2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷
2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷
不管是文科還是理科，數(shù)學(xué)都是重要的一門(mén)科目，考試之前多做九年級(jí)數(shù)學(xué)模擬題總是好的。以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試題，希望對(duì)大家有幫助!
2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試題
一、選擇題(本大題10小題，每小題3分，共30分.把答案寫(xiě)在答題框中去)
1.下列四個(gè)圖形中，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x﹣1)2=6 D.(x﹣2)2=9
3.如圖，正方形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到正方形ODEF，連接AF，則∠OFA的度數(shù)是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
4.若方程(m﹣3)x ﹣x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則方程( )
A.無(wú)實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.有一個(gè)根
5.已知⊙O1與⊙O2的圓心距O1O2=6cm，且兩圓的半徑滿(mǎn)足一元二次方程x2﹣6x+8=0.則兩圓的位置關(guān)系為( )
A.外切 B.內(nèi)切 C.外離 D.相交
6.將拋物線(xiàn)y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)為( )
A.y=3(x﹣2)2﹣1 B.y=3(x﹣2)2+1 C.y=3(x+2)2﹣1 D.y=3(x+2)2+1
7.畢業(yè)之際，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品，每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為( )
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
8.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50cm的正方形洞口，要用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，那么圓蓋的直徑至少應(yīng)為( )
A.50cm B.25 cm C.50 cm D.50 cm
9.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率為( )
A. B. C. D.
10.如圖，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=﹣1，下列結(jié)論中：
①ab>0，‚②a+b+c>0，ƒ③當(dāng)﹣2
正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
二、填空題(本大題6小題，每小題4分，共24分)
11.已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)根，則(x1﹣2)(x2﹣2)= .
12.方程x2﹣2x=0的根是 .
13.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PC切半圓O于點(diǎn)C，連接AC.若∠CPA=20°，則∠A= °.
14.二次函數(shù)y=x2﹣6x+n的部分圖象如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一個(gè)解為x1=1，則另一個(gè)解x2= .
15.某樓盤(pán)2013年房?jī)r(jià)為每平方米8100元，經(jīng)過(guò)兩年連續(xù)降價(jià)后，2015年房?jī)r(jià)為7600元.設(shè)該樓盤(pán)這兩年房?jī)r(jià)平均降低率為x，根據(jù)題意可列方程為 .
16.小明把如圖所示的矩形紙板ABCD掛在墻上，E為AD中點(diǎn)，且∠ABD=60°，并用它玩飛鏢游戲
17.(6分)解方程：x2﹣6x﹣2=0.
18.(6分)用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0.
19.(6分)已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及該方程的另一根;
(2)求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
四、解答題(二)(本大題3小題，每小題7分，共21分)
20.(7分)如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E.
(1)證明：DE為⊙O的切線(xiàn);
(2)連接OE，若BC=4，求△OEC的面積.
21.(7分)在陽(yáng)光體育活動(dòng)時(shí)間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學(xué)校乒乓球室打乒乓球，當(dāng)時(shí)只有一副空球桌，他們只能選兩人打第一場(chǎng).
(1)如果確定小亮打第一場(chǎng)，再?gòu)钠溆嗳酥须S機(jī)選取一人打第一場(chǎng)，求恰好選中大剛的概率;
(2)如果確定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場(chǎng).游戲規(guī)則是：三人同時(shí)伸“手心、手背”中的一種手勢(shì)，如果恰好有兩人伸出的手勢(shì)相同，那么這兩人上場(chǎng)，否則重新開(kāi)始，這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機(jī)的，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場(chǎng)的概率.
22.(7分)某商店代銷(xiāo)一批季節(jié)性服裝，每套代銷(xiāo)成本40元，第一個(gè)月每套銷(xiāo)售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180套;應(yīng)市場(chǎng)變化需上調(diào)第一個(gè)月的銷(xiāo)售價(jià)，預(yù)計(jì)銷(xiāo)售定價(jià)每增加1元，銷(xiāo)售量將減少10套.
(1)若設(shè)第二個(gè)月的銷(xiāo)售定價(jià)每套增加x元，填寫(xiě)表格：
時(shí)間 第一個(gè)月 第二個(gè)月
銷(xiāo)售定價(jià)(元)
銷(xiāo)售量(套)
(2)若商店預(yù)計(jì)要在第二個(gè)月的銷(xiāo)售中獲利2000元，則第二個(gè)月銷(xiāo)售定價(jià)每套多少元?
(3)若要使第二個(gè)月利潤(rùn)達(dá)到最大，應(yīng)定價(jià)為多少?此時(shí)第二個(gè)月的最大利潤(rùn)是多少?
五、解答題(三)(本大題3小題，每小題9分，共27分)
23.(9分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PD切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，連接AD并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)E.
(1)求證：AB=BE;
(2)若PA=2，cosB= ，求⊙O半徑的長(zhǎng).
24.(9分)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的方格紙中，有一個(gè)△ABC和一點(diǎn)O，△ABC的頂點(diǎn)和點(diǎn)O均與小正方形的頂點(diǎn)重合.
(1)在方格紙中，將△ABC向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，請(qǐng)畫(huà)出△A1B1C1;
(2)在方格紙中，將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2.
25.(9分)如圖①，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC.
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使得△MBC的面積與△OBC的面積相等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)D(2，m)在第一象限的拋物線(xiàn)上，連接BD.在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠PBC=∠DBC?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷答案
一、選擇題(本大題10小題，每小題3分，共30分.把答案寫(xiě)在答題框中去)
1.下列四個(gè)圖形中，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱(chēng)圖形.
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解.
【解答】解：A、是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤;
B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤;
C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故正確;
D、是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
2.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x﹣1)2=6 D.(x﹣2)2=9
【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.
【分析】配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;
(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
【解答】解：由原方程移項(xiàng)，得
x2﹣2x=5，
方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1=6
∴(x﹣1)2=6.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).
3.如圖，正方形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到正方形ODEF，連接AF，則∠OFA的度數(shù)是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOF的度數(shù)，OA=OF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠OFA的度數(shù).
【解答】解：∵正方形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=(180°﹣130°)÷2=25°.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).
4.若方程(m﹣3)x ﹣x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則方程( )
A.無(wú)實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.有一個(gè)根
【考點(diǎn)】根的判別式.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可得出關(guān)于m的一元一次不等式以及一元二次方程，解之即可得出m的值，將m的值代入原方程，再根據(jù)根的判別式△=73>0即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵方程(m﹣3)x ﹣x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴ ，解得：m=﹣3，
∴原方程為﹣6x2﹣x+3=0.
∵△=(﹣1)2﹣4×(﹣6)×3=73>0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，熟練掌握“當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.
5.已知⊙O1與⊙O2的圓心距O1O2=6cm，且兩圓的半徑滿(mǎn)足一元二次方程x2﹣6x+8=0.則兩圓的位置關(guān)系為( )
A.外切 B.內(nèi)切 C.外離 D.相交
【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系;解一元二次方程-因式分解法.
【分析】解答此題，先要求一元二次方程的兩根，然后根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷條件，確定位置關(guān)系.
【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得：
x1=2，x2=4，
∵O1O2=6，x2﹣x1=2，x2+x1=6，
∴O1O2=x2+x1.
∴⊙O1與⊙O2相外切.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，綜合考查一元二次方程的解法及兩圓的位置關(guān)系的判斷.此類(lèi)題比較基礎(chǔ)，需要同學(xué)熟練掌握.
6.將拋物線(xiàn)y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)為( )
A.y=3(x﹣2)2﹣1 B.y=3(x﹣2)2+1 C.y=3(x+2)2﹣1 D.y=3(x+2)2+1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】先求出平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出拋物線(xiàn)解析式即可.
【解答】解：拋物線(xiàn)y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，﹣1)，
所得拋物線(xiàn)為y=3(x+2)2﹣1.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
7.畢業(yè)之際，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品，每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為( )
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】易得每個(gè)同學(xué)都要送給其他同學(xué)，等量關(guān)系為：小組的人數(shù)×(小組人數(shù)﹣1)=30，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可.
【解答】解：設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人.
x(x﹣1)=30，
解得x1=6，x2=﹣5(不合題意，舍去)，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的應(yīng)用;得到禮物總件數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
8.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50cm的正方形洞口，要用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，那么圓蓋的直徑至少應(yīng)為( )
A.50cm B.25 cm C.50 cm D.50 cm
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【分析】根據(jù)圓與其內(nèi)切正方形的關(guān)系，易得圓蓋的直徑至少應(yīng)為正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，已知正方形邊長(zhǎng)為50cm，進(jìn)而由勾股定理可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，知圓蓋的直徑至少應(yīng)為正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng);再根據(jù)勾股定理，得圓蓋的直徑至少應(yīng)為： =50 .
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正多邊形和圓的相關(guān)知識(shí);注意：熟記等腰直角三角形的斜邊是直角邊的 倍，可以給解決此題帶來(lái)方便.
9.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】直接根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率= = .
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).
10.如圖，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=﹣1，下列結(jié)論中：
?、賏b>0，‚②a+b+c>0，ƒ③當(dāng)﹣2
正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】①由拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，判斷a，b與0的關(guān)系，得到ab>0;故①正確;
?、谟蓌=1時(shí)，得到y(tǒng)=a+b+c>0;故②正確;
?、鄹鶕?jù)對(duì)稱(chēng)軸和拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，得到另一個(gè)交點(diǎn)，然后根據(jù)圖象確定答案即可.
【解答】解：①∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，
∴a>0，
∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，
∴b>0
∴ab>0;故①正確;
?、凇哂^察圖象知;當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c>0，
∴②正確;
③∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，與x軸交于(0，0)，
∴另一個(gè)交點(diǎn)為(﹣2，0)，
∴當(dāng)﹣2
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.
二、填空題(本大題6小題，每小題4分，共24分)
11.已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)根，則(x1﹣2)(x2﹣2)= ﹣4 .
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得兩根之積或兩根之和，根據(jù)(x1﹣2)(x2﹣2)=x1x2﹣2(x1+x2)+4代入數(shù)值計(jì)算即可.
【解答】解：由于x1+x2=3，x1•x2=﹣2，
∴(x1﹣2)(x2﹣2)=x1x2﹣2(x1+x2)+4=﹣2﹣2×3+4=﹣4.
故本題答案為：﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】本題的解答利用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由此看來(lái)我們還是應(yīng)該熟練地掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
12.方程x2﹣2x=0的根是 x1=0，x2=2 .
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】因?yàn)閤2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解較簡(jiǎn)便.
【解答】解：因式分解得x(x﹣2)=0，
解得x1=0，x2=2.
故答案為x1=0，x2=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)把方程通過(guò)移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡(jiǎn)便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用.
13.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PC切半圓O于點(diǎn)C，連接AC.若∠CPA=20°，則∠A= 35 °.
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì);圓周角定理.
【分析】連接OC，由PC為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OC與CP垂直，在直角三角形OPC中，利用兩銳角互余根據(jù)∠CPA的度數(shù)求出∠COP的度數(shù)，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到∠A=∠OCA，利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù).
【解答】解：連接OC，
∵PC切半圓O于點(diǎn)C，
∴PC⊥OC，即∠PCO=90°，
∵∠CPA=20°，
∴∠POC=70°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=35°.
故答案為：35
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及外角性質(zhì)，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
14.二次函數(shù)y=x2﹣6x+n的部分圖象如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一個(gè)解為x1=1，則另一個(gè)解x2= 5 .
【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直接求出x2的值.
【解答】解：由圖可知，對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣ = =3，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性， =3，
解得x2=5.
故答案為：5.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，要注意數(shù)形結(jié)合，熟悉二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).
15.某樓盤(pán)2013年房?jī)r(jià)為每平方米8100元，經(jīng)過(guò)兩年連續(xù)降價(jià)后，2015年房?jī)r(jià)為7600元.設(shè)該樓盤(pán)這兩年房?jī)r(jià)平均降低率為x，根據(jù)題意可列方程為 8100×(1﹣x)2=7600 .
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.
【分析】該樓盤(pán)這兩年房?jī)r(jià)平均降低率為x，則第一次降價(jià)后的單價(jià)是原價(jià)的1﹣x，第二次降價(jià)后的單價(jià)是原價(jià)的(1﹣x)2，根據(jù)題意列方程解答即可.
【解答】解：設(shè)該樓盤(pán)這兩年房?jī)r(jià)平均降低率為x，根據(jù)題意列方程得：
8100×(1﹣x)2=7600，
故答案為：8100×(1﹣x)2=7600.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，注意第二次降價(jià)后的價(jià)格是在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上進(jìn)行降價(jià)的.找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
16.小明把如圖所示的矩形紙板ABCD掛在墻上，E為AD中點(diǎn)，且∠ABD=60°，并用它玩飛鏢游戲
17.解方程：x2﹣6x﹣2=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.
【分析】首先把方程移項(xiàng)變形成x2﹣6x=2，然后方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可把方程左邊變形成完全平方，右邊是常數(shù)的形式.
【解答】解：移項(xiàng)，得x2﹣6x=2
配方，得(x﹣3)2=11，
即x﹣3= 或x﹣3=﹣ ，
所以，方程的解為x1=3+ ，x2=3﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】[總結(jié)反思]把一元二次方程化為ax2+bx+c=0形式.
且x2+ x+ =0配方過(guò)程為
x2+ x+( )2=( )2﹣ ，
(x+ )2= ，即x1，2=﹣ ± (b2﹣4ac≥0).
18.用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.
【分析】把常數(shù)項(xiàng)﹣2移項(xiàng)后，在左右兩邊同時(shí)加上1配方求解.
【解答】解：x2﹣2x+1=3
(x﹣1)2=3
∴x﹣1= 或x﹣1=﹣
∴ ，
【點(diǎn)評(píng)】配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;
(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).
19.已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及該方程的另一根;
(2)求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【考點(diǎn)】根的判別式.
【分析】(1)設(shè)方程的另一個(gè)根為x，則由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，求出即可;
(2)寫(xiě)出根的判別式，配方后得到完全平方式，進(jìn)行解答.
【解答】解：(1)設(shè)方程的另一個(gè)根為x，
則由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，
解得：x=﹣ ，a= ，
即a= ，方程的另一個(gè)根為﹣ ;
(2)∵△=a2﹣4(a﹣2)=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=(a﹣2)2+4>0，
∴不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)的兩個(gè)根，則x1+x2=﹣ ，x1•x2= ，要記牢公式，靈活運(yùn)用.
四、解答題(二)(本大題3小題，每小題7分，共21分)
20.如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E.
(1)證明：DE為⊙O的切線(xiàn);
(2)連接OE，若BC=4，求△OEC的面積.
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的判定;等腰三角形的性質(zhì);三角形中位線(xiàn)定理;圓周角定理.
【分析】(1)首先連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結(jié)論;
(2)首先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求得BD，DE，AE的長(zhǎng)，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面積，繼而求得答案.
【解答】(1)證明：連接OD，CD，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D點(diǎn)在⊙O上，
∴DE為⊙O的切線(xiàn);
(2)解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD= BC=2，BD=BC•cos30°=2 ，
∴AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，
∴S△ABC= AB•CD= ×4 ×2=4 ，
∵DE⊥AC，
∴DE= AD= ×2 = ，
AE=AD•cos30°=3，
∴S△ODE= OD•DE= ×2× = ，
S△ADE= AE•DE= × ×3= ，
∵S△BOD= S△BCD= × S△ABC= ×4 = ，
∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4 ﹣ ﹣ ﹣ = .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線(xiàn)的判定、三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識(shí).此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
21.在陽(yáng)光體育活動(dòng)時(shí)間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學(xué)校乒乓球室打乒乓球，當(dāng)時(shí)只有一副空球桌，他們只能選兩人打第一場(chǎng).
(1)如果確定小亮打第一場(chǎng)，再?gòu)钠溆嗳酥须S機(jī)選取一人打第一場(chǎng)，求恰好選中大剛的概率;
(2)如果確定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場(chǎng).游戲規(guī)則是：三人同時(shí)伸“手心、手背”中的一種手勢(shì)，如果恰好有兩人伸出的手勢(shì)相同，那么這兩人上場(chǎng)，否則重新開(kāi)始，這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機(jī)的，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場(chǎng)的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法;概率公式.
【分析】(1)由小亮打第一場(chǎng)，再?gòu)钠溆嗳酥须S機(jī)選取一人打第一場(chǎng)，求出恰好選中大剛的概率即可;
(2)畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情況數(shù)，即可求出所求的概率.
【解答】解：(1)∵確定小亮打第一場(chǎng)，
∴再?gòu)男‖?，小芳和大剛中隨機(jī)選取一人打第一場(chǎng)，恰好選中大剛的概率為 ;
(2)列表如下：
所有等可能的情況有6種(除去三個(gè)人相同的情況)，其中小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且與大剛不同的結(jié)果有2個(gè)，
則小瑩與小芳打第一場(chǎng)的概率為 =
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
22.某商店代銷(xiāo)一批季節(jié)性服裝，每套代銷(xiāo)成本40元，第一個(gè)月每套銷(xiāo)售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180套;應(yīng)市場(chǎng)變化需上調(diào)第一個(gè)月的銷(xiāo)售價(jià)，預(yù)計(jì)銷(xiāo)售定價(jià)每增加1元，銷(xiāo)售量將減少10套.
(1)若設(shè)第二個(gè)月的銷(xiāo)售定價(jià)每套增加x元，填寫(xiě)表格：
時(shí)間 第一個(gè)月 第二個(gè)月
銷(xiāo)售定價(jià)(元) 52 52+x
銷(xiāo)售量(套) 180 180﹣10x
(2)若商店預(yù)計(jì)要在第二個(gè)月的銷(xiāo)售中獲利2000元，則第二個(gè)月銷(xiāo)售定價(jià)每套多少元?
(3)若要使第二個(gè)月利潤(rùn)達(dá)到最大，應(yīng)定價(jià)為多少?此時(shí)第二個(gè)月的最大利潤(rùn)是多少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意可以將表格補(bǔ)充完整;
(2)根據(jù)題意可以寫(xiě)出獲得的利潤(rùn)的表達(dá)式，令利潤(rùn)等于2000，即可求得第二個(gè)月的銷(xiāo)售定價(jià)每套的價(jià)格;
(3)根據(jù)利潤(rùn)的表達(dá)式化為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可解答本題.
【解答】解：(1)若設(shè)第二個(gè)月的銷(xiāo)售定價(jià)每套增加x元，由題意可得，
時(shí)間 第一個(gè)月 第二個(gè)月
銷(xiāo)售定價(jià)(元) 52 52+x
銷(xiāo)售量(套) 180 180﹣10x
故答案為：52，180;52+x，180﹣10x.
(2)若設(shè)第二個(gè)月的銷(xiāo)售定價(jià)每套增加x元，根據(jù)題意得：
(52+x﹣40)(180﹣10x)=2000，
解得：x1=﹣2(舍去)，x2=8，
當(dāng)x=8時(shí)，52+x=52+8=60.
答：第二個(gè)月銷(xiāo)售定價(jià)每套應(yīng)為60元.
(3)設(shè)第二個(gè)月利潤(rùn)為y元.
由題意得到：y=(52+x﹣40)(180﹣10x)
=﹣10x2+60x+2160
=﹣10(x﹣3)2+2250
∴當(dāng)x=3時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=2250，
∴52+x=52+3=55，
即要使第二個(gè)月利潤(rùn)達(dá)到最大，應(yīng)定價(jià)為55元，此時(shí)第二個(gè)月的最大利潤(rùn)是2250元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的關(guān)系式，找出所求問(wèn)題需要的條件.
五、解答題(三)(本大題3小題，每小題9分，共27分)
23.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PD切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，連接AD并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)E.
(1)求證：AB=BE;
(2)若PA=2，cosB= ，求⊙O半徑的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì);解直角三角形.
【分析】(1)本題可連接OD，由PD切⊙O于點(diǎn)D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果;
(2)由(1)知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.
【解答】(1)證明：連接OD，
∵PD切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE;
(2)解：由(1)知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB= ，
在Rt△POD中，cos∠POD= = ，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴ ，
∴OA=3，
∴⊙O半徑=3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，正確的畫(huà)出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.
24.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的方格紙中，有一個(gè)△ABC和一點(diǎn)O，△ABC的頂點(diǎn)和點(diǎn)O均與小正方形的頂點(diǎn)重合.
(1)在方格紙中，將△ABC向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，請(qǐng)畫(huà)出△A1B1C1;
(2)在方格紙中，將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2.
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;作圖-平移變換.
【分析】無(wú)論是何種變換都需先找出各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可.
【解答】解：
【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是作各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
25.如圖①，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC.
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使得△MBC的面積與△OBC的面積相等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)D(2，m)在第一象限的拋物線(xiàn)上，連接BD.在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠PBC=∠DBC?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題;一元二次方程的解;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，可求得拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)根據(jù)直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣x+3，可得過(guò)點(diǎn)O與BC平行的直線(xiàn)y=﹣x，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為M，據(jù)此求得點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)BP交軸y于點(diǎn)G，再根據(jù)點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，進(jìn)而判定△CGB≌△CDB，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，1)，得到直線(xiàn)BP的解析式為y=﹣ x+1，最后計(jì)算直線(xiàn)BP與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
【解答】解：(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，
∴ ，
解得 ，
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3;
(2)存在.
∵拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，
∵C(0，3)，B(3，0)，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣x+3，
∴過(guò)點(diǎn)O與BC平行的直線(xiàn)y=﹣x，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為M，
解方程組 ，
可得 或 ，
∴M1( ， )，M2( ， );
(3)存在.
如圖，設(shè)BP交軸y于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)D(2，m)在第一象限的拋物線(xiàn)上，
∴當(dāng)x=2時(shí)，m=﹣22+2×2+3=3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，3)，
把x=0代入y=﹣x2+2x+3，得y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，
∴CD∥x軸，CD=2，
∵點(diǎn)B(3，0)，
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，
又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，
∴△CGB≌△CDB(ASA)，
∴CG=CD=2，
∴OG=OC﹣CG=1，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，1)，
設(shè)直線(xiàn)BP的解析式為y=kx+1，
將B(3，0)代入，得3k+1=0，
解得k=﹣ ，
∴直線(xiàn)BP的解析式為y=﹣ x+1，
令﹣ x+1=﹣x2+2x+3，
解得 ，x2=3，
∵點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸x=﹣ =1左側(cè)的一點(diǎn)，即x<1，
∴x=﹣ ，
把x=﹣ 代入拋物線(xiàn)y=﹣x2+2x+3中，
解得y= ，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣ ， )時(shí)，滿(mǎn)足∠PBC=∠DBC.
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算等重要知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，找出判定全等三角形的條件.