九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷及答案
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷及答案
數(shù)學(xué)考試順利能否遂了自己的心愿，每一個(gè)人自己的內(nèi)心數(shù)學(xué)期末目標(biāo)是多少分呢?以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷，希望對(duì)大家有幫助!
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷
一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))
1.已知3x=5y(xy≠0)，則下列比例式成立的是( )
A. = B. = C. = D. =
2.已知點(diǎn)P(﹣3，2)是反比例函數(shù)圖象上的一 點(diǎn)，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為( )
A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣
3.已知∠A為銳角，且sinA= ，那么∠A等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.若AD=1，DB=2，則△ADE的面積與△ABC的面積的比等于( )
A. B. C. D.
5.如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC=∠A，BC= ，AC=3，則CD的長(zhǎng)為( )
A.1 B. C.2 D.
6.如圖，△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的三邊分別記為a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：OF=( )
A.a：b：c B.
C.cosA：cosB：cosC D.sinA：sinB：sinC
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
7.一個(gè)圓盤被平均分成紅、黃、藍(lán)、白4個(gè)扇形區(qū)域，向其投擲一枚飛鏢，且落在圓盤內(nèi)，則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是 .
8.方程x2﹣x=0的解是 .
9.如圖，已知l1∥l2∥l3，若AB：BC=3：5，DF=8，則DE= .
10.如果一個(gè)扇形的圓心角為135°，半徑為8，那么該扇形的弧長(zhǎng)是 .
11.如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=140°，則∠AOC的度數(shù)是 度.
12.將二次函數(shù)y=x2﹣4x+5化成y=(x﹣h)2+k的形式，則y= .
13.如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)C在∠BAD的一邊AD上，且A、B、C為格點(diǎn)，sin∠BAD的值是 .
14.如圖，將函數(shù)y= (x>0)的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位后交x軸于點(diǎn)C.若點(diǎn)D是平移后函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且△BCD的面積是3，已知點(diǎn)B(﹣2，0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo) .
三、(本大題共4小題，每小題6分，共24分)
15.計(jì)算： ﹣2sin45°+(2﹣π)0﹣ tan30°.
16.設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣4x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)k，使得x1x2>x1+x2成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
17.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD.求證：△ADE∽△ABD.
18.如圖A、B在圓上，圖1中，點(diǎn)P在圓內(nèi);圖2中，點(diǎn)P在圓外，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求畫圖.求作△CDP，使△CDP與△ABP相似，且C、D在圓上，相似比不為1.
四、(本大題共4小題，每小題8分，共32分)
19.已知：△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)，(正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度)
(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1;
(2)以B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比2：1，直接寫出C2點(diǎn)坐標(biāo)是 ;
(3)△A2BC2的面積是 平方單位.
20.一枚棋子放在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A處，通過(guò)摸球來(lái)確定該棋子的走法，其規(guī)則是：在一只不透明的袋子中，裝有3個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1、2、3的相同小球，攪勻后從中任意摸出1個(gè)，記下標(biāo)號(hào)后放回袋中并攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)，摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是幾棋子就沿邊按順時(shí)針?lè)较蜃邘讉€(gè)單位長(zhǎng)度.
棋子走到哪一點(diǎn)的可能性最大?求出棋子走到該點(diǎn)的概率.(用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求解)
21.已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連接AD、BD、BE.
(1)在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖中的兩對(duì)相似三角形.
(2)給出其中一對(duì)相似三角形的證明.
22.某學(xué)校的校門是伸縮門(如圖1)，伸縮門中的每一行菱形有20個(gè)，每個(gè)菱形邊長(zhǎng)為30厘米.校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為60°(如圖2);校門打開(kāi)時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°(如圖3).問(wèn)：校門打開(kāi)了多少米?(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848).
五、(本大題共10分)
23.如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF.
(1)線段BE與AF的位置關(guān)系是 ， = .
(2)如圖2，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)(0°
(3)如圖3，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)(0°
六、(本大題共12分)
24.如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(2，0)，與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)E是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出四邊形ABEC的最大面積;
(3)若點(diǎn)M在拋物線上，且在y軸的右側(cè).⊙M與y軸相切，切點(diǎn)為D.以C，D，M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo).
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末模擬試卷答案
一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))
1.已知3x=5y(xy≠0)，則下列比例式成立的是( )
A. = B. = C. = D. =
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.
【解答】解：A、由 = 得3x=5y，故本選項(xiàng)正確;
B、由 = 得xy=15，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、由 = 得5x=3y，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、由 = 得5x=3y，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選A.
2.已知點(diǎn)P(﹣3，2)是反比例函數(shù)圖象上的一 點(diǎn)，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為( )
A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.
【分析】把點(diǎn)P(﹣3，2)代入函數(shù)y= 中可先求出k的值，那么就可求出函數(shù)解析式.
【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (k≠0)，
∵點(diǎn)P(﹣3，2)是反比例函數(shù)圖象上的一 點(diǎn)，
∴2= ，得k=﹣6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ .
故選D.
3.已知∠A為銳角，且sinA= ，那么∠A等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.
【解答】解：∵sinA= ，∠A為銳角，
∴∠A=30°.
故選B.
4.如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.若AD=1，DB=2，則△ADE的面積與△ABC的面積的比等于( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)DE∥BC，即可證得△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可求解.
【解答】解：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+DB=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =( )2=( )2= .
故選：D.
5.如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC=∠A，BC= ，AC=3，則CD的長(zhǎng)為( )
A.1 B. C.2 D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由條件可證明△CBD∽△CAB，可得到 = ，代入可求得CD.
【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴ = ，即 = ，
∴CD=2，
故選C.
6.如圖，△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的三邊分別記為a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：OF=( )
A.a：b：c B.
C.cosA：cosB：cosC D.sinA：sinB：sinC
【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.
【分析】設(shè)三角形的外接圓的半徑是R，根據(jù)垂徑定理，在直角△OBD中，利用三角函數(shù)即可用外接圓的半徑表示出OD的長(zhǎng)，同理可以表示出OE，OF的長(zhǎng)，即可求解.
【解答】解：設(shè)三角形的外接圓的半徑是R.
連接OB，OC.
∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC.
∴∠BOD=∠COD=∠A
在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA.
同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC.
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC.
故選C.
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
7.一個(gè)圓盤被平均分成紅、黃、藍(lán)、白4個(gè)扇形區(qū)域，向其投擲一枚飛鏢，且落在圓盤內(nèi)，則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是 .
【考點(diǎn)】幾何概率.
【分析】根據(jù)一個(gè)圓盤被平均分成紅、黃、藍(lán)、白4個(gè)扇形區(qū)域，飛鏢落在每一個(gè)區(qū)域的機(jī)會(huì)是均等的，其中白色區(qū)域的面積占了其中的 ，再根據(jù)概率公式即可得出答案.
【解答】解：∵一個(gè)圓盤被平均分成紅、黃、藍(lán)、白4個(gè)扇形區(qū)域，飛鏢落在每一個(gè)區(qū)域的機(jī)會(huì)是均等的，其中白色區(qū)域的面積占了其中的 ，
∴飛鏢落在白色區(qū)域的概率是 ;
故答案為： .
8.方程x2﹣x=0的解是 0或1 .
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】本題應(yīng)對(duì)方程進(jìn)行變形，提取公因式x，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來(lái)解題.
【解答】解：原方程變形為：x(x﹣1)=0，
∴x=0或x=1.
9.如圖，已知l1∥l2∥l3，若AB：BC=3：5，DF=8，則DE= 3 .
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】首先由已知l1∥l2∥l3，證得 ，又由AB：BC=3：5，DF=16，即可求得DE的長(zhǎng).
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
∵AB：BC=3：5，AB+BC=AC，
∴AB：AC=3：8，
∵DF=，
∴ ，
∴DE=3.
故答案為：3.
10.如果一個(gè)扇形的圓心角為135°，半徑為8，那么該扇形的弧長(zhǎng)是 6π .
【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算.
【分析】弧長(zhǎng)公式是l= ，代入就可以求出弧長(zhǎng).
【解答】解：弧長(zhǎng)是： =6π.
11.如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=140°，則∠AOC的度數(shù)是 80 度.
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);圓周角定理.
【分析】由ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=140°，可求得∠D，然后由圓周角定理，即可求得答案.
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=140°，
∴∠D=180°﹣∠B=40°，
∴∠AOC=2∠D=80°.
故答案為：80°.
12.將二次函數(shù)y=x2﹣4x+5化成y=(x﹣h)2+k的形式，則y= (x﹣2)2+1 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的三種形式.
【分析】將二次函數(shù)y=x2﹣4x+5的右邊配方即可化成y=(x﹣h)2+k的形式.
【解答】解：y=x2﹣4x+5，
y=x2﹣4x+4﹣4+5，
y=x2﹣4x+4+1，
y=(x﹣2)2+1.
故答案為：y=(x﹣2)2+1.
13.如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)C在∠BAD的一邊AD上，且A、B、C為格點(diǎn)，sin∠BAD的值是 .
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】連接BC，根據(jù)勾股定理，可求得AB，BC，AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理，可得△ABC為直角三角形，即可求得 sin∠BAD的值.
【解答】解：連接BC，
根據(jù)勾股定理，可求得AB= ，BC= ，AC= ，
根據(jù)勾股定理的逆定理，可得∠ABC=90°，
∴sin∠BAD= = = .
故答案為： .
14.如圖，將函數(shù)y= (x>0)的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位后交x軸于點(diǎn)C.若點(diǎn)D是平移后函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且△BCD的面積是3，已知點(diǎn)B(﹣2，0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo) ( ，2)或(3，﹣2) .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;坐標(biāo)與圖形變化﹣平移.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可得變換后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y= ﹣3，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，那么BC=3，設(shè)△BCD的邊BC上高為h，根據(jù)△BCD的面積是3可求得h=2，從而求得D的坐標(biāo).
【解答】解：∵將函數(shù)y= (x>0)的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位后得到y(tǒng)= ﹣3，
令y=0，得0= ﹣3，解得x=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)，
∵點(diǎn)B(﹣2，0)，
∴BC=3.
設(shè)△BCD的邊BC上高為h，
∵△BCD的面積是3，
∴ ×3h=3，
∴h=2，
將y=2代入y= ﹣3，解得x= ;
將y=﹣2代入y= ﹣3，解得x=3.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是( ，2)或(3，﹣2).
故答案為( ，2)或(3，﹣2).
三、(本大題共4小題，每小題6分，共24分)
15.計(jì)算： ﹣2sin45°+(2﹣π)0﹣ tan30°.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】分別進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪等運(yùn)算，然后合并.
【解答】解：原式=2 ﹣2× +1﹣ ×
= .
16.設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣4x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)k，使得x1x2>x1+x2成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x(chóng)1x2>x1+x2，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍，由兩個(gè)k的范圍無(wú)交集即可得出不存在實(shí)數(shù)k使得x1x2>x1+x2成立.
【解答】解：不存在，理由如下：
∵方程x2﹣4x+k+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=(﹣4)2﹣4(k+1)=12﹣4k≥0，
∴k≤3.
∵x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣4x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2=4，x1x2=k+1，
∵x1x2>x1+x2，
∴k+1>4，
解得：k>3.
∴不存在實(shí)數(shù)k使得x1x2>x1+x2成立.
17.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD.求證：△ADE∽△ABD.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，由三角形的外角性質(zhì)和已知條件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.
【解答】證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE，∠BDE=∠CAD，
∴∠ADE=∠C，
∴∠B=∠ADE，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD.
18.如圖A、B在圓上，圖1中，點(diǎn)P在圓內(nèi);圖2中，點(diǎn)P在圓外，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求畫圖.求作△CDP，使△CDP與△ABP相似，且C、D在圓上，相似比不為1.
【考點(diǎn)】作圖—相似變換.
【分析】圖1中延長(zhǎng)AP、BP交⊙O于C、D，連接CD即可得;圖2中連接AP、BP交⊙O于C、D兩點(diǎn)，連接CD即可得.
【解答】解：如圖所示，△CDP即為所求.
四、(本大題共4小題，每小題8分，共32分)
19.已知：△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)，(正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度)
(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1;
(2)以B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比2：1，直接寫出C2點(diǎn)坐標(biāo)是 (1，0) ;
(3)△A2BC2的面積是 10 平方單位.
【考點(diǎn)】作圖﹣位似變換;作圖﹣平移變換.
【分析】(1)利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出即可;
(2)利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(3)利用△A2BC2的形狀求出其面積即可.
【解答】解：(1)如圖所示：△A1B1C1，即為所求;
(2)如圖所示：△A2BC2即為所求，C2點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0);
(3)△A2BC2的面積位為： ×(2 )=10平方單位.
故答案為：10.
20.一枚棋子放在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A處，通過(guò)摸球來(lái)確定該棋子的走法，其規(guī)則是：在一只不透明的袋子中，裝有3個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1、2、3的相同小球，攪勻后從中任意摸出1個(gè)，記下標(biāo)號(hào)后放回袋中并攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)，摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是幾棋子就沿邊按順時(shí)針?lè)较蜃邘讉€(gè)單位長(zhǎng)度.
棋子走到哪一點(diǎn)的可能性最大?求出棋子走到該點(diǎn)的概率.(用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求解)
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】先畫樹(shù)形圖：共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是2的占1種，摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是3的占2種，摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是4的占3種，摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是5的占兩種，摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是6的占一種;即可知道棋子走到哪一點(diǎn)的可能性最大，根據(jù)概率的概念也可求出棋子走到該點(diǎn)的概率.
【解答】解：畫樹(shù)形圖：
共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是2的占1種，
摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是3的占2種，
摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是4的占3種，
摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是5的占兩種，
摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和是6的占一種;
所以棋子走E點(diǎn)的可能性最大，
棋子走到E點(diǎn)的概率= = .
21.已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連接AD、BD、BE.
(1)在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖中的兩對(duì)相似三角形.
(2)給出其中一對(duì)相似三角形的證明.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定;直角梯形;圓周角定理.
【分析】(1)利用直角梯形的性質(zhì)和圓周角定理即可證明△OAD∽△CDB;△ADB∽△ECB;
(2)利用相似三角形的判定方法兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可.
【解答】(1)解：△OAD∽△CDB;△ADB∽△ECB;
(2)求證：;△ADB∽△ECB;
證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，
∴∠C=90°，
∴∠C=∠ADB=90°，
∵∠A=∠BEC，
∴△ADB∽△ECB.
22.某學(xué)校的校門是伸縮門(如圖1)，伸縮門中的每一行菱形有20個(gè)，每個(gè)菱形邊長(zhǎng)為30厘米.校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為60°(如圖2);校門打開(kāi)時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°(如圖3).問(wèn)：校門打開(kāi)了多少米?(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用;菱形的性質(zhì).
【分析】先求出校門關(guān)閉時(shí)，20個(gè)菱形的寬即大門的寬;再求出校門打開(kāi)時(shí)，20個(gè)菱形的寬即伸縮門的寬;然后將它們相減即可.
【解答】解：如圖，校門關(guān)閉時(shí)，取其中一個(gè)菱形ABCD.
根據(jù)題意，得∠BAD=60°，AB=0.3米.
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大門的寬是：0.3×20≈6(米);
校門打開(kāi)時(shí)，取其中一個(gè)菱形A1B1C1D1.
根據(jù)題意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米.
∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，
∴在Rt△A1B1O1中，
B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616(米)，
∴B1D1=2B1O1=0.05232米，
∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米;
∴校門打開(kāi)的寬度為：6﹣1.0464=4.9536≈5(米).
故校門打開(kāi)了5米.
五、(本大題共10分)
23.如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF.
(1)線段BE與AF的位置關(guān)系是 互相垂直 ， = .
(2)如圖2，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)(0°
(3)如圖3，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)(0°
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.
【分析】(1)結(jié)合已知角度以及利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案;
(2)利用已知得出△BEC∽△AFC，進(jìn)而得出∠1=∠2，即可得出答案;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，則DB=4﹣(6﹣2 )=2 ﹣2，進(jìn)而得出BH= ﹣1，DH=3﹣ ，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：(1)如圖1，線段BE與AF的位置關(guān)系是互相垂直;
∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AC=2 ，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，
∴ = ;
故答案為：互相垂直; ;
(2)(1)中結(jié)論仍然成立.
證明：如圖2，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，
∴EC= BC，F(xiàn)C= AC，
∴ = = ，
∵∠BCE=∠ACF=α，
∴△BEC∽△AFC，
∴ = = = ，
∴∠1=∠2，
延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)O，交AF于點(diǎn)M
∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2
∴∠BCO=∠AMO=90°
∴BE⊥AF;
(3)如圖3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°
∴AB=4，∠B=60°
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H
∴DB=4﹣(6﹣2 )=2 ﹣2，
∴BH= ﹣1，DH=3﹣ ，
又∵CH=2﹣( ﹣1)=3﹣ ，
∴CH=DH，
∴∠HCD=45°，
∴∠DCA=45°，
∴α=180°﹣45°=135°.
六、(本大題共12分)
24.如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(2，0)，與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)E是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出四邊形ABEC的最大面積;
(3)若點(diǎn)M在拋物線上，且在y軸的右側(cè).⊙M與y軸相切，切點(diǎn)為D.以C，D，M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)題意把點(diǎn)A(﹣1，0)，B(2，0)代入二次函數(shù)解析式，得到b和c的二元一次方程組，求出b和c的值即可;
(2)設(shè) E(a，b)，且a>0，b>0，首先用a和b表示出S四邊形ABEC，再結(jié)合點(diǎn)E在二次函數(shù)的圖象上，得到S四邊形ABEC=﹣a2+2a+3，即可求解;
(3)首先畫出圖形，以C，D，M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，得到 ，或 ，根據(jù)n的取值范圍求出m的值即可.
【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(2，0)，
∴ ，
∴
∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+2.
(2)如圖1.
∵二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+2與y軸相交于點(diǎn)C，
∴C(0，2).
設(shè) E(a，b)，且a>0，b>0.
∵A(﹣1，0)，B(2，0)，
∴OA=1，OB=2，OC=2.
則S四邊形ABEC= =1+a+b，
∵點(diǎn) E(a，b)是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴b=﹣a2+a+2，
∴S四邊形ABEC=﹣a2+2a+3
=﹣(a﹣1)2+4，
當(dāng)a=1時(shí)，b=2，
∴當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)，且四邊形ABEC的最大面積為4.
(3)如圖2.
設(shè)M(m，n)，且m>0.
∵點(diǎn)M在二次函數(shù)的圖象上，
∴n=﹣m2+m+2.
∵⊙M與y軸相切，切點(diǎn)為D，
∴∠MDC=90°.
∵以C，D，M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，
∴ ，或 .
?、佼?dāng)n>2時(shí)， 或 ，
解得 m1=0(舍去)，m2= ，或m3=0(舍去)，m4=﹣1(舍去).
?、谕砜傻?，當(dāng)n<2時(shí)，m1=0(舍去)，m2= ，或m3=0(舍去)，m4=3.
綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ， )，( ， )，(3，﹣4).