天水市九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
天水市九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
九年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要相互促進(jìn),相互競(jìng)爭(zhēng),在競(jìng)爭(zhēng)中不斷學(xué)習(xí),才能提升自己。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于天水市九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷,希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
天水市九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷:
一、選擇題(每小題4分,共40分)
1.下列二次根式中,最簡(jiǎn)二次根式是( )
【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式.
【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法,就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足,同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式,否則就不是.
【解答】解:A、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故A錯(cuò)誤;
B、被開方數(shù)不含分母;被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式,故B正確;
C、被開方數(shù)含分母,故C錯(cuò)誤;
D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故D錯(cuò)誤;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義,最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件:被開方數(shù)不含分母;被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.
2.關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實(shí)數(shù)解,則k的取值范圍是( )
A.k≥4 B.k≤4 C.k>4 D.k=4
【考點(diǎn)】根的判別式;解一元一次不等式.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)方程解的情況和根的判別式得到b2﹣4ac≥0,求出即可.
【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實(shí)數(shù)解,
∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0,
解得:k≤4,
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)根的判別式,解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能熟練地運(yùn)用根的判別式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.
3.下列四條線段中,不能成比例的是( )
A.a=3,b=6,c=2,d=4 B.a=1,b= ,c= ,d=
C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=2,b= ,c= ,d=2
【考點(diǎn)】比例線段.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】若a,b,c,d成比例,即有a:b=c:d.只要代入驗(yàn)證即可.
【解答】解:A、3:6=2:4,則a:b=c:d,即a,b,c,d成比例;
B、1: = : ,則a:b=d:c.故a,b,d,c成比例;
C、四條線段中,任意兩條的比都不相等,因而不成比例;
D、 :2= :2 ,即b:a=c:d,故b,a,c,d成比例.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了成比例的定義,并且注意敘述線段成比例時(shí),各個(gè)線段的順序,難度適中.
4.下列各種圖形中,有可能不相似的是( )
A.有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形
B.有一個(gè)角是60°的兩個(gè)等腰三角形
C.有一個(gè)角是110°的兩個(gè)等腰三角形
D.兩個(gè)等腰直角三角形
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】分別利用等腰三角形的判定方法,結(jié)合內(nèi)角度數(shù)以及等腰三角形的性質(zhì)判斷即可.
【解答】解:A、各有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形,有可能是一個(gè)為頂角,另一個(gè)為底角,此時(shí)不相似,故此選項(xiàng)符合題意;
B、各有一個(gè)角是60°的兩個(gè)等腰三角形是等邊三角形,兩個(gè)等邊三角形相似,故此選項(xiàng)不合題意;
C、各有一個(gè)角是110°的兩個(gè)等腰三角形,此角必為頂角,則底角都為35°,則這兩個(gè)三角形必相似,故此選項(xiàng)不合題意;
D、兩個(gè)等腰直角三角形,兩角對(duì)應(yīng)相等,此三角形必相似,故此選項(xiàng)不合題意;
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定:
?、儆袃蓚€(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似;
?、谟袃蓚€(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等,且其夾角相等,則兩個(gè)三角形相似;
③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,則兩個(gè)三角形相似.
5.順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是( )
A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形.
【分析】順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形,一組對(duì)邊平行并且等于原來(lái)四邊形某一對(duì)角線的一半,說(shuō)明新四邊形的對(duì)邊平行且相等.所以是平行四邊形.
【解答】解:證明:如圖,連接AC,
∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點(diǎn),
∴HG∥AC,HG= AC,EF∥AC,EF= AC;
∴EF=HG且EF∥HG;
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判斷及三角形的中位線定理的應(yīng)用,三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.
6.下列事件中為必然事件的是( )
A.從一定高度落下的圖釘落地后頂尖朝上
B.打開數(shù)學(xué)課本時(shí)剛好翻到第60頁(yè)
C.早晨太陽(yáng)一定從東方升起
D.今年14歲的小明一定是初中學(xué)生
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件,根據(jù)定義即可判斷.
【解答】解:A、從一定高度落下的圖釘落地后頂尖朝上是隨機(jī)事件,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、打開數(shù)學(xué)課本時(shí)剛好翻到第60頁(yè)是隨機(jī)事件,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、早晨太陽(yáng)一定從東方升起是必然事件,選項(xiàng)正確;
D、今年14歲的小明一定是初中學(xué)生是隨機(jī)事假,選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了必然事件的定義,解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
7.如圖,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則圖中三角形與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,根據(jù)已知可求出△ABC三邊的長(zhǎng),同理可求出陰影部分的各邊長(zhǎng),從而根據(jù)相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例即可得到答案.
【解答】解:∵小正方形的邊長(zhǎng)均為1
∴△ABC三邊分別為2, ,
同理:A中各邊的長(zhǎng)分別為: ,3, ;
B中各邊長(zhǎng)分別為: ,1, ;
C中各邊長(zhǎng)分別為:1、2 , ;
D中各邊長(zhǎng)分別為:2, , ;
∵只有B項(xiàng)中的三邊與已知三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例,且相似比為
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定方法的理解及運(yùn)用.
8.如圖,某游樂場(chǎng)一山頂滑梯的高為h,滑梯的坡角為α,那么滑梯長(zhǎng)l為( )
A. B. C. D.h•sinα
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】由已知轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題,角α的正弦等于對(duì)邊比斜邊求出滑梯長(zhǎng)l.
【解答】解:由已知得:sinα= ,
∴l= ,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度較問題,關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.
9.如圖,△ABC中,cosB= ,sinC= ,AC=5,則△ABC的面積是( )
A. B.12 C.14 D.21
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】根據(jù)已知作出三角形的高線AD,進(jìn)而得出AD,BD,CD,的長(zhǎng),即可得出三角形的面積.
【解答】解:過點(diǎn)A作AD⊥BC,
∵△ABC中,cosB= ,sinC= ,AC=5,
∴cosB= = ,
∴∠B=45°,
∵sinC= = = ,
∴AD=3,
∴CD= =4,
∴BD=3,
則△ABC的面積是: ×AD×BC= ×3×(3+4)= .
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的知識(shí),作出AD⊥BC,進(jìn)而得出相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解決問題的關(guān)鍵.
10.如圖,在△ABC中,DF∥EG∥BC,且AD=DE=EB,△ABC被DF、EG分成三部分,且三部分面積分別為S1,S2,S3,則Sl:S2:S3=( )
A.1;1:1 B.1:2:3 C.1:3:5 D.1:4:9
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】先判斷出△ADF∽△AEG∽△ABC,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可.
【解答】解:∵DF∥EG∥BC,
∴△ADF∽△AEG∽△ABC,
又∵AD=DE=EB,
∴三個(gè)三角形的相似比是1:2:3,
∴面積的比是1:4:9,
設(shè)△ADF的面積是a,則△AEG與△ABC的面積分別是4a,9a,
∴S2=3a,S3=5a,則Sl:S2:S3=1:3:5.故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題比較容易,考查相似三角形的性質(zhì).利用相似三角形的性質(zhì)時(shí),要注意相似比的順序,同時(shí)也不能忽視面積比與相似比的關(guān)系.相似比是聯(lián)系周長(zhǎng)、面積、對(duì)應(yīng)線段等的媒介,也是相似三角形計(jì)算中常用的一個(gè)比值.
二、填空題(每題4分,共32分)
11.某一時(shí)刻一根4米的旗桿的影長(zhǎng)為6米,同一時(shí)刻同一地點(diǎn),有一名學(xué)生的身高為1.6米,則他的影子長(zhǎng)為 2.4m .
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】要求出他的影子長(zhǎng),利用在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)的比值相同解題.
【解答】解:設(shè)他的影子長(zhǎng)為x,根據(jù)在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)的比值相同得:
= ,
解得:x=2.4,
故他的影子長(zhǎng)為2.4米,
故答案為:2.4m.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是了解在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)的比值相同.
12.若 = ,則 = .
【考點(diǎn)】代數(shù)式求值.
【專題】計(jì)算題.
【分析】對(duì)已知式子分析可知,原式可根據(jù)比例合比性質(zhì)可直接得出比例式的值.
【解答】解:根據(jù) = 得3a=5b,則 = .故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了靈活利用比例的合比性質(zhì)的能力.
13.如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).△ABC的頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上,則cosA= .
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)勾股定理,可得AC的長(zhǎng),根據(jù)鄰邊比斜邊,可得角的余弦值.
【解答】解:如圖 ,
由勾股定理得AC=2 ,AD=4,
cosA= ,
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,角的余弦是角鄰邊比斜邊.
14.點(diǎn)D、E、F分別為△ABC三邊的中點(diǎn),且S△DEF=2,則△ABC的面積為 8 .
【考點(diǎn)】三角形中位線定理.
【分析】根據(jù)中位線定理可證△DEF∽△CBA,相似比為 ,所以S△BAC=4S△DEF=4×2=8.
【解答】解:∵D,E,F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn),
∴DE= BC,EF= AB,DF= AC,
∴△DEF∽△CBA,相似比為 ,
∴S△DEF:S△BAC=1:4,
即S△BAC=4S△DEF=4×2=8.
故答案是:8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理及相似三角形的性質(zhì).相似三角形的面積之比等于相似比的平方.
15.課間操時(shí)小華、小軍、小剛的位置如圖所示,小華對(duì)小剛說(shuō),如果我的位置用(0,0)表示,小軍的位置用(2,1)表示,那么小剛的位置可以用坐標(biāo)表示成 (4,3) .
【考點(diǎn)】坐標(biāo)確定位置.
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】以小華的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,然后寫出小剛所在位置的坐標(biāo)即可.
【解答】解:如圖,小剛的位置可以用坐標(biāo)表示成(4,3).
故答案為(4,3).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)確定位置:平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng);記住平面內(nèi)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
16.一筐蘋果分成兩堆,其中一堆蘋果數(shù)是總數(shù)的八分之一的平方,另一堆蘋果數(shù)為12,則這兩堆蘋果總數(shù)為 16或48 .
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)這兩堆蘋果總數(shù)為x,則其中一堆蘋果數(shù)是( x)2,根據(jù)兩堆之和為x列出方程并解答.
【解答】解:設(shè)這兩堆蘋果總數(shù)為x,則
( x)2+12=x,
整理,得x2﹣64x+768=0,
解得x1=16,x2=48.
故答案是:16或48.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解.
17.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,則CD= 2 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】首先證△ACD∽△CBD,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CD的長(zhǎng).
【解答】解:Rt△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB;
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A;
又∵∠ADC=∠CDB=90°,
∴△ACD∽△CBD;
∴CD2=AD•BD=4,即CD=2.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì).
18.將一副三角尺如圖所示疊放在一起,則 的值是 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由∠BAC=∠ACD=90°,可得AB∥CD,即可證得△ABE∽△DCE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,可得: ,然后利用三角函數(shù),用AC表示出AB與CD,即可求得答案.
【解答】解:∵∠BAC=∠ACD=90°,
∴AB∥CD,
∴△ABE∽△DCE,
∴ ,
∵在Rt△ACB中∠B=45°,
∴AB=AC,
∵在Rt△ACD中,∠D=30°,
∴CD= = AC,
∴ = = .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
三、解答題
19.計(jì)算
(1)
(2)2cos30°+sin60°+2tan45°•tan60°.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計(jì)算題;實(shí)數(shù).
【分析】(1)原式第一項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式,第二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算,第三項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算,最后一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn),計(jì)算即可得到結(jié)果;
(2)原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解:(1)原式=3 ﹣3× +4﹣2+ =3 +2;
(2)原式=2× + +2×1× =3 + = .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
20.解方程
(1)9(x﹣2)2=4(x+1)2
(2) .
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)利用直接開平方法解方程即可;
(2)先移項(xiàng),使方程的右邊化為零,再將方程左邊分解因式后,利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解.
【解答】解:(1)9(x﹣2)2=4(x+1)2,
[3(x﹣2)]2=[2(x+1)]2,
直接開平方,得
3(x﹣2)=2(x+1),或3(x﹣2)=﹣2(x+1),
解得,x1=8,x2= ;
(2) ,
移項(xiàng)得, x2﹣x﹣2 =0,
分解因式得,(x﹣ )( x+2)=0,
x﹣ =0,或 x+2=0,
解得,x1= ,x2=﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
21.雅安地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心,某單位開展了“一方有難,八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng).第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同,求捐款增長(zhǎng)率;
(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)率速度,第四天該單位能收到多少捐款?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】增長(zhǎng)率問題.
【分析】(1)解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是:第一天收到捐款錢數(shù)×(1+每次增長(zhǎng)的百分率)2=第三天收到捐款錢數(shù),設(shè)出未知數(shù),列方程解答即可;
(2)第三天收到捐款錢數(shù)×(1+每次增長(zhǎng)的百分率)=第四天收到捐款錢數(shù),依此列式子解答即可.
【解答】解:(1)設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列方程得,
10000×(1+x)2=12100,
解得x1=0.1,x2=﹣2.1(不合題意,舍去);
答:捐款增長(zhǎng)率為10%.
(2)12100×(1+10%)=13310元.
答:第四天該單位能收到13310元捐款.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,列方程的依據(jù)是:第一天收到捐款錢數(shù)×(1+每次降價(jià)的百分率)2=第三天收到捐款錢數(shù).
22.已知:關(guān)于x的方程2x2+kx﹣1=0.
(1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的一個(gè)根是﹣1,求另一個(gè)根及k值.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;根與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】計(jì)算題;證明題.
【分析】若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則應(yīng)有△=b2﹣4ac>0,故計(jì)算方程的根的判別式即可證明方程根的情況,第二小題可以直接代入x=﹣1,求得k的值后,解方程即可求得另一個(gè)根.
【解答】證明:(1)∵a=2,b=k,c=﹣1
∴△=k2﹣4×2×(﹣1)=k2+8,
∵無(wú)論k取何值,k2≥0,
∴k2+8>0,即△>0,
∴方程2x2+kx﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
解:(2)把x=﹣1代入原方程得,2﹣k﹣1=0
∴k=1
∴原方程化為2x2+x﹣1=0,
解得:x1=﹣1,x2= ,即另一個(gè)根為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合考查,一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:
(1)△>0⇔方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實(shí)數(shù)根.
并且本題考查了一元二次方程的解的定義,已知方程的一個(gè)根求方程的另一根與未知系數(shù)是常見的題型.
23.一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、黃、綠三種顏色的球(除顏色不同外其余都相同),其中紅球有2個(gè),黃球有1個(gè),從中任意捧出1球是紅球的概率為 .
(1)試求袋中綠球的個(gè)數(shù);
(2)第1次從袋中任意摸出1球(不放回),第2次再任意摸出1球,請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表格的方法,求兩次都摸到紅球的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法;概率公式.
【分析】(1)此題的求解方法是:借助于方程求解;
(2)此題需要兩步完成,所以采用樹狀圖或者列表法都比較簡(jiǎn)單.
【解答】解:(1)設(shè)綠球的個(gè)數(shù)為x.由題意,得 =
解得x=1,經(jīng)檢驗(yàn)x=1是所列方程的根,所以綠球有1個(gè);
(2)根據(jù)題意,畫樹狀圖:
由圖知共有12種等可能的結(jié)果,
即(紅1,紅2),(紅1,黃),(紅1,綠),(紅2,紅1),(紅2,黃),(紅2,綠),(黃,紅1),(黃,紅2),(黃,綠),(綠,紅1),(綠,紅2),(綠,黃),其中兩次都摸到紅球的結(jié)果有兩種(紅,紅),(紅,紅).
∴P(兩次都摸到紅球)= = ;
或根據(jù)題意,畫表格:
第1次
第2次 紅1 紅2 黃 綠
紅1 (紅2,紅1) (黃,紅1) (綠,紅1)
紅2 (紅1,紅2) (黃,紅2) (綠,紅2)
黃 (紅1,黃) (紅2,黃) (綠,黃)
綠 (紅1,綠) (紅2,綠) (黃,綠)
由表格知共有12種等可能的結(jié)果,其中兩次都摸到紅球的結(jié)果有兩種,
∴P(兩次都摸到紅球)= = .
【點(diǎn)評(píng)】列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適用于兩步或兩部以上完成的事件.解題時(shí)還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
24.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,P是對(duì)角線BD的中點(diǎn),M是DC的中點(diǎn),N是AB的中點(diǎn).求證:∠PMN=∠PNM.
【考點(diǎn)】三角形中位線定理.
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PM= BC,PN= AD,然后求出PM=PN,再根據(jù)等邊對(duì)等角證明即可.
【解答】證明:∵P是對(duì)角線BD的中點(diǎn),M是DC的中點(diǎn),N是AB的中點(diǎn),
∴PM、PN分別是△BCD和△ABD的中位線,
∴PM= BC,PN= AD,
∵AD=BC,
∴PM=PN,
∴∠PMN=∠PNM.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半,等邊對(duì)等角的性質(zhì),熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
25.如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測(cè)量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他們先在A處測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為45°,再沿著BA的方向后退20m至C處,測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為30°.求該古塔BD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中,分別解直角三角形,用BD表示AB和BC,然后根據(jù)BC﹣AB=20m,可求得塔BD的高度.
【解答】解:根據(jù)題意可知:∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20m.
在Rt△ABD中,
∵∠BAD=∠BDA=45°,
∴AB=BD.
在Rt△BDC中,
∵tan∠BCD= ,
∴ = ,
則BC= BD,
又∵BC﹣AB=AC,
∴ BD﹣BD=20,
解得:BD= =10 +10(m).
答:古塔BD的高度為( )m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是利用仰角建立直角三角形,利用解直角三角形的知識(shí)分別用BD表示出AB、BC的長(zhǎng)度.
26.如圖,在平行四邊形ABCD中,過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn),且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求AE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;平行四邊形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】(1)利用對(duì)應(yīng)兩角相等,證明兩個(gè)三角形相似△ADF∽△DEC;
(2)利用△ADF∽△DEC,可以求出線段DE的長(zhǎng)度;然后在Rt△ADE中,利用勾股定理求出線段AE的長(zhǎng)度.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.
在△ADF與△DEC中,
∴△ADF∽△DEC.
(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC,
∴ ,∴DE= = =12.
在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE= = =6.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個(gè)知識(shí)點(diǎn).題目難度不大,注意仔細(xì)分析題意,認(rèn)真計(jì)算,避免出錯(cuò).
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