九年級數(shù)學(xué)上冊期末檢測試題
同學(xué)們要不斷的努力學(xué)習(xí)才能豐富自己的知識，在即將到來的期末檢測，同學(xué)們要準(zhǔn)備好的數(shù)學(xué)期末檢測試題來練習(xí)，下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于九年級數(shù)學(xué)上冊期末檢測試題，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
九年級數(shù)學(xué)上冊期末檢測試題：
一、選擇題(本大題共有10個小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個正確選項).
1.﹣8的倒數(shù)是( )
A.8 B.﹣8 C. D.
【考點】倒數(shù).
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義作答.
【解答】解：﹣8的倒數(shù)是﹣ .
故選D.
【點評】主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握.需要注意的是倒數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒有倒數(shù).倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).
2.下列幾個圖形中，不是中心對稱圖形的是( )
【考點】中心對稱圖形.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念，運用排除法求解.
【解答】解：根據(jù)中心對稱圖形的概念可知，A、B、C都是中心對稱圖形;而D不是中心對稱圖形.
故選D.
【點評】掌握中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個旋轉(zhuǎn)點，就叫做中心對稱點.
3.節(jié)約是一種美德，節(jié)約是一種智慧.據(jù)不完全統(tǒng)計，全國每年浪費食物總量折合糧食可養(yǎng)活約3億5千萬人.350 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.3.5×107 B.3.5×108 C.3.5×109 D.3.5×1010
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值是易錯點，由于350 000 000有9位，所以可以確定n=9﹣1=8.
【解答】解：350 000 000=3.5×108.
故選：B.
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定a與n值是關(guān)鍵.
4.下列說法中，正確的是( )
A.在同一年出生的367名學(xué)生中，至少有兩人的生日是同一天
B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示每拋硬幣2次就有1次出現(xiàn)正面朝上
C.“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎
D.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間降雨
【考點】概率的意義.
【分析】概率值只是反映了事件發(fā)生的機會的大小，不是會一定發(fā)生.不確定事件就是隨機事件，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率大于0并且小于1.
【解答】解：A、在同一年出生的367名學(xué)生中，至少有兩人的生日是同一天是必然事件，是正確的;
B、“拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示拋硬幣正面朝上的機會是0.5，選項錯誤;
C、“彩票中獎的概率是1%”表示買彩票會中獎的機會是1%，選項錯誤;
D、“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的機會是80%，故選項錯誤.
故選A.
【點評】本題考查了概率的意義，理解概率的意義反映的只是這一事件發(fā)生的可能性的大小.
5.函數(shù)y=2(x﹣1)2+3的圖象的頂點坐標(biāo)是( )
A.(1，﹣4) B.(﹣1，2) C.(1，3) D.(﹣1，3)
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)頂點式的意義直接解答即可.
【解答】解：二次函數(shù)y=2(x﹣1)2+3的圖象的頂點坐標(biāo)是(1，3).
故選C.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要熟悉頂點式的意義，并明確：y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的頂點坐標(biāo)為(h，k).
6.⊙O的半徑為2cm，若直線a上有一點到圓心的距離為2cm，則直線a和圓O的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相切 C.相離 D.相切或相交
【考點】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】若直線上一點到圓心的距離等于圓的半徑，則圓心到直線的距離等于或小于圓的半徑，此時直線和圓相交或相切.
【解答】解：∵圓心到直線a的距離等于或小于圓的半徑，
∴直線和圓相交或相切.
故選：D.
【點評】考查了直線與圓的位置關(guān)系，注意：直線上一點到圓心的距離不一定是圓心到直線的距離.
7.當(dāng)x>0時，函數(shù) 的圖象在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出反比例函數(shù)的圖象所在的象限，再求出x>0時，函數(shù)的圖象所在的象限即可.
【解答】解：∵反比例函數(shù) 中，k=﹣5<0，
∴此函數(shù)的圖象位于二、四象限，
∵x>0，
∴當(dāng)x>0時函數(shù)的圖象位于第四象限.
故選A
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，即反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象是雙曲線;當(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限.
8.一個點到圓上的最小距離是4，最大距離是9，則圓的半徑是( )
A.2.5 B.2.5或6.5 C.6.5 D.5或13
【考點】點與圓的位置關(guān)系.
【分析】根據(jù)線段的和差，可得圓的直徑，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：當(dāng)點在圓內(nèi)時，圓的直徑為4+9=13，r= =6.5;
當(dāng)點在圓外時，圓的直徑為9﹣4=5，r= =2.5;
故選：B.
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，利用線段的和差得出圓的直徑是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏.
9.某校九年級學(xué)生畢業(yè)時，每個同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為( )
A.x(x﹣1)=2070 B.x(x+1)=2070 C.2x(x+1)=2070 D.
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】根據(jù)題意得：每人要贈送(x﹣1)張相片，有x個人，然后根據(jù)題意可列出方程.
【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈送(x﹣1)張相片，有x個人，
∴全班共送：(x﹣1)x=2070，
故選：A.
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題要注意讀清題意，弄清楚每人要贈送x﹣1張相片，有x個人是解決問題的關(guān)鍵.
10.圖(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2m，水面寬4m.如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是( )
A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣ x2 D.y= x2
【考點】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.
【專題】壓軸題.
【分析】由圖中可以看出，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，可設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，利用待定系數(shù)法求解.
【解答】解：設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，a≠0;
那么(2，﹣2)應(yīng)在此函數(shù)解析式上.
則﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2.
故選：C.
【點評】根據(jù)題意得到函數(shù)解析式的表示方法是解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵在于找到在此函數(shù)解析式上的點.
二、填空題：(本大題共8小題，每小題4分，共32分.)
11.使 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的x應(yīng)滿足的條件是x>1.
【考點】二次根式有意義的條件;分式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x﹣1>0，再解即可.
【解答】解：由題意得：x﹣1>0，
解得：x>1.
故答案為：x>1.
【點評】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為0;二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).
12.分解因式：a3﹣a=a(a+1)(a﹣1).
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【專題】因式分解.
【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解.
【解答】解：a3﹣a，
=a(a2﹣1)，
=a(a+1)(a﹣1).
故答案為：a(a+1)(a﹣1).
【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意要分解徹底.
13.圓錐底面圓的半徑為3m，母線長為6m，則圓錐的側(cè)面積為18πcm2.
【考點】圓錐的計算.
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積就等于經(jīng)母線長乘底面周長的一半.依此公式計算即可解決問題.
【解答】解：圓錐的側(cè)面積=6×6π÷2=18πcm2.
故答案為：18πcm2.
【點評】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積的計算公式.熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是解題關(guān)鍵.
14.若100個產(chǎn)品中有95個正品，5個次品，從中隨機抽取一個，恰好是次品的概率是0.05.
【考點】概率公式.
【分析】本題只要用次品的個數(shù)除以總的產(chǎn)品的個數(shù)即可得出次品的概率.
【解答】解：依題意得：取出次品的概率為 = =0.05.
故本題答案為：0.05.
【點評】本題考查的是概率的公式，用滿足條件的個數(shù)除以總個數(shù)可得出概率的值.
15.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，當(dāng)函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍是﹣1
【考點】二次函數(shù)與不等式(組).
【分析】求函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍，就是求當(dāng)函數(shù)圖象在x軸下方時，對應(yīng)的x的取值范圍.
【解答】解：函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍是﹣1
故答案是：﹣1
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，理解求函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍，就是求當(dāng)函數(shù)圖象在x軸下方時自變量的范圍是關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.
16.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根，則b的值是2.
【考點】根的判別式.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值等于0，即可求出b的值.
【解答】解：根據(jù)題意得：△=b2﹣4(b﹣1)=(b﹣2)2=0，
則b的值為2.
故答案為：2
【點評】此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根;根的判別式的值小于0，方程沒有實數(shù)根.
17.如圖，在△ABC中，∠A=70°，點O是內(nèi)心，則∠BOC=125°.
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;角平分線的定義;三角形內(nèi)角和定理.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)心，求出∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，代入求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC即可.
【解答】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，
∵點O是△ABC的內(nèi)心，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=55°，
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=125°.
故答案為：125°.
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)心，角平分線定義等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，題目比較典型，主要訓(xùn)練了學(xué)生的推理能力和計算能力.
18.如圖，⊙O過點B、C.圓心O在等腰直角△ABC的內(nèi)部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，則⊙O的半徑為 .
【考點】垂徑定理;勾股定理.
【專題】計算題.
【分析】過O作OD⊥BC，由垂徑定理可知BD=CD= BC，根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的長，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的長.
【解答】解：過O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一條弦，且BC=6，
∴BD=CD= BC= ×6=3，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴點A在BC的垂直平分線上，即A，O及D三點共線，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∵OA=1，
∴OD=AD﹣OA=3﹣1=2，
在Rt△OBD中，
OB= = = .
故答案為： .
【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
三、解答題(一)：(本大題共6小題，共38分.應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)
19.計算：( )﹣1﹣(π﹣3)0﹣ .
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)值冪的性質(zhì)化簡，進(jìn)而求出答案.
【解答】解：( )﹣1﹣(π﹣3)0﹣
=5﹣1﹣2
=4﹣2 .
【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪以及二次根式的性質(zhì)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確化簡化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.
20.先化簡，再求值： ÷(1﹣ )，其中x=0.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把x=0代入進(jìn)行計算即可.
【解答】解：原式= ÷( ﹣ )
當(dāng)x=0時，原式= .
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵.
21.為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個醫(yī)療點P，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的距離都相等(A、B、C不在同一直線上，地理位置如圖所示)，請你用尺規(guī)作圖的方法確定點P的位置.(要求：不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡.)
【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖.
【分析】連接AB，AC，作出線段AB，AC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即為P點.
【解答】解：如圖所示：
【點評】本題考查的是作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
22.如圖所示，已知圓錐底面半徑r=10cm，母線長為40cm.
(1)求它的側(cè)面展開圖的圓心角和表面積.
(2)若一甲出從A點出發(fā)沿著圓錐側(cè)面行到母線SA的中點B，請你動腦筋想一想它所走的最短路線是多少?為什么?
【考點】圓錐的計算;平面展開-最短路徑問題.
【分析】(1)利用圓錐的弧長等于底面周長得到圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角;圓錐表面積=底面積+側(cè)面積=π×底面半徑2+π×底面半徑×母線長;
(2)最短路線應(yīng)放在平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，求兩點之間的線段的長度.
【解答】解：(1) =2π×10，
解得n=90.
圓錐表面積=π×102+π×10×40=500πcm2.
(2)如右圖，由圓錐的側(cè)面展開圖可見，甲蟲從A點出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線SA的中點B所走的最短路線是線段AB的長.
在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，
∴AB=20 (cm).
∴甲蟲走的最短路線的長度是20 cm.
【點評】用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長;求立體圖形中兩點之間的最短路線長，一般應(yīng)放在平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，求兩點之間的線段的長度.
23.已知反比例函數(shù) 的圖象與一次函數(shù)y2=ax+b的圖象交于點A(1，4)和點B(m，﹣2)，
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式;
(2)觀察圖象，寫出使得y1>y2成立的自變量x的取值范圍.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【專題】計算題.
【分析】(1)將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出m的值，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式;
(2)利用圖象即可得出所求不等式的解集，即為x的范圍.
【解答】解：(1)∵函數(shù)y1= 的圖象過點A(1，4)，即4= ，
∴k=4，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y1= ;
又∵點B(m，﹣2)在y1= 上，
∴m=﹣2，
∴B(﹣2，﹣2)，
又∵一次函數(shù)y2=ax+b過A、B兩點，
∴依題意，得 ，
解得 ，
∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y2=2x+2;
(2)根據(jù)圖象y1>y2成立的自變量x的取值范圍為x<﹣2或0
【點評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練運用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
24.甲乙兩名同學(xué)做摸球游戲，他們把三個分別標(biāo)有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.
(1)求從袋中隨機摸出一球，標(biāo)號是1的概率;
(2)從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為偶數(shù)時，則甲勝;若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為奇數(shù)時，則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.
【考點】游戲公平性;概率公式;列表法與樹狀圖法.
【專題】探究型.
【分析】(1)由把三個分別標(biāo)有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與甲勝，乙勝的情況，即可求得求概率，比較大小，即可知這個游戲是否公平.
【解答】解：(1)由于三個分別標(biāo)有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，
故從袋中隨機摸出一球，標(biāo)號是1的概率為： ;
(2)這個游戲不公平.
畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球的標(biāo)號之和為偶數(shù)的有5種情況，兩次摸出的球的標(biāo)號之和為奇數(shù)的有4種情況，
∴P(甲勝)= ，P(乙勝)= .
∴P(甲勝)≠P(乙勝)，
故這個游戲不公平.
【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.
四、解答題(二)：本大題共5小題，共50分.解答時，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)
25.在蘭州市開展的“體育、藝術(shù)2+1”活動中，某校根據(jù)實際情況，決定主要開設(shè)A：乒乓球，B：籃球，C：跑步，D：跳繩這四種運動項目.為了解學(xué)生喜歡哪一種項目，隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖甲、乙所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.請你結(jié)合圖中的信息解答下列問題：
(1)樣本中喜歡B項目的人數(shù)百分比是20%，其所在扇形統(tǒng)計圖中的圓心角的度數(shù)是72°;
(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)已知該校有1000人，根據(jù)樣本估計全校喜歡乒乓球的人數(shù)是多少?
【考點】條形統(tǒng)計圖;用樣本估計總體;扇形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)利用1減去其它各組所占的比例即可求得喜歡B項目的人數(shù)百分比，利用百分比乘以360度即可求得扇形的圓心角的度數(shù);
(2)根據(jù)喜歡A的有44人，占44%即可求得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，乘以對應(yīng)的百分比即可求得喜歡B的人數(shù)，作出統(tǒng)計圖;
(3)總?cè)藬?shù)1000乘以喜歡乒乓球的人數(shù)所占的百分比即可求解.
【解答】解：(1)1﹣44%﹣8%﹣28%=20%，所在扇形統(tǒng)計圖中的圓心角的度數(shù)是：360×20%=72°;
(2)調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：44÷44%=100(人)，
則喜歡B的人數(shù)是：100×20%=20(人)，
(3)全校喜歡乒乓球的人數(shù)是1000×44%=440(人).
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.
26.已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D.
(1)求證：PD是⊙O的切線;
(2)若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值.
【考點】切線的判定.
【專題】綜合題.
【分析】(1)連接OP，要證明PD是⊙O的切線只要證明∠DPO=90°即可;
(2)連接AP，根據(jù)已知可求得BP的長，從而可求得BC的長.
【解答】(1)證明：連接AP，OP，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
又∵OP=OB，∠OPB=∠B，
∴∠C=∠OPB，
∴OP∥AD;
又∵PD⊥AC于D，
∴∠ADP=90°，
∴∠DPO=90°，
∵以AB為直徑的⊙O交BC于點P，
∴PD是⊙O的切線.
(2)解：∵AB是直徑，
∴∠APB=90°;
∵AB=AC=2，∠CAB=120°，
∴∠BAP=60°，
∴BP= ，
∴BC=2 .
【點評】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點(即為半徑)，再證垂直即可.
27.在2014年巴西世界杯足球賽前夕，某體育用品店購進(jìn)一批單價為40元的球服，如果按單價60元銷售，那么一個月內(nèi)可售出240套.根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高5元，銷售量相應(yīng)減少20套.設(shè)銷售單價為x(x≥60)元，銷售量為y套.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，月銷售額為14000元;
(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤?最大利潤是多少?
[參考公式：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是 ].
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用;一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】銷售問題.
【分析】(1)根據(jù)銷售量=240﹣(銷售單價每提高5元，銷售量相應(yīng)減少20套)列函數(shù)關(guān)系即可;
(2)根據(jù)月銷售額=月銷售量×銷售單價=14000，列方程即可求出銷售單價;
(3)設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為w元，根據(jù)利潤=1套球服所獲得的利潤×銷售量列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.
【解答】解：(1) ，
∴y=﹣4x+480(x≥60);
(2)根據(jù)題意可得，x(﹣4x+480)=14000，
解得，x1=70，x2=50(不合題意舍去)，
∴當(dāng)銷售價為70元時，月銷售額為14000元.
(3)設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意，得
w=(x﹣40)(﹣4x+480)，
=﹣4x2+640x﹣19200，
=﹣4(x﹣80)2+6400，
當(dāng)x=80時，w的最大值為6400
∴當(dāng)銷售單價為80元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤，最大利潤是6400元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，并涉及到了根據(jù)二次函數(shù)的最值公式，熟練記憶公式是解題關(guān)鍵.
28.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH為菱形.
【考點】菱形的判定;梯形;中點四邊形.
【專題】證明題.
【分析】連接AC、BD，根據(jù)等腰梯形的對角線相等可得AC=BD，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF=GH= AC，HE=FG= BD，從而得到EF=FG=GH=HE，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形判定即可.
【解答】證明：如圖，連接AC、BD，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴在△ABC中，EF= AC，
在△ADC中，GH= AC，
∴EF=GH= AC，
同理可得，HE=FG= BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH為菱形.
【點評】本題考查了菱形的判定，等腰梯形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，作輔助線是利用三角形中位線定理的關(guān)鍵，也是本題的難點.
29.(14分)已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，點A在點B左邊，點B的坐標(biāo)為(3，0)，且拋物線的對稱軸是直線x= .
(1)求此拋物線的表達(dá)式.
(2)在拋物線的對稱軸右邊的圖象上，是否存在點M，使銳角三角形AMB的面積等于3?若存在，請求出點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
(3)在(1)(2)條件下，若P點是拋物線上的一點，且∠PAM=90°，求△APM的面積.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【專題】代數(shù)幾何綜合題;壓軸題.
【分析】(1)根據(jù)拋物線對稱軸解析式列式求出b，再把點B的坐標(biāo)代入求出c，即可得解;
(2)根據(jù)拋物線解析式求出點A的坐標(biāo)，再求出AB的長度，然后利用三角形的面積公式求出點M到AB的距離，然后根據(jù)△AMB是銳角三角形判斷點M在x軸下方，從而確定點M的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式計算求出橫坐標(biāo)，從而得解;
(3)根據(jù)點M的坐標(biāo)可得∠BAM=45°，然后求出∠PAB=45°，從而寫出直線PA的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出點P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出PA、AM的長度，然后根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半計算即可得解.
【解答】解：(1)拋物線的對稱軸是直線x=﹣ = ，
解得b=﹣3，
∵點B(3，0)在拋物線上，
∴9﹣3×3+c=0，
解得c=0.
所以此拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣3x;
(2)存在.
理由如下：令y=0，則x2﹣3x=0，
解得x1=0，x2=3，
∵點A在點B左邊，
∴點A的坐標(biāo)為(0，0)，
∴AB=3，
設(shè)點M到AB的距離為h，則S△AMB= ×3•h=3，
解得h=2，
∵△AMB是銳角三角形，
∴點M應(yīng)該在x軸的下方，
∴點M的縱坐標(biāo)為﹣2，
代入拋物線解析式得，x2﹣3x=﹣2，
即x2﹣3x+2=0，
解得x1=1，x2=2，
又∵點M在對稱軸右邊的圖象上，
∴點M的橫坐標(biāo)為2，
∴點M的坐標(biāo)為(2，﹣2)，
此時，過點M作MN⊥x軸于點N，則AN=MN=2，BN=1，
∴∠AMN=45°，∠BMN<45°，
∴∠AMB<90°，是銳角，
∴△AMB是銳角三角形，
故存在點M(2，﹣2)，使銳角三角形AMB的面積等于3;
(3)由(2)得∠MAN=45°，
∵∠PAM=90°，
∴∠PAN=90°﹣45°=45°，
∴點P在直線y=x上，
聯(lián)立 ，
解得 (舍去)， ，
∴點P的坐標(biāo)為(4，4)，
根據(jù)勾股定理，AM= =2 ，
PA= =4 ，
所以△APM的面積= AM•PM= ×2 ×4 =8.
【點評】本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的對稱軸，點在拋物線上，三角形的面積，直角三角形的面積以及直線與拋物線的交點的求解，難度不是很大，先求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵，數(shù)據(jù)的巧妙設(shè)計也是本題的一大特點.
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