初三數(shù)學(xué)上期末考試題(2)
初三數(shù)學(xué)上期末考試題參考答案
一、選擇題:本大題共12小題,每小題3分,共36分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.若將一個正方形的各邊長擴大為原來的4倍,則這個正方形的面積擴大為原來的( )
A.16倍 B.8倍 C.4倍 D.2倍
【考點】相似圖形.
【分析】根據(jù)正方形的面積公式:s=a2,和積的變化規(guī)律,積擴大的倍數(shù)等于因數(shù)擴大倍數(shù)的乘積,由此解答.
【解答】解:根據(jù)正方形面積的計算方法和積的變化規(guī)律,如果一個正方形的邊長擴大為原來的4倍,那么正方形的面積是原來正方形面積的4×4=16倍.
故選:A
【點評】此題考查相似圖形問題,解答此題主要根據(jù)正方形的面積的計算方法和積的變化規(guī)律解決問題.
2.下列圖案中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.
【解答】解:A、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故本選項錯誤;
B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故本選項正確;
C、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;
D、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故本選項錯誤.
故選B.
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念,軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合,中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
3.下列隨機事件的概率,既可以用列舉法求得,又可以用頻率估計獲得的是( )
A.某種幼苗在一定條件下的移植成活率
B.某種柑橘在某運輸過程中的損壞率
C.某運動員在某種條件下“射出9環(huán)以上”的概率
D.投擲一枚均勻的骰子,朝上一面為偶數(shù)的概率
【考點】利用頻率估計概率.
【分析】選項依次分析判斷即可.
【解答】解:A、某種幼苗在一定條件下的移植成活率,只能用頻率估計,不能用列舉法;故不符合題意;
B、某種柑橘在某運輸過程中的損壞率,只能用列舉法,不能用頻率求出;故不符合題意;
C、某運動員在某種條件下“射出9環(huán)以上”的概率,只能用頻率估計,不能用列舉法;故不符合題意;
D、∵一枚均勻的骰子只有六個面,即:只有六個數(shù),不是奇數(shù),便是偶數(shù),
∴能一一的列舉出來,
∴既可以用列舉法求得,又可以用頻率估計獲得概率;故符合題意.
故選D.
【點評】此題是頻率估計概率,主要考查了概率的幾種求法,解本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法.
4.正六邊形的邊長為2,則它的面積為( )
A. B. C.3 D.6
【考點】正多邊形和圓.
【分析】構(gòu)建等邊三角形,由題意可得:正六邊形的面積就是6個等邊△OCD的面積,根據(jù)邊長為2求得三角形的高線OG= ,代入面積公式計算即可.
【解答】解:如圖,設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O,連接OC、OD,
過O作OG⊥CD于G,
∵∠COD= =60°,OC=OD,
∴△COD是等邊三角形,
∴OC=CD=OD=2,
∴CG=DG=1,
由勾股定理得:OG= ,
∴S正六邊形ABCDEF=6S△OCD=6× ×CD×OG=3×2× =6 ,
故選D.
【點評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)及三角形的面積,正確計算中心角的度數(shù)= ,熟知半徑與邊長構(gòu)成等邊三角形,求正六邊形的面積,其實就是求等邊三角形的面積.
5.袋中裝有除顏色外完全相同的a個白球、b個紅球、c個黃球,則任意摸出一個球是黃球的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式.
【分析】由袋中裝有除顏色外完全相同的a個白球,b個紅球,c個黃球,直接利用概率公式求解即可求得答案..
【解答】解:根據(jù)題意,任意摸出一個球是黃球的概率為 ,
故選:A.
【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
6.如圖,鐵路道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m.當(dāng)短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高(桿的寬度忽略不計)( )
A.4m B.6m C.8m D.12m
【考點】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】欄桿長短臂在升降過程中,將形成兩個相似三角形,利用對應(yīng)變成比例解題.
【解答】解:設(shè)長臂端點升高x米,
則 = ,
∴解得:x=8.
故選;C.
【點評】此題考查了相似三角形在實際生活中的運用,得出比例關(guān)系式是解題關(guān)鍵.
7.下列說法正確的是( )
A.兩個大小不同的正三角形一定是位似圖形
B.相似的兩個五邊形一定是位似圖形
C.所有的正方形都是位似圖形
D.兩個位似圖形一定是相似圖形
【考點】位似變換.
【分析】根據(jù)位似圖形的定義即可判定.
【解答】解:A、錯誤.兩個大小不同的正三角形不一定是位似圖形;
B、錯誤.相似的兩個五邊形不一定是位似圖形;
C、錯誤.所有的正方形不一定是位似圖形;
D、正確.兩個位似圖形一定是相似圖
故選D.
【點評】本題考查位似圖形的定義,記住位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵①兩個圖形必須是相似形;②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點;③對應(yīng)邊平行.
8.如圖,將△ABC繞點C(0,﹣1)旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C,設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,b),則點A′的坐標(biāo)為( )
A.(﹣a,﹣b) B.(﹣a.﹣b﹣1) C.(﹣a,﹣b+1) D.(﹣a,﹣b﹣2)
【考點】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).
【分析】我們已知關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律:橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù);還知道平移規(guī)律:上加下減;左加右減.在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化求解.把AA′向上平移1個單位得A的對應(yīng)點A1坐標(biāo)和A′對應(yīng)點A2坐標(biāo)后求解.
【解答】解:把AA′向上平移1個單位得A的對應(yīng)點A1坐標(biāo)為(a,b+1).
因A1、A2關(guān)于原點對稱,所以A′對應(yīng)點A2(﹣a,﹣b﹣1).
∴A′(﹣a,﹣b﹣2).
故選D.
【點評】此題通過平移把問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識,從而解決問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想.
9.下列4×4的正方形網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,三角形的頂點都在格點上,則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是( )
A. B. C. D.
【考點】相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)勾股定理求出△ABC的三邊,并求出三邊之比,然后根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)利用勾股定理求出三角形的三邊之比,再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似選擇答案.
【解答】解:根據(jù)勾股定理,AB= =2 ,
BC= = ,
AC= = ,
所以△ABC的三邊之比為 :2 : =1:2: ,
A、三角形的三邊分別為2, = , =3 ,三邊之比為2: :3 = : :3,故A選項錯誤;
B、三角形的三邊分別為2,4, =2 ,三邊之比為2:4:2 =1:2: ,故B選項正確;
C、三角形的三邊分別為2,3, = ,三邊之比為2:3: ,故C選項錯誤;
D、三角形的三邊分別為 = , = ,4,三邊之比為 : :4,故D選項錯誤.
故選:B.
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識,根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別求出各三角形的三條邊的長,并求出三邊之比是解題的關(guān)鍵.
10.過以下四邊形的四個頂點不能作一個圓的是( )
A. 等腰梯形 B. 矩形
C. 直角梯形 D. 對角是90°的四邊形
【考點】圓周角定理;矩形的性質(zhì);直角梯形.
【分析】過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件是:對角互補(對角之和等于180°).依此判斷即可.
【解答】解:A、等腰梯形的對角互補,所以過等腰梯形的四個頂點能作一個圓,故本選項不符合題意;
B、矩形的對角互補,所以過矩形的四個頂點能作一個圓,故本選項不符合題意;
C、直角梯形的對角不互補,所以過直角梯形的四個頂點不能作一個圓,故本選項符合題意;
D、對角是90°的四邊形的對角互補,所以過對角是90°的四邊形的四個頂點能作一個圓,故本選項不符合題意;
故選C.
【點評】本題考查了確定圓的條件,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù),在應(yīng)用此性質(zhì)時,要注意與圓周角定理結(jié)合起來.在應(yīng)用時要注意是對角,而不是鄰角互補.
11.如圖,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD與BE相交于點F,連接ED,圖中的相似三角形的對數(shù)為( )
A.4對 B.6對 C.8對 D.9對
【考點】相似三角形的判定.
【分析】利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判定△FAE∽△CBE∽△FBD∽△CAD,再根據(jù)圓周角定理得到點A、B、D、E四點共圓,則∠BAD=∠BED,于是可判定△ABF∽△EDF,利用∠DEC=∠ABC可判定△CDE∽△CAB.
【解答】解:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,
∴∠ADC=∠AEC=90°,
∴△FAE∽△CAD,△FBD∽△CBE,
而∠ACD=∠BCE,
∴△CAD∽△CBE,
∴△FAE∽△CBE,△FAE∽△FBD,△FBD∽△CAD,
∵∠AEB=∠ADB,
∴點E、點D在以AB為直角的圓上,
即點A、B、D、E四點共圓,
∴∠BAD=∠BED,
∴△ABF∽△EDF,
∵∠DEC=∠ABC,
∴△CDE∽△CAB,
故選C.
【點評】本題考查了相似三角形的判定:兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.
12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.函數(shù)有最小值 B.當(dāng)﹣1
C.a+b+c<0 D.當(dāng)x< ,y隨x的增大而減小
【考點】二次函數(shù)的圖象.
【分析】A、觀察可判斷函數(shù)有最小值;B、由拋物線可知當(dāng)﹣1
【解答】解:A、由圖象可知函數(shù)有最小值,故正確;
B、由拋物線可知當(dāng)﹣1
C、當(dāng)x=1時,y<0,即a+b+c<0,故正確;
D、由圖象可知在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小,故正確.
故選B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)與解析式的系數(shù)的關(guān)系.關(guān)鍵是熟悉各項系數(shù)與拋物線的各性質(zhì)的聯(lián)系.
二、填空題:本大題共6小題,每小題3分,共18分,請將答案直接填在答題紙中對應(yīng)橫線上.
13.兩地的實際距離是2000m,在繪制的地圖上量得這兩地的距離是2cm,那么這幅地圖的比例尺為 1:100000 .
【考點】比例線段.
【分析】圖上距離和實際距離已知,依據(jù)“比例尺=圖上距離:實際距離”即可求得這幅地圖的比例尺.
【解答】解:2cm=0.02m,
0.02m:2000m=1:100000.
答:這幅地圖的比例尺是1:100000.
故答案為:1:100000.
【點評】此題主要考查比例尺的計算方法,解答時要注意單位的換算.
14.在一個口袋中有4個完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號為1,2,3,4,隨機摸出一個小球然后放回,再隨機摸出一個小球,則兩次取出的小球標(biāo)號相同的概率為 .
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】根據(jù)題意畫出數(shù)形圖,兩次取的小球的標(biāo)號相同的情況有4種,再計算概率即可.
【解答】解:如圖:
兩次取的小球的標(biāo)號相同的情況有4種,
概率為P= = .
故答案為: .
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
15.在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,點A(4,0),點B(0,3)把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得△A′BO′,點A、O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A′、O′,那么AA′的長為 5 .
【考點】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).
【分析】由A、B的坐標(biāo)可求得AB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=A′B,在Rt△ABA′中利用勾股定理可求得AA′的長.
【解答】解:
∵A(4,0),B(0,3),
∴AB=5,
∵把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得△A′BO′,
∴A′B=AB=5,且∠ABA′=90°,
∴AA′= =5 ,
故答案為:5 .
【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.
16.如圖,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=6,AC=8,則它的內(nèi)切圓半徑是 2 .
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;勾股定理;正方形的判定與性質(zhì);切線長定理.
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)圓O是直角三角形ABC的內(nèi)切圓,推出OD=OE,BF=BD,CD=CE,AE=AF,∠ODC=∠C=∠OEC=90°,證四邊形ODCE是正方形,推出CE=CD=r,根據(jù)切線長定理得到AC﹣r+BC﹣r=AB,代入求出即可.
【解答】解:根據(jù)勾股定理得:AB= =10,
設(shè)三角形ABC的內(nèi)切圓O的半徑是r,
∵圓O是直角三角形ABC的內(nèi)切圓,
∴OD=OE,BF=BD,CD=CE,AE=AF,∠ODC=∠C=∠OEC=90°,
∴四邊形ODCE是正方形,
∴OD=OE=CD=CE=r,
∴AC﹣r+BC﹣r=AB,
8﹣r+6﹣r=10,
∴r=2,
故答案為:2.
【點評】本題主要考查對切線長定理,三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,勾股定理,正方形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握,能推出AC﹣r+BC﹣r=AB是解此題的關(guān)鍵.
17.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是過點(1,0)且平行于y軸的直線,若點P(4,0)在該拋物線上,則4a﹣2b+c的值為 0 .
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】依據(jù)拋物線的對稱性求得與x軸的另一個交點,代入解析式即可.
【解答】解:設(shè)拋物線與x軸的另一個交點是Q,
∵拋物線的對稱軸是過點(1,0),與x軸的一個交點是P(4,0),
∴與x軸的另一個交點Q(﹣2,0),
把(﹣2,0)代入解析式得:0=4a﹣2b+c,
∴4a﹣2b+c=0,
故答案為:0.
【點評】本題考查了拋物線的對稱性,知道與x軸的一個交點和對稱軸,能夠表示出與x軸的另一個交點,求得另一個交點坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵.
18.將邊長為4的正方形ABCD向右傾斜,邊長不變,∠ABC逐漸變小,頂點A、D及對角線BD的中點N分別運動列A′、D′和N′的位置,若∠A′BC=30°,則點N到點N′的運動路徑長為 .
【考點】軌跡;正方形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形,可以求得∠NMN′的度數(shù),然后根據(jù)弧長公式即可解答本題.
【解答】解:作NM⊥BC于點M,連接MN′,
∵點N′和點M分別為線段BD′和BC的中點,
∴MN′= =2,
∴MN′=BM,
∴∠MBN′=∠MN′B,
∵∠A′BC=30°,
∴∠MBN′=15°,
∴∠N′MC=30°,
∴∠NMN′=60°,
∴點N到點N′的運動路徑長為: ,
故答案為: .
【點評】本題考查軌跡、正方形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.
三、解答題:本大題共7小題,共66分,解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程.
19.如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC的三個頂點A,B,C都在格點上,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′.
(1)在正方形網(wǎng)格中,畫出△AB′C′;
(2)計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積.
【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;扇形面積的計算.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點旋轉(zhuǎn)后位置進而得出答案;
(2)利用勾股定理得出AB=5,再利用扇形面積公式求出即可.
【解答】解:(1)如圖所示:△AB′C′即為所求;
(2)∵AB= =5,
∴線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積為: = π.
【點評】此題主要考查了扇形面積公式以及圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識,熟練掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵.
20.學(xué)生甲與學(xué)生乙學(xué)習(xí)概率初步知識后設(shè)計了如下游戲:學(xué)生甲手中有6,8,10三張撲克牌,學(xué)生乙手中有5,7,9三張撲克牌,每人從各自手中取一張牌進行比較,數(shù)字大的為本局獲勝,每次獲取的牌不能放回.
(1)若每人隨機取手中的一張牌進行比較,請列舉出所有情況;
(2)并求學(xué)生乙本局獲勝的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)根據(jù)題意可以寫出所有的可能性;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果可以得到乙本局獲勝的可能性,從而可以解答本題.
【解答】解:(1)由題意可得,
每人隨機取手中的一張牌進行比較的所有情況是:
(6,5)、(6,7)、(6,9)、
(8,5)、(8,7)、(8,9)、
(10,5)、(10,7)、(10,9);
(2)學(xué)生乙獲勝的情況有:(6,7)、(6,9)、(8,9),
∴學(xué)生乙本局獲勝的概率是: = ,
即學(xué)生乙本局獲勝的概率是 .
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法,解題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.
21.(10分)(2016秋•河西區(qū)期末)如圖,在△ABC中,DE∥BC,分別交AB、AC于點D、E,若AD=3,DB=2,BC=6,求DE的長.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)DE∥BC證得兩三角形相似,利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列式計算即可.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ ,
又∵AD=3,DB=2,BC=6,
∴AB=AD+DB=5,
即: = ,
∴DE= .
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)平行得到相似,并得到比例式后代入計算.
22.(10分)(2016秋•河西區(qū)期末)已知二次函數(shù)y=2x2﹣4x+1
(1)用配方法化為y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)寫出該函數(shù)的頂點坐標(biāo);
(3)當(dāng)0≤x≤3時,求函數(shù)y的最大值.
【考點】二次函數(shù)的三種形式;二次函數(shù)的最值.
【分析】(1)利用配方法整理即可得解;
(2)根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標(biāo)即可;
(3)根據(jù)增減性結(jié)合對稱軸寫出最大值即可;
【解答】解:(1)y=﹣2(x2+2x﹣ )
=﹣2(x2+2x+1﹣1﹣ )
=﹣2(x+1)2+3,
(2)頂點坐標(biāo)為(﹣1,3),
(3)當(dāng)0≤x≤3時,此函數(shù)y隨著x的增大而減小,
∴當(dāng)x=0時,y有最大值是1.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種形式的轉(zhuǎn)化,二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.
23.(10分)(2016秋•河西區(qū)期末)如圖,CD是圓O的弦,AB是直徑,且CD⊥AB,垂足為P.
(1)求證:PC2=PA•PB;
(2)PA=6,PC=3,求圓O的直徑.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;垂徑定理.
【分析】(1)連接AC、BC,結(jié)合條件和垂徑定理可證明△APC∽△CPB,利用相似三角形的性質(zhì)可證得PC2=PA•PB;
(2)把PA、PC的長代入(1)中的結(jié)論,可求得PB,則可求得AB的長.
【解答】(1)證明:
如圖,連接AC、BC,
∵CD⊥AB,AB是直徑,
∴ = ,
∴∠CAB=∠BCP,
∵∠CPA=∠CPB=90°,
∴△APC∽△CPB,
∴ = ,即PC2=PA•PB;
(2)解:
將PA=6,PC=3,代入PC2=PA•PB,可得32=6PB,
∴PB=1.5,
∴AB=PA+PB=6+1.5=7.5,
即圓的直徑為7.5.
【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及垂徑定理,利用條件構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.
24.(10分)(2016•天津一模)已知AB為⊙O的直徑,OC⊥AB,弦DC與OB交于點F,在直線AB上有一點E,連接ED,且有ED=EF.
(Ⅰ)如圖1,求證ED為⊙O的切線;
(Ⅱ)如圖2,直線ED與切線AG相交于G,且OF=1,⊙O的半徑為3,求AG的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)連接OD,由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD,由對頂角相等可得出∠EDF=∠CFO;由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF,結(jié)合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°,即∠EDO=90°,由此證出ED為⊙O的切線;
(2)連接OD,過點D作DM⊥BA于點M,結(jié)合(1)的結(jié)論根據(jù)勾股定理可求出ED、EO的長度,結(jié)合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的長度,根據(jù)切線的性質(zhì)可知GA⊥EA,從而得出DM∥GA,根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出GA的長度.
【解答】(1)證明:連接OD,如圖1所示.
∵ED=EF,
∴∠EDF=∠EFD,
∵∠EFD=∠CFO,
∴∠EDF=∠CFO.
∵OD=OC,
∴∠ODF=∠OCF.
∵OC⊥AB,
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°,
∴ED為⊙O的切線.
(2)解:連接OD,過點D作DM⊥BA于點M,如圖2所示.
由(1)可知△EDO為直角三角形,設(shè)ED=EF=a,EO=EF+FO=a+1,
由勾股定理得:EO2=ED2+DO2,即(a+1)2=a2+32,
解得:a=4,即ED=4,EO=5.
∵sin∠EOD= = ,cos∠EOD= = ,
∴DM=OD•sin∠EOD=3× = ,MO=OD•cos∠EOD=3× = ,
∴EM=EO﹣MO=5﹣ = ,EA=EO+OA=5+3=8.
∵GA切⊙O于點A,
∴GA⊥EA,
∴DM∥GA,
∴△EDM∽△EGA,
∴ ,
∴GA= = =6.
【點評】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、角的三角函數(shù)值、相似三角形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)通過等腰三角形的性質(zhì)找出∠EDO=90°;(2)通過相似三角形的性質(zhì)找出相似比.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)角的計算找出直角,從而證出切線.
25.(10分)(2016•溫州)如圖,拋物線y=x2﹣mx﹣3(m>0)交y軸于點C,CA⊥y軸,交拋物線于點A,點B在拋物線上,且在第一象限內(nèi),BE⊥y軸,交y軸于點E,交AO的延長線于點D,BE=2AC.
(1)用含m的代數(shù)式表示BE的長.
(2)當(dāng)m= 時,判斷點D是否落在拋物線上,并說明理由.
(3)若AG∥y軸,交OB于點F,交BD于點G.
?、偃簟鱀OE與△BGF的面積相等,求m的值.
②連結(jié)AE,交OB于點M,若△AMF與△BGF的面積相等,則m的值是 .
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)A、C兩點縱坐標(biāo)相同,求出點A橫坐標(biāo)即可解決問題.
(2)求出點D坐標(biāo),然后判斷即可.
(3)①首先根據(jù)EO=2FG,證明BG=2DE,列出方程即可解決問題.
?、谇蟪鲋本€AE、BO的解析式,求出交點M的橫坐標(biāo),列出方程即可解決問題.
【解答】解:(1)∵C(0,﹣3),AC⊥OC,
∴點A縱坐標(biāo)為﹣3,
y=﹣3時,﹣3=x2﹣mx﹣3,解得x=0或m,
∴點A坐標(biāo)(m,﹣3),
∴AC=m,
∴BE=2AC=2m.
(2)∵m= ,
∴點A坐標(biāo)( ,﹣3),
∴直線OA為y=﹣ x,
∴拋物線解析式為y=x2﹣ x﹣3,
∴點B坐標(biāo)(2 ,3),
∴點D縱坐標(biāo)為3,
對于函數(shù)y=﹣ x,當(dāng)y=3時,x=﹣ ,
∴點D坐標(biāo)(﹣ ,3).
∵對于函數(shù)y=x2﹣ x﹣3,x=﹣ 時,y=3,
∴點D在落在拋物線上.
(3)①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°,
∴四邊形ECAG是矩形,
∴EG=AC=BG,
∵FG∥OE,
∴OF=FB,∵EG=BG,
∴EO=2FG,
∵ •DE•EO= •GB•GF,
∴BG=2DE,
∵DE∥AC,
∴ = = ,
∵點B坐標(biāo)(2m,2m2﹣3),
∴OC=2OE,
∴3=2(2m2﹣3),
∵m>0,
∴m= .
?、凇逜(m,﹣3),B(2m,2m2﹣3),E(0,2m2﹣3),
∴直線AE解析式為y=﹣2mx+2m2﹣3,直線OB解析式為y= x,
由 消去y得到﹣2mx+2m2﹣3= x,解得x= ,
∴點M橫坐標(biāo)為 ,
∵△AMF的面積=△BFG的面積,
∴ •( +3)•(m﹣ )= •m• •(2m2﹣3),
整理得到:2m4﹣9m2=0,
∵m>0,
∴m=
看了“初三數(shù)學(xué)上期末考試題”的人還看了: