九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末檢測(cè)卷含答案(2)
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末檢測(cè)卷含答案
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末檢測(cè)卷參考答案
一、選擇題(每小題有且只有一個(gè)正確答案,請(qǐng)把正確答案的字母代號(hào)涂在答題紙上)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,則sinA的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)在直角三角形中,銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,可得答案.
【解答】解:sinA= = ,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用:在直角三角形中,銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對(duì)邊比鄰邊.
2.已知⊙O的半徑是4,OP=3,則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是( )
A.點(diǎn)P在圓內(nèi) B.點(diǎn)P在圓上 C.點(diǎn)P在圓外 D.不能確定
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
【分析】點(diǎn)在圓上,則d=r;點(diǎn)在圓外,d>r;點(diǎn)在圓內(nèi),d
【解答】解:∵OP=3<4,故點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓內(nèi).
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,注意掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
3.桌面上放著1個(gè)長(zhǎng)方體和1個(gè)圓柱體,按如圖所示的方式擺放在一起,不是其三視圖的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖,從正面看得到的圖形是主視圖,從上面看得到的圖形是俯視圖,可得答案.
【解答】解:A、從正面看左邊是一個(gè)矩形,右邊是一個(gè)小正方形,故A正確;
B、從上面看左邊是一個(gè)圓,右邊是一個(gè)矩形,故B正確;
C、從左邊看第一層是三個(gè)小正方形,第二層是一個(gè)矩形,故C正確;
D、從哪個(gè)方向看都不會(huì)出現(xiàn),故D錯(cuò)誤;
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖,從左邊看得到的圖形是左視圖,從正面看得到的圖形是主視圖,從上面看得到的圖形是俯視圖.
4.將某拋物線向左平移1個(gè)單位,得到的拋物線解析式為y=x2,則該拋物線為( )
A.y=x2+1 B.y=x2﹣1 C.y=(x﹣1)2 D.y=(x+1)2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】直接根據(jù)“左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.
【解答】解:將某拋物線向左平移1個(gè)單位,得到的拋物線解析式為y=x2,則該拋物線為y=﹣(x﹣1)2.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換,熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵.
5.若反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二、四象限,則k的取值可以是( )
A.0 B.2 C.3 D.以上都不是
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二、四象限,比例系數(shù)k﹣2<0,即k<2,根據(jù)k的取值范圍進(jìn)行選擇.
【解答】解:∵反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二、四象限,
∴k﹣2<0,
即k<2.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).對(duì)于反比例函數(shù)y= (k≠0),(1)k>0,反比例函數(shù)圖象在一、三象限;(2)k<0,反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi).
6.如圖中的幾何體是由3個(gè)大小相同的正方體拼成的,它的正投影不可能是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖,從正面看得到的圖形是主視圖,從上面看得到的圖形是俯視圖,可得答案.
【解答】解:A、從左邊看上邊一個(gè)小正方形,下邊一個(gè)小正方形,故A正確;
B、從哪個(gè)方向看都不是并排的三個(gè)小正方形,故B錯(cuò)誤;
C、從上面看是兩個(gè)并排的小正方形,故C正確;
D、從正面看第一層兩個(gè)小正方形,第二層左邊一個(gè)小正方形,故D正確;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖,從左邊看得到的圖形是左視圖,從正面看得到的圖形是主視圖,從上面看得到的圖形是俯視圖.
7.如圖,點(diǎn)A、B、O是正方形網(wǎng)格上的三個(gè)格點(diǎn),⊙O的半徑為OA,點(diǎn)P是優(yōu)弧 上的一點(diǎn),則cos∠APB的值是( )
A.45° B.1 C. D.無(wú)法確定
【考點(diǎn)】圓周角定理;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)題意求出∠AOB=90°,根據(jù)圓周角定理求出∠APB的度數(shù),運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.
【解答】解:由題意和正方形的性質(zhì)得,∠AOB=90°,
∴∠APB= ∠AOB=45°,
∴cos∠APB= .
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理和特殊角的三角函數(shù)值,掌握在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
8.如圖,△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片,BC=5cm,⊙O是它的內(nèi)切圓,小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN,則剪下的三角形的周長(zhǎng)為( )
A.12cm B.7cm
C.6cm D.隨直線MN的變化而變化
【考點(diǎn)】切線長(zhǎng)定理.
【分析】利用切線長(zhǎng)定理得出BC=BD+EC,DM=MF,F(xiàn)N=EN,AD=AE,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn),
∵△ABC是一張三角形的紙片,AB+BC+AC=17cm,⊙O是它的內(nèi)切圓,點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn),BC=5cm,
∴BD+CE=BC=5cm,則AD+AE=7cm,
故DM=MF,F(xiàn)N=EN,AD=AE,
∴AM+AN+MN=AD+AE=7(cm).
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理,得出AM+AN+MN=AD+AE是解題關(guān)鍵.
9.點(diǎn)(a﹣2,y1),(a+1,y2)在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上,若y1
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出這兩個(gè)點(diǎn),在反比例函數(shù)的兩個(gè)象限上,進(jìn)而得出a的取值范圍.
【解答】解:∵點(diǎn)(a﹣2,y1),(a+1,y2)在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上,且y1
由k>0時(shí),每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增減小,且圖象分布在一、三象限,
∴這兩個(gè)點(diǎn),在反比例函數(shù)的兩個(gè)象限上,
∴a﹣2<0,a+1>0,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,熟練應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
10.如圖,在⊙O中,AB是⊙O的直徑,AB=12,點(diǎn)C、D是 的三等分點(diǎn),M是AB上一動(dòng)點(diǎn),則CM+DM的最小值是( )
A.16 B.12 C.8 D.6
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題;勾股定理;垂徑定理.
【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接C′D與AB相交于點(diǎn)M,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題,點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置,根據(jù)垂徑定理可得 = ,然后求出C′D為直徑,從而得解.
【解答】解:如圖,作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接C′D與AB相交于點(diǎn)M,
此時(shí),點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置,
由垂徑定理, = ,
∴ = ,
∵ = = ,AB為直徑,
∴C′D為直徑.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題,垂徑定理,熟記定理并作出圖形,判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.
11.如圖,由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格,正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),已知每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1,△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則△ABC的面積是( )
A. B.2 C.3 D.3
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【分析】延長(zhǎng)AB,然后作出過(guò)點(diǎn)C與格點(diǎn)所在的直線,一定交于格點(diǎn)E,根據(jù)S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解.
【解答】解:延長(zhǎng)AB,然后作出過(guò)點(diǎn)C與格點(diǎn)所在的直線,一定交于格點(diǎn)E.如圖所示:
正六邊形的邊長(zhǎng)為1,則半徑是1,則CE=4,
兩平行的邊之間距離是: ,
則△BCE的邊EC上的高是: ,
△ACE邊EC上的高是: ,
則S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×( ﹣ )=3 .
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、正多邊形的計(jì)算;正確理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是關(guān)鍵.
12.如圖,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B后,立即按原路返回.點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度大小不變.則以點(diǎn)A為圓心,線段AP長(zhǎng)為半徑的圓的面積S與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)圖象大致為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.
【專題】壓軸題;動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.
【解答】解:設(shè)點(diǎn)P的速度是1,則AP=t,那么s=πt2,為二次函數(shù)形式;
但動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B后,立即按原路返回.
說(shuō)明t是先大后小,所以s也是先大后小.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】可設(shè)必須的量為1,再根據(jù)所給的條件求得函數(shù)形式,進(jìn)而求解.
二、填空題(請(qǐng)把正確答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)
13.函數(shù)y= 中自變量x的取值范圍是 x≥0 .
【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義,被開(kāi)方數(shù)大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范圍.
【解答】解:由題意,得x≥0且x+1≠0,
解得x≥0,
故答案為:x≥0.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍,函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮:當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí),自變量可取全體實(shí)數(shù);當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí),考慮分式的分母不能為0;當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí),被開(kāi)方數(shù)非負(fù).
14.若3tan(α﹣20°)= ,則銳角α的度數(shù)是 50° .
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得(α﹣20)的度數(shù),根據(jù)有理數(shù)的減法,可得答案.
【解答】解:由3tan(α﹣20°)= ,得
α﹣20=30.
解得α=50,
故答案為:50°
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值,熟記特殊角三角函數(shù)知識(shí)解題關(guān)鍵.
15.如圖,A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P在x軸上,△ABP的面積為4,則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為 y= .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】由于同底等高的兩個(gè)三角形面積相等,所以△AOB的面積=△ABP的面積=4,然后根據(jù)反比例函數(shù)y= 中k的幾何意義,知△AOB的面積= |k|,從而確定k的值,求出反比例函數(shù)的解析式.
【解答】解:設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= .
∵△AOB的面積=△ABP的面積=4,△AOB的面積= |k|,
∴ |k|=4,
∴k=±8;
又∵反比例函數(shù)的圖象的一支位于第一象限,
∴k>0.
∴k=8.
∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y= .
故答案為y= .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y= 中k的幾何意義.這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,做此類題一定要正確理解k的幾何意義.
16.如圖,身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點(diǎn)O)20米的A處,經(jīng)測(cè)量小明的影子AM長(zhǎng)為5米,則路燈的高度為 8 米.
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用;中心投影.
【分析】根據(jù)題意得出:△COM∽△BAM,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出路燈的高度.
【解答】解:由題意可得:△COM∽△BAM,
則 = ,
故 = ,
解得:CO=8.
故答案為:8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用;在運(yùn)用相似三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
17.如圖,AB是半圓的直徑,將半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A′的位置,已知圖中陰影部分的面積為4π,則點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算;扇形面積的計(jì)算;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)圖形得到S陰影=S半圓+S扇形﹣S半圓=4π,求得AB=4 ,然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可得到結(jié)論.
【解答】解:∵S陰影=S半圓+S扇形﹣S半圓=4π,
∴ =4π,
∴AB=4 ,
∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)= = ,
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算,扇形的面積的計(jì)算,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),熟記弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.
18.如圖,以扇形OAB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn),半徑OB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),若拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ﹣2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式,然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的k值,即為一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的最大值,再求出拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)的k的值,即為一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的最小值,然后寫(xiě)出k的取值范圍即可.
【解答】解:由圖可知,∠AOB=45°,
∴直線OA的解析式為y=x,
聯(lián)立 消掉y得,
x2﹣2x+2k=0,
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0,
即k= 時(shí),拋物線與OA有一個(gè)交點(diǎn),
此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),
∴OA=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為( , ),
∴交點(diǎn)在線段AO上;
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,0)時(shí), ×4+k=0,
解得k=﹣2,
∴要使拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn),實(shí)數(shù)k的取值范圍是﹣2
故答案為:﹣2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法,根據(jù)圖形求出有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(請(qǐng)把每題的解答過(guò)程寫(xiě)在答題紙的相應(yīng)位置上)
19.計(jì)算:sin60°•cos230°﹣ .
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而代入求出答案.
【解答】解:原式= ×( )2﹣
= × ﹣
= ﹣
=﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.
20.在Rt△ABC中,∠C=90°,c=20,∠A=60°,解這個(gè)直角三角形.
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】先利用互余計(jì)算出∠B的度數(shù),根據(jù)正弦的定義分別計(jì)算b、a的長(zhǎng).
【解答】解:∵∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=90°﹣∠A=30°,
∵sinB= ,
∴b=20sin30°=10,
∵sinA= ,
∴a=20sin60°=10 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形.
21.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A,B兩點(diǎn),AC⊥x軸于點(diǎn)C,OC=3,連接BC.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y= 圖象上的一點(diǎn),且滿足△OPC與△ABC的面積相等,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B、P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】(1)把A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點(diǎn)坐標(biāo),代入反比例函數(shù)解析式可求得k,可求得反比例函數(shù)解析式;
(2)由條件可求得B、C的坐標(biāo),可先求得△ABC的面積,再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等求得P點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解:(1)設(shè)A(3,a),
把x=3代入y=2x中,得y=2×3=6,
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,6),
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴k=3×6=18,
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;
(2)∵AC⊥OC,
∴OC=3,
∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,﹣6),
∴B到OC的距離為6,
∴S△ABC=2S△ACO=2× ×3×6=18,
∴S△OPC=18,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, ),則P到OC的距離為| |,
∴ ×| |×3=18,解得x= 或﹣ ,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為( ,12)或(﹣ ,﹣12).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,在(1)中求得A點(diǎn)坐標(biāo)、在(2)中求得P點(diǎn)到OC的距離是解題的關(guān)鍵.
22.下表給出了二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c中兩個(gè)變量y與x的一些對(duì)應(yīng)值:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 …
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),確定b,c,n的值;
(2)直接寫(xiě)出拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸;
(3)當(dāng)y>0時(shí),求自變量x的取值范圍.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)把(﹣2,5)和(1,2)點(diǎn)代入y=﹣x2+bx+c可得關(guān)于b、c的二元一次方程組,再解方程組可得b、c的值,進(jìn)而可得解析式,再求當(dāng)x=﹣1時(shí),n的值即可;
(2)根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算即可;
(3)首先根據(jù)解析式計(jì)算出與x軸的交點(diǎn),再根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口方向和y的取值范圍確定自變量x的取值范圍.
【解答】解:(1)根據(jù)表格得: ,
解得: ,
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5,
把x=﹣1代入﹣x2﹣2x+5=6,
則:n=6;
(2)函數(shù)解析式為y=﹣x2﹣2x+5,
∵a=﹣1,b=﹣2,c=5,
∴﹣ =﹣ =﹣1,
= =6,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,6),對(duì)稱軸為x=﹣1;
(3)令y=0,則0=﹣x2﹣2x+5,
解得:x1=﹣1﹣ ,x2=﹣1+ ,
拋物線與x軸的交點(diǎn)是(﹣1﹣ ,0)(﹣1+ ,0),
∵拋物線開(kāi)口向下,且y>0,
∴自變量x的取值范圍為﹣1﹣
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)必能滿足解析式,掌握二次函數(shù)一般式的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(﹣ , ).
23.如圖,大樓頂上有一根旗桿,桿高CD=3m,某人在點(diǎn)A處測(cè)得塔底C的仰角為20°,塔頂D的仰角為23°,求此人距BC的水平距離AB.
(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364,sin23°≈0.391,cos23°≈0.921,tan23°≈0.424)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【分析】首先分析圖形,根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形;本題涉及多個(gè)直角三角形,應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系,進(jìn)而可求出答案.
【解答】解:在Rt△ABC中,
∵∠CAB=20°,
∴BC=AB•tan∠CAB=AB•tan20°.
在Rt△ABD中,
∵∠DAB=23°,
∴BD=AB•tan∠DAB=AB•tan23°.
∴CD=BD﹣BC=AB•tan23°﹣AB•tan20°=AB(tan23°﹣tan20°).
∴AB= ≈ =50(m).
答:此人距CD的水平距離AB約為50m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.
24.如圖直角坐標(biāo)系中,已知A(﹣8,0),B(0,6),點(diǎn)M在線段AB上.
(1)如圖1,如果點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),且⊙M的半徑為4,試判斷直線OB與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,⊙M與x軸、y軸都相切,切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】(1)設(shè)線段OB的中點(diǎn)為D,連結(jié)MD,根據(jù)三角形的中位線求出MD,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可;
(2)求出過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)關(guān)系式是y= x+6,設(shè)M(a,﹣a),把x=a,y=﹣a代入y= x+6得出關(guān)于a的方程,求出即可.
【解答】解:(1)直線OB與⊙M相切,
理由:設(shè)線段OB的中點(diǎn)為D,連結(jié)MD,如圖1,
∵點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),所以MD∥AO,MD=4.
∴∠AOB=∠MDB=90°,
∴MD⊥OB,點(diǎn)D在⊙M上,
又∵點(diǎn)D在直線OB上,
∴直線OB與⊙M相切;
,
(2)解:連接ME,MF,如圖2,
∵A(﹣8,0),B(0,6),
∴設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,
∴ ,
解得:k= ,b=6,
即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y= x+6,
∵⊙M與x軸、y軸都相切,
∴點(diǎn)M到x軸、y軸的距離都相等,即ME=MF,
把x=a,y=﹣a代入y= x+6,
得﹣a= a+6,得a=﹣ ,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣ , ).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用,能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵,注意:直線和圓有三種位置關(guān)系:已知⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離是,當(dāng)d=r時(shí),直線l和⊙O相切.
25.某旅行社為吸引市民組團(tuán)去某景區(qū)旅游,推出如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):
人數(shù) 不超過(guò)30人 超過(guò)30人但不超過(guò)40人 超過(guò)40人
人均旅游費(fèi) 1000元 每增加1人,人均旅游費(fèi)降低20元 800元
某單位組織員工去該風(fēng)景區(qū)旅游,設(shè)有x人參加,應(yīng)付旅游費(fèi)y元.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該單位現(xiàn)有36人,本次旅游至少去31人,則該單位最多應(yīng)付旅游費(fèi)多少元?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)分0≤x≤30,30
(2)先選擇函數(shù)關(guān)系式,然后配方得到頂點(diǎn)式解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答.
【解答】解:(1)由題意可知:
當(dāng)0≤x≤30時(shí),y=1000x,
當(dāng)30
即y=﹣20x2+1600x,
當(dāng)x>40時(shí),y=800x;
(2)由題意,得31≤x≤36,
所以選擇函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣20x2+1600x,
配方,得y=﹣20(x﹣40)2+32000,
∵a=﹣20<0,所以拋物線開(kāi)口向下.又因?yàn)閷?duì)稱軸是直線x=40,
∴當(dāng)x=36時(shí),y有最大值,
即y最大值=﹣20×(36﹣40)2+32000=31680(元)
因此,該單位最多應(yīng)付旅游費(fèi)31680元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,主要涉及利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式求最大值和利用二次函數(shù)的增減性求解最值問(wèn)題,難點(diǎn)在于(1)要分情況討論,(2)根據(jù)優(yōu)惠情況列出付費(fèi)函數(shù)關(guān)系式.
26.如圖,⊙O的直徑FD⊥弦AB于點(diǎn)H,E是 上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)FE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,AB=8,HD=2.
(1)求⊙O的直徑FD;
(2)在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,EF•CF的值是否為定值?若是,求出其定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 的中點(diǎn)時(shí),連接AE交DF于點(diǎn)G,求△FEA的面積.
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】(1)連接OA,由垂徑定理得到AH= AB=4,設(shè)OA=x,在Rt△OAH中,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)垂徑定理得到 ,根據(jù)圓周角定理得到∠BAF=∠AEF,推出△FAE∽△FCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,推出AF2=EF•CF,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論;
(3)連接OE,由E點(diǎn)是 的中點(diǎn),得到∠FAE=45°,∠EOF=90°,于是得到∠EOH=∠AHG,推出△OGE∽△HGA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,求得OG= ,得到FG=OF+OG= ,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.
【解答】解:(1)連接OA,
∵直徑FD⊥弦AB于點(diǎn)H,
∴AH= AB=4,
設(shè)OA=x,
在Rt△OAH中,AO2=AH2+(x﹣2)2,
即x2=42+(x﹣2)2,
∴x=5,
∴DF=2OA=10;
(2)是,
∵直徑FD⊥弦AB于點(diǎn)H,
∴ ,
∴∠BAF=∠AEF,
∵∠AFE=∠CFA,
∴△FAE∽△FCA,
∴ ,
∴AF2=EF•CF,
在Rt△AFH中,
AF2=AH2+FH2=44+82=80,
∴EF•CF=80;
(3)連接OE,
∵E點(diǎn)是 的中點(diǎn),
∴∠FAE=45°,∠EOF=90°,
∴∠EOH=∠AHG,
∵∠OGE=∠HGA,
∴△OGE∽△HGA,
∴ ,
即 = ,
∴OG= ,
∴FG=OF+OG= ,
∴S△FEA=S△EFG+S△AFG= FG•OE+ FG•AH= ×(4+5)=30.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理,勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
27.如圖,拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),直線y=x+b與拋物線交于A、C兩點(diǎn).
(1)求拋物線和直線AC的解析式;
(2)以AC為直徑的⊙D與x軸交于兩點(diǎn)A、E,與y軸交于兩點(diǎn)M、N,分別求出D、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△ACP的內(nèi)心也在對(duì)稱軸上?若存在,說(shuō)出內(nèi)心在對(duì)稱軸上的理由,并求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明原因.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求得即可;
(2)聯(lián)立方程求得C點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得圓心D的坐標(biāo),然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求得;
(3)求得拋物線的對(duì)稱軸,然后作CG⊥y軸,交對(duì)稱軸與G,設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于H,由題意可知∠APH=∠CPG,從而證得△APH∽△CPG,得出 = ,設(shè)P的坐標(biāo)為(1,a),則AH=2,PH=﹣a,CG=4,PG=6﹣a,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得a的值.
【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(3,0),
∴ ,
解得: ,
∴拋物線的解析式為y= x2﹣x﹣ ,
∵直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0),
∴﹣1+b=0,解得:b=1,
∴直線AC的解析式為y=x+1;
(2)由題意可得:
解得: 或 ,
∴A(﹣1,0),C(5,6),
∴圓心D的坐標(biāo)為(2,3),AC= =6 ,
如圖1,作DE⊥y軸于E,則DE=2,連接DM,則DM=3 ,
∴DM= = ,
∴M(0,3+ ),N(0,3﹣ );
(3)如圖2,作CG⊥y軸,交對(duì)稱軸與G,設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于H,
由題意可知∠APH=∠CPG,
∴△APH∽△CPG,
∴ = ,
∵拋物線的解析式為y= x2﹣x﹣ = (x﹣1)2﹣2
∴拋物線的對(duì)稱軸為y=1,
設(shè)P的坐標(biāo)為(1,a),
∴AH=2,PH=﹣a,CG=4,PG=6﹣a,
∴ = ,
解得a=﹣6,
∴P(1,﹣6).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用、三角形相似的判定和性質(zhì)等知識(shí),(3)根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得出∠APH=∠CPG是解題的關(guān)鍵.
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