遼寧省九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷
九年級的數(shù)學(xué)練習(xí)積累越多，掌握越熟練，同學(xué)們要好好準(zhǔn)備在即將到來的數(shù)學(xué)期末考試，多做一些期末試卷鞏固知識點，下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于遼寧省九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
遼寧省九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷：
一、選擇題(本大題共9小題，每小題2分，共18分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將正確的選項填入下面的表格中)
1.如圖的幾何體的俯視圖是( )
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.
【解答】解：從上面看是5個矩形，左邊矩形的右邊是虛線，右邊矩形的左邊是虛線，
故選：C.
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.
2.用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9時，應(yīng)當(dāng)在方程的兩邊同時加上( )
A.16 B.﹣16 C.4 D.﹣4
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】計算題.
【分析】方程兩邊加上一次項一半的平方，計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9時，應(yīng)當(dāng)在方程的兩邊同時加上16，變形為x2﹣8x+16=25.
故選A
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
3.矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是( )
A.兩組對邊分別平行 B.對角線相等
C.對角線互相平分 D.兩組對角分別相等
【考點】矩形的性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形與菱形的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、矩形與菱形的兩組對邊都分別平行，故本選項錯誤;
B、矩形的對角線相等，菱形的對角線不相等，故本選項正確;
C、矩形與菱形的對角線都互相平分，故本選項錯誤;
D、矩形與菱形的兩組對角都分別相等，故本選項錯誤.
故選B.
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記兩圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則 =( )
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】如圖，證明△ADE∽△ABC，得到 ;證明 = ，求出 即可解決問題.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，
故選D.
【點評】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題;解題的關(guān)鍵是牢固掌握相似三角形的判定及其性質(zhì).
5.在函數(shù)y= (k<0)的圖象上有A(1，y1)、B(﹣1，y2)、C(﹣2，y3)三個點，則下列各式中正確的是( )
A.y1
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到1×y1=k，﹣1×y2=k，﹣2×y3=k，然后計算出y1、y2、y3的值再比較大小即可.
【解答】解：∵y= (k<0)的圖象上有A(1，y1)、B(﹣1，y2)、C(﹣2，y3)三個點，
∴1×y1=k，﹣1×y2=k，﹣2×y3=k，
∴y1=k，y2=﹣k，y3=﹣ k，
而k<0，
∴y1
故選C.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.
6.順次連結(jié)對角線相等的四邊形的四邊中點所得圖形是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.以上都不對
【考點】中點四邊形.
【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF= AC，GH= AC，HE= BD，F(xiàn)G= BD，再根據(jù)四邊形的對角線相等可可知AC=BD，從而得到EF=FG=GH=HE，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形即可得解.
【解答】解：如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，
根據(jù)三角形的中位線定理，EF= AC，GH= AC，HE= BD，F(xiàn)G= BD，
連接AC、BD，
∵四邊形ABCD的對角線相等，
∴AC=BD，
所以，EF=FG=GH=HE，
所以，四邊形EFGH是菱形.
故選C.
【點評】本題考查了菱形的判定和三角形的中位線的應(yīng)用，熟記性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：有四條邊都相等的四邊形是菱形.作圖要注意形象直觀.
7.如圖，在菱形ABCD中，AB=3，∠B=60°，則以AC為邊長的正方形ACEF的面積為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考點】菱形的性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=BC，再由∠B=60°可知△ABC是等邊三角形，故可得出AC的長，根據(jù)正方形的面積公式即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AB=3，
∴AB=BC.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=3，
∴S正方形ACEF=9.
故選D.
【點評】本題考查的是菱形的性質(zhì)，熟知有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形是解答此題的關(guān)鍵.
8.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C;直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn).AC與DF相交于點H，且AH=2，HB=1，BC=5，則 的值為( )
A. B.2 C. D.
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)AH=2，HB=1求出AB的長，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 = ，計算得到答案.
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴ = = ，
故選：D.
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握定理的內(nèi)容、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系列出比例式是解題的關(guān)鍵.
9.在同一坐標(biāo)系中(水平方向是x軸)，函數(shù)y= 和y=kx+3的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系作答.
【解答】解：A、由函數(shù)y= 的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象k>0一致，故A選項正確;
B、由函數(shù)y= 的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象k>0，與3>0矛盾，故B選項錯誤;
C、由函數(shù)y= 的圖象可知k<0與y=kx+3的圖象k<0矛盾，故C選項錯誤;
D、由函數(shù)y= 的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象k<0矛盾，故D選項錯誤.
故選：A.
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題.
二、填空題(本大題共9小題，每小題2分，共18分)
10.已知 = ，則 的值為 ﹣ .
【考點】比例的性質(zhì).
【分析】根據(jù)已知設(shè)x=k，y=3k，代入求出即可.
【解答】解：∵ = ，
∴設(shè)x=k，y=3k，
∴ = =﹣ ，
故答案為：﹣ .
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果是解此題的關(guān)鍵，難度不大.
11.寫一個你喜歡的實數(shù)m的值 0 ，使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根.
【考點】根的判別式.
【專題】開放型.
【分析】由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范圍，即可求出m的值.
【解答】解：根據(jù)題意得：△=1﹣4m>0，
解得：m< ，
則m可以為0，答案不唯一.
故答案為：0
【點評】此題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵.
12.如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點.此時，竹竿與這一點距離相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為 7 m.
【考點】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】此題中，竹竿、樹以及經(jīng)過竹竿頂端和樹頂端的太陽光構(gòu)成了一組相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得樹的高度.
【解答】解：如圖;
AD=6m，AB=21m，DE=2m;
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即 ，
解得：BC=7m，
故答案為：7.
【點評】此題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用;解題的關(guān)鍵是找出題中的相似三角形，并建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.
13.一個不透明的盒子中裝有10個黑球和若干個白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從盒子中隨機摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復(fù)上述過程，共試驗400次，其中有240次摸到白球，由此估計盒子中的白球大約有 15 個.
【考點】利用頻率估計概率.
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未知數(shù)列出方程求解.
【解答】解：∵共試驗400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例為 =0.6，
設(shè)盒子中共有白球x個，則 =0.6，
解得：x=15，
故答案為：15.
【點評】本題考查利用頻率估計概率.大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率.關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系.
14.如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為10cm，24cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是 cm.
【考點】菱形的性質(zhì).
【分析】利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出其邊長，進(jìn)而利用菱形的面積求法得出即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∵對角線AC、BD的長分別為10cm，24cm，
∴AO=CO=5cm，BO=DO=12cm，
∴BC=CD=AB=AD=13cm，
∴ AC×BD=BC×AE，
故AE= = (cm).
故答案為： .
【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，得出菱形的邊長是解題關(guān)鍵.
15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點E(﹣4，2)，F(xiàn)(﹣2，﹣2)，以O(shè)為位似中心，按2：1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O，則點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為 (2，﹣1)或(﹣2，1) .
【考點】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】由在直角坐標(biāo)系中，點E(﹣4，2)，F(xiàn)(﹣2，﹣2)，以O(shè)為位似中心，按2：1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O，利用位似圖形的性質(zhì)，即可求得點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo).
【解答】解：∵點E(﹣4，2)，以O(shè)為位似中心，按2：1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O，
∴點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為：(2，﹣1)或(﹣2，1).
故答案為：(2，﹣1)或(﹣2，1).
【點評】此題考查了位似圖形的性質(zhì).此題比較簡單，注意熟記位似圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.
16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l∥x軸，且直線l分別與反比例函數(shù)y= (x>0)和y=﹣ (x<0)的圖象交于點P、Q，連結(jié)PO、QO，則△POQ的面積為 7 .
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM進(jìn)行計算.
【解答】解：如圖，
∵直線l∥x軸，
∴S△OQM= ×|﹣8|=4，S△OPM= ×|6|=3，
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.
故答案為7.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y= 圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
17.現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為60cm，若將短邊增大到與長邊相等(長邊不變)，使擴(kuò)大后的綠地的形狀是正方形，則擴(kuò)大后的綠地面積比原來增加1600m2.設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，可列出方程為 x(x﹣60)=1600(或x2﹣60x=1600) .
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【專題】增長率問題.
【分析】設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，根據(jù)“擴(kuò)大后的綠地面積比原來增加1600m2”建立方程即可.
【解答】解：設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，根據(jù)題意得
x2﹣60x=1600，即x(x﹣60)=1600.
故答案為：x(x﹣60)=1600(或x2﹣60x=1600).
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是弄清題意，利用長方形的面積解決問題.
18.如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為 2.4 .
【考點】矩形的判定與性質(zhì);垂線段最短.
【分析】根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，得EF=AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高.
【解答】解：連接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4，
∴EF的最小值為2.4，
故答案為：2.4.
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，要能夠把要求的線段的最小值轉(zhuǎn)化為便于求的最小值得線段是解此題的關(guān)鍵.
三、(本大題共2小題，每小題6分，共12分)
19.解方程：x2+4x﹣7=6x+5.
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】計算題.
【分析】已知方程整理，利用配方法求出解即可.
【解答】解：方程整理得：x2﹣2x+1=13，即(x﹣1)2=13，
開方得：x﹣1=± ，
解得：x1=1+ ，x2=1﹣ .
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
20.如圖，下列是一個機器零件的毛坯，請將這個機器零件的三視圖補充完整.
【考點】作圖-三視圖.
【分析】利用已知幾何體的形狀進(jìn)而補全幾何體的三視圖.
【解答】解：如圖所示：
【點評】此題主要考查了畫幾何體的三視圖，注意三視圖中實線與虛線.
四、(本大題共2小題，每小題8分，共16分)
21.如圖，身高1.6米的小明從距路燈的底部(點O)20米的點A沿AO方向行走14米到點C處，小明在A處，頭頂B在路燈投影下形成的影子在M處.
(1)已知燈桿垂直于路面，試標(biāo)出路燈P的位置和小明在C處，頭頂D在路燈投影下形成的影子N的位置.
(2)若路燈(點P)距地面8米，小明從A到C時，身影的長度是變長了還是變短了?變長或變短了多少米?
【考點】中心投影.
【分析】(1)連接MB并延長，與過點O作的垂直與路面的直線相交于點P，連接PD并延長交路面于點N，點P、點N即為所求;
(2)利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AM、CN，然后相減即可得解.
【解答】解：(1)如圖
(2)設(shè)在A處時影長AM為x米，在C處時影長CN為y米
由 ，解得x=5，
由 ，解得y=1.5，
∴x﹣y=5﹣1.5=3.5
∴變短了，變短了3.5米.
【點評】本題考查了中心投影以及相似三角形的應(yīng)用，讀懂題目信息，列出兩個影長的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.
22.小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元;如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元.按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1200元.請問她購買了多少件這種服裝?
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，表示出每件服裝的單價，進(jìn)而得出等式方程求出即可.
【解答】解：設(shè)購買了x件這種服裝且多于10件，根據(jù)題意得出：
[80﹣2(x﹣10)]x=1200，
解得：x1=20，x2=30，
當(dāng)x=20時，80﹣2=60元>50元，符合題意;
當(dāng)x=30時，80﹣2(30﹣10)=40元<50元，不合題意，舍去;
答：她購買了20件這種服裝.
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知得出每件服裝的單價是解題關(guān)鍵.
五、(本大題共2小題，每小題共8分，共18分)
23.如圖，有一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被平均分成4個扇形，分別標(biāo)有1、2、3、4四個數(shù)字，小王和小李各轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤為一次游戲.當(dāng)每次轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)干刃蝺?nèi)的數(shù)為各自所得的數(shù)，一次游戲結(jié)束得到一組數(shù)(若指針指在分界線時重轉(zhuǎn)).
(1)請你用樹狀圖或列表的方法表示出每次游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果;
(2)求每次游戲結(jié)束得到的一組數(shù)恰好是方程x2﹣4x+3=0的解的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;一元二次方程的解.
【分析】(1)列表得出所有等可能的情況數(shù)即可;
(2)找出恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的情況數(shù)，求出所求的概率即可.
【解答】解：(1)列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
(2)所有等可能的情況有16種，其中是方程x2﹣4x+3=0的解的有(1，3)，(3，1)共2種，
則P(是方程解)= = .
【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件.
24.我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線 的一部分.請根據(jù)圖中信息解答下列問題：
(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時間有多少小時?
(2)求k的值;
(3)當(dāng)x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為多少度?
【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用;一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)圖象直接得出大棚溫度18℃的時間為12﹣2=10(小時);
(2)利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可;
(3)將x=16代入函數(shù)解析式求出y的值即可.
【解答】解：(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時間為12﹣2=10小時.
(2)∵點B(12，18)在雙曲線y= 上，
∴18= ，
∴解得：k=216.
(3)當(dāng)x=16時，y= =13.5，
所以當(dāng)x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為13.5℃.
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.
六、(本題滿分10分)
25.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE.
(1)求證：CE=AD;
(2)當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;
(3)若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形?請說明你的理由.
【考點】正方形的判定;平行四邊形的判定與性質(zhì);菱形的判定.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可;
(2)求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可;
(3)求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可.
【解答】(1)證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD;
(2)解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=BD，
∴▱四邊形BECD是菱形;
(3)當(dāng)∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D為BA中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即當(dāng)∠A=45°時，四邊形BECD是正方形.
【點評】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力.
七、(本題滿分10分)
26.(1)如圖1，已知正方形ABCD，E是AD上一點，F(xiàn)是BC上一點，G是AB上一點，H是CD上一點，線段EF、GH交于點O，∠EOH=∠C，求證：EF=GH;
(2)如圖2，若將正方形ABCD改為矩形ABCD，且AD=mAB，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】探究型.
【分析】(1)如圖1，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF和GN交于R，GN和MF交于Q，利用正方形的性質(zhì)得FM=GN=AB=DA，且GN⊥FM，再利用等角的余角相等得到∠OGR=∠OFM，于是可根據(jù)“AAS”判定△GNH≌△FME，所以EF=GH;
(2)如圖2，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF、GN交于R，GN、MF交于Q，利用矩形的性質(zhì)得GN=AD，F(xiàn)M=AB，且GN⊥FM，與(1)一樣可得到∠OGR=∠OFM，加上∠GNH=∠FME=90°，則可判斷△GNH∽△FME，利用相似三角形的性質(zhì)得 = = ，而AD=mAB，所以GH=mEF.
【解答】(1)證明：如圖1，
過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF和GN交于R，GN和MF交于Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴FM=GN=AB=DA，且GN⊥FM，
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°，
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM，
在△GNH和△FME中
∴△GNH≌△FME，
∴EF=GH;
(2)解：GH=mEF.理由如下：
如圖2，
過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF、GN交于R，GN、MF交于Q，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴GN=AD，F(xiàn)M=AB，且GN⊥FM
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM，
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME，
∴ = = =m，
∴GH=mEF.
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形;在運用相似三角形的性質(zhì)時，主要通過相似比得到線段之間的關(guān)系.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì).
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遼寧省九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷
