，由內(nèi)心的性質(zhì)得出CF=OF=1，AF=AC﹣CF=3，由勾股定理求出OA，由直線與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)果.
【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接OA、OB，如所示
則四邊形OECF是正方形，
∴OF=CF=OE=CE，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
∵O是△ABC的內(nèi)心，
∴CE=CF=OF=OE= (AC+BC﹣AB)=1，
∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，
∴OA= = = ，OB= = = ，
當(dāng)r=1時(shí)，以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有唯一交點(diǎn);
當(dāng)1
當(dāng)
∴以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點(diǎn)，則r的取值范圍是1≤r≤ ;
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算等知識(shí);熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，由勾股定理求出OA是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上)
7.一組數(shù)據(jù)﹣2，﹣1，0，3，5的極差是 7 .
【考點(diǎn)】極差.
【分析】根據(jù)極差的定義即可求得.
【解答】解：由題意可知，極差為5﹣(﹣2)=7.
故答案為：7.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了極差，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.注意：①極差的單位與原數(shù)據(jù)單位一致.②如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、極差都完全相同，此時(shí)用極差來(lái)反映數(shù)據(jù)的離散程度就顯得不準(zhǔn)確.
8.某車間生產(chǎn)的零件不合格的概率為 .如果每天從他們生產(chǎn)的零件中任取10個(gè)做試驗(yàn)，那么在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，平均來(lái)說(shuō)， 100 天會(huì)查出1個(gè)次品.
【考點(diǎn)】概率的意義.
【分析】根據(jù)題意首先得出抽取1000個(gè)零件需要100天，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：∵某車間生產(chǎn)的零件不合格的概率為 ，每天從他們生產(chǎn)的零件中任取10個(gè)做試驗(yàn)，
∴抽取1000個(gè)零件需要100天，
則100天會(huì)查出1個(gè)次品.
故答案為：100.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了概率的意義，正確理解 的意義是解題關(guān)鍵.
9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，3次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率是 .
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀法.
【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀，然后由樹(shù)狀求得所有等可能的結(jié)果與3次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀得：
∵共有8種等可能的結(jié)果，3次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的只有1種情況，
∴3次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率是： .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀法求概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
10.某校為了解全校1300名學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間，并繪制成如統(tǒng)計(jì)表.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)該校1300名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)為 520 人.
時(shí)間(小時(shí)) 4 5 6 7 8
人數(shù)(人) 3 9 18 15 5
【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體;加權(quán)平均數(shù).
【分析】用所有學(xué)生數(shù)乘以課外閱讀時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)所占的百分比即可.
【解答】解：該校1300名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)是1300× =520人.
故答案為：520.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得樣本中不少于7小時(shí)的人數(shù)所占的百分比.
11.PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，若∠P=70°，則∠C的大小為 55 (度).
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).
【分析】首先連接OA，OB，由PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四邊形的內(nèi)角和等于360°，求得∠AOB的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案.
【解答】解：連接OA，OB，
∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，
∴∠C= ∠AOB=55°.
故答案為：55.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理.此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
12.在正八邊形ABCDEFGH中，AC、GC是兩條對(duì)角線，則tan∠ACG= 1 .
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【分析】首先證明 = = 圓周長(zhǎng)，然后求出 = ×360°=90°，問(wèn)題即可解決.
【解答】解：設(shè)正八邊形ABCDEFGH的外接圓為⊙O;
∵正八邊形ABCDEFGH的各邊相等，
∴ = = 圓周長(zhǎng)，
∴ = ×360°=90°，
∴圓周角∠ACG= ×90°=45°.
∴tan∠ACG=1.
故答案為：1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，該題以正多邊形及其外接圓為載體，以正多邊形的性質(zhì)及其應(yīng)用的考查為核心構(gòu)造而成;對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力提出了一定的要求.
13.沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=2cm，扇形的圓心角θ=120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)l為 6 cm.
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】易得圓錐的底面周長(zhǎng)，也就是側(cè)面展開(kāi)的弧長(zhǎng)，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式即可求得圓錐的母線長(zhǎng).
【解答】解：圓錐的底面周長(zhǎng)=2π×2=4πcm，
設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，則： =4π，
解得R=6.
故答案為：6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的側(cè)面展開(kāi)的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng);弧長(zhǎng)公式為： .
14.小明做實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角板中30°角的頂點(diǎn)A在⊙O上移動(dòng)，三角板的兩邊與⊙O相交于點(diǎn)P、Q時(shí)， 的長(zhǎng)度不變.若⊙O的半徑為9，則 的長(zhǎng)等于 3π .
【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算.
【分析】連結(jié)OP、OQ，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，得出∠POQ=2∠A=60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可.
【解答】解：連結(jié)OP、OQ，則∠POQ=2∠A=60°.
∵⊙O的半徑為9，
∴ 的長(zhǎng)= =3π.
故答案為3π.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓周角定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式以及圓周角定理的內(nèi)容.
15.四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為6，∠A=130°，則扇形OBAD的面積為 10π .
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】連結(jié)OB、OD，先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出∠C=180°﹣∠A=50°，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOD=2∠C=100°，然后利用扇形的面積公式計(jì)算扇形OBAD的面積.
【解答】解：連結(jié)OB、OD，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣130°=50°，
∴∠AOD=2∠C=100°，
∴扇形OBAD的面積= =10π.
故答案為10π.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算：扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則 S扇形= •πR2或S扇形= lR(其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)).也考查了圓周角定理.
16.某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù)y=mx2﹣2mx+1(m≠0)的象時(shí)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論m如何變化，該象總經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)(0，1)和( 2 ， 1 ).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】先把原函數(shù)化為y=mx(x﹣2)+1的形式，再根據(jù)當(dāng)x=0或x﹣2=0時(shí)函數(shù)值與m值無(wú)關(guān)，把x的值代入函數(shù)解析式即可得出y的值，進(jìn)而得出兩點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解：∵原函數(shù)化為y=mx(x﹣2)+1的形式，
∴當(dāng)x=0或x﹣2=0時(shí)函數(shù)值與m值無(wú)關(guān)，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1;當(dāng)x=2時(shí)，y=1，
∴兩定點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，1)，(2，1).
故答案為：2，1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意把函數(shù)化為y=mx(x﹣2)+1的形式是解答此題的關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共11小題，共88分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(1)計(jì)算：sin45°﹣cos30°tan60°
(2)解方程：x2﹣4x﹣1=0.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值;解一元二次方程-公式法.
【分析】(1)將特殊角的三角函數(shù)值代入求解;
(2)利用公式法求解一元二次方程即可.
【解答】解：(1)原式= ﹣ ×
= ﹣
= ;
(2)∵a=1，b=﹣4，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=20>0，
∴x= ，
即x1=2+ ，x2=2﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及利用公式法求解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值以及解一元二次方程的方法.
18.利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，如果標(biāo)桿BE長(zhǎng)1.2m，測(cè)得AB=1.6m，BC=8.4m，樓高CD是多少?
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.
【專題】探究型.
【分析】先根據(jù)題意得出△ABE∽△ACD，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CD的值.
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，
∴AC=10，
∴ = ，
∴CD=7.5.
答：樓高CD是7.5m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
19.趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦)長(zhǎng)為37.4m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，請(qǐng)求出趙州橋的主橋拱半徑(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).
【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用;勾股定理.
【分析】將拱形進(jìn)行補(bǔ)充，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和垂徑定理解答.
【解答】解：設(shè)O為圓心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如所示：
∵拱橋的跨度AB=37.4m，拱高CD=7.2m，
∴AD= AB=18.7m，
∴AD2=OA2﹣(OC﹣CD)2，即18.72=AO2﹣(AO﹣7.2)2，
解得：AO≈27.9m.
即圓弧半徑為27.9m.
答：趙州橋的主橋拱半徑為27.9m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
20.一次學(xué)科測(cè)驗(yàn)，學(xué)生得分均為整數(shù)，滿分10分，成績(jī)達(dá)到6分以上為合格.成績(jī)達(dá)到9分為優(yōu)秀.這次測(cè)驗(yàn)中甲乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)如下：
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表：
平均分 方差 中位數(shù) 合格率 優(yōu)秀率
甲組 6.9 2.4 91.7% 16.7%
乙組 1.3 83.3% 8.3%
(2)甲組學(xué)生說(shuō)他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以他們的成績(jī)好于乙組.但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說(shuō)法，認(rèn)為他們組的成績(jī)要高于甲組.請(qǐng)你給出三條支持乙組學(xué)生觀點(diǎn)的理由.
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì);加權(quán)平均數(shù);中位數(shù);方差.
【專題】表型.
【分析】(1)本題需先根據(jù)中位數(shù)的定義，再結(jié)合統(tǒng)計(jì)得出它們的平均分和中位數(shù)即可求出答案.
(2)本題需先根據(jù)統(tǒng)計(jì)，再結(jié)合它們的合格率、優(yōu)秀率說(shuō)出它們各自的觀點(diǎn)是本題所求的答案.
【解答】解：(1)從統(tǒng)計(jì)中可以看出：
甲組：中位數(shù)7;
乙組：平均分7，中位數(shù)7;
(2)①因?yàn)橐医M學(xué)生的平均成績(jī)高于甲組學(xué)生的平均成績(jī)，所以乙組學(xué)生的成績(jī)好于甲組;
?、谝?yàn)榧滓覂山M學(xué)生成績(jī)的平均分相差不大，而乙組學(xué)生的方差低于甲組學(xué)生的方差，說(shuō)明乙組學(xué)生成績(jī)的波動(dòng)性比甲組小，所以乙組學(xué)生的成績(jī)好于甲組;
?、垡?yàn)橐医M7分以上人數(shù)多于甲組7分以上人數(shù)，所以乙組學(xué)生的成績(jī)好于甲組.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)，從統(tǒng)計(jì)中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
21.一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，另有一個(gè)可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤(pán).被分成面積相等的3個(gè)扇形區(qū)，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3(如所示).小穎和小亮想通過(guò)游戲來(lái)決定誰(shuí)代表學(xué)校參加歌詠比賽，游戲規(guī)則為：一人從口袋中摸出一個(gè)小球，另一個(gè)人轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤(pán)上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于4，那么小穎去;否則小亮去.
(1)用樹(shù)狀或列表法求出小穎參加比賽的概率;
(2)你認(rèn)為該游戲公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;若不公平，請(qǐng)修改該游戲規(guī)則，使游戲公平.
【考點(diǎn)】游戲公平性.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀，由樹(shù)狀求得所有等可能的結(jié)果與兩指針?biāo)笖?shù)字之和和小于4的情況，則可求得小穎參加比賽的概率;
(2)根據(jù)小穎獲勝與小亮獲勝的概率，比較概率是否相等，即可判定游戲是否公平;使游戲公平，只要概率相等即可.
【解答】解：(1)畫(huà)樹(shù)狀得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，所指數(shù)字之和小于4的有3種情況，
∴P(和小于4)= = ，
∴小穎參加比賽的概率為： ;
(2)不公平，
∵P(小穎)= ，
P(小亮)= .
∴P(和小于4)≠P(和大于等于4)，
∴游戲不公平;
可改為：若兩個(gè)數(shù)字之和小于5，則小穎去參賽;否則，小亮去參賽.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.
22.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，求實(shí)數(shù)m的值.
【考點(diǎn)】根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)由關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得△>0，繼而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，可得方程1+m=m2﹣1，繼而求得答案.
【解答】解：(1)∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac=1﹣4m>0，
即m< ;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2=1，x1•x2=m，
∴1+m=m2﹣1，
整理得：m2﹣m﹣2=0，
解得：m=﹣1或m=2，
∵m< ，
∴所求m的值為﹣1.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系.注意△>0⇔方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=﹣p，x1x2=q.
23.用40cm長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)扇形，求此扇形面積的最大值.
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算;二次函數(shù)的最值.
【分析】設(shè)出圓的半徑和弧長(zhǎng)，由扇形的面積公式S扇形= lr，得出關(guān)于半徑的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)得出扇形面積的最大值.
【解答】解：設(shè)半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則40=2r+l，
∴l=40﹣2r，
∴S扇形= lr= r (40﹣2r)=﹣r2+20r=﹣(r﹣10)2+100，
∴當(dāng)半徑為10時(shí)，扇形面積最大，最大值為100cm2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積公式，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，用扇形的半徑表示成面積的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.
24.一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于距發(fā)射架底部4km處的地面雷達(dá)站R(LR=4)測(cè)得火箭底部的仰角為43°.1s后，火箭到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得火箭底部的仰角為45.72°.這枚火箭從A到B的平均速度是多少 (結(jié)果取小數(shù)點(diǎn)后兩位)?
(參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933，
sin45.72°≈0.716，cos45.72°≈0.698，tan45.72°≈1.025)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【專題】探究型.
【分析】根據(jù)題意可以得到AL和BL的長(zhǎng)度，從而可以得到AB的長(zhǎng)度，根據(jù)由A到B用的時(shí)間為1s，從而可以求得這枚火箭從A到B的平均速度.
【解答】解：∵在Rt△ALR中，tan43°= ，LR=4，
∴AL=4×0.933=3.732，
∵在Rt△BLR中，tan45.72°= ，LR=4，
∴BL=4×1.025=4.1，
∴AB=4.1﹣3.732=0.368≈0.37，
∵火箭從A到B用時(shí)1s，
∴火箭從A到B的平均速度為：0.37÷1=0.37km/s，
即這枚火箭從A到B的平均速度是0.37km/s.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件.
25.要設(shè)計(jì)一本畫(huà)冊(cè)的封面，封面長(zhǎng)40cm，寬30cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形畫(huà).如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的 ，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)： ≈2.236).
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】幾何形問(wèn)題.
【分析】設(shè)上、下邊襯寬均為4xcm，左、右邊襯寬均為3xcm，根據(jù)封面的面積關(guān)系建立方程求出其解即可.
【解答】解一：設(shè)上、下邊襯寬均為4xcm，左、右邊襯寬均為3xcm，
則(40﹣8x)(30﹣6x)= ×40×30.
整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2 ，
∴x1≈0.53，x2≈9.47(舍去)，
答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm.
解二：設(shè)中央矩形的長(zhǎng)為4xcm，寬為3xcm，
則4x×3x= ×40×30，
解得x1=4 ，x2=﹣4 (舍去)，
∴上、下邊襯寬為20﹣8 ≈2.1，左、右邊襯寬均為15﹣6 ≈1.6，
答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)矩形的面積公式建立方程是關(guān)鍵.
26.如①，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，過(guò)點(diǎn)C的切線CE∥BD，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(1)求證：∠BAC=∠CAD;
(2)如②，若AB為⊙O的直徑，AD=6，AB=10，求CE的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下，連接BC，求 的值.
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)連結(jié)OC，如①，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CE，由于CE∥BD，則OC⊥BD，再根據(jù)垂徑定理得到 = ，然后利用圓周角定理可得∠BAC=∠CAD;
(2)如②，連結(jié)OC交BD于E，由(1)得OC⊥BD，則BE=DE，根據(jù)圓周角定理得到∠D=90°，則利用勾股定理可計(jì)算出BD=8，所以BE= BD=4，在Rt△OBE中計(jì)算出OE=3，再證明△OBE∽△OCE，然后利用相似比可計(jì)算出CE的長(zhǎng);
(3)先計(jì)算出CE=2，由于 = ，則∠CDB=∠CAB，根據(jù)正切定義得到tan∠CBE= = ，則tan∠CBE= tan∠CAB= ，即得到 = .
【解答】(1)證明：連結(jié)OC，如①，
∵CE為切線，
∴OC⊥CE，
∵CE∥BD，
∴OC⊥BD，
∴ = ，
∴∠BAC=∠CAD;
(2)解：如②，連結(jié)OC交BD于E，
由(1)得OC⊥BD，則BE=DE，
∵AB為直徑，
∴∠D=90°，
∴BD= = =8，
∴BE= BD=4，
在Rt△OBE中，OE= =3，
∵BE∥CE，
∴△OBE∽△OCE，
∴ = ，即 = ，
∴CE= ;
(3)解：∵OE=3，OC=5，
∴CE=5﹣3=2，
∵ = ，
∴∠CDB=∠CAB，
∵tan∠CBE= = = ，
∴tan∠CAB=tan∠CBE= ，
∵tan∠CAB= ，
∴ = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題.
27.如①，已知拋物線C1：y=a(x+1)2﹣4的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及a 的值;
(2)如②，拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移4個(gè)單位，得到拋物線C3.C3與x軸交于點(diǎn)B、E，點(diǎn)P是直線CE上方拋物線C3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交CE于點(diǎn)F.
?、偾缶€段PF長(zhǎng)的最大值;
②若PE=EF，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可直接求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，把B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得a的值;
(2)①C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，且二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求得C2的解析式，然后根據(jù)平移的性質(zhì)求得C3的解析式.利用待定系數(shù)法求得直線CE的解析式，則PF的長(zhǎng)即可利用x表示出來(lái)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得PF的最大值;
②PE=EF則P和F關(guān)于x軸對(duì)稱，即縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可列方程求解.
【解答】解：(1)頂點(diǎn)C為(﹣1，﹣4).
∵點(diǎn)B(1，0)在拋物線C1上，∴0=a(1+1)2﹣4，解得，a=1;
(2)①∵C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴拋物線C2的表達(dá)式為y=﹣(x+1)2+4，
拋物線C3由C2平移得到，
∴拋物線C3為y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5，
∴E(5，0)，
設(shè)直線CE的解析式為：y=kx+b，
則 ，解得 ，
∴直線BC的解析式為y= x﹣ ，
設(shè)P(x，﹣x2+6x﹣5)，則F(x， x﹣ )，
∴PF=(﹣x2+6x﹣5)﹣( x﹣ )=﹣x2+ x﹣ =﹣(x﹣ )2+ ，
∴當(dāng)x= 時(shí)，PF有最大值為 ;
?、谌鬚E=EF，∵PF⊥x軸，
∴x軸平分PF，
∴﹣x2+6x﹣5=﹣ x+ ，
解得x1= ，x2=5(舍去)
∴P( ， ).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)最值問(wèn)題常用的方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題.
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