九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末試卷題
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)可能對(duì)很多的同學(xué)會(huì)很難,但是大家不要害怕,今天小編就給大家來(lái)分享一下九年級(jí)數(shù)學(xué),大家來(lái)多多參考哦
九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷閱讀
一、選擇題(本題共16分,每小題2分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng),符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)
1.已知∠A為銳角,且sin A= ,那么∠A等于
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠A = ,則∠BOC的大小為
A.40° B.30° C.80° D.100°
3.已知△ ∽△ ,如果它們的相似比為2∶3,那么它們的面積比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一個(gè)反比例函數(shù)的圖象,它的表達(dá)式可能是
A. B. C. D.
5.正方形ABCD內(nèi)接于 ,若 的半徑是 ,則正方形的邊長(zhǎng)是
A. B. C. D.
6.如圖,線段BD,CE相交于點(diǎn)A,DE∥BC.若BC 3,DE 1.5,AD 2,
則AB的長(zhǎng)為
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若要得到函數(shù) 的圖象,只需將函數(shù) 的圖象
A.先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
B.先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
C.先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
D.先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
8. 如圖,一條拋物線與x軸相交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),其頂點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng),點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,-3),(1,-3),點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的最大值為4,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空題(本題共16分,每小題2分)
9.二次函數(shù) 圖象的開(kāi)口方向是__________.
10.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,則tanA的值為 .
11. 如圖,為了測(cè)量某棵樹(shù)的高度,小穎用長(zhǎng)為2 的竹竿做測(cè)量工具,移動(dòng)竹竿,使竹竿、樹(shù)的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn). 此時(shí)竹竿與這一點(diǎn)距離相距6 ,與樹(shù)相距15 ,那么這棵樹(shù)的高度為 .
12.已知一個(gè)扇形的半徑是1,圓心角是120°,則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是 .
13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則sin∠BAC與sin∠DAE的大小關(guān)系是 .
14.寫(xiě)出拋物線y=2(x-1)2圖象上一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),這對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)
可以是 和 .
15.如圖,為測(cè)量河內(nèi)小島B到河邊公路 的距離,在 上順次取A,C,D三點(diǎn),在A點(diǎn)測(cè)得∠BAD=30°,在C點(diǎn)測(cè)得∠BCD=60°,又測(cè)得AC=50米,則小島B到公路 的距離為 米.
16.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有三點(diǎn):(0,-2),(1,-1),(2.17,0.37).則過(guò)這三個(gè)點(diǎn) (填“能”或“不能”)畫(huà)一個(gè)圓,理由是 .
三、解答題(本題共68分,第17-22題,每小題5分,第23-26題,每小題6分,第27,28題,每小題7分)解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.
17.已知: . 求: .
18.計(jì)算: .
19.已知二次函數(shù) y = x2-2x-3.
(1)將y = x2-2x-3化成y = a (x-h)2 + k的形式;
(2)求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).
20.如圖,在△ABC中,∠B為銳角, AB ,BC 7, ,求AC的長(zhǎng).
21. 如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,點(diǎn)E在AB上,AD=1,AE=2,BC=3,BE=1.5.
求證:∠DEC=90°.
22.下面是小東設(shè)計(jì)的“在三角形一邊上求作一個(gè)點(diǎn),使這點(diǎn)和三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與原三角形相似”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知: △ABC.
求作: 在BC邊上求作一點(diǎn)P, 使得△PAC∽△ABC.
作法:如圖,
?、僮骶€段AC的垂直平分線GH;
②作線段AB的垂直平分線EF,交GH于點(diǎn)O;
?、垡渣c(diǎn)O為圓心,以O(shè)A為半徑作圓;
?、芤渣c(diǎn)C為圓心,CA為半徑畫(huà)弧,交⊙O于點(diǎn)D(與點(diǎn)A不重合);
?、葸B接線段AD交BC于點(diǎn)P.
所以點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn).
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明: ∵CD=AC,
∴ = .
∴∠ =∠ .
又∵∠ =∠ ,
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依據(jù)).
23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2
與雙曲線 相交于點(diǎn)A(m,3).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)畫(huà)出直線和雙曲線的示意圖;
(3)若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn),當(dāng)OA=PA時(shí).
直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
24. 如圖,AB是 的直徑,過(guò)點(diǎn)B作 的切線BM,點(diǎn)A,C,D分別為 的三等分點(diǎn),連接AC,AD,DC,延長(zhǎng)AD交BM于點(diǎn)E, CD交AB于點(diǎn)F.
(1)求證: ;
(2) 連接OE,若DE=m,求△OBE的周長(zhǎng).
25. 在如圖所示的半圓中, P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)P,交半圓于點(diǎn)C,連接AC.已知AB=6cm,設(shè)A,P兩點(diǎn)間的距離為xcm,P,C兩點(diǎn)間的距離為y1cm,A,C兩點(diǎn)間的距離為y2cm.
小聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),分別對(duì)函數(shù)y1,y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小聰?shù)奶骄窟^(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量,分別得到了y1,y2與x的幾組對(duì)應(yīng)值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y1),
(x,y2),并畫(huà)出函數(shù)y1,y2的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:當(dāng)△APC有一個(gè)角是30°時(shí),AP的長(zhǎng)度約為 cm.
26. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線 (其中 、 為常數(shù),且 <0)與x軸交于點(diǎn)A ,與y軸交于點(diǎn)B,此拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)求 的正切值;
(3)如果點(diǎn) 是x軸上的一點(diǎn),且 ,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
27. 在菱形ABCD中,∠ADC=60°,BD是一條對(duì)角線,點(diǎn)P在邊CD上(與點(diǎn)C,D不重合),連接AP,平移 ,使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C,得到 ,在BD上取一點(diǎn)H,使HQ=HD,連接HQ,AH,PH.
(1) 依題意補(bǔ)全圖1;
(2)判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系及∠AHP的度數(shù),并加以證明;
(3)若 ,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)寫(xiě)出求DP長(zhǎng)的思路. (可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果)
28. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(x,0),B(x,y),若線段AB上存在一點(diǎn)Q滿足 ,則稱點(diǎn)Q 是線段AB 的“倍分點(diǎn)”.
(1)若點(diǎn)A(1,0),AB=3,點(diǎn)Q 是線段AB 的“倍分點(diǎn)”.
①求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
?、谌酎c(diǎn)A關(guān)于直線y= x的對(duì)稱點(diǎn)為A′,當(dāng)點(diǎn)B在第一象限時(shí),求 ;
(2)⊙T的圓心T(0, t),半徑為2,點(diǎn)Q在直線 上,⊙T上存在點(diǎn)B,使點(diǎn)Q 是線段AB 的“倍分點(diǎn)”,直接寫(xiě)出t的取值范圍.
數(shù)學(xué)試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題(本題共16分,每小題2分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng),符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空題(本題共16分,每小題2分)
9.下10. 11. 12. 13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2,2),(0,2)(答案不唯一)15. 16.能,因?yàn)檫@三點(diǎn)不在一條直線上.
三、解答題(本題共68分,第17-22題,每小題5分,第23-26題,每小題6分,第27,28題,每小題7分)
17.解:∵ ,∴ = +1= .………………………5分
………………………3分
………………………4分
………………………5分
19.解:(1)y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3……………………………2分
=(x-1)2-4.……………………3分
(2)∵y=(x-1)2-4,
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-4).………………………5分
20.解:作AD⊥BC于點(diǎn)D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵ ,
∴∠B=∠BAD=45°.………………2分
∵AB ,
∴AD=BD=3.…………………………3分
∵BC 7,∴DC=4.
∴在Rt△ACD中,
.…………………………5分
21.(1)證明:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.
∵AD∥BC,∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2分
∵AD=1,AE=2,BC=3,BE=1.5,
∴ .∴
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5分
22.(1)補(bǔ)全圖形如圖所示:………………2分
(2) ,∠CAP=∠B,∠ACP=∠ACB,
有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.………………5分
23.解:(1)∵直線y=x+2與雙曲線 相交于點(diǎn)A(m,3).
∴3=m+2,解得m=1.
∴A(1,3)……………………………………1分
把A(1,3)代入 解得k=3,
……………………………………2分
(2)如圖……………………………………4分
(3)P(0,6)或P(2,0) ……………………………………6分
24.證明:(1)∵點(diǎn)A、C、D為 的三等分點(diǎn),
∴ , ∴AD=DC=AC.
∵AB是 的直徑,
∴AB⊥CD.
∵過(guò)點(diǎn)B作 的切線BM,
∴BE⊥AB.
∴ .…………………………3分
(2) 連接DB.
?由雙垂直圖形容易得出∠DBE=30°,在Rt△DBE中,由DE=m,解得BE=2m,DB= m.
?在Rt△ADB中利用30°角,解得AB=2 m,OB= m.…………………4分
?在Rt△OBE中,由勾股定理得出OE= m.………………………………5分
?、苡?jì)算出△OBE周長(zhǎng)為2m+ m+ m.………………………………6分
25.(1)3.00…………………………………1分
(2)…………………………………………4分
(3)1.50或4.50……………………………2分
26.解:(1)由題意得,拋物線 的對(duì)稱軸是直線 .………1分
∵a<0,拋物線開(kāi)口向下,又與 軸有交點(diǎn),∴拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的上方.
由于拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4,因此頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是 .
可設(shè)此拋物線的表達(dá)式是 ,
由于此拋物線與 軸的交點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ,可得 .
因此,拋物線的表達(dá)式是 .………………………2分
(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)是 .
聯(lián)結(jié) .∵ , , ,得 .
∴△ 為直角三角形, .
所以 .
即 的正切值等于 .………………4分
(3)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(1,0).………………6分
27.(1)補(bǔ)全圖形,如圖所示.………………2分
(2)AH與PH的數(shù)量關(guān)系:AH=PH,∠AHP=120°.
證明:如圖,由平移可知,PQ=DC.
∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,
∴AD=DC,∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.
∵HQ=HD,∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH,∠DHQ=120°.
∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH,∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.
∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°,∴∠AHP=120°.………………5分
(3)求解思路如下:
由∠AHQ=141°,∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.
a.在△ABH中,由∠AHB=81°,∠ABD=30°,解得∠BAH=69°.
b.在△AHP中,由∠AHP=120°,AH=PH,解得∠PAH=30°.
c.在△ADB中,由∠ADB=∠ABD= 30°,解得∠BAD=120°.
由a、b、c可得∠DAP=21°.
在△DAP中,由∠ADP= 60°,∠DAP=21°,AD=1,可解△DAP,
從而求得DP長(zhǎng).…………………………………7分
28.解:(1)∵A(1,0),AB=3
∴B(1,3)或B(1,-3)
∵
∴Q(1,1)或Q(1,-1)………………3分
(2)點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線y= x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0,1)
∴QA =QA′
∴ ………………5分
(3)-4≤t≤4………………7分
初三數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷帶答案
一、選擇題(本題共16分,每小題2分)
1.拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
A. B. C. D.
2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,點(diǎn) , 與 軸正半軸的夾角為 ,則 的值為
A. B.
C. D.
3.方程 的根的情況是
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
4.如圖,一塊含30°角的直角三角板 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ ,當(dāng) , , 在一條直線上時(shí),三角板 的旋轉(zhuǎn)角度為
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,B是反比例函數(shù) 的圖象上的一點(diǎn),則矩形OABC的面積為
6.如圖,在 中, ,且DE分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,
若 ,則△ 和△ 的面積之比等于
A. B. C. D.
7.圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2,它的雙翼展開(kāi)時(shí),雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm,雙翼的邊緣 54cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角 30°.當(dāng)雙翼收起時(shí),可以通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為
8.在平面直角坐標(biāo)系 中,四條拋物線如圖所示,其解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1的是
二、填空題(本題共16分,每小題2分)
9.方程 的根為.
10.半徑為2且圓心角為90°的扇形面積為.
11.已知拋物線的對(duì)稱軸是 ,若該拋物線與 軸交于 , 兩點(diǎn),則 的值為.
12.在同一平面直角坐標(biāo)系 中,若函數(shù) 與 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則 的取值范圍是.
13.如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,有兩點(diǎn) , ,以原點(diǎn) 為位似中心,把△ 縮小得到△ .若 的坐
標(biāo)為 ,則點(diǎn) 的坐標(biāo)為.
14.已知 , 是反比例函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),且 ,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的反比例函數(shù)的解析式.
15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,點(diǎn) ,判斷在 四點(diǎn)中,滿足到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離都小于2的點(diǎn)是 .
16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中, 是直線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),⊙ 的半徑為1,直線 切⊙ 于點(diǎn) ,則線段 的最小值為 .
三、解答題(本題共68分,第17~22題,每小題5分;第23~26題,每小題6分;第27~28題,每小題7分)
17.計(jì)算: .
18.如圖, 與 交于 點(diǎn), , , , ,求 的長(zhǎng).
19.已知 是關(guān)于 的一元二次方程 的一個(gè)根,若 ,求 的值.
20.近視鏡鏡片的焦距 (單位:米)是鏡片的度數(shù) (單位:度)的函數(shù),下表記錄了一組數(shù)據(jù):
(單位:度)
… 100 250 400 500 …
(單位:米)
… 1.00 0.40 0.25 0.20 …
(1)在下列函數(shù)中,符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是_________;
A. B.
C. D.
(2)利用(1)中的結(jié)論計(jì)算:當(dāng)鏡片的度數(shù)為200度時(shí),鏡片的焦距約為_(kāi)_______米.
21.下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:如圖,⊙O及⊙O上一點(diǎn)P.
求作:過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線.
作法:如圖,
?、?作射線OP;
②在直線OP外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作⊙A,與射線OP交于另一點(diǎn)B;
③連接并延長(zhǎng)BA與⊙A交于點(diǎn)C;
?、茏髦本€PC;
則直線PC即為所求.
根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:∵ BC是⊙A的直徑,
∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依據(jù)).
∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半徑,
∴PC是⊙O的切線(____________)(填推理的依據(jù)).
22.2018年10月23日,港珠澳大橋正式開(kāi)通,成為橫亙?cè)诹尕暄笊系囊坏漓n麗的風(fēng)景.大橋主體工程隧道的東、西兩端各設(shè)置了一個(gè)海中人工島,來(lái)銜接橋梁和海底隧道,西人工島上的A點(diǎn)和東人工島上的B點(diǎn)間的距離約為5.6千米,點(diǎn)C是與西人工島相連的大橋上的一點(diǎn),A,B,C在一條直線上.如圖,一艘觀光船沿與大橋 段垂直的方向航行,到達(dá)P點(diǎn)時(shí)觀測(cè)兩個(gè)人工島,分別測(cè)得 與觀光船航向 的夾角∠DPA=18°,∠DPB=53°,求此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離 的長(zhǎng).
參考數(shù)據(jù): ° , ° , ° ,
23.在平面直角坐標(biāo)系 中,已知直線 與雙曲線 的一個(gè)交點(diǎn)是 .
(1)求 的值;
(2)設(shè)點(diǎn) 是雙曲線 上不同于 的一點(diǎn),直線 與 軸交于點(diǎn) .
?、偃?,求 的值;
?、谌?,結(jié)合圖象,直接寫(xiě)出 的值.
24.如圖,A,B,C為⊙O上的定點(diǎn).連接AB,AC,M為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接CM,將射線MC繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,交⊙O于點(diǎn)D,連接BD.若AB=6cm,AC=2cm,記A,M兩點(diǎn)間距離為 cm, 兩點(diǎn)間的距離為 cm.
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù) 隨自變量 的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小東探究的過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量,得到了 與 的幾組值,如下表:
/cm
0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6
/cm
1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 1.66 0
(2)在平面直角坐標(biāo)系 中,描出補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫(huà)出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:當(dāng)BD=AC時(shí),AM的長(zhǎng)度約為cm.
25.如圖,AB是⊙O的弦,半徑 ,P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PC與⊙O相切于點(diǎn)C,CE 與AB交于點(diǎn)F.
(1)求證:PC=PF;
(2)連接OB,BC,若 , , ,求FB的長(zhǎng).
26.在平面直角坐標(biāo)系 中,已知拋物線G: , .
(1)當(dāng) 時(shí),
?、偾髵佄锞€G與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
?、谌魭佄锞€G與線段 只有一個(gè)交點(diǎn),求 的取值范圍;
(2)若存在實(shí)數(shù) ,使得拋物線G與線段 有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象,直接寫(xiě)出 的取值范圍.
27.已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C),點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,連接BD,CD.
(1)如圖1,
?、偾笞C:點(diǎn) 在以點(diǎn) 為圓心, 為半徑的圓上.
?、谥苯訉?xiě)出∠BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)為_(kāi)__________.
(2)如圖2,當(dāng)α=60°時(shí),過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線與直線l交于點(diǎn)E,求證:AE=BD;
(3)如圖3,當(dāng)α=90°時(shí),記直線l與CD的交點(diǎn)為F,連接 .將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)線段BF的長(zhǎng)取得最大值時(shí),直接寫(xiě)出 的值.
28.在平面直角坐標(biāo)系 中,已知點(diǎn) 和點(diǎn) ,給出如下定義:以 為邊,按照逆時(shí)針?lè)较蚺帕蠥,B,C,D四個(gè)頂點(diǎn),作正方形 ,則稱正方形 為點(diǎn) , 的逆序正方形.例如,當(dāng) , 時(shí),點(diǎn) , 的逆序正方形如圖1所示.
(1)圖1中點(diǎn) 的坐標(biāo)為;
(2)改變圖1中的點(diǎn)A的位置,其余條件不變,則點(diǎn)C的坐標(biāo)不變(填“橫”或“縱”),它的值為;
(3)已知正方形ABCD為點(diǎn) , 的逆序正方形.
?、倥袛啵航Y(jié)論“點(diǎn) 落在 軸上,則點(diǎn) 落在第一象限內(nèi).”______(填“正確”或“錯(cuò)誤”),若結(jié)論正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;若結(jié)論錯(cuò)誤,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一個(gè)反例;
?、凇?的圓心為 ,半徑為1.若 , ,且點(diǎn) 恰好落在⊙ 上,直接寫(xiě)出 的取值范圍.
數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考
一、選擇題(本題共16分,每小題2分)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C A B B C A
第8題:二次函數(shù)a的絕對(duì)值的大小決定圖像開(kāi)口的大小 ,︱a︳越大,開(kāi)口越小,顯然a1
二、填空題(本題共16分,每小題2分)
9. , 10. 11. 2 12. 13.
14.答案不唯一,如: 15. 16.
第16題:OQ2=OP2-1,OP最小時(shí),OQ最小,OPmin=2,∴OQmin=
三、解答題(本題共68分,第17~22題,每小題5分;第23~26題,每小題6分;第27~28題,每小題7分)解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程.
17.(本小題滿分5分)
解:原式= ………………………………………………………………3分
= .…………………………………………………………………………5分
18.(本小題滿分5分)
19.(本小題滿分5分)
解:依題意,得 .…………………………………………………… 3分
∴ .∴ .……………………………………… 5分
20.(本小題滿分5分)
解:(1)B.……………………………………………………………………………… 3分
(2) .………………………………………………………………………… 5分
21.(本小題滿分5分)
(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示:
………………………………………3分
(2)直徑所對(duì)的圓周角是直角;……………………………………………………… 4分
經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.…………………… 5分
22.(本小題滿分5分)
解:在 中,
答:此時(shí)觀光船到大橋 段的距離 的長(zhǎng)為 千米.
23.(本小題滿分6分)
解:(1)∵直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,
∴ .……………………………………………………………………… 1分
∴
又∵雙曲線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,
∴ .……………………………………………………………………… 2分
(2)①當(dāng) 時(shí),點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .
∴直線 的解析式為 .………………..………………………. 3分
∵直線 與 軸交于點(diǎn) ,
∴ .……………………………………………………...4分
?、?或 .………………………………………………………………… 6分
24.(本小題滿分6分)
解:本題答案不唯一,如:
(1)
/cm
0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6
/cm
1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76
1.66 0
…………………………………………………………………………………………… 1分
(2)
…………………………………………………………………………………………… 4分
(3) 或 .……………………………………………………………... 6分
說(shuō)明:允許(1)的數(shù)值誤差范圍 ;(3)的數(shù)值誤差范圍
25.(本小題滿分6分)
(1)證明:如圖,連接 .
∵ 與⊙ 相切于點(diǎn) ,
∴ °.……………… 1分
(2)方法一:
解:如圖,過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) .
在 中, ,
可得 ° , ° .…………...… 4分
在 中, ,
可得 .…………………………………………………….. 5分
∴ .…………………………………………6分
方法二:
解:如圖,過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) .
方法三:
解:如圖,過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ,連接 .
∵ , ,
∴ .
∴ °.…………………………… 4分
在 中, ,
設(shè) ,則 , .
方法四:解:如圖,延長(zhǎng)CO交AP于點(diǎn)M.
在 中, , ,
可得 .…………………………4分
在 中, ,
可得 , . ………………………………………..5分
∴ .
在 中, ,
可得 , .
∴ , .
∴ .…………………………………………………… 6分
26.(本小題滿分6分)
解:(1)①當(dāng) 時(shí), .…………………… 1分
當(dāng) 時(shí), ,
解得 , .
∴拋物線 與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 , .
…………………………………………………………………2分
?、诋?dāng) 時(shí),拋物線 與線段 有一個(gè)交點(diǎn).
當(dāng) 時(shí),拋物線 與線段 有兩個(gè)交點(diǎn).
結(jié)合圖象可得 .……………………… 4分
(2) 或 .……………………………………………………………… 6分
(2)解析:
y=4x2-8ax+4a2-4,y=2(x-a)2-4,
∴頂點(diǎn)(a,-4),x1=a+1,x2=a-1
若拋物線與x軸交于E、F兩點(diǎn),則EF= ∣x1- x2∣=2
AN=∣xA- xN∣=∣n+1∣
AN≥EF時(shí),線段AN與拋物線G有兩個(gè)交點(diǎn),即n≤-3或 n≥1。
27.(本小題滿分7分)
(1)①證明:連接 ,如圖1.
∵點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱,
∴ . ……………………… 1分
∵ ,
∴ .
∴點(diǎn) 在以 為圓心, 為半徑的圓上.………………… 2分
② . ……………………………………………………………………………3分
(2)證法一:
證明:連接 ,如圖2.
∵點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱,
∴ .
∴ 是等邊三角形.
…………………………………………………………………………………………… 4分
∴ , °.
∵ , °,
∴ 是等邊三角形.
∴ .……………………………………………………………… 5分
證法二:
證明:連接 ,如圖2.
∵點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱,
∴ 是等邊三角形.
∴ .
∴ ≌ ………………………………………………………4分
∴ .……………………………………………………………… 6分
(3) .………………………………………………………………………………… 7分
(3)解析:
方法一:O是AC中點(diǎn),BO+OF≥BF,設(shè)BC=4,BO=√10,OF=√2,即BFmax=√10+√2,
此時(shí)tan∠FBC=1/3。
方法二:以AC為直徑作圓O,∠AFC=90o, ∴F必在⊙O上,又,圓外一點(diǎn)到圓上最長(zhǎng)距
離經(jīng)過(guò)圓心,∴B、O、F三點(diǎn)共線時(shí)BF最長(zhǎng)。計(jì)算如上。
28.(本小題滿分7分)
解:(1)圖1中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .…………………………………………… 1分
(2)改變圖1中的點(diǎn) 的位置,其余條件不變,則點(diǎn) 的縱坐標(biāo)不變,
它的值為3.………………………………………………………………3分
(3)①判斷:結(jié)論“點(diǎn) 落在 軸上,則點(diǎn) 落在第一象限內(nèi).”錯(cuò)誤.
反例如圖所示:
…………………………………………………………………………………………… 5分
② .…………………………………………………………… 7
方法一:
可證:C點(diǎn)坐標(biāo)(b+a,b)A、B、C三點(diǎn)共圓,圓心為AC中點(diǎn)Q點(diǎn),若C點(diǎn)落在⊙T上,又b>0,則⊙T所在極限位置為⊙T1與⊙T2(⊙T2與直線相切)所在位置。
T1(3,0)
a=4時(shí),C(4+b,b),
△ABB1≌△B1HC1
C1H=B1B=b
CH=BH-BC=b
∴C1H= CH
設(shè)C點(diǎn)所在直線y=mx+n
∴m=1
過(guò)點(diǎn)C(4+b,b)
∴y=x-4
⊙T2與直線相切
∴CT2=√2
∴T2(4+√2,0)
∵b>0 ∴
初三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
一、選擇題(本題共 16 分,每小題 2 分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng),符合題意的選項(xiàng)只.有.一個(gè)
1.已知∠A 為銳角,且 sin A=
2 ,那么∠A 等于
A.15° B.30° C.45° D.60° 2.如圖,⊙O 是△ABC 的外接圓,∠A = 50?,則∠BOC 的大小為
A.40° B.30° C.80° D.100° 3.已知△ ABC ∽△ A'B'C',如果它們的相似比為 2∶3,那么它們的面積比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一個(gè)反比例函數(shù)的圖象,它的表達(dá)式可能是
5.正方形 ABCD 內(nèi)接于 O ,若 O 的半徑是 2 ,則正方形的邊長(zhǎng)是
A.1 B. 2 C. 2 D. 2 2
6.如圖,線段 BD,CE 相交于點(diǎn) A,DE∥BC.若 BC ?3,DE ?1.5,AD ?2,
則 AB 的長(zhǎng)為
A.2 B.3 C.4 D.5
第 6 題圖 第 8 題圖
第 2 題圖 第 4 題圖 第5題圖
第 2 頁(yè) 共 12 頁(yè)
7.若要得到函數(shù) ? ?
2
y ? x ?1 +2 的圖象,只需將函數(shù)
2
y ? x 的圖象
A.先向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.先向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.先向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.先向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
8. 如圖,一條拋物線與 x 軸相交于 M,N 兩點(diǎn)(點(diǎn) M 在點(diǎn) N 的左側(cè)),其頂點(diǎn) P 在線段 AB 上移動(dòng),點(diǎn) A,B 的坐
標(biāo)分別為(-2,-3),(1,-3),點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)的最大值為 4,則點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)的最小值為
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空題(本題共 16 分,每小題 2 分)
9.二次函數(shù)
2
y ?-2x ? 4x ?1圖象的開(kāi)口方向是__________.
10.Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,則 tanA 的值為 .
11. 如圖,為了測(cè)量某棵樹(shù)的高度,小穎用長(zhǎng)為 2m 的竹竿做測(cè)量工具,移動(dòng)竹竿,使竹竿、樹(shù)的頂端的影子恰好落
在地面的同一點(diǎn). 此時(shí)竹竿與這一點(diǎn)距離相距 6m ,與樹(shù)相距 15 m ,那么這棵樹(shù)的高度為 .
12.已知一個(gè)扇形的半徑是 1,圓心角是 120°,則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是 . 13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則 sin∠BAC 與 sin∠DAE 的大小關(guān)系
是 . 14.寫(xiě)出拋物線 y=2(x-1)
2圖象上一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),這對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)
可以是 和 . 15.如圖,為測(cè)量河內(nèi)小島 B 到河邊公路l 的距離,在l 上順次取 A,C,D 三點(diǎn),在 A 點(diǎn)測(cè)得∠BAD=30°,在 C 點(diǎn)測(cè)
得∠BCD=60°,又測(cè)得 AC=50 米,則小島 B 到公路l 的距離為 米.
16.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)有三點(diǎn):(0,-2),(1,-1),(2.17,0.37).則過(guò)這三個(gè)點(diǎn) (填“能”或“不能”)
畫(huà)一個(gè)圓,理由是 . 三、解答題(本題共 68 分,第 17-22 題,每小題 5 分,第 23-26 題,每小題 6 分,第 27,28 題,每小題 7 分)解答應(yīng)
寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程. 17.已知:
. 18.計(jì)算: 2cos30?-4sin 45?+ 8 .
11 題圖 13 題圖
第 3 頁(yè) 共 12 頁(yè)
19.已知二次函數(shù) y = x
2-2x-3. (1)將 y = x
2-2x-3 化成 y = a (x-h)
2 + k 的形式;
(2)求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).
20.如圖,在△ABC 中,∠B 為銳角, AB ? 3 2 ,BC ?7,sin
2
2
B ? ,求 AC 的長(zhǎng).
21. 如圖,在四邊形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,點(diǎn) E 在 AB 上,AD=1,AE=2,
BC=3,BE=1.5. 求證:∠DEC=90°.
22.下面是小東設(shè)計(jì)的“在三角形一邊上求作一個(gè)點(diǎn),使這點(diǎn)和三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)
成的三角形與原三角形相似”的尺規(guī)作圖過(guò)程. 已知: △ABC. 求作: 在 BC 邊上求作一點(diǎn) P, 使得△PAC∽△ABC. 作法:如圖,
①作線段 AC 的垂直平分線 GH;
?、谧骶€段 AB 的垂直平分線 EF,交 GH 于點(diǎn) O;
③以點(diǎn) O 為圓心,以 OA 為半徑作圓;
④以點(diǎn) C 為圓心,CA 為半徑畫(huà)弧,交⊙O 于點(diǎn) D(與點(diǎn) A 不重合);
?、葸B接線段 AD 交 BC 于點(diǎn) P. 所以點(diǎn) P 就是所求作的點(diǎn).
第 4 頁(yè) 共 12 頁(yè)
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明. 證明: ∵CD=AC,
∴CD = . ∴∠ =∠ . 又∵∠ =∠ ,
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依據(jù)). 23.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,直線 y=x+2
與雙曲線
k
y
x ? 相交于點(diǎn) A(m,3). (1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)畫(huà)出直線和雙曲線的示意圖;
(3)若 P 是坐標(biāo)軸上一點(diǎn),當(dāng) OA=PA 時(shí). 直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo).
24. 如圖,AB 是 O 的直徑,過(guò)點(diǎn) B 作 O 的切線 BM,點(diǎn) A,C,D 分別為 O 的三等分點(diǎn),連接 AC,AD,DC,
延長(zhǎng) AD 交 BM 于點(diǎn) E, CD 交 AB 于點(diǎn) F. (1)求證:CD / /BM ;
(2) 連接 OE,若 DE=m,求△OBE 的周長(zhǎng).
第 5 頁(yè) 共 12 頁(yè)
25. 在如圖所示的半圓中,P 是直徑 AB 上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn) P 作 PC⊥AB 于點(diǎn) P,交半圓于點(diǎn) C,連接 AC.已知 AB=6cm,
設(shè) A,P 兩點(diǎn)間的距離為 xcm,P,C 兩點(diǎn)間的距離為 y1cm,A,C 兩點(diǎn)間的距離為 y2cm. 小聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),分別對(duì)函數(shù) y1,y2隨自變量 x 的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究. 下面是小聰?shù)奶骄窟^(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)按照下表中自變量 x 的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量,分別得到了 y1,y2與 x 的幾組對(duì)應(yīng)值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y1),
(x,y2),并畫(huà)出函數(shù) y1,y2的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:當(dāng)△APC 有一個(gè)角是 30°時(shí),AP 的長(zhǎng)度約為 cm.
第 6 頁(yè) 共 12 頁(yè)
26. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,拋物線 2 y ? ax ? 2ax ? c(其中 a 、c 為常數(shù),且 a <0)與 x 軸交于點(diǎn) A ??3,0?,與
y 軸交于點(diǎn) B,此拋物線頂點(diǎn) C 到 x 軸的距離為 4.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)求 ?CAB 的正切值;
(3)如果點(diǎn) P 是 x 軸上的一點(diǎn),且 ?ABP ? ?CAO ,直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo).
第 7 頁(yè) 共 12 頁(yè)
27. 在菱形 ABCD 中,∠ADC=60°,BD 是一條對(duì)角線,點(diǎn) P 在邊 CD 上(與點(diǎn) C,D 不重合),連接 AP,平移 ?ADP ,
使點(diǎn) D 移動(dòng)到點(diǎn) C,得到 ?BCQ ,在 BD 上取一點(diǎn) H,使 HQ=HD,連接 HQ,AH,PH. (1) 依題意補(bǔ)全圖 1;
(2)判斷 AH 與 PH 的數(shù)量關(guān)系及∠AHP 的度數(shù),并加以證明;
(3)若 ?AHQ ?141? ,菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1,請(qǐng)寫(xiě)出求 DP 長(zhǎng)的思路. (可.以.不.寫(xiě).出.計(jì).算.結(jié).果.)
圖 1 備用圖
第 8 頁(yè) 共 12 頁(yè)
28. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,點(diǎn) A(x,0),B(x,y),若線段 AB 上存在一點(diǎn) Q 滿足
? ,則稱點(diǎn) Q 是線段
AB 的“倍分點(diǎn)”.
(1)若點(diǎn) A(1,0),AB=3,點(diǎn) Q 是線段 AB 的“倍分點(diǎn)”.
①求點(diǎn) Q 的坐標(biāo);
?、谌酎c(diǎn) A 關(guān)于直線 y= x 的對(duì)稱點(diǎn)為 A′,當(dāng)點(diǎn) B 在第一象限時(shí),求 QA' QB
;
(2)⊙T 的圓心 T(0, t),半徑為 2,點(diǎn) Q 在直線
3
3
y ? x 上,⊙T 上存在點(diǎn) B,使點(diǎn) Q 是線段 AB 的“倍分點(diǎn)”,
直接寫(xiě)出 t 的取值范圍.
數(shù)學(xué)試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題(本題共 16 分,每小題 2 分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng),符合題意的選項(xiàng)只.有.一個(gè)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空題(本題共 16 分,每小題 2 分)
9.下 10. 3
4
11. 7m 12. 3
2?
13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2,2),(0,2)(答案不唯一)15. 25 3 16.能,因?yàn)檫@三點(diǎn)不在一條直線上. 三、解答題(本題共 68 分,第 17-22 題,每小題 5 分,第 23-26 題,每小題 6 分,第 27,28 題,每小題 7 分)
17.解:∵
18.解:原式 ? ? ………………………3 分 = 3-2 2+2 2 ………………………4 分 = 3 ………………………5 分
19.解:(1)y=x
2-2x-3 =x
2-2x+1-1-3……………………………2 分
=(x-1)
2-4.……………………3 分
(2)∵y=(x-1)
2-4,
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-4).………………………5 分
20.解:作 AD⊥BC 于點(diǎn) D,∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵sin
2
2
B ? ,
∴∠B=∠BAD=45°.………………2 分
∵AB ? 3 2 ,
∴AD=BD=3.…………………………3 分
∵BC ?7,∴DC=4. ∴在 Rt△ACD 中,
2 2 AC ? AD ? DC ? 5.…………………………5 分
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21.(1)證明:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.
∵AD∥BC,∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2 分
∵AD=1,AE=2,BC=3,BE=1.5,
∴
1 2
1.5 3 ? .∴
AD AE
BE BC
?
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3 分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5 分
22.(1)補(bǔ)全圖形如圖所示:………………2 分
(2) AC ,∠CAP=∠B,∠ACP=∠ACB,
有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.………………5 分
23.解:(1)∵直線 y=x+2 與雙曲線
k
y
x ? 相交于點(diǎn) A(m,3)
∴3=m+2,解得 m=1. ∴A(1,3)……………………………………1 分
把 A(1,3)代入
k
y
x ? 解得 k=3, ? 3
y
x ? ……………………………………2 分
(2)如圖……………………………………4 分
(3)P(0,6)或 P(2,0) ……………………………………6 分
24.證明:(1)∵點(diǎn) A、C、D 為 O 的三等分點(diǎn), ∴ AD ? DC ? AC , ∴AD=DC=AC. ∵AB 是 O 的直徑, ∴AB⊥CD. ∵過(guò)點(diǎn) B 作 O 的切線 BM, ∴BE⊥AB. ∴CD / /BM .…………………………3 分
(2) 連接 DB. ?由雙垂直圖形容易得出∠DBE=30°,在 Rt△DBE 中,由 DE=m,解得 BE=2m,DB= 3 m. ?在 Rt△ADB 中利用 30°角,解得 AB=2 3 m,OB= 3 m.…………………4 分
?在 Rt△OBE 中,由勾股定理得出 OE= 7 m.………………………………5 分
④計(jì)算出△OBE 周長(zhǎng)為 2m+ 3 m+ 7 m.………………………………6 分
25.(1)3.00…………………………………1 分
第 11 頁(yè) 共 12 頁(yè)
(2)…………………………………………4 分
(3)1.50 或 4.50……………………………2 分
26.解:(1)由題意得,拋物線 2 y ? ax ? 2ax ? c 的對(duì)稱軸是直線
∵a<0,拋物線開(kāi)口向下,又與 x 軸有交點(diǎn),∴拋物線的頂點(diǎn) C 在 x 軸的上方. 由于拋物線頂點(diǎn) C 到 x 軸的距離為 4,因此頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)是??1,4? . 可設(shè)此拋物線的表達(dá)式是 ? ?
2 y ? a x ?1 ? 4,
由于此拋物線與 x 軸的交點(diǎn) A 的坐標(biāo)是??3,0? ,可得 a ? ?1. 因此,拋物線的表達(dá)式是 2 y ? ?x ? 2x ? 3.………………………2 分
(2)點(diǎn) B 的坐標(biāo)是?0,3? . 聯(lián)結(jié) BC .∵ 2 AB ?18 , 2 BC ? 2 , 2 AC ? 20 ,得 2 2 2 AB ? BC ? AC . ∴△ ABC 為直角三角形, ?ABC ? 90
AB
? ? ? . 即?CAB 的正切值等于
1
3
.………………4 分
(3)點(diǎn) p 的坐標(biāo)是(1,0).………………6 分
27.(1)補(bǔ)全圖形,如圖所示.………………2 分
(2)AH 與 PH 的數(shù)量關(guān)系:AH=PH,∠AHP=120°. 證明:如圖,由平移可知,PQ=DC. ∵四邊形 ABCD 是菱形,∠ADC=60°,
∴AD=DC,∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ. ∵HQ=HD,∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH,∠DHQ=120°. ∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH,∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP. ∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°,∴∠AHP=120°.………………5 分
(3)求解思路如下:
第 12 頁(yè) 共 12 頁(yè)
由∠AHQ=141°,∠BHQ=60°解得∠AHB=81°. a.在△ABH 中,由∠AHB=81°,∠ABD=30°,解得∠BAH=69°. b.在△AHP 中,由∠AHP=120°,AH=PH,解得∠PAH=30°. c.在△ADB 中,由∠ADB=∠ABD= 30°,解得∠BAD=120°. 由 a、b、c 可得∠DAP=21°. 在△DAP 中,由∠ADP= 60°,∠DAP=21°,AD=1,可解△DAP,
從而求得 DP 長(zhǎng).…………………………………7 分
28.解:(1)∵A(1,0),AB=3
∴B(1,3)或 B(1,-3)
∵
1
2
QA
QB
? ∴Q(1,1)或 Q(1,-1)………………3 分
(2)點(diǎn) A(1,0)關(guān)于直線 y= x 的對(duì)稱點(diǎn)為 A′(0,1)
∴QA =QA′
∴ QB
QA? 2
1 ?
………………5 分
(3)-4≤t≤4………………7 分
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