九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷以及答案
那些嘗試去做數(shù)學(xué)試卷卻失敗的人,比那些什么也不嘗試做卻幻想著成功的人要好。以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷,希望對(duì)大家有幫助!
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷
一、選擇題(每小題3分,滿分27分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的)
1.﹣2的絕對(duì)值等于( )
A.2 B.﹣2 C. D.±2
2.下列交通標(biāo)志圖案是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.如圖,從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°,如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米,點(diǎn)A、D、B在同一直線上,則AB兩點(diǎn)的距離是( )
A.200米 B.200 米 C.220 米 D.100( )米
4.下列運(yùn)算正確的是( )
A.3a+2a=5a2 B.x2﹣4=(x+2)(x﹣2) C.(x+1)2=x2+1 D.(2a)3=6a3
5.已知圓錐的底面周長(zhǎng)為58cm,母線長(zhǎng)為30cm,求得圓錐的側(cè)面積為( )
A.870cm2 B.908cm2 C.1125cm2 D.1740cm2
6.已知三角形的三邊分別為4,a,8,那么該三角形的周長(zhǎng)c的取值范圍是( )
A.4
7.反比例函數(shù)y= 的圖象,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,則k的取值范圍是( )
A.k<3 B.k≤3 C.k>3 D.k≥3
8.下列命題中正確的是( )
?、偃厡?duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似
②二邊對(duì)應(yīng)成比例且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
?、垡粋€(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似
④一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似.
A.①③ B.①④ C.①②④ D.①③④
9.函數(shù)y=ax2+1與函數(shù)y= (a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空題(每小題3分,共18分)
10.要使式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是 .
11.月球是距離地球最近的天體,它與地球的平均距離約為384400千米.將384400用科學(xué)記數(shù)法可表示為 .
12.分解因式:ab2﹣4a= .
13.若x1,x2是方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2= .
14.某文具店二月份銷售各種水筆320支,三月份銷售各種水筆的支數(shù)比二月份增長(zhǎng)了10%,那么該文具店三月份銷售各種水筆 支.
15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M(﹣4,﹣1)、N(0,1),將線段MN平移后得到線段M′N′(點(diǎn)M、N分別平移到點(diǎn)M′、N′的位置),若點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(﹣2,2),則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為 .
三、解答題(本題共10題,共75分)
16.計(jì)算:2tan60°﹣|1﹣ |+0﹣( )﹣1.
17.先化簡(jiǎn),再求值: ,其中x滿足x2﹣2x﹣3=0.
18.如圖,在△ABC中,AB=AC,D、E分別在AC、AB邊上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度數(shù).
19.如圖,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6, ,∠A=30°
(1)求AD和BC;
(2)求sin∠C.
20.如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓O上的兩點(diǎn),且OD∥BC,OD與AC交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=4,AC=3,求DE的長(zhǎng).
21.中考體育測(cè)試滿分為40分,某校九年級(jí)進(jìn)行了中考體育模擬測(cè)試,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,并把分析結(jié)果繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.試根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的數(shù)據(jù),回答下列問題:
(1)抽取的樣本中,成績(jī)?yōu)?9分的人數(shù)有 人;
(2)抽取的樣本中,考試成績(jī)的中位數(shù)是 分,眾數(shù)是 分;
(3)若該校九年級(jí)共有500名學(xué)生,試根據(jù)這次模擬測(cè)試成績(jī)估計(jì)該校九年級(jí)將有多少名學(xué)生能得到滿分?
22.如圖,在活動(dòng)課上,小明和小紅合作用一副三角板來測(cè)量學(xué)校旗桿高度.已知小明的眼睛與地面的距離(AB)是1.7m,他調(diào)整自己的位置,設(shè)法使得三角板的一條直角邊保持水平,且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上,測(cè)得旗桿頂端M仰角為45°;小紅眼睛與地面的距離(CD)是1.5m,用同樣的方法測(cè)得旗桿頂端M的仰角為30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)(點(diǎn)B、N、D在同一條直線上).求出旗桿MN的高度.(參考數(shù)據(jù): , ,結(jié)果保留整數(shù).)
23.如圖,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AG,分別交BD、CD于點(diǎn)E、F,連接CE.
(1)求證:∠DAE=∠DCE;
(2)當(dāng)AE=2EF時(shí),判斷FG與EF有何等量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
24.已知,如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過D作DE⊥MN于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半徑.
25.如圖,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)、B(﹣1,0),請(qǐng)解答下列問題:
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為D,與x軸的另一交點(diǎn)為C,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,連接BD,求cos∠DBE;
(3)在直線BD上是否存在點(diǎn)F,使由B、C、F三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△BDE相似?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷答案
一、選擇題(每小題3分,滿分27分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的)
1.﹣2的絕對(duì)值等于( )
A.2 B.﹣2 C. D.±2
【考點(diǎn)】絕對(duì)值.
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì),當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí),a的絕對(duì)值是它本身a;即可解答.
【解答】解:根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì),
|﹣2|=2.
故選A.
2.下列交通標(biāo)志圖案是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐個(gè)判斷即可.
【解答】解:A、不是軸對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)正確;
C、不是軸對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、不是軸對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選B.
3.如圖,從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°,如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米,點(diǎn)A、D、B在同一直線上,則AB兩點(diǎn)的距離是( )
A.200米 B.200 米 C.220 米 D.100( )米
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】圖中兩個(gè)直角三角形中,都是知道已知角和對(duì)邊,根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后,相加求和即可.
【解答】解:由已知,得∠A=30°,∠B=45°,CD=100,
∵CD⊥AB于點(diǎn)D.
∴在Rt△ACD中,∠CDA=90°,tanA= ,
∴AD= = =100
在Rt△BCD中,∠CDB=90°,∠B=45°
∴DB=CD=100米,
∴AB=AD+DB=100 +100=100( +1)米.
故選D.
4.下列運(yùn)算正確的是( )
A.3a+2a=5a2 B.x2﹣4=(x+2)(x﹣2) C.(x+1)2=x2+1 D.(2a)3=6a3
【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方;合并同類項(xiàng);完全平方公式.
【分析】A選項(xiàng)利用合并同類項(xiàng)得到結(jié)果,即可做出判斷;B選項(xiàng)利用平方差公式計(jì)算得到結(jié)果,即可做出判斷;C選項(xiàng)利用完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果,即可做出判斷;D選項(xiàng)利用積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得到結(jié)果,即可做出判斷.
【解答】解:A、3a+2a=5a,故原題計(jì)算錯(cuò)誤;
B、x2﹣4=(x+2)(x﹣2),故原題分解正確;
C、(x+1)2=x2+2x+1,故原題計(jì)算錯(cuò)誤;
D、(2a)3=8a3,故原題計(jì)算錯(cuò)誤.
故選B.
5.已知圓錐的底面周長(zhǎng)為58cm,母線長(zhǎng)為30cm,求得圓錐的側(cè)面積為( )
A.870cm2 B.908cm2 C.1125cm2 D.1740cm2
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2.
【解答】解:圓錐的側(cè)面積= ×58×30=870cm2,故選A.
6.已知三角形的三邊分別為4,a,8,那么該三角形的周長(zhǎng)c的取值范圍是( )
A.4
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可求得a的范圍,進(jìn)一步可求得周長(zhǎng)的范圍.
【解答】解:∵三角形的三邊分別為4,a,8,
∴8﹣4
∴4+4+8<4+a+8<4+8+12,即16
故選D.
7.反比例函數(shù)y= 的圖象,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,則k的取值范圍是( )
A.k<3 B.k≤3 C.k>3 D.k≥3
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解題.
【解答】解:∵當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,
∴函數(shù)圖象必在第四象限,
∴k﹣3<0,
∴k<3.
故選A.
8.下列命題中正確的是( )
?、偃厡?duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似
?、诙厡?duì)應(yīng)成比例且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
?、垡粋€(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似
④一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似.
A.①③ B.①④ C.①②④ D.①③④
【考點(diǎn)】命題與定理;相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法分別對(duì)命題進(jìn)行判斷.
【解答】解:三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似,所以①正確;
二邊對(duì)應(yīng)成比例且它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似,所以②錯(cuò)誤;
一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似,所以③正確;
頂角或底角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似,所以④錯(cuò)誤.
故選A.
9.函數(shù)y=ax2+1與函數(shù)y= (a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的圖象.
【分析】分a>0和a<0兩種情況討論二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象所在的象限,然后選擇答案即可.
【解答】解:a>0時(shí),y=ax2+1開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
y= 位于第一、三象限,沒有選項(xiàng)圖象符合,
a<0時(shí),y=ax2+1開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
y= 位于第二、四象限,D選項(xiàng)圖象符合.
故選:D.
二、填空題(每小題3分,共18分)
10.要使式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是 x≥2 .
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),可得答案.
【解答】解:由題意,得
x﹣2≥0,
解得x≥2,
故答案為:x≥2.
11.月球是距離地球最近的天體,它與地球的平均距離約為384400千米.將384400用科學(xué)記數(shù)法可表示為 3.844×105 .
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).
【解答】解:將384400用科學(xué)記數(shù)法表示為3.844×105.
故答案為:3.844×105.
12.分解因式:ab2﹣4a= a(b﹣2)(b+2) .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】先提取公因式a,再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.
【解答】解:ab2﹣4a
=a(b2﹣4)
=a(b﹣2)(b+2).
故答案為:a(b﹣2)(b+2).
13.若x1,x2是方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2= ﹣2 .
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣ 直接代入計(jì)算即可.
【解答】解:∵x1,x2是方程x2+2x﹣3=0的兩根,
∴x1+x2=﹣2;
故答案為:﹣2.
14.某文具店二月份銷售各種水筆320支,三月份銷售各種水筆的支數(shù)比二月份增長(zhǎng)了10%,那么該文具店三月份銷售各種水筆 352 支.
【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.
【分析】三月份銷售各種水筆的支數(shù)比二月份增長(zhǎng)了10%,是把二月份銷售的數(shù)量看作單位“1”,增加的量是二月份的10%,即三月份生產(chǎn)的是二月份的(1+10%),由此得出答案.
【解答】解:320×(1+10%)
=320×1.1
=352(支).
答:該文具店三月份銷售各種水筆352支.
故答案為:352.
15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M(﹣4,﹣1)、N(0,1),將線段MN平移后得到線段M′N′(點(diǎn)M、N分別平移到點(diǎn)M′、N′的位置),若點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(﹣2,2),則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為 (2,4) .
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-平移.
【分析】比較M(﹣4,﹣1)與M′(﹣2,2)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),可知平移后橫坐標(biāo)加2,縱坐標(biāo)加3,由于點(diǎn)M、N平移規(guī)律相同,坐標(biāo)變化也相同,即可得N′的坐標(biāo).
【解答】解:由于圖形平移過程中,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平移規(guī)律相同,
由點(diǎn)M到點(diǎn)M′可知,點(diǎn)的橫坐標(biāo)加2,縱坐標(biāo)加3,
故點(diǎn)N′的坐標(biāo)為(0+2,1+3),即(2,4).
故答案填:(2,4).
三、解答題(本題共10題,共75分)
16.計(jì)算:2tan60°﹣|1﹣ |+0﹣( )﹣1.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等考點(diǎn).針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算,然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.
【解答】解:原式=2× ﹣( ﹣1)+1﹣2
=2 ﹣ +1+1﹣2
= .
17.先化簡(jiǎn),再求值: ,其中x滿足x2﹣2x﹣3=0.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】首先運(yùn)用乘法分配律將所求的代數(shù)式去括號(hào),然后再合并化簡(jiǎn),最后代值求解即可.
【解答】解:原式=
=
=x2﹣3﹣2x+2
=x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3=0,得x2﹣2x=3
∴原式=3﹣1=2.
18.如圖,在△ABC中,AB=AC,D、E分別在AC、AB邊上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度數(shù).
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)同一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角的性質(zhì),設(shè)∠ABD=x,結(jié)合三角形外角的性質(zhì),則可用x的代數(shù)式表示∠A、∠ABC、∠C,再在△ABC中,運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為180°,可求∠A的度數(shù).
【解答】解:∵DE=EB
∴設(shè)∠BDE=∠ABD=x,
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x,
∵AD=DE,
∴∠AED=∠A=2x,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x,
∵BD=BC,
∴∠C=∠BDC=3x,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3x,
在△ABC中,3x+3x+2x=180°,
解得x=22.5°,
∴∠A=2x=22.5°×2=45°.
19.如圖,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6, ,∠A=30°
(1)求AD和BC;
(2)求sin∠C.
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】(1)在Rt△ABD中,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD= AB=3,AD= BD=3 ;
(2)先求出CD=AC﹣AD=2 ,然后在Rt△CBD中,利用勾股定理求出BC= = ,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出sin∠C的值.
【解答】解:(1)在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,AB=6,∠A=30°,
∴BD= AB=3,AD= BD=3 ;
(2)∵ ,AD=3 ,
∴CD=AC﹣AD=2 .
在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,BD=3,CD=2 ,
∴BC= = ,
∴sin∠C= = = .
20.如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓O上的兩點(diǎn),且OD∥BC,OD與AC交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=4,AC=3,求DE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】圓周角定理;平行線的性質(zhì);三角形中位線定理.
【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°,則∠CAB的度數(shù)即可求得,在等腰△AOD中,根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠DAO的度數(shù),則∠CAD即可求得;
(2)易證OE是△ABC的中位線,利用中位線定理求得OE的長(zhǎng),則DE即可求得.
【解答】解:(1)∵AB是半圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,
又∵OD∥BC,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°,∠AOD=∠B=70°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;
(2)在直角△ABC中,BC= = = .
∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
又∵OA=OB,
∴OE= BC= .
又∵OD= AB=2,
∴DE=OD﹣OE=2﹣ .
21.中考體育測(cè)試滿分為40分,某校九年級(jí)進(jìn)行了中考體育模擬測(cè)試,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,并把分析結(jié)果繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.試根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的數(shù)據(jù),回答下列問題:
(1)抽取的樣本中,成績(jī)?yōu)?9分的人數(shù)有 14 人;
(2)抽取的樣本中,考試成績(jī)的中位數(shù)是 39 分,眾數(shù)是 40 分;
(3)若該校九年級(jí)共有500名學(xué)生,試根據(jù)這次模擬測(cè)試成績(jī)估計(jì)該校九年級(jí)將有多少名學(xué)生能得到滿分?
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)先通過38分的人數(shù)和所占的百分比求出樣本總數(shù),再減去其他得分人數(shù),即可得到成績(jī)?yōu)?9分的人數(shù);
(2)數(shù)據(jù)按從小到大順序排列,最中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))即為中位數(shù),眾數(shù)指數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);
(3)用九年級(jí)學(xué)生數(shù)乘以這次模擬測(cè)試成績(jī)滿分所占百分比即可.
【解答】解:(1)樣本總數(shù)為10÷20%=50,成績(jī)?yōu)?9分的人數(shù)=50﹣20﹣10﹣4﹣2=14(人);
(2)數(shù)據(jù)總數(shù)為50,中位數(shù)為第25、26位數(shù)的平均數(shù),所以中位數(shù)為(39+39)÷2=39,
數(shù)據(jù)40出現(xiàn)了20次,出現(xiàn)次數(shù)最多,所經(jīng)眾數(shù)是40;
(3)滿分所占百分比為20÷50=40%
∴該校九年級(jí)能得到滿分人數(shù)為500×40%=200(人).
所以估計(jì)這次模擬測(cè)試成績(jī)?cè)撔>拍昙?jí)有200名學(xué)生能得到滿分.
22.如圖,在活動(dòng)課上,小明和小紅合作用一副三角板來測(cè)量學(xué)校旗桿高度.已知小明的眼睛與地面的距離(AB)是1.7m,他調(diào)整自己的位置,設(shè)法使得三角板的一條直角邊保持水平,且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上,測(cè)得旗桿頂端M仰角為45°;小紅眼睛與地面的距離(CD)是1.5m,用同樣的方法測(cè)得旗桿頂端M的仰角為30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)(點(diǎn)B、N、D在同一條直線上).求出旗桿MN的高度.(參考數(shù)據(jù): , ,結(jié)果保留整數(shù).)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】過點(diǎn)A作AE⊥MN于E,過點(diǎn)C作CF⊥MN于F,則EF=0.2m.由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME,設(shè)AE=ME=xm,則MF=(x+0.2)m,F(xiàn)C=(28﹣x)m.在Rt△MFC中,由tan∠MCF= ,得出 = ,解方程求出x的值,則MN=ME+EN.
【解答】解:過點(diǎn)A作AE⊥MN于E,過點(diǎn)C作CF⊥MN于F,
則EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2(m),
在Rt△AEM中,∵∠AEM=90°,∠MAE=45°,
∴AE=ME.
設(shè)AE=ME=xm,則MF=(x+0.2)m,F(xiàn)C=(28﹣x)m.
在Rt△MFC中,∵∠MFC=90°,∠MCF=30°,
∴MF=CF•tan∠MCF,
∴x+0.2= (28﹣x),
解得x≈9.7,
∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米.
答:旗桿MN的高度約為11米.
23.如圖,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AG,分別交BD、CD于點(diǎn)E、F,連接CE.
(1)求證:∠DAE=∠DCE;
(2)當(dāng)AE=2EF時(shí),判斷FG與EF有何等量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可證明;
(2)根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△CEF∽△GEC,可得EF:EC=CE:GE,又因?yàn)椤鰽BE≌△CBE AE=2EF,就能得出FG=3EF.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠ADE=∠CDB;
在△ADE和△CDE中,
∴△ADE≌△CDE,
∴∠DAE=∠DCE.
(2)解:判斷FG=3EF.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠G,
由題意知:△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE,
則∠DCE=∠G,
∵∠CEF=∠GEC,
∴△ECF∽△EGC,
∴ ,
∵△ADE≌△CDE,
∴AE=CE,
∵AE=2EF,
∴ = ,
∴EG=2AE=4EF,
∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF.
24.已知,如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過D作DE⊥MN于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半徑.
【考點(diǎn)】切線的判定;平行線的判定與性質(zhì);圓周角定理;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)連接OD,根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得∠ODE=∠DEM=90°,且D在⊙O上,故DE是⊙O的切線.
(2)由直角三角形的特殊性質(zhì),可得AD的長(zhǎng),又有△ACD∽△ADE.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑.
【解答】(1)證明:連接OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE.
∴DO∥MN.
∵DE⊥MN,
∴∠ODE=∠DEM=90°.
即OD⊥DE.
∵D在⊙O上,OD為⊙O的半徑,
∴DE是⊙O的切線.
(2)解:∵∠AED=90°,DE=6,AE=3,
∴ .
連接CD.
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=∠AED=90°.
∵∠CAD=∠DAE,
∴△ACD∽△ADE.
∴ .
∴ .
則AC=15(cm).
∴⊙O的半徑是7.5cm.
25.如圖,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)、B(﹣1,0),請(qǐng)解答下列問題:
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為D,與x軸的另一交點(diǎn)為C,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,連接BD,求cos∠DBE;
(3)在直線BD上是否存在點(diǎn)F,使由B、C、F三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△BDE相似?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得解析式;
(2)先求出D點(diǎn)坐標(biāo),從而求出BE、DE、BD長(zhǎng)度,cos∠DBE則可直接算出;
(3)由于B是公共點(diǎn),不可能是直角頂點(diǎn),所以就只剩下兩種情,即讓C和F分別為直角頂點(diǎn),根據(jù)相似性質(zhì),列出比例等式計(jì)算即可.
【解答】解:(1)將A(0,3)、B(﹣1,0)代入y=ax2+2x+c可得:
c=3,a=﹣1,
拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴D(1,4),
∴BE=2,DE=4,
∴BD= =2 ,
∴cos∠DBE= = ;
(3)∵B(﹣1,0),D(1,4),
∴直線BD的解析式為y=2x+2,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣3)(x+1),
∴C(3,0),
∴BC=4,
①若△BED∽△BFC,如圖1,
則∠BED=∠BFC=90°,
作FG⊥BC于G,
∵cos∠CBF= ,
∴BF= ,
∴BG= = ,
∴OG= ,GF= ,
∴F(﹣ , );
?、谌簟鰾ED∽△BCF,如圖2,
則∠BCF=90°,
∴F點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,
將3代入BD解析式得:y=8,
∴F(3,8);
綜上所述,滿足要求的F點(diǎn)的坐標(biāo)為:(﹣ , )、(3,8).