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上學(xué)期初三年級期中考試試題

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  不好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),在中考怎么取的好的成績哦,今天小編就給大家參考一下九年級數(shù)學(xué),有需要的就來看看吧

  初三年級數(shù)學(xué)上期中試題

  一.選擇題(共12小題,滿分48分)

  1.下列美麗的圖案中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有(  )

  A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

  2.如圖,將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)55°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,則∠AOB′的度數(shù)是(  )

  A.25° B.30° C.35° D.40°

  3.下列函數(shù)中,二次函數(shù)的是(  )

  A.y=2x2+1 B.y=2x+1

  C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2

  4.將拋物線y=﹣ x2向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,則平移后所得到的拋物線解析式是(  )

  A. B.

  C. D.

  5.拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點,點B到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足0

  A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

  6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分,其對稱軸為直線x=2,若其與x軸的一交點為B(6,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是(  )

  A.x>6 B.06

  7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表,則方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是(  )

  x 6.17 6.18 6.19 6.20

  y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04

  A.﹣0.01

  C.6.18

  8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示:]

  x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …

  y … 0 4 6 6 4 …

  從上表可知,下列說法中,錯誤的是(  )

  A.拋物線于x軸的一個交點坐標(biāo)為(﹣2,0)

  B.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,6)

  C.拋物線的對稱軸是直線x=0

  D.拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的

  9.如圖,⊙O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交⊙O于B、C點,則BC=(  )

  A. B. C. D.

  10.關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,且較小的根為2,則下列結(jié)論:

 ?、?a+b<0;②ab<0;③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;

  ④拋物線y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結(jié)論有(  )

  A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  11.如圖,函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常數(shù),且a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是(  )

  A. B.

  C. D.

  12.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖 象與x軸交于點A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=﹣1,點B的坐標(biāo)為(1,0),則下列結(jié)論:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正確的結(jié)論有(  )個.

  A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

  二.填空題(共6小題,滿分24分,每小題4分)

  13.二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的最大值是   .

  14.已知拋物線y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2與x軸交于A (α,0),B(β,0)兩點,且α2+β2=17,則k=   .

  15.若二次函數(shù)y=x2+2m﹣1的圖象經(jīng)過原點,則m的值是   .

  16.將點P(﹣1,3)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)180°后坐標(biāo)變?yōu)椤? .

  17.已知⊙O的半徑為10cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,則弦AB和CD之間的距離是   cm.

  18.“a是 實數(shù),|a|≥0”這一事件是    事件.

  三.解答題(共7小題,滿分64分)

  19.(10分)已知二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.

  (1)求出點A、B的坐標(biāo),并畫出該二次函數(shù)的圖象(不需要列表,但是要在圖中標(biāo)出A、B、C、D);

  (2)設(shè)一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過B、D兩點,觀察圖象回答:

 ?、佼?dāng)   時,y1、y2都隨x的增大而增大;

 ?、诋?dāng)   時,y1>y2.

  20.(10分)如圖,△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,且點C恰好成為AD的中點.

  (1)指出旋轉(zhuǎn)中心,并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);

  (2)求出∠BAE的度數(shù)和AE的長.

  21.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),

  (1)畫出△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;

  (2)△A1B1C和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱,則對稱中心的坐標(biāo)為   .

  22.(11分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,已知△ABC三個定點坐標(biāo)分別為A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).

  (1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,點A,B,C的對稱點分別是點A1、B1、C1,直接寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo):A1(   ,   ),B1(   ,   ),C1(   ,   );

  (2)畫出點C關(guān)于y軸的對稱點C2,連接C1C2,CC2,C1C,并直接寫出△CC1C2的面積是   .

  23.(11分)如圖,CD為⊙O的直徑,CD⊥AB,垂足為點F,AO⊥BC,垂足為點E,CE=2.

  (1)求AB的長;

  (2)求⊙O的半徑.

  24.(12分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O是邊AC上一點,以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D,在BC的延長線上取點F,使得BF=EF.

  (1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

  (2)若∠A=30°,求證:DG= DA;

  (3)若∠A=30°,且圖中陰影部分的面積等于2 ,求⊙O的半徑的長.

  25.拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸 交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.

  (1)如圖1,連接CD,求線段CD的長;

  (2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點,PF⊥x軸于點F,PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+ EC的值最大時,求四邊形PO1B1C周長的最小值,并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo);

  (3)如圖3,點H是線段AB的中點,連接CH,將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置,再將△O2B2C繞點B2旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)過程中,點O2,C的對應(yīng)點分別是點O3,C1,直線O3C1分別與 直線AC,x軸交于點M,N.那么,在△O2B2C的整個旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢?,使△AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在,請說明理由.

  參考答案

  一.選擇題

  1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.

  7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.

  二.填空題

  13. 4.

  14. 2.

  15. .

  16.(1,﹣3).

  17. 2或14.

  18.必然.

  三.解答題

  19.解:(1)令y1=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0),

  令x=0,得y=﹣3,

  ∴C(0,﹣3),

  ﹣ =﹣ =1,

  = =﹣4,

  ∴D(1,﹣4);

  (2)①由題意得,當(dāng)x>1時y隨x的增大而增大;

 ?、诋?dāng)x<1或x>3時,y1>y2.

  故答案為x>1,x<1或x>3.

  20.解:(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°,

  即∠BAD=140°,

  所以旋轉(zhuǎn)中心為點A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°;

  (2)∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,

  ∴∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4

  ∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°,

  ∵點C恰好成為AD的中點,

  ∴AC= AD=2,

  ∴AE=2.

  21.解:(1)△A1B1C如圖所示,

  △A2B2C2如圖所示;

  (2)如圖,對稱中心為(2,﹣1).

  22.解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.

  A1(﹣4,﹣1)B1(﹣3,﹣3),C1(﹣1,﹣2),

  故答案為:﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;

  (2)如圖所示,△CC1C2的面積是 ×2×4=4,

  故答案為:4.

  23.解:(1)∵CD⊥AB,AO⊥BC

  ∴∠AFO=∠CEO=90°,

  在△AOF和△COE中,

  ,

  ∴△AOF≌△COE,

  ∴CE=AF,

  ∵CE=2,

  ∴AF=2,

  ∵CD是⊙O的直徑,CD⊥AB,

  ∴ ,

  ∴AB=4.

  (2)∵AO是⊙O的半徑,AO⊥BC

  ∴CE=BE=2,

  ∵AB=4,

  ∴ ,

  ∵∠AEB=90°,

  ∴∠A=30°,

  又∵∠AFO=90°,

  ∴cosA= = = ,

  ∴ ,即⊙O的半徑是 .

  24.解:(1)連接 OE,

  ∵OA=OE,

  ∴∠A=∠AEO,

  ∵BF=EF,

  ∴∠B=∠BEF,

  ∵∠ACB=90°,

  ∴∠A+∠B=90°,

  ∴∠AEO+∠BEF=90°,

  ∴∠OEG=90°,

  ∴EF是⊙O的切線;

  (2)∵∠AED=90°,∠A=30°,

  ∴ED= AD,

  ∵∠A+∠B=90°,

  ∴∠B=∠BEF=60°,

  ∵∠BEF+∠DEG=90°,

  ∴∠DEG=30°,

  ∵∠ADE+∠A=90°,

  ∴∠ADE=60°,

  ∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,

  ∴∠DGE=30°,

  ∴∠DEG=∠DGE,

  ∴DG=DE,

  ∴DG= DA;

  (3)∵AD是⊙O的直徑,

  ∴∠AED=90°,

  ∵∠A=30°,

  ∴∠EOD=60°,

  ∴∠EGO=30°,

  ∵陰影部分的面積= ×r× r﹣ =2 ﹣ π.

  解得:r2=4,即r=2,

  即⊙O的半徑的長為2.

  25.解:(1)如圖1,過點D作DK⊥y軸于K,

  當(dāng)x=0時,y= ,

  ∴C(0, ),

  y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ (x+ )2+ ,

  ∴D(﹣ , ),

  ∴DK= ,CK= ﹣ = ,

  ∴CD= = = ;

  (2)在y=﹣ x2﹣ x+ 中,令 y=0,則﹣ x2﹣ x+ =0,

  解得:x1=﹣3 ,x2= ,

  ∴A(﹣3 ,0),B( ,0),

  ∵C(0, ),

  易得直線AC的解析式為:y= ,

  設(shè)E(x, ),P(x,﹣ x2﹣ x+ ),

  ∴PF=﹣ x2﹣ x+ ,EF= ,

  Rt△ACO中,AO=3 ,OC= ,

  ∴AC=2 ,

  ∴∠CAO=30°,

  ∴AE=2EF= ,

  ∴PE+ EC=(﹣ x2﹣ x+ )﹣( x+ )+ (AC﹣AE),

  =﹣ ﹣ x+ [2 ﹣( )],

  =﹣ ﹣ x﹣ x,

  =﹣ (x+2 )2+ ,(5分)

  ∴當(dāng)PE+ EC的值最大時,x=﹣2 ,此時P(﹣2 , ),(6分)

  ∴PC=2 ,

  ∵O1B1=OB= ,

  ∴要使四邊形PO1B1C周長的最小,即PO1+B1C的值最小,

  如圖2,將點P向右平移 個單位長度得點P1(﹣ , ),連接P1B1,則PO1=P1B1,

  再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(﹣ ,﹣ ),則P1B1=P2B1,

  ∴PO1+B1C=P2B1+B1C,

  ∴連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1,

  ∴B1(﹣ ,0),

  將B1向左平移 個單位長度即得點O1,

  此時PO1+B1C=P2C= = ,

  對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為(﹣ ,0),(7分)

  ∴四邊形PO1B1C周長的最小 值為 +3 ;(8分)

  (3)O2M的長度為 或 或2 + 或2 .(12分)

  理由是:如圖3,∵H是AB的中點,

  ∴OH= ,

  ∵OC= ,

  ∴CH=BC=2 ,

  ∴∠HCO=∠BCO=30°,

  ∵∠ACO=60°,

  ∴將CO沿CH對折后落在直線AC上,即O2在AC上,

  ∴∠B2CA=∠CAB=30°,

  ∴B2C∥AB,

  ∴B2(﹣2 , ),

  ①如圖4,AN=MN,

  ∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,

  由旋轉(zhuǎn)得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,

  ∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,

  過C1作C1E⊥B2C于E,

  ∵B2C=B2C1=2 ,

  ∴ =B2O2,B2E= ,

  ∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,

  ∠B2O2M=∠C1EC=90°,

  ∴△C1EC≌△B2O2M,

  ∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2 ﹣ ;

 ?、谌鐖D5,AM=MN,此時M與C重合,O2M=O2C= ,

  ③如圖6,AM=MN,

  ∵B2C=B2C1=2 =B2H,即N和H、C1重合,

  ∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,

  ∴O2M= AO2= ;

  ④如圖7,AN=MN,過C1作C1E⊥AC于E,

  ∴∠NMA=∠NAM=30°,

  ∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,

  ∴C1B2∥AC,

  ∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,

  ∵∠C1EC=90°,

  ∴四邊形C1EO2B2是矩形,

  ∴EO2=C1B2=2 , ,

  ∴EM= ,

  ∴O2M=EO2+EM=2 + ,

  綜上所述,O2M的長是 或 或2 + 或2 .

  數(shù)學(xué)九年級上冊期中模擬試卷

  一.選擇題(共12小題,滿分48分)

  1.下列美麗的圖案中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有(  )

  A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

  2.如圖,將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)55°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,則∠AOB′的度數(shù)是(  )

  A.25° B.30° C.35° D.40°

  3.下列函數(shù)中,二次函數(shù)的是(  )

  A.y=2x2+1 B.y=2x+1

  C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2

  4.將拋物線y=﹣x2向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,則平移后所得到的拋物線解析式是(  )

  A. B.

  C. D.

  5.拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點,點B到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足0

  A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

  6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分,其對稱軸為直線x=2,若其與x軸的一交點為B(6,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是(  )

  A.x>6 B.06

  7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表,則方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是(  )

  x 6.17 6.18 6.19 6.20

  y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04

  A.﹣0.01

  C.6.18

  8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示

  x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …

  y … 0 4 6 6 4 …

  從上表可知,下列說法中,錯誤的是(  )

  A.拋物線于x軸的一個交點坐標(biāo)為(﹣2,0)

  B.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,6)

  C.拋物線的對稱軸是直線x=0

  D.拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的

  9.如圖,⊙O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交⊙O于B、C點,則BC=(  )

  A. B. C. D.

  10.關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,且較小的根為2,則下列結(jié)論:

 ?、?a+b<0;②ab<0;③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;

 ?、軖佄锞€y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結(jié)論有(  )

  A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  11.如圖,函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常數(shù),且a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是(  )

  A. B.

  C. D.

  12.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=﹣1,點B的坐標(biāo)為(1,0),則下列結(jié)論:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正確的結(jié)論有(  )個.

  A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

  二.填空題(共6小題,滿分24分,每小題4分)

  13.二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的最大值是   .

  14.已知拋物線y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2與x軸交于A (α,0),B(β,0)兩點,且α2+β2=17,則k=   .

  15.若二次函數(shù)y=x2+2m﹣1的圖象經(jīng)過原點,則m的值是   .

  16.將點P(﹣1,3)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)180°后坐標(biāo)變?yōu)椤? .

  17.已知⊙O的半徑為10cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,則弦AB和CD之間的距離是   cm.

  18.“a是實數(shù),|a|≥0”這一事件是    事件.

  三.解答題(共7小題,滿分64分)

  19.(10分)已知二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.

  (1)求出點A、B的坐標(biāo),并畫出該二次函數(shù)的圖象(不需要列表,但是要在圖中標(biāo)出A、B、C、D);

  (2)設(shè)一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過B、D兩點,觀察圖象回答:

 ?、佼?dāng)   時,y1、y2都隨x的增大而增大;

 ?、诋?dāng)   時,y1>y2.

  20.(10分)如圖,△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,且點C恰好成為AD的中點.

  (1)指出旋轉(zhuǎn)中心,并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);

  (2)求出∠BAE的度數(shù)和AE的長.

  21.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),

  (1)畫出△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;

  (2)△A1B1C和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱,則對稱中心的坐標(biāo)為   .

  22.(11分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,已知△ABC三個定點坐標(biāo)分別為A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).

  (1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,點A,B,C的對稱點分別是點A1、B1、C1,直接寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo):A1(   ,   ),B1(   ,   ),C1(   ,   );

  (2)畫出點C關(guān)于y軸的對稱點C2,連接C1C2,CC2,C1C,并直接寫出△CC1C2的面積是   .

  23.(11分)如圖,CD為⊙O的直徑,CD⊥AB,垂足為點F,AO⊥BC,垂足為點E,CE=2.

  (1)求AB的長;

  (2)求⊙O的半徑.

  24.(12分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O是邊AC上一點,以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D,在BC的延長線上取點F,使得BF=EF.

  (1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

  (2)若∠A=30°,求證:DG=DA;

  (3)若∠A=30°,且圖中陰影部分的面積等于2,求⊙O的半徑的長.

  25.拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.

  (1)如圖1,連接CD,求線段CD的長;

  (2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點,PF⊥x軸于點F,PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+EC的值最大時,求四邊形PO1B1C周長的最小值,并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo);[來源:學(xué)#科#網(wǎng)]

  (3)如圖3,點H是線段AB的中點,連接CH,將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置,再將△O2B2C繞點B2旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)過程中,點O2,C的對應(yīng)點分別是點O3,C1,直線O3C1分別與直線AC,x軸交于點M,N.那么,在△O2B2C的整個旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢茫埂鰽MN是以MN為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在,請說明理由.

  參考答案

  一.選擇題

  1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.

  7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.

  二.填空題

  13. 4.

  三.解答題

  19.解:(1)令y1=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0),

  令x=0,得y=﹣3,

  ∴C(0,﹣3),

  ﹣=﹣=1,

  ==﹣4,

  ∴D(1,﹣4);

  (2)①由題意得,當(dāng)x>1時y隨x的增大而增大;

 ?、诋?dāng)x<1或x>3時,y1>y2.

  故答案為x>1,x<1或x>3.

  20.解:(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°,

  即∠BAD=140°,

  所以旋轉(zhuǎn)中心為點A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°;

  (2)∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,

  ∴∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4

  ∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°,

  ∵點C恰好成為AD的中點,

  ∴AC=AD=2,

  ∴AE=2.

  21.解:(1)△A1B1C如圖所示,

  △A2B2C2如圖所示;

  (2)如圖,對稱中心為(2,﹣1).

  22.解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.

  A1(﹣4,﹣1)B1(﹣3,﹣3),C1(﹣1,﹣2),

  故答案為:﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;

  (2)如圖所示,△CC1C2的面積是×2×4=4,

  故答案為:4.

  23.解:(1)∵CD⊥AB,AO⊥BC

  ∴∠AFO=∠CEO=90°,

  在△AOF和△COE中,

  ,

  ∴△AOF≌△COE,

  ∴CE=AF,

  ∵CE=2,

  ∴AF=2,

  ∵CD是⊙O的直徑,CD⊥AB,

  ∴,

  ∴AB=4.

  (2)∵AO是⊙O的半徑,AO⊥BC

  ∴CE=BE=2,

  ∵AB=4,

  ∴,

  ∵∠AEB=90°,

  ∴∠A=30°,

  又∵∠AFO=90°,

  ∴cosA===,

  ∴,即⊙O的半徑是.

  24.解:(1)連接OE,

  ∵OA=OE,

  ∴∠A=∠AEO,

  ∵BF=EF,

  ∴∠B=∠BEF,

  ∵∠ACB=90°,

  ∴∠A+∠B=90°,

  ∴∠AEO+∠BEF=90°,

  ∴∠OEG=90°,

  ∴EF是⊙O的切線;

  (2)∵∠AED=90°,∠A=30°,

  ∴ED=AD,

  ∵∠A+∠B=90°,

  ∴∠B=∠BEF=60°,

  ∵∠BEF+∠DEG=90°,

  ∴∠DEG=30°,

  ∵∠ADE+∠A=90°,

  ∴∠ADE=60°,

  ∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,

  ∴∠DGE=30°,

  ∴∠DEG=∠DGE,

  ∴DG=DE,

  ∴DG=DA;

  (3)∵AD是⊙O的直徑,

  ∴∠AED=90°,

  ∵∠A=30°,

  ∴∠EOD=60°,

  ∴∠EGO=30°,

  ∵陰影部分的面積=×r×r﹣=2﹣π.

  解得:r2=4,即r=2,

  即⊙O的半徑的長為2.

  25.解:(1)如圖1,過點D作DK⊥y軸于K,

  當(dāng)x=0時,y=,

  ∴C(0,),

  y=﹣x2﹣x+=﹣(x+)2+,

  ∴D(﹣,),

  ∴DK=,CK=﹣=,

  ∴CD===;

  (2)在y=﹣x2﹣x+中,令y=0,則﹣x2﹣x+=0,

  解得:x1=﹣3,x2=,

  ∴A(﹣3,0),B(,0),

  ∵C(0,),

  易得直線AC的解析式為:y=,

  設(shè)E(x,),P(x,﹣x2﹣x+),

  ∴PF=﹣x2﹣x+,EF=,

  Rt△ACO中,AO=3,OC=,

  ∴AC=2,

  ∴∠CAO=30°,

  ∴AE=2EF=,

  ∴PE+EC=(﹣x2﹣x+)﹣(x+)+(AC﹣AE),

  =﹣﹣x+ [2﹣()],

  =﹣﹣x﹣x,

  =﹣(x+2)2+,(5分)

  ∴當(dāng)PE+EC的值最大時,x=﹣2,此時P(﹣2,),(6分)

  ∴PC=2,

  ∵O1B1=OB=,

  ∴要使四邊形PO1B1C周長的最小,即PO1+B1C的值最小,

  如圖2,將點P向右平移個單位長度得點P1(﹣,),連接P1B1,則PO1=P1B1,

  再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(﹣,﹣),則P1B1=P2B1,

  ∴PO1+B1C=P2B1+B1C,

  ∴連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1,

  ∴B1(﹣,0),

  將B1向左平移個單位長度即得點O1,

  此時PO1+B1C=P2C==,

  對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為(﹣,0),(7分)

  ∴四邊形PO1B1C周長的最小值為+3;(8分)

  (3)O2M的長度為或或2+或2.(12分)

  理由是:如圖3,∵H是AB的中點,

  ∴OH=,

  ∵OC=,

  ∴CH=BC=2,

  ∴∠HCO=∠BCO=30°,

  ∵∠ACO=60°,

  ∴將CO沿CH對折后落在直線AC上,即O2在AC上,

  ∴∠B2CA=∠CAB=30°,

  ∴B2C∥AB,

  ∴B2(﹣2,),

 ?、偃鐖D4,AN=MN,

  ∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,

  由旋轉(zhuǎn)得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,

  ∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,

  過C1作C1E⊥B2C于E,

  ∵B2C=B2C1=2,

  ∴=B2O2,B2E=,

  ∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,

  ∠B2O2M=∠C1EC=90°,

  ∴△C1EC≌△B2O2M,

  ∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣;

 ?、谌鐖D5,AM=MN,此時M與C重合,O2M=O2C=,

 ?、廴鐖D6,AM=MN,

  ∵B2C=B2C1=2=B2H,即N和H、C1重合,

  ∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,

  ∴O2M=AO2=;

  ④如圖7,AN=MN,過C1作C1E⊥AC于E,

  ∴∠NMA=∠NAM=30°,

  ∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,

  ∴C1B2∥AC,

  ∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,

  ∵∠C1EC=90°,

  ∴四邊形C1EO2B2是矩形,

  ∴EO2=C1B2=2,,

  ∴EM=,

  ∴O2M=EO2+EM=2+,

  綜上所述,O2M的長是或或2+或2.

  九年級數(shù)學(xué)上冊期中試題參考

  一.選擇題(共10小題,滿分30分)

  1.下面給出的是一些產(chǎn)品的圖案,從幾何圖形的角度看,這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是(  )

  A. B.

  C. D.

  2.點A(a,3)與點B(﹣4,b)關(guān)于原點對稱,則a+b=(  )

  A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1

  3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時,變形正確的方程為(  )

  A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4

  4.若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根,則+的值是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.

  5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位后,得到新拋物線的解析式為(  )

  A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5

  C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3

  6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三點,若拋物線開口向下,則y1、y2和y3的大小關(guān)系為(  )

  A.y1

  7.設(shè)A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為(  )

  A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2

  8.如圖,△ABC中,BC=8,AD是中線,將△ADC沿AD折疊至△ADC′,發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°,則點B到C′的距離是(  )

  A.4 B. C. D.3

  9.一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4,若設(shè)個位數(shù)字為a,則可列方程為(  )

  A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4

  B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4

  C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4

  D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4

  10.已知兩點A(﹣5,y1),B(3,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,點C(x0,y0)是該拋物線的頂點.若y1

  A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2

  二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)

  11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1,則a+b=   .

  12.如圖,把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于點D,若∠A′DC=90°,則∠A=   °.

  13.若二次函數(shù)y=(2﹣m)x|m|﹣3 的圖象開口向下,則m的值為   .

  14.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為   .

  15.從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:米)與小球運動時間t(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米,則小球的運動時間為   .

  16.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上兩點,且∠DAE=45°,將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△ACF,連接DF,下列結(jié)論中:①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有   (填序號)

  三.解答題(共9小題,滿分74分)

  17.解方程:x2﹣4x﹣5=0.

  18.如圖,畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1,并寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo).

  19.淮北市某中學(xué)七年級一位同學(xué)不幸得了重病,牽動了全校師生的心,該校開展了“獻(xiàn)愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.

  (1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同,求捐款增長率;

  (2)按照(1)中收到捐款的增長速度,第四天該校能收到多少捐款?

  20.如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E,F(xiàn)分別在邊AB和BC上,△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形.

  (Ⅰ)旋轉(zhuǎn)中心是點   .

  (Ⅱ)旋轉(zhuǎn)角是   度,∠EDM=   度.

  (Ⅲ)若∠EDF=45°,求證△EDF≌△MDF,并求此時△BEF的周長.

  21.從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做,只以甲題計分.

  題甲:若關(guān)于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a,β.

  (1)求實數(shù)k的取值范圍;

  (2)設(shè),求t的最小值.

  題乙:如圖所示,在矩形ABCD中,P是BC邊上一點,連接DP并延長,交AB的延長線于點Q.

  (1)若=,求的值;

  (2)若點P為BC邊上的任意一點,求證:﹣=.

  我選做的是   題.

  22.小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%.

  (1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.

  (2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?

  (3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價×銷售量)

  23.(12分)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點.

  (1)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為   ;

  (2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點P,當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時,滿足S△PAB=6,并求出此時P點的坐標(biāo).

  24.如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點C.A(1,1)、B(3,1).動點P從O點出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直于直線OA,垂足為Q,設(shè)P點移動的時間為t秒(0

  (1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式;

  (2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;

  (3)將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,是否存t,使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

  25.已知:二次函數(shù)y=ax2﹣2x+c的圖象與x于A、B,A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸是直線x=1,平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O

  (1)求這個二次函數(shù)的解析式;

  (2)直線交y軸于D點,E為拋物線頂點.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;

  (3)在(2)問的前提下,P為拋物線對稱軸上一點,且滿足PA=PC,在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點M,使得△BDM的面積等于PA2?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

  參考答案

  一.選擇題

  1.下面給出的是一些產(chǎn)品的圖案,從幾何圖形的角度看,這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是(  )

  A. B.

  C. D.

  【解答】解:A、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形;

  B、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形;

  C、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形;

  D、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形.

  故選:C.

  2.點A(a,3)與點B(﹣4,b)關(guān)于原點對稱,則a+b=(  )

  A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1

  【解答】解:∵點A(a,3)與點B(﹣4,b)關(guān)于原點對稱,

  ∴a=4,b=﹣3,

  ∴a+b=1,

  故選:D.

  3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時,變形正確的方程為(  )

  A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4

  【解答】解:方程移項得:x2+6x=5,

  配方得:x2+6x+9=14,即(x+3)2=14,

  故選:A.

  4.若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根,則+的值是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.

  【解答】解:∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根,

  ∴α+β=﹣,αβ=﹣3,

  ∴+====﹣.

  故選:C.

  5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位后,得到新拋物線的解析式為(  )

  A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5

  C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3

  【解答】解:y=x2﹣6x+21

  =(x2﹣12x)+21

  = [(x﹣6)2﹣36]+21

  =(x﹣6)2+3,

  故y=(x﹣6)2+3,向左平移2個單位后,

  得到新拋物線的解析式為:y=(x﹣4)2+3.

  故選:D.

  6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三點,若拋物線開口向下,則y1、y2和y3的大小關(guān)系為(  )

  A.y1

  【解答】解:

  ∵A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三點在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上,

  ∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7,y2=4a﹣4a﹣7=﹣7,y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7,

  ∵拋物線開口向下,

  ∴a<0,

  ∴24a<3a<0,

  ∴24a﹣7<3a﹣7<﹣7,

  ∴y1

  故選:A.

  7.設(shè)A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為(  )

  A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2

  【解答】解:

  ∵A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點,

  ∴y1=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+2=2,y2=﹣1﹣2+2=﹣1,y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6,

  ∴y1>y2>y3,

  故選:A.

  8.如圖,△ABC中,BC=8,AD是中線,將△ADC沿AD折疊至△ADC′,發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°,則點B到C′的距離是(  )

  A.4 B. C. D.3

  【解答】解:∵△ABC中,BC=8,AD是中線,

  ∴BD=DC=4,

  ∵將△ADC沿AD折疊至△ADC′,發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°,

  ∴∠C′DA=∠ADC=60°,DC=DC′,

  ∴∠C′DB=60°,

  ∴△BDC′是等邊三角形,

  ∴BC′=BD=DC′=4.

  故選:A.

  9.一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4,若設(shè)個位數(shù)字為a,則可列方程為(  )

  A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4

  B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4

  C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4

  D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4

  【解答】解:依題意得:十位數(shù)字為:a+4,這個數(shù)為:a+10(x+4)

  這兩個數(shù)的平方和為:a2+(a+4)2,

  ∵兩數(shù)相差4,

  ∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4.

  故選:C.

  10.已知兩點A(﹣5,y1),B(3,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,點C(x0,y0)是該拋物線的頂點.若y1

  A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2

  【解答】解:∵點C(x0,y0)是該拋物線的頂點.且y1

  ∴a<0,x0﹣(﹣5)>|3﹣x0|,

  ∴x0>﹣1.

  故選:A.

  二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)

  11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1,則a+b= 2018 .

  【解答】解:把x=﹣1代入方程有:

  a+b﹣2018=0,

  即a+b=2018.

  故答案是:2018.

  12.如圖,把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于點D,若∠A′DC=90°,則∠A= 55 °.

  【解答】解:∵三角形△ABC繞著點C時針旋轉(zhuǎn)35°,得到△AB′C′

  ∴∠ACA′=35°,∠A'DC=90°

  ∴∠A′=55°,

  ∵∠A的對應(yīng)角是∠A′,即∠A=∠A′,

  ∴∠A=55°;

  故答案為:55°.

  13.若二次函數(shù)y=(2﹣m)x|m|﹣3 的圖象開口向下,則m的值為 5 .

  【解答】解:

  ∵y=(2﹣m)x|m|﹣3 是二次函數(shù),

  ∴|m|﹣3=2,解得m=5或m=﹣5,

  ∵拋物線圖象開口向下,

  ∴2﹣m<0,解得m>2,

  ∴m=5,

  故答案為:5.

  14.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為 k≤4且k≠1 .

  【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根,

  ∴,

  解得:k≤4且k≠1.

  故答案為:k≤4且k≠1.

  15.從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:米)與小球運動時間t(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米,則小球的運動時間為 1s .

  【解答】解:由題意知,

  小球的高度h與小球運動時間t的函數(shù)關(guān)系式是:

  h=9.8t﹣4.9t2.

  令h=4.9,

  解得t=1s,

  故答案為:1s.

  16.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上兩點,且∠DAE=45°,將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△ACF,連接DF,下列結(jié)論中:①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有?、佗邰堋?填序號)

  【解答】解:∵在Rt△ABC中,AB=AC, ]

  ∴∠B=∠ACB=45°,

  ①由旋轉(zhuǎn),可知:∠CAF=∠BAE,

  ∵∠BAD=90°,∠DAE=45°,

  ∴∠CAD+∠BAE=45°,

  ∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°,故①正確;

 ?、谟尚D(zhuǎn),可知:△ABE≌△ACF,不能推出△ABE≌△ACD,故②錯誤;

 ?、邸?ang;EAD=∠DAF=45°,

  ∴AD平分∠EAF,故③正確;

 ?、苡尚D(zhuǎn)可知:AE=AF,∠ACF=∠B=45°,

  ∵∠ACB=45°,

  ∴∠DCF=90°,

  由勾股定理得:CF2+CD2=DF2,

  即BE2+DC2=DF2,

  在△AED和△AFD中,

  ,

  ∴△AED≌△AFD(SAS),

  ∴DE=DF,

  ∴BE2+DC2=DE2,

  故答案為:①③④.

  三.解答題(共9小題,滿分74分)

  17.(10分)解方程:x2﹣4x﹣5=0.

  【解答】解:(x+1)(x﹣5)=0,

  則x+1=0或x﹣5=0,

  ∴x=﹣1或x=5.

  18.(9分)如圖,畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1,并寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo).

  【解答】解:如圖所示,△A1B1C1即為所求,

  A1(3,﹣2),B1(2,1),C1(﹣2,﹣3).

  19.(9分)淮北市某中學(xué)七年級一位同學(xué)不幸得了重病,牽動了全校師生的心,該校開展了“獻(xiàn)愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.

  (1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同,求捐款增長率;

  (2)按照(1)中收到捐款的增長速度,第四天該校能收到多少捐款?

  【解答】解:(1)捐款增長率為x,根據(jù)題意得:

  10000(1+x)2=12100,

  解得:x1=0.1,x2=﹣2.1(舍去).

  則x=0.1=10%.

  答:捐款的增長率為10%.

  (2)根據(jù)題意得:12100×(1+10%)=13310(元),

  答:第四天該校能收到的捐款是13310元.

  20.(10分)如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E,F(xiàn)分別在邊AB和BC上,△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形.

  (Ⅰ)旋轉(zhuǎn)中心是點 D .

  (Ⅱ)旋轉(zhuǎn)角是 90 度,∠EDM= 90 度.

  (Ⅲ)若∠EDF=45°,求證△EDF≌△MDF,并求此時△BEF的周長.

  【解答】解:(Ⅰ)∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形,

  ∴旋轉(zhuǎn)中心是點D.

  故答案為D;

  (Ⅱ)∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形,

  ∴∠ADC=∠EDM=90°

  ∴旋轉(zhuǎn)角是90度,∠EDM=90度.

  故答案為90,90;

  (Ⅲ)∵∠EDF=45°,∠EDM=90°,

  ∴∠MDF=45°.

  ∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形,

  ∴△DCM≌△DAE,

  ∴DM=DE,CM=AE.

  在△EDF與△MDF中,

  ,

  ∴△EDF≌△MDF,

  ∴EF=MF=MC+CF,

  ∴△BEF的周長=BE+EF+BF

  =BE+MC+CF+BF

  =(BE+AE)+(CF+BF)

  =AB+BC

  =2.

  21.(12分)從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做,只以甲題計分.

  題甲:若關(guān)于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a,β.

  (1)求實數(shù)k的取值范圍;

  (2)設(shè),求t的最小值.

  題乙:如圖所示,在矩形ABCD中,P是BC邊上一點,連接DP并延長,交AB的延長線于點Q.

  (1)若=,求的值;

  (2)若點P為BC邊上的任意一點,求證:﹣=.

  我選做的是 甲 題.

  【解答】題甲

  解:(1)∵一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a,β,

  ∴△≥0,

  即4(2﹣k)2﹣4(k2+12)≥0,

  得k≤﹣2.

  (2)由根與系數(shù)的關(guān)系得:a+β=﹣[﹣2(2﹣k)]=4﹣2k,

  ∴,

  ∵k≤﹣2,

  ∴﹣2≤<0,

  ∴,

  即t的最小值為﹣4.

  題乙:

  (1)解:∵AB∥CD,∴==,即CD=3BQ,

  ∴===;

  (2)證明:四邊形ABCD是矩形

  ∵AB=CD,AB∥DC

  ∴△DPC∽△QPB

  ∴=

  ﹣=﹣=1+﹣=1

  ∴﹣=1.

  22.(12分)小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%.

  (1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.

  (2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?

  (3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價×銷售量)

  【解答】解:(1)由題意,得:w=(x﹣20)•y=(x﹣20)•(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000,即w=﹣10x2+700x﹣10000(20≤x≤32)

  (2)對于函數(shù)w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線.

  又∵a=﹣10<0,拋物線開口向下.∴當(dāng)20≤x≤32時,W隨著X的增大而增大,

  ∴當(dāng)x=32時,W=2160

  答:當(dāng)銷售單價定為32元時,每月可獲得最大利潤,最大利潤是2160元.

  (3)取W=2000得,﹣10x2+700x﹣10000=2000

  解這個方程得:x1=30,x2=40.

  ∵a=﹣10<0,拋物線開口向下.

  ∴當(dāng)30≤x≤40時,w≥2000.

  ∵20≤x≤32

  ∴當(dāng)30≤x≤32時,w≥2000.

  設(shè)每月的成本為P(元),由題意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000

  ∵k=﹣200<0,

  ∴P隨x的增大而減小.

  ∴當(dāng)x=32時,P的值最小,P最小值=3600.

  答:想要每月獲得的利潤不低于2000元,小明每月的成本最少為3600元.

  23.(12分)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點.

  (1)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為 (﹣1,0)或(3,0) ;

  (2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點P,當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時,滿足S△PAB=6,并求出此時P點的坐標(biāo).

  【解答】解:(1)當(dāng)y=0時,

  x2﹣2x﹣3=0,

  解得,x1=﹣1,x2=3,

  ∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(﹣1,0)或(3,0),

  故答案為:(﹣1,0)或(3,0);

  (2)∵點A(﹣1,0),點B(3,0),y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

  ∴此拋物線有最小值,此時y=﹣4,AB=3﹣(﹣1)=4,

  ∵S△PAB=6,拋物線上有一個動點P,

  ∴點P的縱坐標(biāo)的絕對值為:,

  ∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3,

  解得,x1=1+,x2=1﹣,x3=0,x4=2,

  ∴點P的坐標(biāo)為(1+,3)、(1﹣,3)、(0,﹣3)、(2,﹣3).

  24.如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點C.A(1,1)、B(3,1).動點P從O點出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直于直線OA,垂足為Q,設(shè)P點移動的時間為t秒(0

  (1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式;

  (2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;

  (3)將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,是否存t,使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

  【解答】解:(1)解法一:由圖象可知:拋物線經(jīng)過原點,

  設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx(a≠0).

  把A(1,1),B(3,1)代入上式得,

  解得,

  ∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x;

  解法二:∵A(1,1),B(3,1),∴拋物線的對稱軸是直線x=2.

  設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+h(a≠0),

  把O(0,0),A(1,1)代入得

  解得∴所求拋物線解析式為:y=﹣(x﹣2)2+.

  (2)分三種情況:

 ?、佼?dāng)0

  ∵A(1,1),在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,

  在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°,

  ∴PQ=OQ=tcos45°=t,

  ∴S=(t)2=t2.

 ?、诋?dāng)2

  作GH⊥x軸于點H,∠OPQ=∠QOP=45°,則四邊形OAGP是等腰梯形,

  重疊部分的面積是S梯形OAGP.

  ∴AG=FH=t﹣2,

  ∴S=(AG+OP)AF=(t+t﹣2)×1=t﹣1.

 ?、郛?dāng)3

  重疊部分的面積是S五邊形OAMNC.

  因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形,

  所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.

  ∵B(3,1),OP=t,

  ∴PC=CN=t﹣3,

  ∴BM=BN=1﹣(t﹣3)=4﹣t,

  ∴S=(2+3)×1﹣(4﹣t)2 S=﹣t2+4t﹣;

  (3)存在t1=1,t2=2.

  將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,此時Q(t+,),O(t,t)

 ?、佼?dāng)點Q在拋物線上時, =×(t+)2+×(t+),解得t=2;

  ②當(dāng)點O在拋物線上時,t=﹣t2+t,解得t=1.

  25.已知:二次函數(shù)y=ax2﹣2x+c的圖象與x于A、B,A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸是直線x=1,平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O

  (1)求這個二次函數(shù)的解析式;

  (2)直線交y軸于D點,E為拋物線頂點.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;

  (3)在(2)問的前提下,P為拋物線對稱軸上一點,且滿足PA=PC,在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點M,使得△BDM的面積等于PA2?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

  【解答】解:(1)由題意,A(﹣1,0),

  ∵對稱軸是直線x=1,

  ∴B(3,0);(1分)

  把A(﹣1,0),B(3,0)分別代入y=ax2﹣2x+c

  得;(2分)

  解得.

  ∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x﹣3.

  (2)∵直線與y軸交于D(0,1),

  ∴OD=1,

  由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4得E(1,﹣4);

  連接CE,過E作EF⊥y軸于F(如圖1),則EF=1,

  ∴OC=OB=3,CF=1=EF,

  ∴∠OBC=∠OCB=∠45°,

  BC==,

  ;

  ∴∠BCE=90°=∠BOD,,

  ,

  ∴,

  ∴△BOD∽△BCE,(6分)

  ∴∠CBE=∠DBO,

  ∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.(7分)

  (3)設(shè)P(1,n),

  ∵PA=PC,

  ∴PA2=PC2,即(1+1)2+(n﹣0)2=(1+0)2+(n+3)2

  解得n=﹣1,

  ∴PA2=(1+1)2+(﹣1﹣0)2=5,

  ∴S△EDW=PA2=5;(8分)

  法一:設(shè)存在符合條件的點M(m,m2﹣2m﹣3),則m>0,

 ?、佼?dāng)M在直線BD上側(cè)時,連接OM(如圖1),

  則S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5,

  即,

  ,

  整理,得3m2﹣5m﹣22=0,

  解得m1=﹣2(舍去),,

  把代入y=m2﹣2m﹣3得;

  ∴;(10分)

  ②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫M1,連接OM1(如圖1),

  則S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5,

  即,

  ,

  整理,得3m2﹣5m﹣2=0,

  解得,(舍去)

  把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,

  ∴M1(2,﹣3);

  綜上所述,存在符合條件的點M,其坐標(biāo)為或(2,﹣3).(12分)

  法二:設(shè)存在符合條件的點M(m,m2﹣2m﹣3),則m>0,

 ?、佼?dāng)M在直線BD上側(cè)時,過M作MG∥y軸,

  交DB于G;(如圖2)

  設(shè)D、B到MG距離分別為h1,h2,則

  S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5,

  即,

  整理,得3m2﹣5m﹣22=0;

  解得m1=﹣2(舍去),;

  把代入y=m2﹣2m﹣3

  得;

  ∴.(10分)

 ?、诋?dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫M1,過M1作M1G1∥y軸,交DB于G1(如圖2)

  設(shè)D、B到M1G1距離分別為h1、h2,則S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5,

  即,

  ,

  ,

  整理,得3m2﹣5m﹣2=0,

  解得,(舍去)

  把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,

  ∴M1(2,﹣3);

  綜上所述,存在符合條件的點M,其坐標(biāo)為或(2,﹣3).(12分)

  法三:①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時,過M作MH∥BD,交y軸于H,連接BH;(如圖3)

  則S△DHB=S△BDM=5,

  即,,

  ∴DH=,

  ∴;

  ∴直線MH解析式為;

  聯(lián)立

  得或;

  ∵M(jìn)在y軸右側(cè),

  ∴M坐標(biāo)為.(10分)

 ?、诋?dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫M1,過M1作M1H1∥BD,交y軸于H1,

  連接BH1(如圖3),同理可得,

  ∴,

  ∴直線M1H1解析式為,

  聯(lián)立

  得或;

  ∵M(jìn)1在y軸右側(cè),

  ∴M1坐標(biāo)為(2,﹣3)

  綜上所述,存在符合條件的點M,其坐標(biāo)為或(2,﹣3).(12分)


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