九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題
經(jīng)歷了九年級(jí)的一學(xué)期的努力奮戰(zhàn),同學(xué)們檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果的時(shí)刻就要到了,同學(xué)們要準(zhǔn)備哪些數(shù)學(xué)期末試題來(lái)復(fù)習(xí)呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題,希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題:
一、選擇題:(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的,把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置處)
1.已知 = ,則 的值是( )
【考點(diǎn)】分式的基本性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】因?yàn)橐阎?= ,所以可以設(shè):a=2k,則b=3k,將其代入分式即可求解.
【解答】解:∵ = ,
∴設(shè)a=2k,則b=3k,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】已知幾個(gè)量的比值時(shí),常用的解法是:設(shè)一個(gè)未知數(shù),把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來(lái),實(shí)現(xiàn)消元.
2.一元二次方程x2﹣3x+k=0的一個(gè)根為x=2,則k的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】一元二次方程的解.
【分析】將x=2,代入方程即可求得k的值,從而得到正確選項(xiàng).
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣3x+k=0的一個(gè)根為x=2,
∴22﹣3×2+k=0,
解得,k=2,
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解,解題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的解一定使得原方程成立.
3.△ABC中,點(diǎn)D、E分別為AB、AC上的點(diǎn),且滿足DE∥BC,若AD=3,BD=2,AE=2,則EC的長(zhǎng)為( )
A.3 B. C. D.1
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式,代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ = ,即 = ,
解得EC= .
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理,靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
4.正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,則該六邊形的面積為( )
A.3 B.7.5 C.6 D.10
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【分析】連接OE、OD,由正六邊形的特點(diǎn)求出判斷出△ODE的形狀,作OH⊥ED于H,由特殊角的三角函數(shù)值求出OH的長(zhǎng),利用三角形的面積公式即可求出△ODE的面積,進(jìn)而可得出正六邊形ABCDEF的面積.
【解答】解:連接OE、OD,如圖所示:
∵六邊形ABCDEF是正六邊形,
∴∠DEF=120°,
∴∠OED=60°,
∵OE=OD=2,
∴△ODE是等邊三角形,
作OH⊥ED于H,則OH=OE•sin∠OED=2× = ,
∴S△ODE= DE•OH= ×2× = ,
∴S正六邊形ABCDEF=6S△ODE=6 .
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì);根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵.
5.下列函數(shù)中,y隨x增大而增大的是( )
A.y=﹣ B.y=﹣x+5 C.y=﹣ x D.y=﹣ x2(x<0)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);一次函數(shù)的性質(zhì);正比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】利用反比例函數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析判定得出答案即可.
【解答】解:A、y=﹣ ,k<0,在每個(gè)象限里,y隨x的增大而增大,沒指明象限,所以無(wú)法比較,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、y=﹣x+1,一次函數(shù),k<0,故y隨著x增大而減小,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、y=﹣ x﹣3,一次函數(shù),k<0,故y隨著x增大而減小,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、y=﹣ x2,拋物線開口向下,當(dāng)x<0,圖象在對(duì)稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大;而在對(duì)稱軸左側(cè),y隨著x的增大而減小;此選項(xiàng)正確.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的,掌握函數(shù)的增減性是解決問題的關(guān)鍵.
6.某班抽取6名同學(xué)參加體能測(cè)試,成績(jī)?nèi)缦拢?0,90,75,75,80,80.下列表述錯(cuò)誤的是( )
A.平均數(shù)是80 B.極差是15 C.中位數(shù)是80 D.方差是5
【考點(diǎn)】方差;加權(quán)平均數(shù);中位數(shù);極差.
【專題】計(jì)算題.
【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大排列為75,75,80,80,80,90,然后根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和極差的定義得到數(shù)據(jù)的平均數(shù),中位數(shù)和極差,再根據(jù)方差公式計(jì)算數(shù)據(jù)的方差,然后利用計(jì)算結(jié)果對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【解答】解:數(shù)據(jù)由小到大排列為75,75,80,80,80,90,它的平均數(shù)為 =80,數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80,極差為為15,
數(shù)據(jù)的方差= [(75﹣80)2+(75﹣80)2+(80﹣80)2+(80﹣80)2+(80﹣80)2+(90﹣80)2]=25.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差:一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),叫做這組數(shù)據(jù)的方差,計(jì)算公式是:s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2].也考查了平均數(shù)、中位數(shù)和極差.
7.將一個(gè)半徑為20的半圓紙片圍成圓錐形紙筒,則圓錐的底面半徑為( )
A.10 B.10 C.20 D.20
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【專題】計(jì)算題.
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到 •2π•r•20= •202,然后解方程求出r即可.
【解答】解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,
根據(jù)題意得 •2π•r•20= •202,解得r=10,
所以圓錐的底面半徑為10.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).
8.直線y=﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,O是原點(diǎn),點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(包括A、B兩點(diǎn)),以O(shè)P為直徑作⊙Q,則⊙Q的面積不可能是( )
A.1.5π B.π C. π D. π
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】求出OA、OB,AB,根據(jù)面積公式求出高OC,即可求最大圓的面積和最小圓的面積,即可得出選項(xiàng).
【解答】解:如圖:
∵直線y=﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴OA=OB=2,
由勾股定理得:AB= =2
過(guò)O作OC⊥AB于C,則O到直線AB的最短距離是OC的長(zhǎng),
由三角形面積公式得: ×OB×OA= AB×OC,
解得:OC= ,
當(dāng)P和C點(diǎn)重合時(shí),⊙Q的面積最小,是π×( )2= π,
當(dāng)P和A或B重合時(shí),⊙Q的面積最大,是π×12=π,
即 π≤⊙Q的面積≤π,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理,三角形的面積的應(yīng)用,能求出最大圓和最小圓的面積是解此題的關(guān)鍵.
9.在正方形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),F(xiàn)是AB邊上一點(diǎn),BF=3AF,則下列四個(gè)結(jié)論:
?、佟鰽EF∽△DCE;
?、贑E平分∠DCF;
?、埸c(diǎn)B、C、E、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上;
?、苤本€EF是△DCE的外接圓的切線;
其中,正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠D=90°,設(shè)AF=a,則BF=3a,AB=BC=CD=AD=4a,證出AE:DE=AE:CD,即可得出①正確;
先證出∠CEF=90°,由勾股定理求出EF= a,CE=2 a,得出EF:CE=DE:CD,證出△CEF∽△CDE,得出∠FCE=∠DCE,得出CE平分∠DCF,②正確;
由∠B+∠CEF=180°,得出B、C、E、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上,③正確;
由△DCE是直角三角形,得出外接圓的圓心是斜邊CE的中點(diǎn),CE是直徑,由EF⊥CE,得出直線EF是△DCE的外接圓的切線,④正確.
【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠D=90°,
∵E是AD的中點(diǎn),
∴AE=DE,
∵BF=3AF,
設(shè)AF=a,則BF=3a,AB=BC=CD=AD=4a,
∵AF:DE=1:2,AE:CD=1:2,
∴AE:DE=AE:CD,
∴△AEF∽△DCE,
∴①正確;∠AEF=∠DCE,
∵∠DEC+∠DCE=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°,
∴∠CEF=90°,
∵EF= = a,CE= =2 a,
∴EF:CE=1:2=DE:CD,
∴△CEF∽△CDE,
∴∠FCE=∠DCE,
∴CE平分∠DCF,
∴②正確;
∵∠B=90°,∠CEF=90°,
∴∠B+∠CEF=180°,
∴B、C、E、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上,
∴③正確;
∵△DCE是直角三角形,
∴外接圓的圓心是斜邊CE的中點(diǎn),CE是直徑,
∵∠CEF=90°,
∴EF⊥CE,
∴直線EF是△DCE的外接圓的切線,
∴④正確,
正確的結(jié)論有4個(gè).故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目,考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、四點(diǎn)共圓等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度,熟練掌握正方形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.
10.在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(2,4)為圓心,1為半徑作⊙A,以點(diǎn)B(3,5)為圓心,3為半徑作⊙B,M、N分別是⊙A,⊙B上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則PM+PN的最小值為( )
A. ﹣4 B. ﹣1 C.6﹣2 D. ﹣3
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′,連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N,交x軸于P,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PM+PN最小,再利用對(duì)稱確定A′的坐標(biāo),接著利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出A′B的長(zhǎng),然后用A′B的長(zhǎng)減去兩個(gè)圓的半徑即可得到MN的長(zhǎng),即得到PM+PN的最小值.
【解答】解:作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′,連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N,交x軸于P,
則此時(shí)PM+PN最小,
∵點(diǎn)A坐標(biāo)(2,4),
∴點(diǎn)A′坐標(biāo)(2,﹣4),
∵點(diǎn)B(3,5),
∴A′B= = ,
∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5 ﹣3﹣1= ﹣4,
∴PM+PN的最小值為 ﹣4.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題:掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)和關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征;會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決線段和的最小值問題;會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng);理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
二、填空(本大題共8小題,每小題2分,共16分.不需寫出解答過(guò)程,只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置處)
11.已知(a﹣2)x2+(a﹣1)x﹣3=0是關(guān)于x的一元二次方程,則a滿足的條件是a≠2.
【考點(diǎn)】一元二次方程的定義.
【分析】直接利用一元二次方程的定義得出a滿足的條件即可.
【解答】解:∵(a﹣2)x2+(a﹣1)x﹣3=0是關(guān)于x的一元二次方程,
∴a滿足的條件是:a≠2.
故答案為:a≠2.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的定義,正確把握定義是解題關(guān)鍵.
12.已知△ABC∽△DEF,∠A=30°,∠F=30°,則∠E的度數(shù)為120°.
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出∠D的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,
∴∠D=∠A=30°,
∠E=180°﹣∠D﹣∠F=120°,
故答案為:120°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.
13.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,cosB= ,則BC=9.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)在直角三角形中,銳角的余弦為鄰邊比斜邊,可得答案.
【解答】解:由cosB= ,得
BC=AB•cosB=15× =9,
故答案為:9.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用:在直角三角形中,銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對(duì)邊比鄰邊.
14.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k>﹣1.
【考點(diǎn)】根的判別式.
【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=(﹣2)2+4k>0,然后解不等式即可.
【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=(﹣2)2+4k>0,
解得k>﹣1.
故答案為:k>﹣1.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.
15.△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=87°,則∠AOC的大小是58°.
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC= ∠AOC,由于∠ABC+∠AOC=87°,所以 ∠AOC+∠AOC=87°,然后解方程即可.
【解答】解:∵∠ABC= ∠AOC,
而∠ABC+∠AOC=87°,
∴ ∠AOC+∠AOC=87°,
∴∠AOC=58°.
故答案是:58°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.
16.△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,3),B(3,4),C(2,2).以點(diǎn)B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC位似,且位似比為2:1,點(diǎn)A1的坐標(biāo)是(﹣3,2).
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:如圖所示:△A1B1C1即為所求,
則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是:(﹣3,2).
故答案為:(﹣3,2).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.
17.將拋物線y=2x2﹣4x+m繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后過(guò)點(diǎn)(2,﹣21),則m的值為21.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】先將原拋物線解析式化為頂點(diǎn)式,將其繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,開口大小和頂點(diǎn)坐標(biāo)都沒有變化,變化的只是開口方向,再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)得出所求新拋物線的解析式再把點(diǎn)(2,﹣21)代入可得m的值.
【解答】解:y=2x2﹣4x+m,
=2(x2﹣2x)+m,
=2(x2﹣2x+1﹣1)+m,
=2(x﹣1)2﹣2+m,
繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后y=﹣2(x﹣1)2+2﹣m,
∵過(guò)點(diǎn)(2,﹣21),
∴﹣21=﹣2(2﹣1)2+2﹣m,
解得:m=21.
故答案為:21.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式.關(guān)鍵是掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).
18.邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為 的圓上,頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi),將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁逆時(shí)針方向作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng).當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時(shí),點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【分析】設(shè)圓心為O,連接AO,BO,AC,AE,易證三角形AOB是等邊三角形,確定∠GFE=∠EAC=30°,再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【解答】解:如圖所示:
設(shè)圓心為O,連接AO,BO,AC,AE,
∵AB= ,AO=BO= ,
∴AB=AO=BO,
∴△AOB是等邊三角形,
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理:△FAO是等邊三角形,∠FAB=2∠OAB=120°,
∴∠EAC=120°﹣90°=30,∠GFE=∠FAD=120°﹣90°=30°,
∵AD=AB= ,
∴AC= =2,
當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時(shí),點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 + = ;
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用,題目的綜合性較強(qiáng),解題的關(guān)鍵是正確的求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).
三、解答題:(本大題共10小題,共84分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
19.計(jì)算
(1) +(1﹣ )0+4sin30°;
(2)sin245°+( )﹣2+cos245°.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計(jì)算題;實(shí)數(shù).
【分析】(1)原式第一項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式,第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算,最后一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果;
(2)原式利用特殊角的三角函數(shù)值及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解:(1)原式=2 +1+2=2 +3
(2)原式= +4+ =5.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
20.解方程:
(1)x2﹣3x=1;
(2)x2+4x﹣21=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.
【專題】一次方程(組)及應(yīng)用.
【分析】(1)方程整理后,利用公式法求出解即可;
(2)方程利用公式法求出解即可.
【解答】解:(1)方程整理得:x2﹣3x﹣1=0,
這里a=1,b=﹣3,c=﹣1,
∵△=9+4=13,
∴x= ,
解得:x1= ,x2= ;
(2)方程整理得:x2+4x=21,
配方得:x2+4x+4=25,即(x+2)2=25,
開方得:x+2=5或x+2=﹣5,
解得:x1=﹣7,x2=3.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
21.有A、B兩只不透明的布袋,A袋中有四個(gè)除標(biāo)號(hào)外其他完全相同的小球,標(biāo)號(hào)分別為0,1,2,3;B袋中有三個(gè)除標(biāo)號(hào)外其他完全相同的小球,標(biāo)號(hào)分別為﹣1,﹣2,﹣3.小明先從A袋中隨機(jī)取出一小球,用m表示該球的標(biāo)號(hào),再?gòu)腂袋中隨機(jī)取出一球,用n表示該球的標(biāo)號(hào).
(1)用樹狀圖或列表的方式表示(m,n)的所有可能結(jié)果;
(2)若m、n分別表示數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn),求這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離等于3的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)首先根據(jù)題意列表,即求得所有等可能的結(jié)果;
(2)利用概率公式求得概率即可.
【解答】解:(1)列表如下:
所有等可能的結(jié)果為12種; (2)所有等可能的結(jié)果為12種,其中距離等于3的有3種,
故P(兩個(gè)點(diǎn)之間的距離等于3)= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率的知識(shí).列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,列表法適合于兩步完成的事件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
22.為了考察甲、乙兩種玉米的生長(zhǎng)情況,在相同的時(shí)間,將它們種在同一塊實(shí)驗(yàn)田里,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,分別抽取了10株幼苗,測(cè)得苗高如下(單位:cm):
甲:8,12,8,10,13,7,12,11,10,9;
乙:11,9,7,7,12,10,11,12,13,8.
(1)分別求出兩種玉米的平均高度;
(2)哪種玉米的幼苗長(zhǎng)得比較整齊?
【考點(diǎn)】方差;加權(quán)平均數(shù).
【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式分別把這10株幼苗的高度加起來(lái),再除以10即可;
(2)先算出甲與乙的方差,再進(jìn)行比較,方差越小的,棉苗長(zhǎng)勢(shì)越整齊,即可得出答案.
【解答】(1)甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)= ×(8+12+8+10+13+7+12+11+10+9)=10cm;
乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)= ×(11+9+7+7+12+10+11+12+13+8)=10cm;
(2)s2甲= ×[(8﹣10)2+(12﹣10)2+…+(9﹣10)2]=3.6cm2;
s2乙= ×[(11﹣10)2+(9﹣10)2+…+(8﹣10)2]=4.2cm2.
s2甲
所以甲玉米幼苗長(zhǎng)得比較整齊.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)與方差,一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為 ,則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,方差越大,波動(dòng)性越大,反之也成立.
23.某處山坡上有一棵與水平面垂直的大樹,狂風(fēng)過(guò)后,大樹被刮的傾斜后折斷,倒在山坡上,樹的頂部恰好接觸到坡面(如圖所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得樹干的傾斜角∠BAC=38°,大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m.
(1)求∠DAC的度數(shù);
(2)這棵大樹折斷前高約多少米?(結(jié)果精確到個(gè)位,參考數(shù)據(jù): ≈1.4, ≈1.7, ≈2.4)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】(1)延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)G,在RT△AGE中,求得∠GAE=67°,然后根據(jù)∠CAE=180°﹣∠GAE﹣∠BAC即可求得;
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD,垂足為H,在△ADH中,根據(jù)余弦函數(shù)求得DH,進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)求得AH,在RT△ACH中,求得CH=AH=2 ,然后根據(jù)AB=AC+CD即可求得.
【解答】解:(1)延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)G,
在RT△AGE中,∠E=23°,
∴∠GAE=67°,
又∠BAC=38°,
∴∠CAE=180°﹣67°﹣38°=75°.
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD,垂足為H,
在△ADH中,∠ADC=60°,AD=4,cos∠ADC= ,
∴DH=2,sin∠ADC= ,
∴AH=2 .
在RT△ACH中,∠C=180°﹣75°﹣60°=45°,
∴AC=2 ,CH=AH=2 .
∴AB=AC+CD=2 +2 +2≈10(米).
答:這棵大樹折斷前高約10米.
【點(diǎn)評(píng)】本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題,可通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形,再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中,使問題解決.
24.AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PC于點(diǎn)D,連接AC,弦CE平分∠ACB,交AB于點(diǎn)F,連接BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若tan∠ABC= ,BE=2 ,求圓的直徑及線段CE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);勾股定理.
【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OCA,由切線的性質(zhì)和已知條件得出OC∥AD,得出∠CAD=∠OCA=∠OAC即可.
(2)連接AE,由圓周角定理得出 ,得出 ,由圓周角定理得出∠ACB=∠AEB=90°,由三角函數(shù)得出 = ,設(shè)AC=4x,則BC=3x,由勾股定理得出AB=4,AC= ,由角平分線的性質(zhì)得出AF的長(zhǎng),證出△BCE∽△FCA,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得出結(jié)果.
【解答】(1)證明:∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵PC是⊙O的切線,
∴OC⊥PC,∵AD⊥PC,
∴OC∥AD,
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC,
即AC平分∠DAB;
(2)解:連接AE,如圖所示:
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=∠AEB=90°,
∵tan∠ABC= = ,
設(shè)AC=4x,則BC=3x,
,AB= =5x,
則5x=4,x= ,
∴AC=4× = ,
∵CE平分∠ACB,
∴AF= ×4= ,
∵∠E=∠BAC,∠BCE=∠ACE,
∴△BCE∽△FCA,
即 ,
解得:CE= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角函數(shù),相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度,特別是(2)中,需要運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和證明三角形相似才能得出結(jié)果.
25.九(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下表:
時(shí)間x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售價(jià)(元/件) x+40 90
每天銷量(件) 200﹣2x 200﹣2x
已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元,設(shè)銷售該商品的每天利潤(rùn)為y元
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時(shí),當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
(3)該商品在銷售過(guò)程中,共有多少天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元?請(qǐng)直接寫出結(jié)果.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量,可得利潤(rùn),可得答案;
(2)根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì),可分別得出最大值,根據(jù)有理數(shù)的比較,可得答案;
(3)根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800,一次函數(shù)值大于或等于48000,可得不等式,根據(jù)解不等式組,可得答案.
【解答】解:(1)當(dāng)1≤x<50時(shí),y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000,
當(dāng)50≤x≤90時(shí),
y=(90﹣30)=﹣120x+12000,
綜上所述:y= ;
(2)當(dāng)1≤x<50時(shí),
y=﹣2x2+180x+2000,
y=﹣2(x﹣45)2+6050.
∴a=﹣2<0,
∴二次函數(shù)開口下,二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=45,
當(dāng)x=45時(shí),y最大=6050,
當(dāng)50≤x≤90時(shí),y隨x的增大而減小,
當(dāng)x=50時(shí),y最大=6000,
綜上所述,該商品第45天時(shí),當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是6050元;
(3)①當(dāng)1≤x<50時(shí),y=﹣2x2+180x+2000≥4800,
解得:20≤x<70,
因此利潤(rùn)不低于4800元的天數(shù)是20≤x<50,共30天;
?、诋?dāng)50≤x≤90時(shí),y=﹣120x+12000≥4800,
解得:x≤60,
因此利潤(rùn)不低于4800元的天數(shù)是50≤x≤60,共11天,
所以該商品在整個(gè)銷售過(guò)程中,共41天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,利用單價(jià)乘以數(shù)量求函數(shù)解析式,利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值.解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
26.已知△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,tanA= .點(diǎn)D由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度相同,點(diǎn)F在AB上,F(xiàn)E=4cm,且點(diǎn)F在點(diǎn)E的下方,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)E,F(xiàn)也停止運(yùn)動(dòng),連接DF,設(shè)AD=x(0≤x≤6).解答下列問題:
(1)如圖1,當(dāng)x為何值時(shí),△ADF為直角三角形;
(2)如圖2,把△ADF沿AB翻折,使點(diǎn)D落在D′點(diǎn).
?、佼?dāng)x為何值時(shí),四邊形ADFD′為菱形?并求出菱形的面積;
?、谌鐖D3,連接D′E,設(shè)D′E為y,請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
?、廴鐖D4,分別取D′F,D′E的中點(diǎn)M,N,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,試確定線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀,并求其面積(直接寫出答案).
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.
【分析】(1)△ADF為直角三角形,有兩種可能:∠ADF=90°或∠AFD=90°,根據(jù)銳角三角函數(shù)列方程求解即可;
(2)①根據(jù)菱形的判定,可知當(dāng)AD=DF時(shí),四邊形ADFD′為菱形,根據(jù)銳角三角函數(shù)列方程求出x,計(jì)算菱形的面積即可;
②根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出AG、D′G、GE,根據(jù)勾股定理列出函數(shù)表達(dá)式;
?、鄹鶕?jù)三角形中位線定理可知線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形,其面積為 .
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,BC=8,tanA= ,
∴BC=8,AB=10,
∴AD=x,BF=2 x,AF=6﹣x,
當(dāng)∠ADF=90°,如圖1左圖,
∵tanA= ,
∴cosA= ,
∴ ,
∴ ;
當(dāng)∠AFD=90°,如圖1右圖,
∵tanA=
∴cosA= ,
∴ ,
∴ ,
∴當(dāng) 或 ,△ADF為直角三角形;
(2)①如圖2,
∵AD=AD′,D′F=DF,
∴當(dāng)AD=DF時(shí),四邊形ADFD′為菱形,
∴連接DD′⊥AF于G,AG= ,
∵tanA=
∴cosA= ,
∴ ,
∴x= ,
S菱形= ;
?、谌鐖D3,作D′G⊥AF于G,
∵tanA= ,
∴cosA= ,sinA= ,
∴
∴ ,
∴ ;
(3)平行四邊形, .
∵M(jìn)、N分別為D′F、D′E的中點(diǎn),
∴MN∥EF,MN= EF=2,
∴線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形,
當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到C,則F正好運(yùn)動(dòng)到A,此時(shí)MA= D′A= DA=3,
∵∠DAB=∠D′AB,
∴tanA=tan∠D′AB= ,
點(diǎn)M到AB的距離設(shè)為4x,則(3x)2+(4x)2=32,
解得:x= ,
4x= ,
∴線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形的面積=2× = .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)、直角三角形的判定、菱形的判定、勾股定理以及三角形中位線性質(zhì)的綜合運(yùn)用,具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力是解決問題的關(guān)鍵.
27.拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知A(﹣1,0).
(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)判斷△CDB的形狀并說(shuō)明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度(0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)分別求出△CDB三邊的長(zhǎng)度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形;
(3)△COB沿x軸向右平移過(guò)程中,分兩個(gè)階段:
(I)當(dāng)0
(II)當(dāng)
【解答】解:(1)∵點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,
∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0).
(2)△CDB為直角三角形.理由如下:
由拋物線解析式,得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).
如答圖1所示,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.
過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N,則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.
在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC= = = ;
在Rt△CND中,由勾股定理得:CD= = = ;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD= = = .
∵BC2+CD2=BD2,
∴△CDB為直角三角形(勾股定理的逆定理).
(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,∵B(3,0),C(0,3),
∴ ,
解得k=﹣1,b=3,
∴y=﹣x+3,
直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到,
∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,∵B(3,0),D(1,4),
∴ ,
解得:m=﹣2,n=6,
∴y=﹣2x+6.
連接CQ并延長(zhǎng),射線CQ交BD于點(diǎn)G,則G( ,3).
在△COB向右平移的過(guò)程中:
(I)當(dāng)0
設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F,則: ,解得 ,∴F(3﹣t,2t).
S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PE•PQ﹣ PB•PK﹣ BE•yF= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t= t2+3t;
(II)當(dāng)
設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J.
∵CQ=t,
∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.
直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t,
∴J(t,6﹣2t).
S=S△PBJ﹣S△PBK= PB•PJ﹣ PB•PK= (3﹣t)(6﹣2t)﹣ (3﹣t)2= t2﹣3t+ .
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:
S= .
【點(diǎn)評(píng)】本題是運(yùn)動(dòng)型二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn).難點(diǎn)在于第(3)問,弄清圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的先決條件,在計(jì)算圖形面積時(shí),要充分利用各種圖形面積的和差關(guān)系.
28.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=4cm,點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)若0
(2)若∠ACB的平分線CG交△ECF的外接圓于點(diǎn)G.
?、僭囌f(shuō)明:當(dāng)0
?、谠囂骄浚寒?dāng)t≥4時(shí),CE、CF、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】相似形綜合題.
【分析】(1)0
(2)分成0
【解答】解:(1)由題意,EC=3t,BF=t,F(xiàn)C=4﹣t
∵∠ECF=∠ACB,
∴以E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似有兩種情況:
當(dāng) = 時(shí),△EFC∽△ABC
∴ ,解得t=2,
當(dāng) = 時(shí),△FEC∽△ABC
∴ ,解得t=0.4.
∴當(dāng)t=2或0.4秒時(shí),以E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似;
(2)①當(dāng)0
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CG交AC于H,如圖1:
∵∠ACB=90°,
∴EF為△ECF的外接圓的直徑,
∴∠EGF=90°,
∴∠EGH=∠FGC,
∵CG平分∠ACB,
∴∠ECG=∠FCG=45°
∴ = ,
∴EG=FG
∵∠ECG=45°,
∴∠EHG=45°,
∴∠EHG=∠FCG,
在△EGH和△FGC中,
,
∴△EGH≌△FGC.
∴EH=FC
∵∠EHG=∠ECG=45°,
∴CH= CG
∵CH=CE+EH,
∴CE+CF= CG;
?、诋?dāng)t≥4時(shí),
過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CG交AC于M,如圖2:
同理可得△EGM≌△FGC.
∴EM=FC
∵∠EMG=∠MCG=45°,
∴CM= CG
∵CM=CE﹣EM,
∴CE﹣CF= CG.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及圓的弧、弦、圓心角、圓周角之間的關(guān)系,正確證明△EGH≌△FGC是解決本題的關(guān)鍵.
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