上學(xué)期初三年級期中考試試題
不好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),在中考怎么取的好的成績哦,今天小編就給大家參考一下九年級數(shù)學(xué),有需要的就來看看吧
初三年級數(shù)學(xué)上期中試題
一.選擇題(共12小題,滿分48分)
1.下列美麗的圖案中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖,將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)55°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,則∠AOB′的度數(shù)是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函數(shù)中,二次函數(shù)的是( )
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2
4.將拋物線y=﹣ x2向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,則平移后所得到的拋物線解析式是( )
A. B.
C. D.
5.拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點,點B到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分,其對稱軸為直線x=2,若其與x軸的一交點為B(6,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.x>6 B.06
7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表,則方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示:]
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
從上表可知,下列說法中,錯誤的是( )
A.拋物線于x軸的一個交點坐標(biāo)為(﹣2,0)
B.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,6)
C.拋物線的對稱軸是直線x=0
D.拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的
9.如圖,⊙O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交⊙O于B、C點,則BC=( )
A. B. C. D.
10.關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,且較小的根為2,則下列結(jié)論:
?、?a+b<0;②ab<0;③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;
④拋物線y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結(jié)論有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如圖,函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常數(shù),且a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
12.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖 象與x軸交于點A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=﹣1,點B的坐標(biāo)為(1,0),則下列結(jié)論:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正確的結(jié)論有( )個.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二.填空題(共6小題,滿分24分,每小題4分)
13.二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知拋物線y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2與x軸交于A (α,0),B(β,0)兩點,且α2+β2=17,則k= .
15.若二次函數(shù)y=x2+2m﹣1的圖象經(jīng)過原點,則m的值是 .
16.將點P(﹣1,3)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)180°后坐標(biāo)變?yōu)椤? .
17.已知⊙O的半徑為10cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,則弦AB和CD之間的距離是 cm.
18.“a是 實數(shù),|a|≥0”這一事件是 事件.
三.解答題(共7小題,滿分64分)
19.(10分)已知二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)求出點A、B的坐標(biāo),并畫出該二次函數(shù)的圖象(不需要列表,但是要在圖中標(biāo)出A、B、C、D);
(2)設(shè)一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過B、D兩點,觀察圖象回答:
?、佼?dāng) 時,y1、y2都隨x的增大而增大;
?、诋?dāng) 時,y1>y2.
20.(10分)如圖,△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,且點C恰好成為AD的中點.
(1)指出旋轉(zhuǎn)中心,并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);
(2)求出∠BAE的度數(shù)和AE的長.
21.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),
(1)畫出△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱,則對稱中心的坐標(biāo)為 .
22.(11分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,已知△ABC三個定點坐標(biāo)分別為A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,點A,B,C的對稱點分別是點A1、B1、C1,直接寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo):A1( , ),B1( , ),C1( , );
(2)畫出點C關(guān)于y軸的對稱點C2,連接C1C2,CC2,C1C,并直接寫出△CC1C2的面積是 .
23.(11分)如圖,CD為⊙O的直徑,CD⊥AB,垂足為點F,AO⊥BC,垂足為點E,CE=2.
(1)求AB的長;
(2)求⊙O的半徑.
24.(12分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O是邊AC上一點,以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D,在BC的延長線上取點F,使得BF=EF.
(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠A=30°,求證:DG= DA;
(3)若∠A=30°,且圖中陰影部分的面積等于2 ,求⊙O的半徑的長.
25.拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸 交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)如圖1,連接CD,求線段CD的長;
(2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點,PF⊥x軸于點F,PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+ EC的值最大時,求四邊形PO1B1C周長的最小值,并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo);
(3)如圖3,點H是線段AB的中點,連接CH,將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置,再將△O2B2C繞點B2旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)過程中,點O2,C的對應(yīng)點分別是點O3,C1,直線O3C1分別與 直線AC,x軸交于點M,N.那么,在△O2B2C的整個旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢?,使△AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在,請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空題
13. 4.
14. 2.
15. .
16.(1,﹣3).
17. 2或14.
18.必然.
三.解答題
19.解:(1)令y1=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
令x=0,得y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
﹣ =﹣ =1,
= =﹣4,
∴D(1,﹣4);
(2)①由題意得,當(dāng)x>1時y隨x的增大而增大;
?、诋?dāng)x<1或x>3時,y1>y2.
故答案為x>1,x<1或x>3.
20.解:(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°,
即∠BAD=140°,
所以旋轉(zhuǎn)中心為點A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°;
(2)∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,
∴∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°,
∵點C恰好成為AD的中點,
∴AC= AD=2,
∴AE=2.
21.解:(1)△A1B1C如圖所示,
△A2B2C2如圖所示;
(2)如圖,對稱中心為(2,﹣1).
22.解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.
A1(﹣4,﹣1)B1(﹣3,﹣3),C1(﹣1,﹣2),
故答案為:﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
(2)如圖所示,△CC1C2的面積是 ×2×4=4,
故答案為:4.
23.解:(1)∵CD⊥AB,AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE,
∴CE=AF,
∵CE=2,
∴AF=2,
∵CD是⊙O的直徑,CD⊥AB,
∴ ,
∴AB=4.
(2)∵AO是⊙O的半徑,AO⊥BC
∴CE=BE=2,
∵AB=4,
∴ ,
∵∠AEB=90°,
∴∠A=30°,
又∵∠AFO=90°,
∴cosA= = = ,
∴ ,即⊙O的半徑是 .
24.解:(1)連接 OE,
∵OA=OE,
∴∠A=∠AEO,
∵BF=EF,
∴∠B=∠BEF,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠AEO+∠BEF=90°,
∴∠OEG=90°,
∴EF是⊙O的切線;
(2)∵∠AED=90°,∠A=30°,
∴ED= AD,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠BEF=60°,
∵∠BEF+∠DEG=90°,
∴∠DEG=30°,
∵∠ADE+∠A=90°,
∴∠ADE=60°,
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,
∴∠DGE=30°,
∴∠DEG=∠DGE,
∴DG=DE,
∴DG= DA;
(3)∵AD是⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
∵∠A=30°,
∴∠EOD=60°,
∴∠EGO=30°,
∵陰影部分的面積= ×r× r﹣ =2 ﹣ π.
解得:r2=4,即r=2,
即⊙O的半徑的長為2.
25.解:(1)如圖1,過點D作DK⊥y軸于K,
當(dāng)x=0時,y= ,
∴C(0, ),
y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ (x+ )2+ ,
∴D(﹣ , ),
∴DK= ,CK= ﹣ = ,
∴CD= = = ;
(2)在y=﹣ x2﹣ x+ 中,令 y=0,則﹣ x2﹣ x+ =0,
解得:x1=﹣3 ,x2= ,
∴A(﹣3 ,0),B( ,0),
∵C(0, ),
易得直線AC的解析式為:y= ,
設(shè)E(x, ),P(x,﹣ x2﹣ x+ ),
∴PF=﹣ x2﹣ x+ ,EF= ,
Rt△ACO中,AO=3 ,OC= ,
∴AC=2 ,
∴∠CAO=30°,
∴AE=2EF= ,
∴PE+ EC=(﹣ x2﹣ x+ )﹣( x+ )+ (AC﹣AE),
=﹣ ﹣ x+ [2 ﹣( )],
=﹣ ﹣ x﹣ x,
=﹣ (x+2 )2+ ,(5分)
∴當(dāng)PE+ EC的值最大時,x=﹣2 ,此時P(﹣2 , ),(6分)
∴PC=2 ,
∵O1B1=OB= ,
∴要使四邊形PO1B1C周長的最小,即PO1+B1C的值最小,
如圖2,將點P向右平移 個單位長度得點P1(﹣ , ),連接P1B1,則PO1=P1B1,
再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(﹣ ,﹣ ),則P1B1=P2B1,
∴PO1+B1C=P2B1+B1C,
∴連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1,
∴B1(﹣ ,0),
將B1向左平移 個單位長度即得點O1,
此時PO1+B1C=P2C= = ,
對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為(﹣ ,0),(7分)
∴四邊形PO1B1C周長的最小 值為 +3 ;(8分)
(3)O2M的長度為 或 或2 + 或2 .(12分)
理由是:如圖3,∵H是AB的中點,
∴OH= ,
∵OC= ,
∴CH=BC=2 ,
∴∠HCO=∠BCO=30°,
∵∠ACO=60°,
∴將CO沿CH對折后落在直線AC上,即O2在AC上,
∴∠B2CA=∠CAB=30°,
∴B2C∥AB,
∴B2(﹣2 , ),
①如圖4,AN=MN,
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,
由旋轉(zhuǎn)得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,
過C1作C1E⊥B2C于E,
∵B2C=B2C1=2 ,
∴ =B2O2,B2E= ,
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,
∠B2O2M=∠C1EC=90°,
∴△C1EC≌△B2O2M,
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2 ﹣ ;
?、谌鐖D5,AM=MN,此時M與C重合,O2M=O2C= ,
③如圖6,AM=MN,
∵B2C=B2C1=2 =B2H,即N和H、C1重合,
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,
∴O2M= AO2= ;
④如圖7,AN=MN,過C1作C1E⊥AC于E,
∴∠NMA=∠NAM=30°,
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,
∴C1B2∥AC,
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,
∵∠C1EC=90°,
∴四邊形C1EO2B2是矩形,
∴EO2=C1B2=2 , ,
∴EM= ,
∴O2M=EO2+EM=2 + ,
綜上所述,O2M的長是 或 或2 + 或2 .
數(shù)學(xué)九年級上冊期中模擬試卷
一.選擇題(共12小題,滿分48分)
1.下列美麗的圖案中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖,將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)55°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,則∠AOB′的度數(shù)是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函數(shù)中,二次函數(shù)的是( )
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2
4.將拋物線y=﹣x2向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,則平移后所得到的拋物線解析式是( )
A. B.
C. D.
5.拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點,點B到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分,其對稱軸為直線x=2,若其與x軸的一交點為B(6,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.x>6 B.06
7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表,則方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
從上表可知,下列說法中,錯誤的是( )
A.拋物線于x軸的一個交點坐標(biāo)為(﹣2,0)
B.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,6)
C.拋物線的對稱軸是直線x=0
D.拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的
9.如圖,⊙O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交⊙O于B、C點,則BC=( )
A. B. C. D.
10.關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,且較小的根為2,則下列結(jié)論:
?、?a+b<0;②ab<0;③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;
?、軖佄锞€y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結(jié)論有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如圖,函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常數(shù),且a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
12.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=﹣1,點B的坐標(biāo)為(1,0),則下列結(jié)論:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正確的結(jié)論有( )個.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二.填空題(共6小題,滿分24分,每小題4分)
13.二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知拋物線y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2與x軸交于A (α,0),B(β,0)兩點,且α2+β2=17,則k= .
15.若二次函數(shù)y=x2+2m﹣1的圖象經(jīng)過原點,則m的值是 .
16.將點P(﹣1,3)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)180°后坐標(biāo)變?yōu)椤? .
17.已知⊙O的半徑為10cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,則弦AB和CD之間的距離是 cm.
18.“a是實數(shù),|a|≥0”這一事件是 事件.
三.解答題(共7小題,滿分64分)
19.(10分)已知二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)求出點A、B的坐標(biāo),并畫出該二次函數(shù)的圖象(不需要列表,但是要在圖中標(biāo)出A、B、C、D);
(2)設(shè)一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過B、D兩點,觀察圖象回答:
?、佼?dāng) 時,y1、y2都隨x的增大而增大;
?、诋?dāng) 時,y1>y2.
20.(10分)如圖,△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,且點C恰好成為AD的中點.
(1)指出旋轉(zhuǎn)中心,并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);
(2)求出∠BAE的度數(shù)和AE的長.
21.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),
(1)畫出△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱,則對稱中心的坐標(biāo)為 .
22.(11分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,已知△ABC三個定點坐標(biāo)分別為A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,點A,B,C的對稱點分別是點A1、B1、C1,直接寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo):A1( , ),B1( , ),C1( , );
(2)畫出點C關(guān)于y軸的對稱點C2,連接C1C2,CC2,C1C,并直接寫出△CC1C2的面積是 .
23.(11分)如圖,CD為⊙O的直徑,CD⊥AB,垂足為點F,AO⊥BC,垂足為點E,CE=2.
(1)求AB的長;
(2)求⊙O的半徑.
24.(12分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O是邊AC上一點,以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D,在BC的延長線上取點F,使得BF=EF.
(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠A=30°,求證:DG=DA;
(3)若∠A=30°,且圖中陰影部分的面積等于2,求⊙O的半徑的長.
25.拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)如圖1,連接CD,求線段CD的長;
(2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點,PF⊥x軸于點F,PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+EC的值最大時,求四邊形PO1B1C周長的最小值,并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo);[來源:學(xué)#科#網(wǎng)]
(3)如圖3,點H是線段AB的中點,連接CH,將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置,再將△O2B2C繞點B2旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)過程中,點O2,C的對應(yīng)點分別是點O3,C1,直線O3C1分別與直線AC,x軸交于點M,N.那么,在△O2B2C的整個旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢茫埂鰽MN是以MN為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在,請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空題
13. 4.
三.解答題
19.解:(1)令y1=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
令x=0,得y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
﹣=﹣=1,
==﹣4,
∴D(1,﹣4);
(2)①由題意得,當(dāng)x>1時y隨x的增大而增大;
?、诋?dāng)x<1或x>3時,y1>y2.
故答案為x>1,x<1或x>3.
20.解:(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°,
即∠BAD=140°,
所以旋轉(zhuǎn)中心為點A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°;
(2)∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,
∴∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°,
∵點C恰好成為AD的中點,
∴AC=AD=2,
∴AE=2.
21.解:(1)△A1B1C如圖所示,
△A2B2C2如圖所示;
(2)如圖,對稱中心為(2,﹣1).
22.解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.
A1(﹣4,﹣1)B1(﹣3,﹣3),C1(﹣1,﹣2),
故答案為:﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
(2)如圖所示,△CC1C2的面積是×2×4=4,
故答案為:4.
23.解:(1)∵CD⊥AB,AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE,
∴CE=AF,
∵CE=2,
∴AF=2,
∵CD是⊙O的直徑,CD⊥AB,
∴,
∴AB=4.
(2)∵AO是⊙O的半徑,AO⊥BC
∴CE=BE=2,
∵AB=4,
∴,
∵∠AEB=90°,
∴∠A=30°,
又∵∠AFO=90°,
∴cosA===,
∴,即⊙O的半徑是.
24.解:(1)連接OE,
∵OA=OE,
∴∠A=∠AEO,
∵BF=EF,
∴∠B=∠BEF,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠AEO+∠BEF=90°,
∴∠OEG=90°,
∴EF是⊙O的切線;
(2)∵∠AED=90°,∠A=30°,
∴ED=AD,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠BEF=60°,
∵∠BEF+∠DEG=90°,
∴∠DEG=30°,
∵∠ADE+∠A=90°,
∴∠ADE=60°,
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,
∴∠DGE=30°,
∴∠DEG=∠DGE,
∴DG=DE,
∴DG=DA;
(3)∵AD是⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
∵∠A=30°,
∴∠EOD=60°,
∴∠EGO=30°,
∵陰影部分的面積=×r×r﹣=2﹣π.
解得:r2=4,即r=2,
即⊙O的半徑的長為2.
25.解:(1)如圖1,過點D作DK⊥y軸于K,
當(dāng)x=0時,y=,
∴C(0,),
y=﹣x2﹣x+=﹣(x+)2+,
∴D(﹣,),
∴DK=,CK=﹣=,
∴CD===;
(2)在y=﹣x2﹣x+中,令y=0,則﹣x2﹣x+=0,
解得:x1=﹣3,x2=,
∴A(﹣3,0),B(,0),
∵C(0,),
易得直線AC的解析式為:y=,
設(shè)E(x,),P(x,﹣x2﹣x+),
∴PF=﹣x2﹣x+,EF=,
Rt△ACO中,AO=3,OC=,
∴AC=2,
∴∠CAO=30°,
∴AE=2EF=,
∴PE+EC=(﹣x2﹣x+)﹣(x+)+(AC﹣AE),
=﹣﹣x+ [2﹣()],
=﹣﹣x﹣x,
=﹣(x+2)2+,(5分)
∴當(dāng)PE+EC的值最大時,x=﹣2,此時P(﹣2,),(6分)
∴PC=2,
∵O1B1=OB=,
∴要使四邊形PO1B1C周長的最小,即PO1+B1C的值最小,
如圖2,將點P向右平移個單位長度得點P1(﹣,),連接P1B1,則PO1=P1B1,
再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(﹣,﹣),則P1B1=P2B1,
∴PO1+B1C=P2B1+B1C,
∴連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1,
∴B1(﹣,0),
將B1向左平移個單位長度即得點O1,
此時PO1+B1C=P2C==,
對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為(﹣,0),(7分)
∴四邊形PO1B1C周長的最小值為+3;(8分)
(3)O2M的長度為或或2+或2.(12分)
理由是:如圖3,∵H是AB的中點,
∴OH=,
∵OC=,
∴CH=BC=2,
∴∠HCO=∠BCO=30°,
∵∠ACO=60°,
∴將CO沿CH對折后落在直線AC上,即O2在AC上,
∴∠B2CA=∠CAB=30°,
∴B2C∥AB,
∴B2(﹣2,),
?、偃鐖D4,AN=MN,
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,
由旋轉(zhuǎn)得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,
過C1作C1E⊥B2C于E,
∵B2C=B2C1=2,
∴=B2O2,B2E=,
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,
∠B2O2M=∠C1EC=90°,
∴△C1EC≌△B2O2M,
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣;
?、谌鐖D5,AM=MN,此時M與C重合,O2M=O2C=,
?、廴鐖D6,AM=MN,
∵B2C=B2C1=2=B2H,即N和H、C1重合,
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,
∴O2M=AO2=;
④如圖7,AN=MN,過C1作C1E⊥AC于E,
∴∠NMA=∠NAM=30°,
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,
∴C1B2∥AC,
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,
∵∠C1EC=90°,
∴四邊形C1EO2B2是矩形,
∴EO2=C1B2=2,,
∴EM=,
∴O2M=EO2+EM=2+,
綜上所述,O2M的長是或或2+或2.
九年級數(shù)學(xué)上冊期中試題參考
一.選擇題(共10小題,滿分30分)
1.下面給出的是一些產(chǎn)品的圖案,從幾何圖形的角度看,這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
2.點A(a,3)與點B(﹣4,b)關(guān)于原點對稱,則a+b=( )
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時,變形正確的方程為( )
A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4
4.若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根,則+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位后,得到新拋物線的解析式為( )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三點,若拋物線開口向下,則y1、y2和y3的大小關(guān)系為( )
A.y1
7.設(shè)A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
8.如圖,△ABC中,BC=8,AD是中線,將△ADC沿AD折疊至△ADC′,發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°,則點B到C′的距離是( )
A.4 B. C. D.3
9.一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4,若設(shè)個位數(shù)字為a,則可列方程為( )
A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4
B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4
D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4
10.已知兩點A(﹣5,y1),B(3,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,點C(x0,y0)是該拋物線的頂點.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1,則a+b= .
12.如圖,把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于點D,若∠A′DC=90°,則∠A= °.
13.若二次函數(shù)y=(2﹣m)x|m|﹣3 的圖象開口向下,則m的值為 .
14.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為 .
15.從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:米)與小球運動時間t(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米,則小球的運動時間為 .
16.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上兩點,且∠DAE=45°,將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△ACF,連接DF,下列結(jié)論中:①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有 (填序號)
三.解答題(共9小題,滿分74分)
17.解方程:x2﹣4x﹣5=0.
18.如圖,畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1,并寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo).
19.淮北市某中學(xué)七年級一位同學(xué)不幸得了重病,牽動了全校師生的心,該校開展了“獻(xiàn)愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同,求捐款增長率;
(2)按照(1)中收到捐款的增長速度,第四天該校能收到多少捐款?
20.如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E,F(xiàn)分別在邊AB和BC上,△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形.
(Ⅰ)旋轉(zhuǎn)中心是點 .
(Ⅱ)旋轉(zhuǎn)角是 度,∠EDM= 度.
(Ⅲ)若∠EDF=45°,求證△EDF≌△MDF,并求此時△BEF的周長.
21.從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做,只以甲題計分.
題甲:若關(guān)于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a,β.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè),求t的最小值.
題乙:如圖所示,在矩形ABCD中,P是BC邊上一點,連接DP并延長,交AB的延長線于點Q.
(1)若=,求的值;
(2)若點P為BC邊上的任意一點,求證:﹣=.
我選做的是 題.
22.小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%.
(1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價×銷售量)
23.(12分)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點.
(1)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為 ;
(2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點P,當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時,滿足S△PAB=6,并求出此時P點的坐標(biāo).
24.如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點C.A(1,1)、B(3,1).動點P從O點出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直于直線OA,垂足為Q,設(shè)P點移動的時間為t秒(0
(1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式;
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,是否存t,使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
25.已知:二次函數(shù)y=ax2﹣2x+c的圖象與x于A、B,A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸是直線x=1,平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)直線交y軸于D點,E為拋物線頂點.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;
(3)在(2)問的前提下,P為拋物線對稱軸上一點,且滿足PA=PC,在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點M,使得△BDM的面積等于PA2?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1.下面給出的是一些產(chǎn)品的圖案,從幾何圖形的角度看,這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形;
B、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形;
C、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形;
D、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形.
故選:C.
2.點A(a,3)與點B(﹣4,b)關(guān)于原點對稱,則a+b=( )
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
【解答】解:∵點A(a,3)與點B(﹣4,b)關(guān)于原點對稱,
∴a=4,b=﹣3,
∴a+b=1,
故選:D.
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時,變形正確的方程為( )
A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4
【解答】解:方程移項得:x2+6x=5,
配方得:x2+6x+9=14,即(x+3)2=14,
故選:A.
4.若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根,則+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
【解答】解:∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根,
∴α+β=﹣,αβ=﹣3,
∴+====﹣.
故選:C.
5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位后,得到新拋物線的解析式為( )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
【解答】解:y=x2﹣6x+21
=(x2﹣12x)+21
= [(x﹣6)2﹣36]+21
=(x﹣6)2+3,
故y=(x﹣6)2+3,向左平移2個單位后,
得到新拋物線的解析式為:y=(x﹣4)2+3.
故選:D.
6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三點,若拋物線開口向下,則y1、y2和y3的大小關(guān)系為( )
A.y1
【解答】解:
∵A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三點在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上,
∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7,y2=4a﹣4a﹣7=﹣7,y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7,
∵拋物線開口向下,
∴a<0,
∴24a<3a<0,
∴24a﹣7<3a﹣7<﹣7,
∴y1
故選:A.
7.設(shè)A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
【解答】解:
∵A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點,
∴y1=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+2=2,y2=﹣1﹣2+2=﹣1,y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6,
∴y1>y2>y3,
故選:A.
8.如圖,△ABC中,BC=8,AD是中線,將△ADC沿AD折疊至△ADC′,發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°,則點B到C′的距離是( )
A.4 B. C. D.3
【解答】解:∵△ABC中,BC=8,AD是中線,
∴BD=DC=4,
∵將△ADC沿AD折疊至△ADC′,發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°,
∴∠C′DA=∠ADC=60°,DC=DC′,
∴∠C′DB=60°,
∴△BDC′是等邊三角形,
∴BC′=BD=DC′=4.
故選:A.
9.一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4,若設(shè)個位數(shù)字為a,則可列方程為( )
A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4
B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4
D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4
【解答】解:依題意得:十位數(shù)字為:a+4,這個數(shù)為:a+10(x+4)
這兩個數(shù)的平方和為:a2+(a+4)2,
∵兩數(shù)相差4,
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4.
故選:C.
10.已知兩點A(﹣5,y1),B(3,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,點C(x0,y0)是該拋物線的頂點.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
【解答】解:∵點C(x0,y0)是該拋物線的頂點.且y1
∴a<0,x0﹣(﹣5)>|3﹣x0|,
∴x0>﹣1.
故選:A.
二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1,則a+b= 2018 .
【解答】解:把x=﹣1代入方程有:
a+b﹣2018=0,
即a+b=2018.
故答案是:2018.
12.如圖,把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于點D,若∠A′DC=90°,則∠A= 55 °.
【解答】解:∵三角形△ABC繞著點C時針旋轉(zhuǎn)35°,得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°,∠A'DC=90°
∴∠A′=55°,
∵∠A的對應(yīng)角是∠A′,即∠A=∠A′,
∴∠A=55°;
故答案為:55°.
13.若二次函數(shù)y=(2﹣m)x|m|﹣3 的圖象開口向下,則m的值為 5 .
【解答】解:
∵y=(2﹣m)x|m|﹣3 是二次函數(shù),
∴|m|﹣3=2,解得m=5或m=﹣5,
∵拋物線圖象開口向下,
∴2﹣m<0,解得m>2,
∴m=5,
故答案為:5.
14.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為 k≤4且k≠1 .
【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根,
∴,
解得:k≤4且k≠1.
故答案為:k≤4且k≠1.
15.從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:米)與小球運動時間t(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米,則小球的運動時間為 1s .
【解答】解:由題意知,
小球的高度h與小球運動時間t的函數(shù)關(guān)系式是:
h=9.8t﹣4.9t2.
令h=4.9,
解得t=1s,
故答案為:1s.
16.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上兩點,且∠DAE=45°,將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△ACF,連接DF,下列結(jié)論中:①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有?、佗邰堋?填序號)
【解答】解:∵在Rt△ABC中,AB=AC, ]
∴∠B=∠ACB=45°,
①由旋轉(zhuǎn),可知:∠CAF=∠BAE,
∵∠BAD=90°,∠DAE=45°,
∴∠CAD+∠BAE=45°,
∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°,故①正確;
?、谟尚D(zhuǎn),可知:△ABE≌△ACF,不能推出△ABE≌△ACD,故②錯誤;
?、邸?ang;EAD=∠DAF=45°,
∴AD平分∠EAF,故③正確;
?、苡尚D(zhuǎn)可知:AE=AF,∠ACF=∠B=45°,
∵∠ACB=45°,
∴∠DCF=90°,
由勾股定理得:CF2+CD2=DF2,
即BE2+DC2=DF2,
在△AED和△AFD中,
,
∴△AED≌△AFD(SAS),
∴DE=DF,
∴BE2+DC2=DE2,
故答案為:①③④.
三.解答題(共9小題,滿分74分)
17.(10分)解方程:x2﹣4x﹣5=0.
【解答】解:(x+1)(x﹣5)=0,
則x+1=0或x﹣5=0,
∴x=﹣1或x=5.
18.(9分)如圖,畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1,并寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo).
【解答】解:如圖所示,△A1B1C1即為所求,
A1(3,﹣2),B1(2,1),C1(﹣2,﹣3).
19.(9分)淮北市某中學(xué)七年級一位同學(xué)不幸得了重病,牽動了全校師生的心,該校開展了“獻(xiàn)愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同,求捐款增長率;
(2)按照(1)中收到捐款的增長速度,第四天該校能收到多少捐款?
【解答】解:(1)捐款增長率為x,根據(jù)題意得:
10000(1+x)2=12100,
解得:x1=0.1,x2=﹣2.1(舍去).
則x=0.1=10%.
答:捐款的增長率為10%.
(2)根據(jù)題意得:12100×(1+10%)=13310(元),
答:第四天該校能收到的捐款是13310元.
20.(10分)如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E,F(xiàn)分別在邊AB和BC上,△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形.
(Ⅰ)旋轉(zhuǎn)中心是點 D .
(Ⅱ)旋轉(zhuǎn)角是 90 度,∠EDM= 90 度.
(Ⅲ)若∠EDF=45°,求證△EDF≌△MDF,并求此時△BEF的周長.
【解答】解:(Ⅰ)∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形,
∴旋轉(zhuǎn)中心是點D.
故答案為D;
(Ⅱ)∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形,
∴∠ADC=∠EDM=90°
∴旋轉(zhuǎn)角是90度,∠EDM=90度.
故答案為90,90;
(Ⅲ)∵∠EDF=45°,∠EDM=90°,
∴∠MDF=45°.
∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形,
∴△DCM≌△DAE,
∴DM=DE,CM=AE.
在△EDF與△MDF中,
,
∴△EDF≌△MDF,
∴EF=MF=MC+CF,
∴△BEF的周長=BE+EF+BF
=BE+MC+CF+BF
=(BE+AE)+(CF+BF)
=AB+BC
=2.
21.(12分)從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做,只以甲題計分.
題甲:若關(guān)于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a,β.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè),求t的最小值.
題乙:如圖所示,在矩形ABCD中,P是BC邊上一點,連接DP并延長,交AB的延長線于點Q.
(1)若=,求的值;
(2)若點P為BC邊上的任意一點,求證:﹣=.
我選做的是 甲 題.
【解答】題甲
解:(1)∵一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a,β,
∴△≥0,
即4(2﹣k)2﹣4(k2+12)≥0,
得k≤﹣2.
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得:a+β=﹣[﹣2(2﹣k)]=4﹣2k,
∴,
∵k≤﹣2,
∴﹣2≤<0,
∴,
即t的最小值為﹣4.
題乙:
(1)解:∵AB∥CD,∴==,即CD=3BQ,
∴===;
(2)證明:四邊形ABCD是矩形
∵AB=CD,AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴=
﹣=﹣=1+﹣=1
∴﹣=1.
22.(12分)小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%.
(1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價×銷售量)
【解答】解:(1)由題意,得:w=(x﹣20)•y=(x﹣20)•(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000,即w=﹣10x2+700x﹣10000(20≤x≤32)
(2)對于函數(shù)w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線.
又∵a=﹣10<0,拋物線開口向下.∴當(dāng)20≤x≤32時,W隨著X的增大而增大,
∴當(dāng)x=32時,W=2160
答:當(dāng)銷售單價定為32元時,每月可獲得最大利潤,最大利潤是2160元.
(3)取W=2000得,﹣10x2+700x﹣10000=2000
解這個方程得:x1=30,x2=40.
∵a=﹣10<0,拋物線開口向下.
∴當(dāng)30≤x≤40時,w≥2000.
∵20≤x≤32
∴當(dāng)30≤x≤32時,w≥2000.
設(shè)每月的成本為P(元),由題意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000
∵k=﹣200<0,
∴P隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x=32時,P的值最小,P最小值=3600.
答:想要每月獲得的利潤不低于2000元,小明每月的成本最少為3600元.
23.(12分)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點.
(1)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為 (﹣1,0)或(3,0) ;
(2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點P,當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時,滿足S△PAB=6,并求出此時P點的坐標(biāo).
【解答】解:(1)當(dāng)y=0時,
x2﹣2x﹣3=0,
解得,x1=﹣1,x2=3,
∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(﹣1,0)或(3,0),
故答案為:(﹣1,0)或(3,0);
(2)∵點A(﹣1,0),點B(3,0),y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴此拋物線有最小值,此時y=﹣4,AB=3﹣(﹣1)=4,
∵S△PAB=6,拋物線上有一個動點P,
∴點P的縱坐標(biāo)的絕對值為:,
∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3,
解得,x1=1+,x2=1﹣,x3=0,x4=2,
∴點P的坐標(biāo)為(1+,3)、(1﹣,3)、(0,﹣3)、(2,﹣3).
24.如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點C.A(1,1)、B(3,1).動點P從O點出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直于直線OA,垂足為Q,設(shè)P點移動的時間為t秒(0
(1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式;
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,是否存t,使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
【解答】解:(1)解法一:由圖象可知:拋物線經(jīng)過原點,
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx(a≠0).
把A(1,1),B(3,1)代入上式得,
解得,
∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x;
解法二:∵A(1,1),B(3,1),∴拋物線的對稱軸是直線x=2.
設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+h(a≠0),
把O(0,0),A(1,1)代入得
解得∴所求拋物線解析式為:y=﹣(x﹣2)2+.
(2)分三種情況:
?、佼?dāng)0
∵A(1,1),在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,
在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°,
∴PQ=OQ=tcos45°=t,
∴S=(t)2=t2.
?、诋?dāng)2
作GH⊥x軸于點H,∠OPQ=∠QOP=45°,則四邊形OAGP是等腰梯形,
重疊部分的面積是S梯形OAGP.
∴AG=FH=t﹣2,
∴S=(AG+OP)AF=(t+t﹣2)×1=t﹣1.
?、郛?dāng)3
重疊部分的面積是S五邊形OAMNC.
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形,
所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.
∵B(3,1),OP=t,
∴PC=CN=t﹣3,
∴BM=BN=1﹣(t﹣3)=4﹣t,
∴S=(2+3)×1﹣(4﹣t)2 S=﹣t2+4t﹣;
(3)存在t1=1,t2=2.
將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,此時Q(t+,),O(t,t)
?、佼?dāng)點Q在拋物線上時, =×(t+)2+×(t+),解得t=2;
②當(dāng)點O在拋物線上時,t=﹣t2+t,解得t=1.
25.已知:二次函數(shù)y=ax2﹣2x+c的圖象與x于A、B,A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸是直線x=1,平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)直線交y軸于D點,E為拋物線頂點.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;
(3)在(2)問的前提下,P為拋物線對稱軸上一點,且滿足PA=PC,在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點M,使得△BDM的面積等于PA2?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【解答】解:(1)由題意,A(﹣1,0),
∵對稱軸是直線x=1,
∴B(3,0);(1分)
把A(﹣1,0),B(3,0)分別代入y=ax2﹣2x+c
得;(2分)
解得.
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵直線與y軸交于D(0,1),
∴OD=1,
由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4得E(1,﹣4);
連接CE,過E作EF⊥y軸于F(如圖1),則EF=1,
∴OC=OB=3,CF=1=EF,
∴∠OBC=∠OCB=∠45°,
BC==,
;
∴∠BCE=90°=∠BOD,,
,
∴,
∴△BOD∽△BCE,(6分)
∴∠CBE=∠DBO,
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.(7分)
(3)設(shè)P(1,n),
∵PA=PC,
∴PA2=PC2,即(1+1)2+(n﹣0)2=(1+0)2+(n+3)2
解得n=﹣1,
∴PA2=(1+1)2+(﹣1﹣0)2=5,
∴S△EDW=PA2=5;(8分)
法一:設(shè)存在符合條件的點M(m,m2﹣2m﹣3),則m>0,
?、佼?dāng)M在直線BD上側(cè)時,連接OM(如圖1),
則S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5,
即,
,
整理,得3m2﹣5m﹣22=0,
解得m1=﹣2(舍去),,
把代入y=m2﹣2m﹣3得;
∴;(10分)
②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫M1,連接OM1(如圖1),
則S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5,
即,
,
整理,得3m2﹣5m﹣2=0,
解得,(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,
∴M1(2,﹣3);
綜上所述,存在符合條件的點M,其坐標(biāo)為或(2,﹣3).(12分)
法二:設(shè)存在符合條件的點M(m,m2﹣2m﹣3),則m>0,
?、佼?dāng)M在直線BD上側(cè)時,過M作MG∥y軸,
交DB于G;(如圖2)
設(shè)D、B到MG距離分別為h1,h2,則
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5,
即,
整理,得3m2﹣5m﹣22=0;
解得m1=﹣2(舍去),;
把代入y=m2﹣2m﹣3
得;
∴.(10分)
?、诋?dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫M1,過M1作M1G1∥y軸,交DB于G1(如圖2)
設(shè)D、B到M1G1距離分別為h1、h2,則S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5,
即,
,
,
整理,得3m2﹣5m﹣2=0,
解得,(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,
∴M1(2,﹣3);
綜上所述,存在符合條件的點M,其坐標(biāo)為或(2,﹣3).(12分)
法三:①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時,過M作MH∥BD,交y軸于H,連接BH;(如圖3)
則S△DHB=S△BDM=5,
即,,
∴DH=,
∴;
∴直線MH解析式為;
聯(lián)立
得或;
∵M(jìn)在y軸右側(cè),
∴M坐標(biāo)為.(10分)
?、诋?dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫M1,過M1作M1H1∥BD,交y軸于H1,
連接BH1(如圖3),同理可得,
∴,
∴直線M1H1解析式為,
聯(lián)立
得或;
∵M(jìn)1在y軸右側(cè),
∴M1坐標(biāo)為(2,﹣3)
綜上所述,存在符合條件的點M,其坐標(biāo)為或(2,﹣3).(12分)
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