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天水市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷

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天水市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷

  九年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要相互促進,相互競爭,在競爭中不斷學(xué)習(xí),才能提升自己。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于天水市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷,希望會給大家?guī)韼椭?/p>

  天水市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷:

  一、選擇題(每小題4分,共40分)

  1.下列二次根式中,最簡二次根式是(  )

  【考點】最簡二次根式.

  【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法,就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足,同時滿足的就是最簡二次根式,否則就不是.

  【解答】解:A、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故A錯誤;

  B、被開方數(shù)不含分母;被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式,故B正確;

  C、被開方數(shù)含分母,故C錯誤;

  D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故D錯誤;

  故選:B.

  【點評】本題考查最簡二次根式的定義.根據(jù)最簡二次根式的定義,最簡二次根式必須滿足兩個條件:被開方數(shù)不含分母;被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

  2.關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實數(shù)解,則k的取值范圍是(  )

  A.k≥4 B.k≤4 C.k>4 D.k=4

  【考點】根的判別式;解一元一次不等式.

  【專題】計算題.

  【分析】根據(jù)方程解的情況和根的判別式得到b2﹣4ac≥0,求出即可.

  【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實數(shù)解,

  ∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0,

  解得:k≤4,

  故選B.

  【點評】本題主要考查對根的判別式,解一元一次不等式等知識點的理解和掌握,能熟練地運用根的判別式進行計算是解此題的關(guān)鍵.

  3.下列四條線段中,不能成比例的是(  )

  A.a=3,b=6,c=2,d=4 B.a=1,b= ,c= ,d=

  C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=2,b= ,c= ,d=2

  【考點】比例線段.

  【專題】應(yīng)用題.

  【分析】若a,b,c,d成比例,即有a:b=c:d.只要代入驗證即可.

  【解答】解:A、3:6=2:4,則a:b=c:d,即a,b,c,d成比例;

  B、1: = : ,則a:b=d:c.故a,b,d,c成比例;

  C、四條線段中,任意兩條的比都不相等,因而不成比例;

  D、 :2= :2 ,即b:a=c:d,故b,a,c,d成比例.

  故選C.

  【點評】本題主要考查了成比例的定義,并且注意敘述線段成比例時,各個線段的順序,難度適中.

  4.下列各種圖形中,有可能不相似的是(  )

  A.有一個角是45°的兩個等腰三角形

  B.有一個角是60°的兩個等腰三角形

  C.有一個角是110°的兩個等腰三角形

  D.兩個等腰直角三角形

  【考點】相似三角形的判定.

  【分析】分別利用等腰三角形的判定方法,結(jié)合內(nèi)角度數(shù)以及等腰三角形的性質(zhì)判斷即可.

  【解答】解:A、各有一個角是45°的兩個等腰三角形,有可能是一個為頂角,另一個為底角,此時不相似,故此選項符合題意;

  B、各有一個角是60°的兩個等腰三角形是等邊三角形,兩個等邊三角形相似,故此選項不合題意;

  C、各有一個角是110°的兩個等腰三角形,此角必為頂角,則底角都為35°,則這兩個三角形必相似,故此選項不合題意;

  D、兩個等腰直角三角形,兩角對應(yīng)相等,此三角形必相似,故此選項不合題意;

  故選:A.

  【點評】此題考查了相似三角形的判定:

 ?、儆袃蓚€對應(yīng)角相等的三角形相似;

 ?、谟袃蓚€對應(yīng)邊的比相等,且其夾角相等,則兩個三角形相似;

 ?、廴M對應(yīng)邊的比相等,則兩個三角形相似.

  5.順次連結(jié)任意四邊形各邊中點所得到的四邊形一定是(  )

  A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

  【考點】中點四邊形.

  【分析】順次連接任意四邊形四邊中點所得的四邊形,一組對邊平行并且等于原來四邊形某一對角線的一半,說明新四邊形的對邊平行且相等.所以是平行四邊形.

  【解答】解:證明:如圖,連接AC,

  ∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點,

  ∴HG∥AC,HG= AC,EF∥AC,EF= AC;

  ∴EF=HG且EF∥HG;

  ∴四邊形EFGH是平行四邊形.

  故選A.

  【點評】本題考查了平行四邊形的判斷及三角形的中位線定理的應(yīng)用,三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.

  6.下列事件中為必然事件的是(  )

  A.從一定高度落下的圖釘落地后頂尖朝上

  B.打開數(shù)學(xué)課本時剛好翻到第60頁

  C.早晨太陽一定從東方升起

  D.今年14歲的小明一定是初中學(xué)生

  【考點】隨機事件.

  【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件,根據(jù)定義即可判斷.

  【解答】解:A、從一定高度落下的圖釘落地后頂尖朝上是隨機事件,故選項錯誤;

  B、打開數(shù)學(xué)課本時剛好翻到第60頁是隨機事件,故選項錯誤;

  C、早晨太陽一定從東方升起是必然事件,選項正確;

  D、今年14歲的小明一定是初中學(xué)生是隨機事假,選項錯誤.

  故選C.

  【點評】本題考查了必然事件的定義,解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

  7.如圖,小正方形的邊長均為1,則圖中三角形與△ABC相似的是(  )

  A. B. C. D.

  【考點】相似三角形的判定.

  【專題】網(wǎng)格型.

  【分析】設(shè)小正方形的邊長為1,根據(jù)已知可求出△ABC三邊的長,同理可求出陰影部分的各邊長,從而根據(jù)相似三角形的三邊對應(yīng)成比例即可得到答案.

  【解答】解:∵小正方形的邊長均為1

  ∴△ABC三邊分別為2, ,

  同理:A中各邊的長分別為: ,3, ;

  B中各邊長分別為: ,1, ;

  C中各邊長分別為:1、2 , ;

  D中各邊長分別為:2, , ;

  ∵只有B項中的三邊與已知三角形的三邊對應(yīng)成比例,且相似比為

  故選B.

  【點評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定方法的理解及運用.

  8.如圖,某游樂場一山頂滑梯的高為h,滑梯的坡角為α,那么滑梯長l為(  )

  A. B. C. D.h•sinα

  【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

  【專題】幾何圖形問題.

  【分析】由已知轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題,角α的正弦等于對邊比斜邊求出滑梯長l.

  【解答】解:由已知得:sinα= ,

  ∴l= ,

  故選:A.

  【點評】此題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度較問題,關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.

  9.如圖,△ABC中,cosB= ,sinC= ,AC=5,則△ABC的面積是(  )

  A. B.12 C.14 D.21

  【考點】解直角三角形.

  【分析】根據(jù)已知作出三角形的高線AD,進而得出AD,BD,CD,的長,即可得出三角形的面積.

  【解答】解:過點A作AD⊥BC,

  ∵△ABC中,cosB= ,sinC= ,AC=5,

  ∴cosB= = ,

  ∴∠B=45°,

  ∵sinC= = = ,

  ∴AD=3,

  ∴CD= =4,

  ∴BD=3,

  則△ABC的面積是: ×AD×BC= ×3×(3+4)= .

  故選A.

  【點評】此題主要考查了解直角三角形的知識,作出AD⊥BC,進而得出相關(guān)線段的長度是解決問題的關(guān)鍵.

  10.如圖,在△ABC中,DF∥EG∥BC,且AD=DE=EB,△ABC被DF、EG分成三部分,且三部分面積分別為S1,S2,S3,則Sl:S2:S3=(  )

  A.1;1:1 B.1:2:3 C.1:3:5 D.1:4:9

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】壓軸題.

  【分析】先判斷出△ADF∽△AEG∽△ABC,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可.

  【解答】解:∵DF∥EG∥BC,

  ∴△ADF∽△AEG∽△ABC,

  又∵AD=DE=EB,

  ∴三個三角形的相似比是1:2:3,

  ∴面積的比是1:4:9,

  設(shè)△ADF的面積是a,則△AEG與△ABC的面積分別是4a,9a,

  ∴S2=3a,S3=5a,則Sl:S2:S3=1:3:5.故選C.

  【點評】本題比較容易,考查相似三角形的性質(zhì).利用相似三角形的性質(zhì)時,要注意相似比的順序,同時也不能忽視面積比與相似比的關(guān)系.相似比是聯(lián)系周長、面積、對應(yīng)線段等的媒介,也是相似三角形計算中常用的一個比值.

  二、填空題(每題4分,共32分)

  11.某一時刻一根4米的旗桿的影長為6米,同一時刻同一地點,有一名學(xué)生的身高為1.6米,則他的影子長為 2.4m .

  【考點】相似三角形的應(yīng)用.

  【分析】要求出他的影子長,利用在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同解題.

  【解答】解:設(shè)他的影子長為x,根據(jù)在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同得:

  = ,

  解得:x=2.4,

  故他的影子長為2.4米,

  故答案為:2.4m.

  【點評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是了解在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同.

  12.若 = ,則 =   .

  【考點】代數(shù)式求值.

  【專題】計算題.

  【分析】對已知式子分析可知,原式可根據(jù)比例合比性質(zhì)可直接得出比例式的值.

  【解答】解:根據(jù) = 得3a=5b,則 = .故答案為: .

  【點評】主要考查了靈活利用比例的合比性質(zhì)的能力.

  13.如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點叫格點.△ABC的頂點都在方格的格點上,則cosA=   .

  【考點】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.

  【專題】網(wǎng)格型.

  【分析】根據(jù)勾股定理,可得AC的長,根據(jù)鄰邊比斜邊,可得角的余弦值.

  【解答】解:如圖 ,

  由勾股定理得AC=2 ,AD=4,

  cosA= ,

  故答案為: .

  【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,角的余弦是角鄰邊比斜邊.

  14.點D、E、F分別為△ABC三邊的中點,且S△DEF=2,則△ABC的面積為 8 .

  【考點】三角形中位線定理.

  【分析】根據(jù)中位線定理可證△DEF∽△CBA,相似比為 ,所以S△BAC=4S△DEF=4×2=8.

  【解答】解:∵D,E,F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點,

  ∴DE= BC,EF= AB,DF= AC,

  ∴△DEF∽△CBA,相似比為 ,

  ∴S△DEF:S△BAC=1:4,

  即S△BAC=4S△DEF=4×2=8.

  故答案是:8.

  【點評】本題考查的是三角形中位線定理及相似三角形的性質(zhì).相似三角形的面積之比等于相似比的平方.

  15.課間操時小華、小軍、小剛的位置如圖所示,小華對小剛說,如果我的位置用(0,0)表示,小軍的位置用(2,1)表示,那么小剛的位置可以用坐標表示成 (4,3) .

  【考點】坐標確定位置.

  【專題】數(shù)形結(jié)合.

  【分析】以小華的位置為坐標原點建立直角坐標系,然后寫出小剛所在位置的坐標即可.

  【解答】解:如圖,小剛的位置可以用坐標表示成(4,3).

  故答案為(4,3).

  【點評】本題考查了坐標確定位置:平面坐標系中的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng);記住平面內(nèi)特殊位置的點的坐標特征.

  16.一筐蘋果分成兩堆,其中一堆蘋果數(shù)是總數(shù)的八分之一的平方,另一堆蘋果數(shù)為12,則這兩堆蘋果總數(shù)為 16或48 .

  【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

  【分析】設(shè)這兩堆蘋果總數(shù)為x,則其中一堆蘋果數(shù)是( x)2,根據(jù)兩堆之和為x列出方程并解答.

  【解答】解:設(shè)這兩堆蘋果總數(shù)為x,則

  ( x)2+12=x,

  整理,得x2﹣64x+768=0,

  解得x1=16,x2=48.

  故答案是:16或48.

  【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解.

  17.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,則CD= 2 .

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

  【分析】首先證△ACD∽△CBD,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出CD的長.

  【解答】解:Rt△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB;

  ∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A;

  又∵∠ADC=∠CDB=90°,

  ∴△ACD∽△CBD;

  ∴CD2=AD•BD=4,即CD=2.

  【點評】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì).

  18.將一副三角尺如圖所示疊放在一起,則 的值是   .

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

  【分析】由∠BAC=∠ACD=90°,可得AB∥CD,即可證得△ABE∽△DCE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,可得: ,然后利用三角函數(shù),用AC表示出AB與CD,即可求得答案.

  【解答】解:∵∠BAC=∠ACD=90°,

  ∴AB∥CD,

  ∴△ABE∽△DCE,

  ∴ ,

  ∵在Rt△ACB中∠B=45°,

  ∴AB=AC,

  ∵在Rt△ACD中,∠D=30°,

  ∴CD= = AC,

  ∴ = = .

  故答案為: .

  【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

  三、解答題

  19.計算

  (1)

  (2)2cos30°+sin60°+2tan45°•tan60°.

  【考點】實數(shù)的運算;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.

  【專題】計算題;實數(shù).

  【分析】(1)原式第一項化為最簡二次根式,第二項利用特殊角的三角函數(shù)值計算,第三項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算,最后一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡,計算即可得到結(jié)果;

  (2)原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果.

  【解答】解:(1)原式=3 ﹣3× +4﹣2+ =3 +2;

  (2)原式=2× + +2×1× =3 + = .

  【點評】此題考查了實數(shù)的運算,熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

  20.解方程

  (1)9(x﹣2)2=4(x+1)2

  (2) .

  【考點】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】(1)利用直接開平方法解方程即可;

  (2)先移項,使方程的右邊化為零,再將方程左邊分解因式后,利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解.

  【解答】解:(1)9(x﹣2)2=4(x+1)2,

  [3(x﹣2)]2=[2(x+1)]2,

  直接開平方,得

  3(x﹣2)=2(x+1),或3(x﹣2)=﹣2(x+1),

  解得,x1=8,x2= ;

  (2) ,

  移項得, x2﹣x﹣2 =0,

  分解因式得,(x﹣ )( x+2)=0,

  x﹣ =0,或 x+2=0,

  解得,x1= ,x2=﹣ .

  【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

  21.雅安地震牽動著全國人民的心,某單位開展了“一方有難,八方支援”賑災(zāi)捐款活動.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.

  (1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同,求捐款增長率;

  (2)按照(1)中收到捐款的增長率速度,第四天該單位能收到多少捐款?

  【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

  【專題】增長率問題.

  【分析】(1)解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是:第一天收到捐款錢數(shù)×(1+每次增長的百分率)2=第三天收到捐款錢數(shù),設(shè)出未知數(shù),列方程解答即可;

  (2)第三天收到捐款錢數(shù)×(1+每次增長的百分率)=第四天收到捐款錢數(shù),依此列式子解答即可.

  【解答】解:(1)設(shè)捐款增長率為x,根據(jù)題意列方程得,

  10000×(1+x)2=12100,

  解得x1=0.1,x2=﹣2.1(不合題意,舍去);

  答:捐款增長率為10%.

  (2)12100×(1+10%)=13310元.

  答:第四天該單位能收到13310元捐款.

  【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,列方程的依據(jù)是:第一天收到捐款錢數(shù)×(1+每次降價的百分率)2=第三天收到捐款錢數(shù).

  22.已知:關(guān)于x的方程2x2+kx﹣1=0.

  (1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;

  (2)若方程的一個根是﹣1,求另一個根及k值.

  【考點】解一元二次方程-因式分解法;根與系數(shù)的關(guān)系.

  【專題】計算題;證明題.

  【分析】若方程有兩個不相等的實數(shù)根,則應(yīng)有△=b2﹣4ac>0,故計算方程的根的判別式即可證明方程根的情況,第二小題可以直接代入x=﹣1,求得k的值后,解方程即可求得另一個根.

  【解答】證明:(1)∵a=2,b=k,c=﹣1

  ∴△=k2﹣4×2×(﹣1)=k2+8,

  ∵無論k取何值,k2≥0,

  ∴k2+8>0,即△>0,

  ∴方程2x2+kx﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根.

  解:(2)把x=﹣1代入原方程得,2﹣k﹣1=0

  ∴k=1

  ∴原方程化為2x2+x﹣1=0,

  解得:x1=﹣1,x2= ,即另一個根為 .

  【點評】本題是對根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合考查,一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:

  (1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;

  (2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;

  (3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.

  并且本題考查了一元二次方程的解的定義,已知方程的一個根求方程的另一根與未知系數(shù)是常見的題型.

  23.一個不透明的口袋里裝有紅、黃、綠三種顏色的球(除顏色不同外其余都相同),其中紅球有2個,黃球有1個,從中任意捧出1球是紅球的概率為 .

  (1)試求袋中綠球的個數(shù);

  (2)第1次從袋中任意摸出1球(不放回),第2次再任意摸出1球,請你用畫樹狀圖或列表格的方法,求兩次都摸到紅球的概率.

  【考點】列表法與樹狀圖法;概率公式.

  【分析】(1)此題的求解方法是:借助于方程求解;

  (2)此題需要兩步完成,所以采用樹狀圖或者列表法都比較簡單.

  【解答】解:(1)設(shè)綠球的個數(shù)為x.由題意,得 =

  解得x=1,經(jīng)檢驗x=1是所列方程的根,所以綠球有1個;

  (2)根據(jù)題意,畫樹狀圖:

  由圖知共有12種等可能的結(jié)果,

  即(紅1,紅2),(紅1,黃),(紅1,綠),(紅2,紅1),(紅2,黃),(紅2,綠),(黃,紅1),(黃,紅2),(黃,綠),(綠,紅1),(綠,紅2),(綠,黃),其中兩次都摸到紅球的結(jié)果有兩種(紅,紅),(紅,紅).

  ∴P(兩次都摸到紅球)= = ;

  或根據(jù)題意,畫表格:

  第1次

  第2次 紅1 紅2 黃 綠

  紅1 (紅2,紅1) (黃,紅1) (綠,紅1)

  紅2 (紅1,紅2) (黃,紅2) (綠,紅2)

  黃 (紅1,黃) (紅2,黃) (綠,黃)

  綠 (紅1,綠) (紅2,綠) (黃,綠)

  由表格知共有12種等可能的結(jié)果,其中兩次都摸到紅球的結(jié)果有兩種,

  ∴P(兩次都摸到紅球)= = .

  【點評】列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適用于兩步或兩部以上完成的事件.解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

  24.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,P是對角線BD的中點,M是DC的中點,N是AB的中點.求證:∠PMN=∠PNM.

  【考點】三角形中位線定理.

  【專題】證明題.

  【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PM= BC,PN= AD,然后求出PM=PN,再根據(jù)等邊對等角證明即可.

  【解答】證明:∵P是對角線BD的中點,M是DC的中點,N是AB的中點,

  ∴PM、PN分別是△BCD和△ABD的中位線,

  ∴PM= BC,PN= AD,

  ∵AD=BC,

  ∴PM=PN,

  ∴∠PMN=∠PNM.

  【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半,等邊對等角的性質(zhì),熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  25.如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他們先在A處測得古塔頂端點D的仰角為45°,再沿著BA的方向后退20m至C處,測得古塔頂端點D的仰角為30°.求該古塔BD的高度(結(jié)果保留根號).

  【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

  【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中,分別解直角三角形,用BD表示AB和BC,然后根據(jù)BC﹣AB=20m,可求得塔BD的高度.

  【解答】解:根據(jù)題意可知:∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20m.

  在Rt△ABD中,

  ∵∠BAD=∠BDA=45°,

  ∴AB=BD.

  在Rt△BDC中,

  ∵tan∠BCD= ,

  ∴ = ,

  則BC= BD,

  又∵BC﹣AB=AC,

  ∴ BD﹣BD=20,

  解得:BD= =10 +10(m).

  答:古塔BD的高度為( )m.

  【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是利用仰角建立直角三角形,利用解直角三角形的知識分別用BD表示出AB、BC的長度.

  26.如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.

  (1)求證:△ADF∽△DEC;

  (2)若AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求AE的長.

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;平行四邊形的性質(zhì).

  【專題】壓軸題.

  【分析】(1)利用對應(yīng)兩角相等,證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC;

  (2)利用△ADF∽△DEC,可以求出線段DE的長度;然后在Rt△ADE中,利用勾股定理求出線段AE的長度.

  【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AD∥BC,

  ∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.

  ∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,

  ∴∠AFD=∠C.

  在△ADF與△DEC中,

  ∴△ADF∽△DEC.

  (2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB=8.

  由(1)知△ADF∽△DEC,

  ∴ ,∴DE= = =12.

  在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE= = =6.

  【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個知識點.題目難度不大,注意仔細分析題意,認真計算,避免出錯.


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