初三數(shù)學(xué)上期末考試題及答案(2)
初三數(shù)學(xué)上期末考試題及答案
初三數(shù)學(xué)上期末考試題參考答案
一、選擇題
1.與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
【考點】同類二次根式.
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行選擇即可.
【解答】解：A、 與 不是同類二次根式，故錯誤;
B、 =3與 不是同類二次根式，故錯誤;
C、 =3 與 不是同類二次根式，故錯誤;
D、 = 與 是同類二次根式，故正確;
故選D.
【點評】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.
2.方程x2=2x的解是( )
A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=±
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】方程移項后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解.
【解答】解：方程變形得：x2﹣2x=0，
分解因式得：x(x﹣2)=0，
解得：x1=0，x2=2.
故選C
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
3.從1，2，3，4這四個數(shù)字中，任意抽取兩個不同數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被3整除的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式.
【分析】列舉出所有情況，看能被3整除的數(shù)的情況占總情況的多少即可.
【解答】解：第一個數(shù)字有4種選擇，第二個數(shù)字有3種選擇，易得共有4×3=12種可能，而被3整除的有4種可能(12、21、24、42)，所以任意抽取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)被3整除的概率為 = ，故選A.
【點評】如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= .
4.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，下列各式成立的是( )
A.b=a•sinB B.a=b•cosB C.a=b•tanB D.b=a•tanB
【考點】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷.
【解答】解：A、∵sinB= ，∴b=c•sinB，故選項錯誤;
B、∵cosB= ，∴a=c•cosB，故選項錯誤;
C、∵tanB= ，∴a= ，故選項錯誤;
D、∵tanB= ，∴b=a•tanB，故選項正確.
故選D.
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.
5.如圖：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的一個交點是(﹣2，0)，頂點是(1，3).下列說法中不正確的是( )
A.拋物線的對稱軸是x=1
B.拋物線的開口向下
C.拋物線與x軸的另一個交點是(2，0)
D.當(dāng)x=1時，y有最大值是3
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象，逐一判斷.
【解答】解：觀察圖象可知：
A、∵頂點坐標(biāo)是(1，3)，
∴拋物線的對稱軸是x=1，正確;
B、從圖形可以看出，拋物線的開口向下，正確;
C、∵圖象與x軸的一個交點是(﹣2，0)，頂點是(1，3)，
∴1﹣(﹣2)=3，1+3=4，
即拋物線與x軸的另一個交點是(4，0)，錯誤;
D、當(dāng)x=1時，y有最大值是3，正確.
故選C.
【點評】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要會根據(jù)a的值判斷開口方向，根據(jù)頂點坐標(biāo)確定對稱軸，掌握二次函數(shù)圖象的對稱性.
6.已知關(guān)于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0，下列說法正確的是( )
A.當(dāng)k=0時，方程無解
B.當(dāng)k=1時，方程有一個實數(shù)解
C.當(dāng)k=﹣1時，方程有兩個相等的實數(shù)解
D.當(dāng)k≠0時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解
【考點】根的判別式;一元一次方程的解.
【分析】利用k的值，分別代入求出方程的根的情況即可.
【解答】解：關(guān)于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0，
A、當(dāng)k=0時，x﹣1=0，則x=1，故此選項錯誤;
B、當(dāng)k=1時，x2﹣1=0方程有兩個實數(shù)解，故此選項錯誤;
C、當(dāng)k=﹣1時，﹣x2+2x﹣1=0，則(x﹣1)2=0，此時方程有兩個相等的實數(shù)解，故此選項正確;
D、由C得此選項錯誤.
故選：C.
【點評】此題主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判斷方程根的情況是解題關(guān)鍵.
7.如圖，菱形ABCD的周長為40cm，DE⊥AB，垂足為E，sinA= ，則下列結(jié)論正確的有( )
?、貲E=6cm;②BE=2cm;③菱形面積為60cm2;④BD= cm.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】解直角三角形.
【分析】根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關(guān)系，可求出各邊的長，運(yùn)用驗證法，逐個驗證從而確定答案.
【解答】解：∵菱形ABCD的周長為40cm，
∴AD=AB=BC=CD=10.
∵DE⊥AB，垂足為E，
sinA= = = ，
∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm.
∴菱形的面積為：AB×DE=10×6=60cm2.
在三角形BED中，
BE=2cm，DE=6cm，BD=2 cm，∴①②③正確，④錯誤; =2
∴結(jié)論正確的有三個.
故選C.
【點評】此題看上去這是一道選擇題實則是一道綜合題，此題考查直角三角形的性質(zhì)，只要理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系即可求解.
8.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則S△BCE：S△BDE等于( )
A.2：5 B.14：25 C.16：25 D.4：21
【考點】翻折變換(折疊問題).
【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理計算出AB=10，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=BD=5，EA=EB，設(shè)AE=x，則BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根據(jù)勾股定理計算出x= ，則EC=8﹣ = ，
利用三角形面積公式計算出S△BCE= BC•CE= ×6× = ，在Rt△BED中利用勾股定理計算出ED= = ，利用三角形面積公式計算出S△BDE= BD•DE= ×5× = ，然后求出兩面積的比.
【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，
∴AB= =10，
∵把△ABC沿DE使A與B重合，
∴AD=BD，EA=EB，
∴BD= AB=5，
設(shè)AE=x，則BE=x，EC=8﹣x，
在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=(8﹣x)2+62，
∴x= ，
∴EC=8﹣x=8﹣ = ，
∴S△BCE= BC•CE= ×6× = ，
在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，
∴ED= = ，
∴S△BDE= BD•DE= ×5× = ，
∴S△BCE：S△BDE= ： =14：25.
故選B.
【點評】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.也考查了勾股定理.
二、填空題
9.當(dāng)x > 時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.
【考點】二次根式有意義的條件;分式有意義的條件.
【分析】本題考查了代數(shù)式有意義的x的取值范圍.一般地從兩個角度考慮：分式的分母不為0;偶次根式被開方數(shù)大于或等于0;當(dāng)一個式子中同時出現(xiàn)這兩點時，應(yīng)該是取讓兩個條件都滿足的公共部分.
【解答】解：由分式的分母不為0，得2x﹣3≠0，即x≠ ，
又因為二次根式的被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)，所以有2x﹣3≥0，得x≥ ，
所以，x的取值范圍是x> .
故當(dāng)x> 時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.
【點評】判斷一個式子是否有意義，應(yīng)考慮分母上若有字母，字母的取值不能使分母為零，二次根號下字母的取值應(yīng)使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).易錯易混點：學(xué)生易對二次根式的非負(fù)性和分母的不等于0混淆.
10.已知四條線段a，b，c，d成比例，并且a=2，b= ，c= ，則d= .
【考點】比例線段.
【分析】根據(jù)題意列出比例式，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，易求d的值.
【解答】解：∵四條線段a，b，c，d成比例，并且a=2，b= ，c= ，
∴a：b=c：d，即2： = ：d，
解得d= ，
故答案為 .
【點評】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是利用了兩內(nèi)項之積等于兩外項之積.
11.在一個陡坡上前進(jìn)5米，水平高度升高了3米，則坡度i= .
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【分析】先求出水平方向上前進(jìn)的距離，然后根據(jù)山坡的坡度=豎直方向上升的距離：水平方向前進(jìn)的距離，即可解題.
【解答】解：如圖所示：AC=5米，BC=3米，
則AB= = =4(米)，
則坡度i= = .
故答案為：3：4.
【點評】本題考查了坡度的概念，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比.
12.如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為 .
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);解直角三角形.
【分析】過C點作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB.
【解答】解：過C點作CD⊥AB，垂足為D.
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B.
在Rt△BCD中，tanB= = ，
∴tanB′=tanB= .
故答案為 .
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等;三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法.
13.兩個相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長為 14 cm，面積為 cm2.
【考點】相似三角形的性質(zhì).
【分析】由兩個相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm，可得此相似三角形的相似比為：6：18=1：3;即可得此相似三角形的周長比為：1：3，面積比為：1：9，又由較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，即可求得答案.
【解答】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm，
∴此相似三角形的相似比為：6：18=1：3;
∴此相似三角形的周長比為：1：3，面積比為：1：9，
∵較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，
∴較小三角形的周長為：42× =14(cm)，面積為：12× = (cm2).
故答案為：14， .
【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握相似三角形(多邊形)的周長的比等于相似比;相似三角形的對應(yīng)線段(對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高)的比也等于相似比.相似三角形的面積的比等于相似比的平方.
14.共青團(tuán)縣委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，在長30cm、寬20cm的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等(如圖所示)，若設(shè)彩紙的寬度為xcm，則列方程整理成一般形式為 x2+25x﹣150=0 .
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】設(shè)彩紙的寬度為xcm，則鑲上寬度相等的彩紙后長度為30+2x，寬為20+2x，它的面積等于原來面積的2倍，由此列出方程.
【解答】解：設(shè)彩紙的寬度為xcm，
則由題意列出方程為：(30+2x)(20+2x)=2×30×20.
整理得：x2+25x﹣150=0，
故答案為：x2+25x﹣150=0.
【點評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，變形后的面積是原來的2倍，列出方程即可.
15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.點D是BC邊上的一動點(不與點B、C重合)，過點D作DE⊥BC交AB于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處.當(dāng)△AEF為直角三角形時，BD的長為 1或2 .
【考點】翻折變換(折疊問題);含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的長、∠AEF與∠BAC的度數(shù)，然后分別從從∠AFE=90°與∠EAF=90°去分析求解，又由折疊的性質(zhì)與三角函數(shù)的知識，即可求得CF的長，繼而求得答案.
【解答】解：根據(jù)題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，
∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BC•tan∠B=3× = ，∠BAC=60°，
如圖①若∠AFE=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠EFD=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC= × =1，
∴BD=DF= =1;
如圖②若∠EAF=90°，
則∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC= × =1，
∴BD=DF= =2，
∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：1或2.
【點評】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問題.此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.
三、解答題(共75分)
16.計算：4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2.
【考點】特殊角的三角函數(shù)值;絕對值;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;二次根式的性質(zhì)與化簡.
【分析】按照實數(shù)的運(yùn)算法則依次計算：cos30°= ，| ﹣2|= ，( )0=1， =3 ，(﹣ )﹣2=9.
【解答】解：4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2
=
= (5分)
=8.(6分)
【點評】本題重點考查了實數(shù)的基本運(yùn)算能力.涉及知識：負(fù)指數(shù)為正指數(shù)的倒數(shù);任何非0數(shù)的0次冪等于1;絕對值的化簡;二次根式的化簡.
17.用配方法解方程：x2+4x﹣1=0.
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】方程變形后，利用配方法求出解即可.
【解答】解：方程變形得：x2+4x=1，
配方得：x2+4x+4=5，即(x+2)2=5，
開方得：x+2=± ，
解得：x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ .
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
18.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G.
(1)求證：△CDF∽△BGF;
(2)當(dāng)點F是BC的中點時，過F作EF∥CD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長.
【考點】相似三角形的判定;三角形中位線定理;梯形.
【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)可證明△CDF∽△BGF.
(2)根據(jù)點F是BC的中點這一已知條件，可得△CDF≌△BGF，則CD=BG，只要求出BG的長即可解題.
【解答】(1)證明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，(2分)
∴△CDF∽△BGF.
(2)解：由(1)△CDF∽△BGF，
又∵F是BC的中點，BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=GF，CD=BG，(6分)
∵AB∥DC∥EF，F(xiàn)為BC中點，
∴E為AD中點，
∴EF是△DAG的中位線，
∴2EF=AG=AB+BG.
∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，
∴CD=BG=2cm.(8分)
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線段的等量代換，比較復(fù)雜.
19.(10分)(2016秋•唐河縣期末)如圖，一條拋物線經(jīng)過(﹣2，5)，(0，﹣3)和(1，﹣4)三點.
(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.
(2)假如這條拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，試判斷△OCB的形狀.
【考點】拋物線與x軸的交點;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】(1)待定系數(shù)法求解可得;
(2)分別求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點即可得出答案.
【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，
將(﹣2，5)，(0，﹣3)和(1，﹣4)三點代入，
得： ，
解得： ，
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1或x=3，
∴拋物線與x軸的兩個交點為(﹣1，0)、(3，0)，
∵c=﹣3，
∴拋物線與y軸的交點為(0，﹣3)，
∴OB=OC，
∴△OCB是等腰直角三角形.
【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.
20.(10分)(2012•蘇州模擬)如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡比i=1： ，且AB=30m，李亮同學(xué)在大堤上A點處用高1.5m的測量儀測出高壓電線桿CD頂端D的仰角為30°，己知地面BC寬30m，求高壓電線桿CD的高度(結(jié)果保留三個有效數(shù)字， ≈1.732)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】由i的值求得大堤的高度AE，點A到點B的水平距離BE，從而求得MN的長度，由仰角求得DN的高度，從而由DN，AM，h求得高度CD.
【解答】解：延長MA交直線BC于點E，
∵AB=30，i=1： ，
∴AE=15，BE=15 ，
∴MN=BC+BE=30+15 ，
又∵仰角為30°，
∴DN= = =10 +15，
CD=DN+NC=DN+MA+AE=10 +15+15+1.5≈17.32+31.5≈48.8(m).
【點評】本題考查了直角三角形在坡度上的應(yīng)用，由i的值求得大堤的高度和點A到點B的水平距離，求得MN，由仰角求得DN高度，進(jìn)而求得總高度.
21.(10分)(2013•閘北區(qū)二模)為迎接“五一”節(jié)的到來，某食品連鎖店對某種商品進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每天它的銷售價與銷售量之間有如下關(guān)系：
每千克售價(元) 25 24 23 … 15
每天銷售量(千克) 30 32 34 … 50
如果單價從最高25元/千克下調(diào)到x元/千克時，銷售量為y千克，已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)：
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;(不寫定義域)
(2)若該種商品成本價是15元/千克，為使“五一”節(jié)這天該商品的銷售總利潤是200元，那么這一天每千克的銷售價應(yīng)定為多少元?
【考點】一元二次方程的應(yīng)用;一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)利用表格中的數(shù)據(jù)得到兩個變量的對應(yīng)值，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可;
(2)設(shè)這一天每千克的銷售價應(yīng)定為x元，利用總利潤是200元得到一元二次方程求解即可.
【解答】解：(1)設(shè)y=kx+b (k≠0)，將(25，30)(24，32)代入得：…(1分)
解得： ，
∴y=﹣2x+80.
(2)設(shè)這一天每千克的銷售價應(yīng)定為x元，根據(jù)題意得：
(x﹣15)(﹣2x+80)=200，
x2﹣55x+700=0，
∴x1=20，x2=35.
(其中，x=35不合題意，舍去)
答：這一天每千克的銷售價應(yīng)定為20元.
【點評】本題考查了一元二次方程及一次函數(shù)的應(yīng)用，列方程及函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系.
22.(11分)(2014•北京)閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，點D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的長.
小騰發(fā)現(xiàn)，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖 2).
請回答：∠ACE的度數(shù)為 75° ，AC的長為 3 .
參考小騰思考問題的方法，解決問題：
如圖 3，在四邊形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點E，AE=2，BE=2ED，求BC的長.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;解直角三角形.
【分析】根據(jù)相似的三角形的判定與性質(zhì)，可得 =2，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AE=AC，根據(jù)正切函數(shù)，可得DF的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AB與DF的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案.
【解答】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°，
∠E=75°，BD=2DC，
∴AD=2DE，
AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3，
∠ACE=75°，AC的長為3.
過點D作DF⊥AC于點F.
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴ =2，
∴EF=1，AB=2DF.
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD.
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°= ，AD=2DF=2 .
∴AC=AD=2 ，AB=2DF=2 .
∴BC= =2 .
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.
23.(11分)(2016秋•唐河縣期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(0，2)，點P(t，0)在x軸上，B是線段PA的中點.將線段PB繞著點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PC，連結(jié)OB、BC.
(1)判斷△PBC的形狀，并簡要說明理由;
(2)當(dāng)t>0時，試問：以P、O、B、C為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能，求出相應(yīng)的t的值?若不能，請說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時，△AOP與△APC相似?
【考點】相似形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)在得出PB=PC，再根據(jù)B是線段PA的中點，得出∠BPC=90°，從而得出△PBC是等腰直角三角形.
(2)根據(jù)∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根據(jù)B是PA的中點，得出四邊形POBC是平行四邊形，當(dāng)OB⊥BP時，得出OP2=2OB2，即t2=2( t2+1)，求出符合題意的t的值，即可得出答案;
(3)根據(jù)題意得出∠AOP=∠APC=90°，再分兩種情況討論，當(dāng) = = 時和 = = 時，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分別求出t的值即可.
【解答】解：(1)△PBC是等腰直角三角形，理由如下：
∵線段PB繞著點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PC，
∴PB=PC，
∵B是線段PA的中點，
∴∠BPC=90°，
∴△PBC是等腰直角三角形.
(2)當(dāng)OB⊥BP時，以P、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形.
∵∠OBP=∠BPC=90°，
∴OB∥PC，
∵B是PA的中點，
∴OB= AP=BP=PC，
∴四邊形POBC是平行四邊形，
當(dāng)OB⊥BP時，有OP= OB，即OP2=2OB2，
∴t2=2( t2+1)，
∴t1=2，t2=﹣2(不合題意)，
∴當(dāng)t=2時，以P、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形.
(3)由題意可知，∠AOP=∠APC=90°，
當(dāng) = = 時，
△AOP∽△APC，
此時OP= OA=1，
∴t=±1，
當(dāng) = = 時，
△AOP∽△CPA，
此時OP=2OA=4，
∴t=±4，
∴當(dāng)t=±1或±4時，△AOP與△CPA相似.
【點評】此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分情況討論，不要漏解.
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