九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末檢測(cè)題
同學(xué)們要對(duì)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)一定要多加練習(xí),這樣才能進(jìn)步。 下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末檢測(cè)題,希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末檢測(cè)題:
一、選擇題(本題共30分,每小題3分)
1.⊙O的半徑為R,點(diǎn)P到圓心O的距離為d,并且d≥R,則P點(diǎn)( )
A.在⊙O內(nèi)或⊙O上 B.在⊙O外 C.在⊙O上 D.在⊙O外或⊙O上
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.
【解答】解:∵d≥R,
∴點(diǎn)P在⊙O上或點(diǎn)P在⊙O外.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:設(shè)⊙O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,則有點(diǎn)P在圓外⇔d>r;點(diǎn)P在圓上⇔d=r點(diǎn)P在圓內(nèi)⇔d
2.把10cm長(zhǎng)的線段進(jìn)行黃金分割,則較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)( ≈2.236,精確到0.01)是( )
A.3.09cm B.3.82cm C.6.18cm D.7.00cm
【考點(diǎn)】黃金分割.
【分析】把一條線段分成兩部分,使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng),這樣的線段分割叫做黃金分割,他們的比值( )叫做黃金比.
【解答】解:根據(jù)題意得:
較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)是10× =10×0.618=6.18cm.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念,熟記黃金分割的公式:較短的線段=原線段的 ,較長(zhǎng)的線段=原線段的 是本題的關(guān)鍵.
3.在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E,若AD=4,DB=2,則AE:EC的值為( )
A.0.5 B.2 C. D.
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【專題】幾何形問(wèn)題.
【分析】首先由DE∥BC可以得到AD:DB=AE:EC,而AD=4,DB=2,由此即可求出AE:EC的值.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴AD:DB=AE:EC,
而AD=4,DB=2,
∴AE:EC=AD:DB=4:2=2.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例定理,有的同學(xué)因?yàn)闆](méi)有找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而導(dǎo)致錯(cuò)選其他答案.
4.反比例函數(shù)y= 的象如所示,則k的值可能是( )
A. B.1 C.2 D.﹣1
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】根據(jù)函數(shù)所在象限和反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積小于1判斷.
【解答】解:∵反比例函數(shù)在第一象限,
∴k>0,
∵當(dāng)象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí),縱坐標(biāo)小于1,
∴k<1,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),用到的知識(shí)點(diǎn)為:反比例函數(shù)象在第一象限,比例系數(shù)大于0;比例系數(shù)等于在它上面的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,那么AB的長(zhǎng)為( )
A.sinA B.cosA C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)在直角三角形中,銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,可得答案.
【解答】解:Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,得
sinA= .
AB= = ,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用:在直角三角形中,銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對(duì)邊比鄰邊.
6.正三角形ABC內(nèi)接于圓O,動(dòng)點(diǎn)P在圓周的劣弧AB上,且不與A,B重合,則∠BPC等于( )
A.30° B.60° C.90° D.45°
【考點(diǎn)】圓周角定理;等邊三角形的性質(zhì).
【專題】壓軸題;動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)知,∠A=60°,即弧BC的度數(shù)為60°,可求∠BPC=60°.
【解答】解:∵△ABC正三角形,
∴∠A=60°,
∴∠BPC=60°.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.和等邊三角形的性質(zhì)求解.
7.拋物線y= x2的象向左平移2個(gè)單位,在向下平移1個(gè)單位,得到的函數(shù)表達(dá)式為( )
A.y= x2+2x+1 B.y= x2+2x﹣2 C.y= x2﹣2x﹣1 D.y= x2﹣2x+1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)象與幾何變換.
【分析】根據(jù)“上加下減,左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.
【解答】解:根據(jù)“上加下減,左加右減”的原則可知,
二次函數(shù)y= x2的象向左平移2個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位得到的象表達(dá)式為
y= (x+2)2﹣1,
即y= x2+2x+1.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的象與幾何變換,熟知“上加下減,左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
8.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的象如所示,有下列5個(gè)結(jié)論:
?、賏bc>0;②b0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的實(shí)數(shù)).
其中正確的結(jié)論有( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】壓軸題;數(shù)形結(jié)合.
【分析】觀察象:開口向下得到a<0;對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號(hào),則b>0;拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方得到c>0,所以abc<0;當(dāng)x=﹣1時(shí)象在x軸下方得到y(tǒng)=a﹣b+c=0,即a+c=b;對(duì)稱軸為直線x=1,可得x=2時(shí)象在x軸上方,則y=4a+2b+c>0;利用對(duì)稱軸x=﹣ =1得到a=﹣ b,而a﹣b+c<0,則﹣ b﹣b+c<0,所以2c<3b;開口向下,當(dāng)x=1,y有最大值a+b+c,得到a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1).
【解答】解:開口向下,a<0;對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),a、b異號(hào),則b>0;拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方,c>0,則abc<0,所以①不正確;
當(dāng)x=﹣1時(shí)象在x軸下方,則y=a﹣b+c=0,即a+c=b,所以②不正確;
對(duì)稱軸為直線x=1,則x=2時(shí)象在x軸上方,則y=4a+2b+c>0,所以③正確;
x=﹣ =1,則a=﹣ b,而a﹣b+c=0,則﹣ b﹣b+c=0,2c=3b,所以④不正確;
開口向下,當(dāng)x=1,y有最大值a+b+c;當(dāng)x=m(m≠1)時(shí),y=am2+bm+c,則a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1),所以⑤正確.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系:對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的象,當(dāng)a>0,開口向上,函數(shù)有最小值,a<0,開口向下,函數(shù)有最大值;對(duì)稱軸為直線x=﹣ ,a與b同號(hào),對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),a與b異號(hào),對(duì)稱軸在y軸的右側(cè);當(dāng)c>0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方;當(dāng)△=b2﹣4ac>0,拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
9.如所示,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F(xiàn)是CD上的一點(diǎn),AE⊥EF,下列結(jié)論:①∠BAE=30°;②CE2=AB•CF;③CF=FD;④△ABE∽△AEF.其中正確的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】由正方形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出∠BAE<30°,①不正確;由題中條件可得△CEF∽△BAE,進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段成比例,得出②正確,CF= FD,③不正確;進(jìn)而又可得出△ABE∽△AEF,得出④正確,即可得出題中結(jié)論.
【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CAD,∠B=∠C=∠D=90°,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=CE= BC= AB,
∵AE>AB,
∴sin∠BAE= < ,
∴∠BAE<30°,①不正確;
∵AE⊥EF,∴∠BAE=∠CEF,
∴△CEF∽△BAE,
∴ = = ,
∴CE•BE=AB•CF,CF= BE= CD,
∵BE=CE,CF= FD,
∴CE2=AB•CF,②正確,③不正確;
由△CEF∽△BAE可得 ,
∴∠EAF=∠BAE的正切值相同,
∴∠EAF=∠BAE,
又∠B=∠C=90°.
∴△ABE∽△AEF,
∴④正確;
正確的有2個(gè),
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、三角函數(shù);熟練掌握正方形的性質(zhì),證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
10.如所示,已知△ABC中,BC=8,BC上的高h(yuǎn)=4,D為BC上一點(diǎn),EF∥BC,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F(EF不過(guò)A、B),設(shè)E到BC的距離為x.則△DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的象大致為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】函數(shù)的象;相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】可過(guò)點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H,所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF,進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系式,由此即可求出答案.
【解答】解:過(guò)點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H,所以根據(jù)相似比可知: ,
即EF=2(4﹣x)
所以y= ×2(4﹣x)x=﹣x2+4x.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】考查根據(jù)幾何形的性質(zhì)確定函數(shù)的象和函數(shù)象的讀能力.要能根據(jù)幾何形和形上的數(shù)據(jù)分析得出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的類型和所需要的條件,結(jié)合實(shí)際意義畫出正確的象.
二、填空題(本題共18分,每小題3分)
11.若 ,則 = .
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)已知條件,可得出a和b的值,代入原式即可得出結(jié)果.
【解答】解:根據(jù)題意,得a= ,b= ,
則 = = ,故填 .
【點(diǎn)評(píng)】考查了比例的基本性質(zhì)及其靈活運(yùn)用.
12.兩個(gè)相似多邊形相似比為1:2,且它們的周長(zhǎng)和為90,則這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)分別是30,60.
【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比,求出兩個(gè)多邊形的周長(zhǎng)比,根據(jù)題意列出方程,解方程即可.
【解答】解:∵兩個(gè)相似多邊形相似比為1:2,
∴兩個(gè)相似多邊形周長(zhǎng)比為1:2,
設(shè)較小的多邊形的周長(zhǎng)為x,則較大的多邊形的周長(zhǎng)為x,
由題意得,x+2x=90,
解得,x=30,
則2x=60,
故答案為:30;60.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì),掌握相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比是解題的關(guān)鍵.
13.已知扇形的面積為15πcm2,半徑長(zhǎng)為5cm,則扇形周長(zhǎng)為6π+10cm.
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.
【分析】根據(jù)扇形的面積公式求出扇形弧長(zhǎng),根據(jù)扇形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【解答】解:由扇形的面積公式S= lr,得,
l= =6πcm,
則扇形周長(zhǎng)=(6π+10)cm,
故答案為:6π+10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形的面積的計(jì)算,掌握S扇形= lR(其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng))是解題的關(guān)鍵.
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,則以2.5為半徑的⊙C與直線AB的位置關(guān)系是相交.
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D,根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)三角形的面積公式求出CD,得出d
【解答】解:以2.5為半徑的⊙C與直線AB的位置關(guān)系是相交;理由如下:
過(guò)C作CD⊥AB于D,如所示:
∵在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=3,
∴由勾股定理得:AB= =5,
∵△ABC的面積= AC×BC= AB×CD,
∴3×4=5CD,
∴CD=2.4<2.5,
即d
∴以2.5為半徑的⊙C與直線AB的關(guān)系是相交,
故答案為:相交.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,三角形的面積,直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用;解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線,并進(jìn)一步求出CD的長(zhǎng),注意:直線和圓的位置關(guān)系有:相離,相切,相交.
15.請(qǐng)選擇一組你喜歡的a、b、c的值,使二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的象同時(shí)滿足下列條件:①開口向下;②當(dāng)x<2時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而減小.這樣的二次函數(shù)的解析式可以是y=﹣x2+4x.
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【專題】壓軸題;開放型.
【分析】根據(jù)①的條件可知:a<0;根據(jù)②的條件可知:拋物線的對(duì)稱軸為x=2;滿足上述條件的二次函數(shù)解析式均可.
【解答】解:由①知:a<0;
由②知:拋物線的對(duì)稱軸為x=2;
可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+h(a<0);
當(dāng)a=﹣1,h=4時(shí),拋物線的解析式為y=﹣(x﹣2)2+4=﹣x2+4x.(答案不唯一)
【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)開放性題目,主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的求法.本題比較靈活,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.
16.正方形OABC,ADEF的頂點(diǎn)A、D、C在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)F在AB 上,點(diǎn)B、E在函數(shù) (x>0)的象上,若陰影部分的面積為12﹣ ,則點(diǎn)E的坐標(biāo)是( +1, ﹣1).
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到S正方形OABC=S正方形ODEG=4,則S矩形BCGF=S正方形ADEF,所以S正方形ADEF=6﹣2 ,利用正方形的性質(zhì)可計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)AD=DE= = ﹣1,則E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ﹣1,然后利用反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可確定E點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解:∵四邊形OABC,ADEF為正方形,
∴S正方形OABC=S正方形ODEG=4,
∴S矩形BCGF=S正方形ADEF,
而陰影部分的面積為12﹣ ,
∴S正方形ADEF=6﹣2 ,
∴AD=DE= = ﹣1,
當(dāng)y= ﹣1時(shí),x= = +1,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為( +1, ﹣1).
故答案為( +1, ﹣1).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)y= 象中任取一點(diǎn),過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
三、解答題(本題共72分,第17-26題,每小題5分,第27題7分,第28題7分,第29題8分)
17.計(jì)算: .
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】分別把sin30°= ,cos45°= ,tan60°= 代入計(jì)算即可.
【解答】解:原式=4× ﹣ × +
=2﹣1+3
=4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力,是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算.
18.如:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,∠B=60°,解直角三角形.
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠A,再根據(jù)正弦定理求出AB,最后根據(jù)勾股定理即可求出AC.
【解答】解:∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴sinA= = = ,
∴AB=16,
∴AC= = =8 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形.解直角三角形要用到的關(guān)系:銳角直角的關(guān)系:∠A+∠B=90°;三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2;邊角之間的關(guān)系:銳角三角函數(shù)關(guān)系.
19.已知反比例函數(shù) 象的兩個(gè)分支分別位于第一、第三象限.
(1)求k的取值范圍;
(2)取一個(gè)你認(rèn)為符合條件的K值,寫出反比例函數(shù)的表達(dá)式,并求出當(dāng)x=﹣6時(shí)反比例函數(shù)y的值.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)由反比例函數(shù)象過(guò)第一、三象限,得到反比例系數(shù)k﹣1大于0,列出關(guān)于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范圍;
(2)根據(jù)k的取值范圍取k=2,得到y(tǒng)= ,代入x=﹣6,求得即可.
【解答】解:(1)∵反比例函數(shù)象兩支分別位于第一、三象限,
∴k﹣1>0,
解得:k>1;
(2)∵k>1,
∴取k=2,在反比例函數(shù)的表達(dá)式為y= ,
把x=﹣6代入得,y= =﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).反比例函數(shù)y= (k≠0),當(dāng)k>0時(shí)函數(shù)象位于第一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)象位于第二、四象限.
20.已知圓內(nèi)接正三角形的邊心距為2cm,求它的邊長(zhǎng).
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【分析】作輔助線;求出∠AOC=60°,借助直角三角形的邊角關(guān)系求出AC的長(zhǎng),即可解決問(wèn)題.
【解答】解:連接OA、OB;
∵AB為⊙O的內(nèi)接正三角形的一邊,OC⊥AB于點(diǎn)C;
∴∠AOB= =120°;
∵OA=OB,
∴∠AOC= ∠AOB=60°,AC=BC;
∵tan60°= ,而OC=2,
∴AC=2 ,AB=4 (cm).
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題;解題的關(guān)鍵是作輔助線,靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答.
21.已知:D是BC上一點(diǎn),△ABC∽△ADE,求證:∠1=∠2=∠3.
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】由相似三角形的性質(zhì)易證∠1=∠2,再由三角形內(nèi)角和定理易證∠2=∠3,進(jìn)而可證明∠1=∠2=∠3.
【解答】證明:∵△ABC∽△ADE,
∴∠C=∠E,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
即∠1=∠2,
在△AOE和△DOC中,
∠E=∠C,∠AOE=∠DOC(對(duì)頂角相等),
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2=∠3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì),熟記相似三角形的各種性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
22.A、B兩座城市相距100千米,現(xiàn)計(jì)劃在兩城市間修筑一條高速公路(即線段AB).經(jīng)測(cè)量,森林保護(hù)區(qū)中心P點(diǎn)既在A城市的北偏東30°的方向上,又在B城市的南偏東45°的方向上.已知森林保護(hù)區(qū)的范圍是以P為圓心,35千米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi).請(qǐng)問(wèn):計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越森林保護(hù)區(qū)?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.(參考數(shù)據(jù): ≈1.732, ≈1.414)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB,C是垂足.AC與BC就都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來(lái).根據(jù)AB的長(zhǎng),得到一個(gè)關(guān)于PC的方程,解出PC的長(zhǎng).從而判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越森林保護(hù)區(qū).
【解答】解:過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB,C是垂足,則∠A=30°,∠B=45°,
AC= = PC,BC= =PC.
∵AC+BC=AB,
∴ PC+PC=100,
∴PC=50( ﹣1)≈50×(1.732﹣1)=36.6>35.
答:森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑,所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題,解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題,解決的方法就是作高線.
23.AB是⊙O的直徑,CB是弦,OD⊥CB于E,交劣弧CB于D,連接AC.
(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)不同的正確結(jié)論;
(2)若CB=8,ED=2,求⊙O的半徑.
【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理.
【分析】(1)根據(jù)直角所對(duì)的圓周角是直角、垂徑定理寫出結(jié)論;
(2)根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng),設(shè)⊙O的半徑為R,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于R的方程,解方程得到答案.
【解答】解:(1)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠C=90°,
∵OD⊥CB,
∴CE=BE, = ,
則三個(gè)不同類型的正確結(jié)論:∠C=90°;CE=BE; = ;
(2)∵OD⊥CB,
∴CE=BE= BC=4,又DE=2,
∴OE2=OB2﹣BE2,
設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣2,
∴R2=(R﹣2)2+42,
解得R=5.
答:⊙O的半徑為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用,掌握垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵.
24.密蘇里州圣路易斯拱門是座雄偉壯觀的拋物線形的建筑物,是美國(guó)最高的獨(dú)自挺立的紀(jì)念碑,如.拱門的地面寬度為200米,兩側(cè)距地面高150米處各有一個(gè)觀光窗,兩窗的水平距離為100米,求拱門的最大高度.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用;二次函數(shù)的最值;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】因?yàn)楣伴T是拋物線形的建筑物,所以符合拋物線的性質(zhì),以CD的中垂線為y軸,CD所在的直線為x軸,可列出含有未知量的拋物線解析式,由A、B的坐標(biāo)可求出拋物線的解析式,然后就變成求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題.
【解答】解:如所示建立平面直角坐標(biāo)系,
此時(shí),拋物線與x軸的交點(diǎn)為C(﹣100,0),D(100,0),
設(shè)這條拋物線的解析式為y=a(x﹣100)(x+100),
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(50,150),
可得 150=a(50﹣100)(50+100).
解得 ,
∴ .
即 拋物線的解析式為 ,
頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,200)
∴拱門的最大高度為200米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,根據(jù)題意正確的建立坐標(biāo)軸可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,數(shù)形結(jié)合,很基礎(chǔ)的二次函數(shù)問(wèn)題.
25.⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,D是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且AC平分∠EAB.求證:DE是⊙O的切線.
【考點(diǎn)】切線的判定;平行線的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】連接0C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)求出∠EAC=∠ACO,推出OC∥AE,推出OC⊥ED即可.
【解答】證明:連接0C,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠EAB,
∴∠EAC=∠OAC,
則∠OCA=∠EAC,
∴OC∥AE,
∵AE⊥DE,
∴OC⊥DE,
∴DE是⊙O的切線.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)平行線的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),切線的判定,角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能推出OC⊥ED是解此題的關(guān)鍵.
26.已知:拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,﹣3)和(4,5).
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將拋物線沿x軸翻折,得到象G,求象G的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)﹣2
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)象與幾何變換.
【分析】(1)直接把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組,然后解方程組求出b、c即可得到拋物線的解析式;利用配方法把解析式變形為頂點(diǎn)式,然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)x坐標(biāo)相同,y坐標(biāo)互為相反數(shù),即可求得象G的表達(dá)式;
(3)求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和x=﹣2時(shí)的函數(shù)值,結(jié)合象即可求得m的值.
【解答】解:(1)根據(jù)題意得 ,
解得 ,
所以拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣4).
(2)根據(jù)題意,﹣y=x2﹣2x﹣3,所以y=﹣x2+2x+3.
(3)∵拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為(1,﹣4),當(dāng)x=﹣2時(shí),y=5,拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)(1,4),當(dāng)x=﹣2時(shí),y=﹣5.
∴當(dāng)﹣2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及翻折的性質(zhì),(3)結(jié)合象是解題的關(guān)鍵.
27.已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm,BC=6cm.某一時(shí)刻,動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),問(wèn):
(1)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ?
(2)是否存在時(shí)刻t,使以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定;一元二次方程的應(yīng)用;分式方程的應(yīng)用;矩形的性質(zhì).
【專題】壓軸題;動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】(1)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,可設(shè)時(shí)間為x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度,找到相等關(guān)系,列方程求解即可,如本題中利用,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 作為相等關(guān)系;
(2)先假設(shè)相似,利用相似中的比例線段列出方程,有解的且符合題意的t值即可說(shuō)明存在,反之則不存在.
【解答】解:(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ,
則有: (6﹣2x)x= ×3×6,即x2﹣3x+2=0,
解方程,得x1=1,x2=2,
經(jīng)檢驗(yàn),可知x1=1,x2=2符合題意,
所以經(jīng)過(guò)1秒或2秒后,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 .
(2)假設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí),以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似,
由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,
因此有 或
即 ①,或 ②
解①,得t= ;解②,得t=
經(jīng)檢驗(yàn),t= 或t= 都符合題意,
所以動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)出發(fā)后,經(jīng)過(guò) 秒或 秒時(shí),以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了相似三角形的判定,矩形的性質(zhì)和一元二次方程的運(yùn)用以及解分式方程.要掌握矩形和相似三角形的性質(zhì),才會(huì)靈活的運(yùn)用.注意:一般關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,可設(shè)時(shí)間為x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度,找到相等關(guān)系,列方程求解即可.
28.(1)探究新知:如1,已知△ABC與△ABD的面積相等,試判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)結(jié)論應(yīng)用:
?、偃?,點(diǎn)M,N在反比例函數(shù)y= (k>0)的象上,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸,過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸,垂足分別為E,F(xiàn),試證明:MN∥EF;
?、谌簪僦械钠渌麠l件不變,只改變點(diǎn)M,N的位置如3所示,請(qǐng)判斷MN與EF是否平行.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題.
【專題】綜合題;壓軸題.
【分析】(1)分別過(guò)點(diǎn)C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,垂足為G,H,根據(jù)CG∥DH,得到△ABC與△ABD同底,而兩個(gè)三角形的面積相等,因而CG=DH,可以證明四邊形CGHD為平行四邊形,∴AB∥CD.
(2)判斷MN與EF是否平行,根據(jù)(1)中的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明S△EFM=S△EFN即可.
【解答】解:(1)分別過(guò)點(diǎn)C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,垂足為G,H,則∠CGA=∠DHB=90°,
∴CG∥DH
∵△ABC與△ABD的面積相等
∴CG=DH
∴四邊形CGHD為平行四邊形
∴AB∥CD.
(2)①證明:連接MF,NE,
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2),
∵點(diǎn)M,N在反比例函數(shù) (k>0)的象上,
∴x1y1=k,x2y2=k,
∵M(jìn)E⊥y軸,NF⊥x軸,
∴OE=y1,OF=x2,
∴S△EFM= x1•y1= k,
S△EFN= x2•y2= k,
∴S△EFM=S△EFN;
∴由(1)中的結(jié)論可知:MN∥EF.
②由(1)中的結(jié)論可知:MN∥EF.
(若生使用其他方法,只要解法正確,皆給分.)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用,這是一個(gè)閱讀理解的問(wèn)題,正確解決(1)中的證明是解決本題的關(guān)鍵.
29.設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為[a,b].對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足:當(dāng)m≤x≤n時(shí),有m≤y≤n,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m.n]上的“閉函數(shù)”.如函數(shù)y=﹣x+4,當(dāng)x=1時(shí),y=3;當(dāng)x=3時(shí),y=1,即當(dāng)1≤x≤3時(shí),有1≤y≤3,所以說(shuō)函數(shù)y=﹣x+4是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”.
(1)反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”嗎?請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由;
(2)若二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣k是閉區(qū)間[1,2]上的“閉函數(shù)”,求k的值;
(3)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”,求此函數(shù)的表達(dá)式(用含m,n的代數(shù)式表示).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由k>0可知反比例函數(shù)y= 在閉區(qū)間[1,2016]上y隨x的增大而減小,然后將x=1,x=2016分別代入反比例解析式的解析式,從而可求得y的范圍,于是可做出判斷;
(2)先求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1,a=1>0,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=x2﹣2x﹣k在閉區(qū)間[1,2]上y隨x的增大而增大,然后將x=1,y=1,x=2,y=2分別代入二次函數(shù)的解析式,從而可求得k的值;
(3)當(dāng)k>0時(shí),將(m,m)、(n,n)代入直線的解析式得到關(guān)于k、b的方程組,從而可求得k=1、b=0,故此函數(shù)的表達(dá)式為y=x;當(dāng)k<0時(shí),將(m,n)、(n,m)代入直線的解析式得到關(guān)于k、b的方程組,從而可求得k=﹣1、b=m+n的值,從而可求得函數(shù)的表達(dá)式.
【解答】解:(1)∵k=2016>0,
∴當(dāng)1≤x≤2016時(shí),y隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x=1時(shí),y=2016;當(dāng)x=2016時(shí),y=1.
∴1≤y≤2106.
∴反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”.
(2)∵x=﹣ =1,a=1>0,
∴二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣k在閉區(qū)間[1,2]上y隨x的增大而增大.
∵二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣k是閉區(qū)間[1,2]上的“閉函數(shù)”,
∴當(dāng)x=1時(shí),y=1;當(dāng)x=2時(shí),y=2.
將x=1,y=1;x=2,y=2代入得: .
解得:k=﹣2.
∴k的值為﹣2.
(3)∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”,
∴當(dāng)k>0時(shí),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,m)、(n,n).
∴ .
解得: .
∴直線的解析式為y=x.
當(dāng)k<0時(shí),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,n)、(n,m)
∴ .
解得: .
∴直線的解析式為y=﹣x+m+n.
綜上所述,當(dāng)k>0時(shí),直線的解析式為y=x,當(dāng)k<0,直線的解析式為y=﹣x+m+n.
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了二次函數(shù)象的對(duì)稱性和增減性,一次函數(shù)象的性質(zhì)以及反比例函數(shù)象的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義.解題時(shí),也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.
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