第二學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中題
學(xué)習(xí)好了數(shù)學(xué)對我們來說是一件非常重要的事情的哦，今天小編給大家分享的是九年級數(shù)學(xué)，喜歡的來閱讀吧
九年級數(shù)學(xué)下期中檢測試卷閱讀
一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個正確選項)
1.點A(-2，5)在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，則k的值是( )
A.10 B.5 C.-5 D.-10
2.點A(1，y1)、B(3，y2)是反比例函數(shù)y=9x圖象上的兩點，則y1、y2的大小關(guān)系是( )
A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1
3.如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O.若AO=2，DO=4，BO=3，則BC的長為( )
A.6 B.9 C.12 D.15
第3題圖 第5題圖 第6題圖
4.志遠要在報紙上刊登廣告，一塊10cm×5cm的長方形版面要付廣告費180元，他要把該版面的邊長都擴大為原來的3倍，在廣告費單價相同的情況下，他該付廣告費( )
A.540元 B.1080元 C.1620元 D.1800元
5.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.若點E是邊CD的中點，連接AE，過點B作BF⊥AE交AE于點F，則BF的長為( )
A.3102 B.3105 C.105 D.355
6.如圖，P為反比例函數(shù)y=kx(k>0)在第一象限內(nèi)圖象上的一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線交一次函數(shù)y=-x-4的圖象于點A、B.若∠AOB=135°，則k的值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
7.已知反比例函數(shù)y=m+2x的圖象在第二、四象限，則m的取值范圍是________.
8.如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.若AD=3，DB=2，BC=6，則DE的長為________.
第8題圖 第9題圖
9.如圖，直線y=ax與雙曲線y=kx(x>0)交于點A(1，2)，則不等式ax>kx的解集是________.
10.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F.若S△DEC=3，則S△BCF=________.
11.如圖，四邊形ABCD為正方形，點A、B在y軸上，點C的坐標(biāo)為(-4，1)，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點D，則k的值為________.
第10題圖 第11題圖 第12題圖
12.如圖，等邊△ABC的邊長為30，點M為線段AB上一動點，將等邊△ABC沿過點M的直線折疊，使點A落在直線BC上的點D處，且BD∶DC=1∶4，折痕與直線AC交于點N，則AN的長為________.
三、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6，0)，B(6，3)，畫出△ABO的所有以原點O為位似中心的△CDO，且△CDO與△ABO的相似比為13，并寫出點C，D的坐標(biāo).
14.已知正比例函數(shù)y1=ax(a≠0)與反比例函數(shù)y2=kx(k≠0)的圖象在第一象限內(nèi)交于點A(2，1).
(1)求a，k的值;
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象直接寫出y1>y2時x的取值范圍.
15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A(1，3).連接OA，將線段OA繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB，判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由.
16.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m，EF=0.2m，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB是多少?
17.如圖，在▱ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE，EF與CD交于點G.
(1)求證：BD∥EF;
(2)若DGGC=23，BE=4，求EC的長.
四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
18.如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與BC相交于點F，與△ABC的外接圓相交于點D.
(1)求證：△BFD∽△ABD;
(2)求證：DE=DB.
19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點的縱坐標(biāo)分別為7和1，直線AB與y軸所夾銳角為60°.
(1)求線段AB的長;
(2)求經(jīng)過A，B兩點的反比例函數(shù)的解析式.
20.如圖，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=3kx(k>0).
(1)若該反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=2x的圖象有一個交點的縱坐標(biāo)為2，求k的值;
(2)若該反比例函數(shù)的圖象與過點M(-2，0)的直線l：y=kx+b交于A，B兩點，如圖所示，當(dāng)△ABO的面積為163時，求直線l的解析式.
五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分)
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交邊AB于點P，點D在邊AC上，連接PD.
(1)如果PD∥BC，求證：AC•CD=AD•BC;
(2)如果∠BPD=135°，求證：CP2=CB•CD.
22.如圖，分別位于反比例函數(shù)y=1x，y=kx在第一象限圖象上的兩點A，B，與原點O在同一直線上，且OAOB=13.
(1)求反比例函數(shù)y=kx的表達式;
(2)過點A作x軸的平行線交y=kx的圖象于點C，連接BC，求△ABC的面積.
六、(本大題共12分)
23.正方形ABCD的邊長為6cm，點E，M分別是線段BD，AD上的動點，連接AE并延長，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點N.
(1)如圖①，若點M與點D重合，求證：AF=MN;
(2)如圖②，若點M從點D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點A運動，同時點E從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為ts.
?、僭O(shè)BF=ycm，求y關(guān)于t的函數(shù)表達式;
?、诋?dāng)BN=2AN時，連接FN，求FN的長.
參考答案與解析
1.D 2.A 3.B 4.C 5.B
6.D 解析：設(shè)一次函數(shù)y=-x-4交y軸于點C.如圖，作BF⊥x軸，OE⊥AB，CQ⊥AP，設(shè)P點坐標(biāo)n，kn.∵直線AB的解析式為y=-x-4，PB⊥y軸，PA⊥x軸，∴∠PBA=∠PAB=45°，∴PA=PB.∵P點坐標(biāo)為n，kn，∴OD=CQ=n.∵當(dāng)x=0時，y=-x-4=-4，∴OC=DQ=4，∴AD=AQ+DQ=n+4.GE=OE=22OC=22.同理得BG=2BF=2PD=2kn，∴BE=BG+EG=2kn+22.∵∠AOB=135°，∴∠OBE+∠OAE=45°.∵∠DAO+∠OAE=45°，∴∠DAO=∠OBE.又∵∠BEO=∠ADO=90°，∴△BOE∽△AOD，∴OEOD=BEAD，即22n=2kn+224+n，∴k=8.故選D.
7.m<-2 8.185 9.x>1
10.4 解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴EFCF=DEBC，S△DEFS△BCF=DEBC2.∵E是邊AD的中點，∴DE=12AD=12BC，∴EFCF=DEBC=12，∴S△DEF=13S△DEC=1，S△DEFS△BCF=14，∴S△BCF=4.
11.12
12.21或65 解析：①當(dāng)點A落在如圖①所示的位置時，∵△ACB是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°.∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN.∴BDCN=DMDN=BMCD.∵DN=AN，∴BDCN=DMAN=BMCD.∵BD∶DC=1∶4，BC=30，∴DB=6，CD=24.設(shè)AN=x，則CN=30-x，∴630-x=DMx=BM24，∴DM=6x30-x，BM=14430-x.∵BM+DM=30，∴6x30-x+14430-x=30，解得x=21，∴AN=21;②當(dāng)A落在CB的延長線上時，如圖②，與①同理可得△BMD∽△CDN.∴BDCN=DMDN=BMCD.∵BD∶DC=1∶4，BC=30，∴DB=10，CD=40.設(shè)AN=x，則CN=x-30，∴10x-30=DMx=BM40，∴DM=10xx-30，BM=400x-30.∵BM+DM=30，∴10xx-30+400x-30=30，解得x=65，∴AN=65.綜上所述，AN的長為21或65.
13.解：如圖所示，(4分)C點的坐標(biāo)為(2，0)或(-2，0)，D點的坐標(biāo)為(2，1)或(-2，-1).(6分)
14.解：(1)將A(2，1)代入正比例函數(shù)解析式得1=2a，∴a=12，∴y1=12x.將A(2，1)代入反比例函數(shù)解析式得1=k2，∴k=2，∴y2=2x.(2分)
(2)如圖所示.(4分)
由圖象可得當(dāng)y1>y2時，x的取值范圍是-2
15.解：點B在此反比例函數(shù)的圖象上.(1分)理由如下：易知反比例函數(shù)的解析式為y=3x.(2分)過點A作AD⊥x軸，垂足為點D.∵點A的坐標(biāo)為(1，3)，∴OD=1，AD=3，∴OA=OD2+AD2=2，∴∠OAD=30°，∴∠AOD=60°.過點B作BC⊥x軸，垂足為點C.∵∠AOB=30°，∴∠BOC=∠AOD-∠AOB=30°.∵OB=OA=2，∴BC=1，∴OC=OB2-BC2=3，∴點B的坐標(biāo)為(3，1)，∴點B在此反比例函數(shù)的圖象上.(6分)
16.解：由題意可得∠DEF=∠DCB，∠EDF=∠CDB，∴△DEF∽△DCB，(2分)∴DECD=EFBC，即0.48=0.2BC，∴BC=4m，∴AB=BC+AC=4+1.5=5.5(m).(5分)
答：樹高AB是5.5m.(6分)
17.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴DF∥BE.∵DF=BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD∥EF.(3分)
(2)解：∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴DGCG=DFCE.∵DF=BE=4，∴CE=DF•CGDG=4×32=6.(6分)
18.(1)證明：∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD.(3分)又∵∠BDF=∠ADB，∴△BFD∽△ABD.(4分)
(2)解：連接BE.∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABE=∠CBE.又∵∠CBD=∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD.(6分)∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，∴∠DBE=∠BED，∴DE=DB.(8分)
19.解：(1)分別過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥AC，垂足分別為點C，D.由題意，知∠BAC=60°，AD=7-1=6，∴∠ABD=30°，∴AB=2AD=12.(4分)
(2)設(shè)過A，B兩點的反比例函數(shù)解析式為y=kx(k≠0)，A點坐標(biāo)為(m，7).∵AD=6，AB=12，∴BD=AB2-AD2=63，∴B點坐標(biāo)為(m+63，1)，(6分)∴7m=k，(m+63)•1=k，解得k=73，∴經(jīng)過A，B兩點的反比例函數(shù)的解析式為y=73x.(8分)
20.解：(1)由題意得該點交點坐標(biāo)為(1，2)，把(1，2)代入y=3kx，得到3k=2，∴k=23.(3分)
(2)把M(-2，0)代入y=kx+b可得b=2k，∴y=kx+2k.由y=3kx，y=kx+2k消去y得到x2+2x-3=0，解得x=-3或1，∴B(-3，-k)，A(1，3k).(6分)∵△ABO的面積為163，∴12•2•3k+12•2•k=163，解得k=43，∴直線l的解析式為y=43x+83.(8分)
21.證明：(1)∵PD∥BC，∴∠PCB=∠CPD.∵CP平分∠ACB，∴∠PCB=∠PCA，∴∠CPD=∠PCA，∴PD=CD.∵PD∥BC，∴△APD∽△ABC，∴ADAC=PDBC，∴AC•PD=AD•BC，∴AC•CD=AD•BC.(4分)
(2)∵∠ACB=90°，CP平分∠ACB，∴∠PCB=∠PCA=45°.∵∠B+∠PCB+∠CPB=180°，∴∠B+∠CPB=180°-∠PCB=135°.(6分)∵∠BPD=135°，∴∠CPB+∠CPD=135°，∴∠B=∠CPD，∴△PCB∽△DCP，∴CBCP=CPCD，∴CP2=CB•CD.(9分)
22.解：(1)分別過點A，B作AE，BF垂直于x軸，垂足為E，F(xiàn).易證△AOE∽△BOF.∴OEOF=EAFB=OAOB=13.∵點A在函數(shù)y=1x的圖象上，設(shè)點A的坐標(biāo)是m，1m，∴OEOF=mOF=13，EAFB=1mFB=13，∴OF=3m，BF=3m，即點B的坐標(biāo)是3m，3m.(3分)∵點B在y=kx的圖象上，∴3m=k3m，解得k=9，∴反比例函數(shù)y=kx的表達式是y=9x.(5分)
(2)由(1)可知Am，1m，B3m，3m.又∵已知過A作x軸的平行線交y=9x的圖象于點C，∴點C的縱坐標(biāo)是1m.把y=1m代入y=9x，∴x=9m，∴點C的坐標(biāo)是9m，1m，∴AC=9m-m=8m.(7分)∴S△ABC=12•8m•3m-1m=8.(9分)
23.(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠MAN=∠ABF=90°.∵MN⊥AF，∴∠NAH+∠ANH=90°.∵∠NMA+∠ANH=90°，∴∠NAH=∠NMA，∴△ABF≌△MAN，∴AF=MN.(4分)
(2)解：①∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BF，∴∠ADE=∠FBE.∵∠AED=∠BEF，∴△EBF∽△EDA，∴BFAD=BEED.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC=CB=6cm，∴BD=62cm.∵點E從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿向點運動，運動時間為ts.∴BE=2tcm，DE=(62-2t)cm，∴y6=2t62-2t，∴y=6t6-t.(8分)
?、谕?1)可得∠MAN=∠FBA=90°，∠NAH=∠NMA，∴△ABF∽△MAN，∴ANAM=BFAB.∵BN=2AN，AB=6cm，∴AN=2cm.當(dāng)運動時間為ts時，AM=(6-t)cm.由①知BF=6t6-tcm，∴26-t=6t6-t6，∴t=2，∴BF=6×26-2=3(cm).又∵BN=2AN=4cm，∴FN=32+42=5(cm).(12分)
九年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷
一.選擇題(每題3分，共30分)
1.(3分)下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是( )
A.y= B.3x+2y=0 C.xy﹣ =0 D.y=
2.(3分)方程(m﹣2)x2﹣ x+ =0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍( )
A.m> B.m≤ 且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
3.(3分)函數(shù)y=ax﹣a與y= (a≠0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A. B. C. D.
4.(3分)已知點A(1，y1)，B( ，y2)，C(﹣2，y3)，都在反比例y= 的圖象上，則( )
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2
5.(3分)如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是( )
A.5個 B.6個 C.7個 D.8個
6.(3分)用2、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
7.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某點為位似中心，作出與△AOB的位似比為k的位似△CDE，則位似中心的坐標(biāo)和k的值分別為( )
A.(0，0)，2 B.(2，2)， C.(2，2)，2 D.(1，1)，
8.(3分)如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與圖中△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
9.(3分)如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點，連接DF，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四邊形CDEF= S△ABF其中正確的結(jié)論有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
10.(3分)在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.42米，則樹高為( )
A.6.93米 B.8米 C.11.8米 D.12米
二.填空題(每題3分，共15分)
11.(3分)反比例函數(shù)y= 位于 象限.
12.(3分)如圖是一個上下底密封紙盒的三視圖，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算這個密封紙盒的體積 .
13.(3分)如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.連結(jié)對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使∠FAC=60°.連結(jié)AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是 .
14.(3分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平 行，點P(3a，a)是反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上與正方形的一個交點.若圖中陰影部分的面積等于9，則這個反比例函數(shù)的解析式為 .
15.(3分)如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點E為AD中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△APE沿PE折疊得到△FPE，連接CE，CF，當(dāng)△ECF為直角三角形時，AP的長為 .
三.解答題(共75分
16.(9分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長為1，△ABC各頂點都在格點上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題：
(1)求△ABC的面積;
(2)以O(shè)為位似中心作一個與△ABC位似的△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC的位似比為 2;
(3)直接寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo).
17.(8分)若▱ABCD的對角線AC、BD的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+ ﹣ =0的兩個實數(shù)根
(1)當(dāng)m為何值時，▱ABCD是矩形?求出此時矩形的對角線長?
(2)當(dāng)□ABCD的一條對角線AC=2時，求另外一條對角線的長?
18.(9分)如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長交AD于E，交BA的延長線于點F.
(1)求證：△APD≌△CPD;
(2)求證：△APE∽△FPA;
(3)猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關(guān)系?并說明理由.
19.(11分)如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y= 的圖象于點A、B，交x軸于點C.
(1)求m的取值范圍.
(2)若點A的坐標(biāo)為(2，﹣4)，且 = ，求m的值和一次函數(shù)表達式.
(3)在(2)的條件下，連接OA，求△AOC的面積并直接寫出一次函數(shù)函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x范圍.
20.(8分)一個幾何體的三視圖如圖所示.求該幾何體的表面積.
21.(9分)如圖，是小亮晚上在廣場散步的示意圖，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈的位置.
(1)在小亮由B處沿BO所在的方向行走到達O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為 ;
(2)請你在圖中畫出小亮站在AB處的影子;
(3)當(dāng)小亮離開燈桿的距 離OB=4.2m時，身高(AB)為1.6m的小亮的影長為1.6m，問當(dāng)小亮離開燈桿的距離OD=6m時，小亮的影長是多少m?
22.(8分)現(xiàn)有兩組相同的撲克 牌，每組兩張，兩張牌的牌面數(shù)字分別是2和3，從每組牌中各隨機摸出一張牌，稱為一次試驗.
(1)小紅與小明用一次試驗做游戲，如果摸到的牌面數(shù)字相同小紅獲勝，否則小明獲勝，請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平?
(2)小麗認(rèn)為：“在一次試驗中，兩張牌的牌面數(shù)字和可能為4、5、6三種情況，所以出現(xiàn)‘和為4’的概率是 ”，她的這種看法是否正確?說明理由.
23.(13分)已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線，過點D作 BD⊥MN于點B，連接CB.
(1)問題發(fā)現(xiàn) 如圖(1)，過點C作 CE⊥CB，與MN交于點E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 ，BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為
(2)拓展探究 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，并給予證明.
(3)解決問題 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖(3)位置時(點C、D在直線MN兩側(cè))，若此時∠BCD=30°，BD=2時，CB= .
參考答案與試題解析
一.選擇題(每題3分，共30分)
1.(3分)下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是( )
A.y= B.3x+2y=0 C.xy﹣ =0 D.y=
【解答】解：A、k≠0時，y= 是反比例函數(shù)，故此選項錯誤;
B、3x+2y=0，可變形為y=﹣ x，不是反比例函數(shù)，故此選項錯誤;
C、xy﹣ =0可變形為y= 是反比例函數(shù)，故此選項正確;
D、y= 不是反比例函數(shù)，故此選項錯誤;
故選：C.
2.(3分)方程(m﹣2)x2﹣ x+ =0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍( )
A.m> B.m≤ 且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
【解答】解：根據(jù)題意得 ，
解得m≤ 且m≠2.
故選B.
3.(3分)函數(shù)y=ax﹣a與y= (a≠0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【解答】解：A、從反比例函數(shù)圖象得a>0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以A選項錯誤;
B、從反比例函數(shù)圖象得a>0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以B選項錯誤;
C、從反比例函數(shù)圖象得a<0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以C選項錯誤;
D、從反比例函數(shù)圖象得a<0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以D選項正確.
故選D.
4.(3分)已知點A(1，y1)，B( ，y2)，C(﹣2，y3)，都在反比例y= 的圖象上，則( )
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2
【解答】解：∵反比例函數(shù)y=﹣ 中，k=﹣2<0，
∴此函數(shù)的圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，
∵1>0， >0，
∴A、B在第四象限，
∴y1<0，y2<0，
∵1< ，
∴y1
∵﹣2<0，
∴C在第二象限，
∴y3>0，
∴y3>y2>y1.
故選B.
5.(3分)如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是( )
A.5個 B.6個 C.7個 D.8個
【解答】解：由題中所給 出的主視圖知物體共2列，且都是最高兩層;由左視圖知共行，所以小正方體的個數(shù)最少的幾何體為：第一列第一行2個小正方體，第一列第二行2個小正方體，第二列第三行1個小正方體，其余位置沒有小正方體.即組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少為：2+2+1=5個.
故選A.
6.(3分)用2、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
【解答】解：∵用2，3，4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，等可能的結(jié) 果有：234，243，324，342，423，432;
∵排出的數(shù)是偶數(shù)的有：234、324、342、432;
∴排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為： =
7.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某點為位似中心，作出與△AOB的位似比為k的位似△CDE，則位似中心的坐標(biāo)和k的值分別為( )
A.(0，0)，2 B.(2，2)， C.(2，2)，2 D.(1，1)，
【解答】解：如圖所示：位似中心F的坐標(biāo)為：(2，2)，
k的值為： = .
故選：B.
8.(3分)如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與圖中△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ，
∴AC：BC：AB=1： ： ，
A、三邊之比為1： ：2 ，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
B、三邊之比：1： ： ，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似;
C、三邊之比為 ： ：3，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
D、三邊之比為2： ： ，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似.
故選B.
9.(3分)如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點，連接D F，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四邊形CDEF= S△ABF其中正確的結(jié)論有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【解答】解：如圖，過D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確;
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ = = ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②正確;
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE= BC ，
∴BM=CM，CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確;
∵△AEF∽△CBF，
∴ = = ，
∴S△AEF= S△ABF，S△ABF= S矩形ABCD，
∴S△AEF= S矩形ABCD，
又∵S四邊形CDEF=S△ACD﹣S△AEF= S矩形ABCD﹣ S矩形ABCD= S矩形ABCD，
∴S四邊形CDEF= S△ABF，故④正確;
故選：A.
10.(3分)在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.42米，則樹高為( )
A.6.93米 B.8米 C.11.8米 D.12米
【解答】解：如圖，∵ = ，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，
∵ = ，
∴AB= =8(米).
故選B.
二.填空題(每題3分，共15分)
11.(3分)反比例函數(shù)y= 位于 二、四 象限.
【解答】解：∵﹣m2﹣3<0，
∴反比例函數(shù)y= 位于二、四象限，
故答案為：二、四.
12.(3分)如圖是一個上下底密封紙盒的三視圖，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算這個密封紙盒的體積 450 cm3 .
【解答】解：由三視圖可知這個幾何體是正六棱柱，
底面的正六邊形的邊長為5，底面積=6× ×(5)2(cm2)
∴正六棱柱的體積=12×6× ×25=450 (cm3).
故答案為450 cm3
13.(3分)如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.連結(jié)對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使∠FAC=60°.連結(jié)AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是 ( )n﹣1 .
【解答】解：連接DB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB.AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴DB= AD=1，
∴BM= ，
∴AM= ，
∴AC= ，
同理可得AE= AC=( )2，AG= AE=3=( )3，
按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為( )n﹣1，
故答案為( )n﹣1.
14.(3分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點P(3a，a)是反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上與正方形的一個交點.若圖中陰影部分的面積等于9，則這個反比例函數(shù)的解析式為 y= .
【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
∴陰影部分的面積和正好為正方形面積的 ，設(shè)正方形的邊長為b，則 b2=9，解得b=6，
∵正方形的中心在原點O，
∴直線AB的解析式為：x=3，
∵點P(3a，a)在直線AB上，
∴3a=3，解得a=1，
∴P(3，1)，
∵點P在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上，
∴k=3，
∴此反比例函數(shù)的解析式為：y= .
故答案為：y= .
15.(3分)如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點E為AD中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△APE沿PE折疊得到△FPE，連接CE，CF，當(dāng)△ECF為直角三角形時，AP的長為 或1 .
【解答】解：如圖所示，當(dāng)∠CFE=90°時，△ECF是直角三角形，
由折疊可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，
∴∠CFP=180°，即點P，F(xiàn)，C在一條直線上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，
∴CF=CD=4，
設(shè)AP=FP=x，則BP=4﹣x，CP=x+4，
在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即(4﹣x)2+62=(x+4)2，
解得x= ，即AP= ;
如圖所示，當(dāng)∠CEF=90°時，△ECF是直角三角形，
過F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，則∠FQE=∠D=90°，
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ=∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴ = = ，即 = = ，
解得FQ= ，QE= ，
∴AQ=HF= ，AH= ，
設(shè)AP=FP=x，則HP= ﹣x，
∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即( ﹣x)2+( )2=x2，
解得x=1，即AP=1.
綜上所述，AP的長為1或 .
三.解答題(共75分
16.(9分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長為1，△ABC各頂點都在格點上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題：
(1)求△ABC的面積;
(2)以O(shè)為位似中心作一個與△ABC位似的△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC的位似比為2;
(3)直接寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo).
【解答】解：(1)△ABC的面積=2×3﹣ ×1×1﹣ ×2×2﹣ ×1×3=2;
(2)如圖，
(3)A1 (﹣2，4)，B1 (﹣4，2)，C1 (0，﹣2).
17.(8分)若▱ABCD的對角線AC、BD的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+ ﹣ =0的兩個實數(shù)根
(1)當(dāng)m為何值時，▱ABCD是矩形?求出此時矩形的對角線長?
(2)當(dāng)□ABCD的一條對角線AC=2時，求另外一條對角線的長?
【解答】解：(1)四邊形ABCD為矩形，則方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac=(﹣m)2﹣4( ﹣ )=0，
即m2﹣2m+1=0，
解得 m=1，
所以當(dāng)m=1時，四邊形ABCD為矩形.
把m=1代入x2﹣mx+ ﹣ =0，可得： ;
(2)把x=2代入x2﹣mx+ ﹣ =0，可得： ，
解得：m=2.5，
所以x2﹣2.5x+1=0，
解得： ，
所以BD=0.5.
18.(9分)如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長交AD于E，交BA的延長線于點F.
(1)求證：△APD≌△CPD;
(2)求證：△APE∽△FPA;
(3)猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關(guān)系?并說明理由.
【解答】(1)證明：∵ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD;
(2)證明：由(1)△APD≌△CPD，
得：∠PAE=∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD
∴∠PAE=∠PFA
又∵∠APE=∠APF，
∴△APE∽△FPA
(3)解：線段PC、PE、PF之間的關(guān)系是：PC2=PE•PF，
∵△APE∽△FPA，
∴ ，
∴PA2=PE•PF，
又∵PC=PA，
∴PC2=PE•PF.
19.(11分)如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y= 的圖象于點A、B，交x軸于點C.
(1)求m的取值范圍.
(2)若點A的坐標(biāo)為(2，﹣4)，且 = ，求m的值和一次函數(shù)表達式.
(3)在(2)的條件下，連接OA，求△AOC的面積并直接寫出一次函數(shù)函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x范圍.
【解答】解：(1)因為反比例函數(shù)y= 的圖象在第四象限，
所以4﹣2m<0，解得m>2.
(2)因為點A(2，﹣4)在函數(shù)y= 圖象上，
所以﹣4=2﹣m，解得m=6
過點A、B分別作AM⊥OC于點M，BN⊥OC于點N，
所以∠BNC=∠AMC=90°，
又因為∠BCN=∠ACM，
所以△BCN∽△ACM，所以 = .
因為 = ，所以 = ，即 = .
因為AM=4，所以BN=1.
所以點B的縱坐標(biāo)是﹣1.
因為點B在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上，所以當(dāng)y=﹣1時，x=8.
所以點B的坐標(biāo)是(8，﹣1).
因為一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點A(2，﹣4)、B(8，﹣1)，
所解得 ，
解得 ：k= ，b=﹣5
所以一次函數(shù)的解析式是y= x﹣5;
(3)由函數(shù)圖象可知不等式kx+b> 的解集為：0
S△AOC= ×5×10﹣ 5×2=20.
20.(8分)一個幾何體的三視圖如圖所示.求該幾何體的表面積.
【解答】解：2+4+2=8，
1+4+1=6，
(8×6+8×1.5+6×1.5)×2﹣π×(4÷2)2×2+π×4×1.5
=(48+12+9)×2﹣π×4×2+6π
=138﹣2π.
故該幾何體的表面積是138﹣2π.
21.(9分)如圖，是小亮晚上在廣場散步的示意圖，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈的位置.
(1)在小 亮由B處沿BO所在的方向行走到達O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為 變短 ;
(2)請你在圖中畫出小亮站在AB處的影子;
(3)當(dāng)小亮離開燈桿的距離OB=4.2m時，身高(AB)為1.6m的小亮的影長為1.6m，問當(dāng)小亮離開燈桿的距離OD=6m時，小亮的影長是多少m?
【解答】解：(1)因為光是沿直線傳播的，所以當(dāng)小亮由B處沿BO所在的方向行走到達O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為變短;
(2)如圖所示，BE即為所求;
(3)先設(shè)OP=x米，則當(dāng)OB=4.2米時，BE=1.6米，
∴ = ，即 = ，
∴x=5.8;
當(dāng)OD=6米時，設(shè)小亮的影長是y米，
∴ = ，
∴ = ，
∴y= .
即小亮的影長是 米.
22.(8分)現(xiàn)有兩組相同的撲克牌，每組兩張，兩張牌的牌面數(shù)字分別是2和3，從每組牌中各隨機摸出一張牌，稱為 一次試驗.
(1)小紅與小明用一次試驗做游戲，如果摸到的牌面數(shù)字相同小紅獲勝，否則小明獲勝，請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平?
(2)小麗認(rèn)為：“在一次試驗中，兩張牌的牌面數(shù)字和可能為4、5、6三種情況，所以出現(xiàn)‘和為4’的概率是 ”，她的這種看法是否正確?說明理由.
【解答】解：(1)根據(jù)題意畫 樹狀圖如下：
數(shù)字相同的情況有2種，
則P(小紅獲勝)=P(數(shù)字相同)= ，
P(小明獲勝)=P(數(shù)字不同)= ，
則這個游戲公平;
(2)不正確，理由如下;
因為“和為4”的情況只出現(xiàn)了1次，
所以和為4的概率為 ，
所以她的這種看法不正確.
23.(13分)已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線， 過點D作 BD⊥MN于點B，連接CB.
(1)問題發(fā)現(xiàn) 如圖(1)，過點C作 CE⊥CB，與MN交于點E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 BD=AE ，BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為 BD+AB= CB
(2)拓展探究 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，并給予證明.
(3)解決問題 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖(3)位置時(點C、D在直線MN兩側(cè))，若此時∠BCD=30°，BD=2時，CB= ﹣ .
【解答】解：(1)如圖1，過點C作⊥CB交MN于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠ACB，∠BCD=90°﹣∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，
∴∠BAC+∠D=180°，
∵∠CE+∠BAC=180°，
∠CAE =∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AE+AB=DB+AB，
∴BD+AB= CB;
故答案為：BD=AE，BD+AB= CB;
(2)BD﹣AB= CB;
理由：如圖2，過點C作CE⊥CB交MN于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB，
∴BD﹣AB= CB;
(3)如圖3，過點C作CE⊥CB交MN于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠DCE，
∠BCD=90°﹣∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB，
∴AB﹣DB= CB;
∵△BCE為等腰直角三角形，
∴∠BEC=∠CBE=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBH=45°
過點D作DH⊥BC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD= BH=2，
∴BH=DH= ，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH= ，
∴CH= DH= × = ，
∴BC=CH﹣BH= ﹣ ;
故答案為： ﹣ .
九年級數(shù)學(xué)期中考試下冊題
一、選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
1.(2分)如果(m﹣1)x2+3x﹣2=0是一元二次方程，則( )
A.m≠0 B.m≠1 C.m=0 D.m=1
2.(2分)下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是( )
A.x2+2x+4=0 B.x2+6x﹣9=0 C.x2﹣4x+4=0 D.4x2+2x+1=0
3.(2 分)下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( )
A.y=x+ B.y=3(x﹣1)2 C.y=ax2+bx+c D.y= +3x
4.(2分)已知方程x2﹣14x+48=0的兩根恰好是Rt△ABC的兩邊的長，則Rt△ABC的第三邊長為( )
A.10 B.2 C.10或2 D.8
5.(2分)在一條直線上有若干個不同的點，共組成45條線段，設(shè)共有x個點，則下列方程正確的是( )
A.x(x﹣1)=45 B. =45 C.x(x+1)=45 D. =45
6.(2分)拋物線y=﹣2(x+1)2﹣4的頂點坐標(biāo)是( )
A.(1，﹣4) B.(1，4) C.(﹣1，﹣4) D.(﹣1，4)
7.(2分)二次函數(shù)y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值為( )
A.﹣ B. C.1 D.﹣1
8.(2分)關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個實數(shù)根，那么實數(shù)k的取值范圍是( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0 C.k≤1且k≠0 D.k≥1
9.(2分)在拋物線y=﹣2x2﹣x+1上的一個點是( )
A.(1，0) B.(﹣2，﹣5) C.(2，﹣5) D.(﹣1，3)
10.(2分)如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M為AB的中點.動點P在菱形的邊上從點B出發(fā)，沿B→C→D的方向運動，到達點D時停止.連接MP，設(shè)點P運動的路程為x，MP 2=y，則表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為( )
A. B. C. D. ?
二、填空題(本大題共8小題，每小題2分，共16分)
11.(2分)二次函數(shù)y= (x )2+ 的圖象的頂點坐標(biāo)是(1，﹣2).
12.(2分)一元二次方程(x﹣2)(x+1)=2x﹣4化為一般形式是 .
13.(2分)把拋物線y=﹣ x2﹣1向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則所得拋物線的解析式為 .
14.(2分)方程2(x﹣3)2=x﹣3的解是 .
15.(2分)已知直線y=﹣x+1與拋物線y=x2+k一個交點的橫坐標(biāo)為﹣2，則k= .
16.(2分)已知函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+1，當(dāng)x 時，y隨x的增大而增大.
17.(2分)從正方形鐵片上截去2cm寬的一個長方形，剩余矩形的面積為35cm2，則原來正方形的面積為 .
18.(2分)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①因為a<0，所以函數(shù)y有最小值;②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;③當(dāng)x=0時，函數(shù)y的值等于2;④在本題條件下，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3.其中正確的結(jié)論有 .(填序號)
三、解答題(本大題共8小題 ，共64分)
19.(6分)用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0.
20.(7分)用公式法解方程：x2﹣3x﹣5=0.
21.(7分)已知方程x2+x+k=0的一個解是x=﹣5，求k值及另一個解.
22.(7分)從現(xiàn)在開始到2020年，是全國建成小康社會的決勝期.某村2016年底人均收入為14400元，計劃到2018年底達到22500元，求該村人均純收入的年平均增長率.
23.(7分)如圖，要利用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長33m的圍欄建兩個面積相同的生態(tài)園，為了出入方便，每個生態(tài)園在平行于墻的一邊各留了一個寬1.5米的 門，能夠建生態(tài)園的場地垂直于墻的一邊長不超過6米(圍欄寬忽略不計).
(1)每個生態(tài)園的面積為48平方米，求每個生態(tài)園的邊長;
(2)每個生態(tài)園的面積 (填“能”或“不能”)達到108平方米.
24.(10分)如圖，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，動點M從點A開始沿邊AO以1cm/s的速度向終點O移動，動點N從點O開始沿邊OB以2 cms的速度向終點B移動，一個點到達終點時，另一個點也停止運動.如果M、N兩點分別從A、O兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts時四邊形ABNM的面積為Scm2.
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍;
(2)判斷S有最大值還是有最小值，用配方法求出這個值.
25.(10分)某賓館有30個房間供旅客居住，當(dāng)每個房間每天的定價為120元時，房間會全部住滿;當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.
(1)每個房間每天的定價為多少時，賓館利潤最大?
(2)若物價局規(guī)定，每個房間每天定價不得超過200元，則該賓館如何定價，每天能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
26.(10分)如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(1，0)，B(0，﹣3)兩點.
(1)求這個拋物線的解析式及頂點坐標(biāo);
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積.
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得O、B、C、P四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出P點坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
1.(2 分)如果(m﹣1)x2+3x﹣2=0是一元二次方程，則( )
A.m≠0 B.m≠1 C.m=0 D.m=1
【解答】解：由題意m﹣1≠0，
∴m≠1，
故選B.
2.(2分)下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是( )
A.x2+2x+4=0 B.x2+6x﹣9=0 C.x2﹣4x+4=0 D.4x2+2x+1=0
【解答】解：
A、方程x2+2x+4=0的判別式△=4﹣4×4=﹣12<0，該方程無實數(shù)根;
B、方程x2+6x﹣9=0的判別式△=36﹣4×(﹣9)=72>0，該方程有兩個不相等的實數(shù)根;
C、方程x2﹣4x+4=0的判別式△=(﹣4)2﹣4×4=0， 該方程有兩個相等的實數(shù)根;
D、方程4x2+2x+1=0的判別式△=4﹣4×4=﹣12<0，該方程無實數(shù)根;
故選C.
3.(2分)下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( )
A.y=x+ B.y=3(x﹣1)2 C.y=ax2+bx+c D.y= +3x
【解答】解：A、y=x+ 是一次函數(shù)，此選項錯誤;
B、y=3(x﹣1)2是二次函數(shù)，此選項正確;
C、y=ax2+bx+c不是二次函數(shù)，此選項錯誤;
D、y= +3x不是二次函數(shù)，此選項錯誤;
故選B.
4.(2分)已知方程x2﹣14x+48=0的兩根恰好是Rt△ABC的兩邊的長，則Rt△ABC的第三邊長為( )
A.10 B.2 C.10或2 D.8
【解答】解：方程x2﹣14x+48=0的兩個根是6和8.也就是Rt△ABC的兩條邊的長是6和8.
當(dāng)6和8都是直角邊時，第三邊= =10.
當(dāng)8為斜邊時，第三邊= =2 .
故第三邊長是10或2 .
故選：C.
5.(2分)在一條直線上有若干個不同的點，共組成45條線段，設(shè)共有x個點，則下列方程正確的是( )
A.x(x﹣1)=45 B. =45 C.x(x+1)=45 D. =45
【解答】解：設(shè)共有x個點，根據(jù)題意，得
=45.
故選B.
6.(2分)拋物線y=﹣2(x+1)2﹣4的頂點坐標(biāo)是( )
A.(1，﹣4) B.(1，4) C.(﹣1，﹣4) D.(﹣1，4)
【解答】解：∵拋物線的解析式為y=﹣2(x+1)2﹣4，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(﹣1，﹣4).
故選C.
7.(2分)二次函數(shù)y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值 為( )
A.﹣ B. C.1 D.﹣1
【解答】解：∵二次函數(shù)的解析式是y=﹣ (x﹣1)2﹣ ，
∴該拋物線開口方向向上，且頂點坐標(biāo)是(1，﹣ )，
∴二次函數(shù)y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值為﹣ ，
故選：A.
8.(2分)關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個實數(shù)根，那么實數(shù)k的取值范圍是( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0 C.k≤1且k≠0 D.k≥ 1
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個實數(shù)根，
∴根的判別式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0.
即k≤1且k≠0.
故選C.
9.(2分)在拋物線y=﹣2x2﹣x+1上的一個點是( )
A.(1，0) B.(﹣2，﹣5) C.(2，﹣5) D.(﹣1，3)
【解答】解：A、x=1時，y=﹣2x2﹣x+1=﹣2≠0，點(1，0)不在拋物線上;
B、x=﹣2時，y=﹣2x2﹣x+1=﹣5，點(﹣2，﹣5)在拋物線上;
C、x=2時，y=﹣2x2﹣x+1=﹣9≠﹣5，點(2，﹣5)不在拋物線上;
D、x=﹣1時，y=﹣2x2﹣x+1=0≠3，點(﹣1，3)不在拋物線上.
故選B.
10.(2分)如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M為AB的中點.動點P在菱形的邊上從點B出發(fā)，沿B→C→D的方向運動，到達點D時停止.連接MP，設(shè)點P運動的路程為x，MP 2=y，則表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為( )
A. B. C. D. ?
【解答】解：(1)當(dāng)0≤x≤ 時，
如圖1，過M作ME⊥BC與E，
∵M為AB的中點，AB=2，
∴BM=1，
∵∠B=60°，
∴BE= ，ME= ，PE= ﹣x，
在Rt△BME中，由勾 股定理得：MP2=ME2+PE2，
∴y= =x2﹣x+1;
(2)當(dāng)
如圖2，過M作ME⊥BC與E，
由(1)知BM=1，∠B=60°，
∴BE= ，ME= ，PE=x﹣ ，
∴MP2=ME2+PE2，
∴y= =x2﹣x+1;
(3)當(dāng)2
如圖3，連結(jié)MC，
∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°，
∴∠BMC=90°，MC= = ，
∵AB∥DC，
∴∠MCD=∠BMC=90°，
∴MP2=MC2+PC2，
∴y= =x2﹣4x+7;綜合(1)(2)(3)，只有B選項符合題意.
故選B.
二、填空題(本 大題共8小題，每小題2分，共16分)
11.(2分)二次函數(shù)y= (x ﹣1 )2+ (﹣2) 的圖象的頂點坐標(biāo)是(1，﹣2) .
【解答】解：二次 函數(shù)y= (x﹣1)2﹣2的圖象的頂點坐標(biāo)是(1，﹣2).
故答案為﹣1，(﹣2).
12.(2分)一元二次方程(x﹣2)(x+1)=2x﹣4化為一般形式是 x2﹣3x+2=0 .
【解答】解：(x﹣2)(x+1)=2x﹣4
x2﹣x﹣2=2x﹣4，
則一般形式是：x2﹣3x+2=0，
故答案為：x2﹣3x+2=0.
13.(2分)把拋物線y=﹣ x2﹣1向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則所得拋物線的解析式為 y=﹣ (x﹣2)2+2 .
【解答】解：原拋物線的頂點為(0，﹣1)，向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，那么新拋物線的頂點為(2，2)，
可得新拋物線的解析式為：y=﹣ (x﹣2)2+2，
故答案為：y=﹣ (x﹣2)2+2.
14.(2分)方程2(x﹣3)2=x﹣3的解是 x=3或x=3.5 .
【解答】解：∵2(x﹣3)2﹣(x﹣3)=0，
∴(x﹣3)(2x﹣7)=0，
則x﹣3=0或2x﹣7=0，
解得：x=3或x=3.5，
故答案為：x=3或x=3.5
15.(2分)已知直線y=﹣x+1與拋物線y=x2+k一個交點的橫坐標(biāo)為﹣2，則k= ﹣1 .
【解答】解：將x=﹣2代入直線y=﹣x+1得，y=2+1=3，
則交點坐標(biāo)為(﹣2，3)，
將(﹣2，3)代入y=x2+k得，
3=4+k，
解得k=﹣1.
故答案為：﹣1.
16.(2分)已知函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+1，當(dāng)x <﹣1 時，y隨x的增大而增大.
【解答】解：∵y=﹣2x2﹣4x+1中，對稱軸為x=﹣ =﹣ =﹣1，開口向下，
∴當(dāng)x<﹣1時y隨x增大而增大.
故答案為：<﹣1.
17.(2分)從正方形鐵片上截去2cm寬的一個長方形，剩余矩形的面積為35cm2，則原來正方形的面積為 49cm2 .
【解答】解：設(shè)正方形邊長為xcm，依題意得
x(x﹣2)=35
整理x2=2x+35
解方程得x1=7，x2=﹣5(舍去)
所以正方形的邊長是7cm，面積是49cm2
故答案是：49cm2.
18.(2分)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①因為a<0，所以函數(shù)y有最小值;②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;③當(dāng)x=0時，函數(shù)y的值等于2;④在本題條件下，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3.其中正確的結(jié)論有 ②③④ .(填序號)
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a<0，函數(shù)y有最大值;故選項①錯誤;
由圖象可知函數(shù)圖象對稱軸為x=1，故選項②正確;
∵當(dāng)x=0時，y=2，故選項③正確;，
∵拋物線與x軸的交點為(﹣1，0)和(3，0)
∴當(dāng)x=﹣1或x=3時，函數(shù)y的值都等于0，故選項④正確;
故答案為：②③④.
三、解答題(本大題共8小題，共64分)
19.(6分)用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0.
【解答】解：x2﹣4x+4=1+4
(x﹣2)2=5
x=2±
20.(7分)用公式法解方程：x2﹣3x﹣5=0.
【解答】解：a=1，b=﹣3，c=﹣5，△=b2﹣4ac=9﹣4×1×(﹣5)=29，
x= = ，
x1= ，x2= .
21.(7分)已知方程x2+x+k=0的一個解是x=﹣5，求k值及另一個解.
【解答】解：∵方程x2+x+k=0的一個解是x=﹣5，
∴25﹣5+k=0，解得k=﹣20，
∴方程為x2+x﹣20=0，
解得x=﹣5或x=4，
∴k的值為 ﹣20，方程的另一個解為x=4.
22.(7分)從現(xiàn)在開始到2020年，是全國建成小康社會的決勝期.某村2016年底人均收入為14400元，計劃到2018年底達到22500元，求該村人均純收入的年平均增長率.
【解 答】解：設(shè)該村人均純收入的年平均增長率為x，
根據(jù)題意得：14400(1+x)2=22500，
解得：x1=0.25=25%，x2=﹣2.25(舍去).
答：該村人均純收入的年平均增長率為25%.
23.(7分)如圖，要利用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長33m的圍欄建兩個面積相同的生態(tài)園，為了出入方便，每個生態(tài)園在平行于墻的一邊各留了一個寬1.5米的門，能夠建生態(tài)園的場地垂直于墻的一邊長不超過6米(圍欄寬忽略不計).
(1)每個生態(tài)園的面積為48平方米，求每個生態(tài)園的邊長;
(2)每個生態(tài)園的面積 不能 (填“能”或“不能”)達到108平方米.
【解答】解：(1)設(shè)每個生態(tài)園垂直于墻的邊長為x米，
根據(jù)題意，得：x(33+1.5×2﹣3x)=48×2，
整理，得：x2﹣12x+32=0，
解得：x1=4、x2=8(不合題意，舍去)，
當(dāng)x=4時，33+1.5×2﹣3x=24，
24÷2=12，
答：每個生態(tài)園的面積為48平方米時，每個生態(tài)園垂直于墻的邊長為4米，平行于墻的邊長為12米;
(2)根據(jù)題意，得：x(33+1.5×2﹣3x)=108×2，
整理，得：x2﹣12x+72=0，
由于△=(﹣12)2﹣4×1×72=﹣144<0，
所以方程無解，
即每個生態(tài)園的面積不能達到108平方米，
故答案為：不能.
24.(10分)如圖，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，動點M從點A開始沿邊AO以1cm/s的速度向終點O移動，動點N從點O開始沿邊OB以2c ms的速度向終點B移動，一個點到達終點時，另一個點也停止運動.如果M、N兩點分別從A、O兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts時四邊形ABNM的面積為Scm2.
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍;
(2)判斷S有最大值還是有最小值，用配方法求出這個值.
【解答】解：(1)由題意得，AM=t，ON=2t，則OM=OA﹣AM=18﹣t，
四邊形ABNM的面積S=△AOB的面積﹣△MON的面積
= ×18×30﹣ ×(18﹣t)×2t
=t2﹣18t+270(0
(2)S=t2﹣18t+270
=t2﹣18t+81﹣81+270
=(t﹣9)2+189，
∵a=1>0，
∴S有最小值，這個值是189.
25.(10分)某賓館有30個房間供旅客居住，當(dāng)每個房間每天的定價為120元時，房間會全部住滿;當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.
(1)每個房間每天的定價為多少時，賓館利潤最大?
(2)若物價局規(guī)定，每個房間每天定價不得超過200元，則該賓館如何定價，每天能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
【解答】解：(1)設(shè)每個房間的每天的定價為x元時，賓館的利潤為w元，
根據(jù)題意，得：w=(x﹣20)(30﹣ )
=﹣ x2+44x﹣840
=﹣ (x﹣220)2+4000，
∴每個房間每天的定價為220元時，賓館利潤最大;
(2)由(1)知，w=﹣ (x﹣220)2+4000，
∵a=﹣ <0，
∴當(dāng)x<220時，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=200時，w最大，此時w=﹣ (200﹣220)2+4000=3600，
答：該賓館定價為200元時，每天能獲得最大利潤，最大利潤是3600元.
26.(10分)如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(1，0)，B(0，﹣3)兩點.
(1)求這個拋物線的解析式及頂點坐標(biāo);
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積.
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得O、B、C、P四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出P點坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(1，0)，B(0，﹣3)兩點，
∴ ，
解得 ，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3，
即y=﹣(x﹣2)2+1，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，1);
(2)由(1)可得，C(2，0)，
又∵A(1，0)，B(0，﹣3)，
∴OC=2，OA=1，OB=3，
∴AC=1，
∴△ABC的面積= AC×OB= ×1×3= .
(3)存在，P點有2個，坐標(biāo)為P1(2，3)，P2(2，﹣3).
如圖，當(dāng)四邊形OBCP1是平行四邊形時，CP1=OB=3，而OC=2，
故P1(2，3);
當(dāng)四邊形OBP2C是平行四邊形時，CP2=OB=3，而OC=2，
故P2(2，﹣3).
第二學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中題相關(guān)文章：