九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷題
在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)候只要我們找到方法很快就可以學(xué)習(xí)會(huì)了，今天小編就給大家來分享一下九年級(jí)數(shù)學(xué)，僅供借鑒
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷參考
一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分。每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將這個(gè)正確的選項(xiàng)填在下面的表格中)
1.如圖所示的幾何體的俯視圖是( )
A. B.
C. D.
2.一元二次方程x2+4x=5配方后可變形為( )
A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21
3.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則I與R的函數(shù)表達(dá)式為( )
A.I= B.I= C.I= D.I=
4.如圖，某班上體育課，甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時(shí)，乙的影子DA恰好與甲影子CA在同一條直線上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影長(zhǎng)是6米，則甲、乙兩同學(xué)相距( )米.
A.1 B.2 C.3 D.5
5.一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=，其中ab<0，a、b為常數(shù)，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的圖象可以是( )
A. B.
C. D.
6.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F，DF的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
二、填空題(每小題3分，共18分)
7.若關(guān)于x的方程x2+3x+k=0的一個(gè)根是1，則k的值為 .
8.某幾何體的三視圖如圖所示，則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是 .
9.某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同，則該商品每次降價(jià)的百分率為 .
10.關(guān)于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則a滿足 .
11.如圖，反比例函數(shù)y=(k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)D，若矩形OABC的面積32，則k的值為 .
12.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，G為AD上一點(diǎn)，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于點(diǎn)H，下列結(jié)論正確的是 .(填序號(hào)即可)
?、佟鰾EF∽△CHE
?、贏G=1
?、跡H=
?、躍△BEF=3S△AGH
三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共計(jì)30分)
13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.
14.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中點(diǎn)，AE∥CD，AC∥ED，求證：四邊形ACDE是菱形.
15.如圖，在矩形ABCD中，M是BC中點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無刻度直尺按要求作圖.
(1)在圖1中，作AD的中點(diǎn)P;
(2)在圖2中，作AB的中點(diǎn)Q.
16.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.
(1)求證：無論k取何值，原方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若原方程的兩實(shí)根都小于4，且k為正整數(shù)，直接寫出k的值.
17.小樂放學(xué)回家看到桌上有一盤包子，其中有豆沙包、肉包各1個(gè)，蘿卜包2個(gè)，這些包子除餡外無其他差別.
(1)小樂隨機(jī)地從盤子中取出一個(gè)包子，取出的是肉包的概率是多少?
(2)請(qǐng)用樹狀圖或表格表示小樂隨機(jī)地從盤中取出兩個(gè)包子的所有可能結(jié)果，并求取出的兩個(gè)包子都是蘿卜包的概率.
四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
18.如圖，鄭明同學(xué)站在A處，測(cè)得他在路燈OC下影子AP的長(zhǎng)與他的身高相等，都為1.5m，他向路燈方向走1m到B處時(shí)發(fā)現(xiàn)影子剛好落在A點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定光源O的位置;
(2)求路燈OC的高.
19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x軸于點(diǎn)P.
(1)∠ACB的度數(shù)為 ;
(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
(3)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合條件的三角形.
20.某工廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元/件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷，經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
銷售單價(jià)x(元∕件) … 30 40 50 60 …
每天銷售量y(件) … 500 400 300 200 …
(1)研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價(jià)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，求出y與x的關(guān)系式;
(2)當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，那么銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)8000元?
五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)
21.如圖，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF與BE交于點(diǎn)G，∠AGB=60°.
(1)求證：AF=DE;
(2)若AB=6，BC=8，求AF.
22.如圖，已知一次函數(shù)y=x﹣3與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)A(4，n)，與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)填空：n的值為 ，k的值為 ;
(2)以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)觀察反比例函數(shù)y=的圖象，當(dāng)y≥﹣3時(shí)，請(qǐng)直接寫出自變量x的取值范圍.
六、解答題(本大題共12分)
23.閱讀下列材料，并按要求解答.
【模型介紹】
如圖①，C是線段A、B上一點(diǎn)E、F在AB同側(cè)，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一個(gè)“K“，我們稱圖①為“K”型圖.
【性質(zhì)探究】
性質(zhì)1：如圖①，若EC=FC，△ACE≌△BFC
性質(zhì)2：如圖①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不為1.
【模型應(yīng)用】
應(yīng)用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2，AB=5.求BD.
應(yīng)用2：如圖③，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，連接EF.交AH的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，證明：K為EF中點(diǎn).
(1)請(qǐng)你完成性質(zhì)1的證明過程;
(2)請(qǐng)分別解答應(yīng)用1，應(yīng)用2提出的問題.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分。每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將這個(gè)正確的選項(xiàng)填在下面的表格中)
1.如圖所示的幾何體的俯視圖是( )
A. B.
C. D.
【分析】根據(jù)俯視圖的作法即可得出結(jié)論.
【解答】解：從上往下看該幾何體的俯視圖是D.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，熟知俯視圖的作法是解答此題的關(guān)鍵.
2.一元二次方程x2+4x=5配方后可變形為( )
A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21
【分析】?jī)蛇吪渖弦淮雾?xiàng)系數(shù)一半的平方可得.
【解答】解：∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的基本技能，熟練掌握解一元二次方程的常用方法和根據(jù)不同方程靈活選擇方法是解題的關(guān)鍵.
3.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則I與R的函數(shù)表達(dá)式為( )
A.I= B.I= C.I= D.I=
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I=，再把(6，2)代入可得k的值，進(jìn)而可得函數(shù)解析式.
【解答】解：設(shè)用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I=，
∵過(6，2)，
∴k=6×2=12，
∴I=，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式.
4.如圖，某班上體育課，甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時(shí)，乙的影子DA恰好與甲影子CA在同一條直線上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影長(zhǎng)是6米，則甲、乙兩同學(xué)相距( )米.
A.1 B.2 C.3 D.5
【分析】根據(jù)甲的身高與影長(zhǎng)構(gòu)成的三角形與乙的身高和影長(zhǎng)構(gòu)成的三角形相似，列出比例式解答.
【解答】解：設(shè)兩個(gè)同學(xué)相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得：x=1.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)身高與影長(zhǎng)的比例不變，得出三角形相似，運(yùn)用相似比即可解答.
5.一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=，其中ab<0，a、b為常數(shù)，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的圖象可以是( )
A. B.
C. D.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的位置確定a、b的大小，看是否符合ab<0，計(jì)算a﹣b確定符號(hào)，確定雙曲線的位置.
【解答】解：A、由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，
滿足ab<0，
∴a﹣b>0，
∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，
所以此選項(xiàng)不正確;
B、由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸正半軸，則b>0，
滿足ab<0，
∴a﹣b<0，
∴反比例函數(shù)y=的圖象過二、四象限，
所以此選項(xiàng)不正確;
C、由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，
滿足ab<0，
∴a﹣b>0，
∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，
所以此選項(xiàng)正確;
D、由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，
滿足ab>0，與已知相矛盾
所以此選項(xiàng)不正確;
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩個(gè)函數(shù)的圖象的性質(zhì)是關(guān)鍵.
6.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F，DF的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE=，再證明△AFE∽△CFB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出BF=BE=，然后證明△ADF≌△ABF，即可得出DF=BF=.
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點(diǎn)，
∴∠BAE=90°，AE=AD=AB=1，
∴BE==.
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴==，
∴BF=2EF，
∵BF+EF=BE，
∴BF=BE=.
在△ADF與△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求出BF=BE=是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(每小題3分，共18分)
7.若關(guān)于x的方程x2+3x+k=0的一個(gè)根是1，則k的值為 ﹣4 .
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立.把x=1代入原方程就可以得到一個(gè)關(guān)于k的方程，解這個(gè)方程即可求出k的值.
【解答】解：把x=1代入方程x2+3x+k=0得到1+3+k=0，解得k=﹣4.
故本題答案為k=﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義.
8.某幾何體的三視圖如圖所示，則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是 5 .
【分析】根據(jù)三視圖，該幾何體的主視圖以及俯視圖可確定該幾何體共有兩行3列，故可得出該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù).
【解答】解：綜合三視圖，我們可得出，這個(gè)幾何體的底層應(yīng)該有4個(gè)小正方體，第二層應(yīng)該有1個(gè)小正方體，
因此搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)為4+1=5個(gè);
故答案為：5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查.如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案.
9.某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同，則該商品每次降價(jià)的百分率為 10% .
【分析】設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)該商品的標(biāo)價(jià)及經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x，
根據(jù)題意得：400(1﹣x)2=324，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合題意，舍去).
答：該商品每次降價(jià)的百分率為10%.
故答案為：10%.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.
10.關(guān)于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則a滿足 a≥1 .
【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，那么分兩種情況：(1)當(dāng)a﹣5=0時(shí)，方程一定有實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)a﹣5≠0時(shí)，方程成為一元二次方程，利用判別式即可求出a的取值范圍.
【解答】解：(1)當(dāng)a﹣5=0即a=5時(shí)，方程變?yōu)椹?x﹣1=0，此時(shí)方程一定有實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)a﹣5≠0即a≠5時(shí)，
∵關(guān)于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根
∴16+4(a﹣5)≥0，
∴a≥1.
所以a的取值范圍為a≥1.
故答案為：a≥1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件.
11.如圖，反比例函數(shù)y=(k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)D，若矩形OABC的面積32，則k的值為 8 .
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，連接OD，由矩形的性質(zhì)可知：S△AOC=S矩形OABC=16，從而可求出△ODE的面積，利用反比例函數(shù)中k的幾何意義即可求出k的值.
【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，連接OD，
由矩形的性質(zhì)可知：S△AOC=S矩形OABC=16，
又∵ED是△ACO的中位線，
∴ED=CO，
∴S△ODE=S△ACO=4
∴|k|=4，
∵k>0
∴k=8，
故答案為：8
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是求出△ODE的面積，本題屬于中等題型.
12.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，G為AD上一點(diǎn)，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于點(diǎn)H，下列結(jié)論正確的是 ①②③ .(填序號(hào)即可)
?、佟鰾EF∽△CHE
?、贏G=1
?、跡H=
?、躍△BEF=3S△AGH
【分析】依據(jù)∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE，即可得到△BEF∽△CHE;依據(jù)△AGH∽△CEH，可得，即可得出AG=CE=1;過F作FP⊥BC于P，依據(jù)EF=，，即可得到EH=EF=;依據(jù)S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，可得9S△AGH=S△BEF，進(jìn)而得到S△BEF=4S△AGH.
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，
∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，
∴△BEF∽△CHE，故①正確;
∴=，
又∵BC=6，E為BC中點(diǎn)，BF=2，
∴，即CH=4.5，
又∵AC=BC=6，
∴AH=1.5，
∵AG∥CE，
∴△AGH∽△CEH，
∴，
∴AG=CE=1，故②正確;
如圖，過F作FP⊥BC于P，則∠BFP=30°，
∴BP=BF=1，PE=3﹣1=2，PF=，
∴Rt△EFP中，EF==，
又∵，
∴EH=EF=，故③正確;
∵AG=CE，BF=CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，
∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，
∴9S△AGH=S△BEF，
∴S△BEF=4S△AGH，故④錯(cuò)誤;
故答案為：①②③.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.
三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共計(jì)30分)
13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.
【分析】方程利用公式法求出解即可.
【解答】解：方程2x2﹣7x+6=0，
這里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
則x1=2，x2=1.5.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵.
14.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中點(diǎn)，AE∥CD，AC∥ED，求證：四邊形ACDE是菱形.
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊三角形的判定定理推知△ACD為等邊三角形，則平行四邊形ACDE是菱形.
【解答】證明：∵AE∥CD，AC∥ED，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，
∴CD=AB=AD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴AC=CD，
∴平行四邊形ACDE是菱形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì);熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明四邊形ACDE是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵.
15.如圖，在矩形ABCD中，M是BC中點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無刻度直尺按要求作圖.
(1)在圖1中，作AD的中點(diǎn)P;
(2)在圖2中，作AB的中點(diǎn)Q.
【分析】(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O，作直線OM交AD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上，連接PB交AC與K，作直線DK交AB于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求;
【解答】解：(1)如圖點(diǎn)P即為所求;
(2)如圖點(diǎn)Q即為所求;
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，矩形的性質(zhì)，三角形的中線交于一點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.
16.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.
(1)求證：無論k取何值，原方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若原方程的兩實(shí)根都小于4，且k為正整數(shù)，直接寫出k的值.
【分析】(1)利用根的判別式證明即可;
(2)利用因式分解法求出兩個(gè)解，然后根據(jù)k為正整數(shù)寫出k的值即可.
【解答】(1)證明：△=b2﹣4ac，
=(k+2)2﹣4×1×2k，
=k2+4k+4﹣8k，
=k2﹣4k+4，
=(k﹣2)2，
∵無論k取何值，(k﹣2)2≥0，
∴△≥0，
∴無論k取何值，原方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)解：因式分解得，(x﹣2)(x﹣k)=0，
于是得，x﹣2=0，x﹣k=0，
x1=2，x2=k，
∵原方程的兩實(shí)根都小于4，
∴k<4，
∵k為正整數(shù)，
∴k=1、2、3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，難點(diǎn)在于(2)求出方程的兩個(gè)根.
17.小樂放學(xué)回家看到桌上有一盤包子，其中有豆沙包、肉包各1個(gè)，蘿卜包2個(gè)，這些包子除餡外無其他差別.
(1)小樂隨機(jī)地從盤子中取出一個(gè)包子，取出的是肉包的概率是多少?
(2)請(qǐng)用樹狀圖或表格表示小樂隨機(jī)地從盤中取出兩個(gè)包子的所有可能結(jié)果，并求取出的兩個(gè)包子都是蘿卜包的概率.
【分析】(1)直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率;
(2)直接列舉出所有的可能，進(jìn)而利用概率公式求出答案.
【解答】解：(1)∵有豆沙包、肉包各1個(gè)，蜜棗包2個(gè)，
∴隨機(jī)地從盤中取出一個(gè)粽子，取出的是肉包的概率是：;
(2)如圖所示：
，
一共有12種可能，取出的兩個(gè)都是蘿卜包的有2種，
故取出的兩個(gè)都是蘿卜包概率為：=.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確列舉出所有的可能是解題關(guān)鍵.
四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
18.如圖，鄭明同學(xué)站在A處，測(cè)得他在路燈OC下影子AP的長(zhǎng)與他的身高相等，都為1.5m，他向路燈方向走1m到B處時(shí)發(fā)現(xiàn)影子剛好落在A點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定光源O的位置;
(2)求路燈OC的高.
【分析】(1)作射線PE，AF交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求;
(2)設(shè)OC=x.由AE∥OC，可得=，推出PC=x，AC=x﹣1.5，再由BF∥OC，可得=，由此構(gòu)建方程即可解決問題;
【解答】解：(1)光源O的位置如圖所示;
(2)設(shè)OC=x.
∵AE∥OC，
∴=，
∴=，
∴PC=x，
∴AC=x﹣1.5，
∵BF∥OC，
∴=，
∴=，
∴x=4.5，
答：路燈OC的高為4.5米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用、中心投影、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.
19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x軸于點(diǎn)P.
(1)∠ACB的度數(shù)為 45° ;
(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為 (，0) ;
(3)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合條件的三角形.
【分析】(1)由題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，即可確定出所求角度數(shù);
(2)利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式，即可確定出P坐標(biāo);
(3)以為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，畫出相應(yīng)圖形，如圖所示.
【解答】解：(1)∵∠ABC=90°，AB=CB=，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°;
故答案為：45°;
(2)由題意得：A(2，2)，C(1，﹣1)，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
把A與C坐標(biāo)代入得：，
解得：，即直線AC解析式為y=3x﹣4，
令y=0，得到x=，
則P的坐標(biāo)為(，0);
故答案為：(，0);
(3)如圖所示：△A1B1C1和△A2B2C2為所求三角形.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了作圖﹣位似變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
20.某工廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元/件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷，經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
銷售單價(jià)x(元∕件) … 30 40 50 60 …
每天銷售量y(件) … 500 400 300 200 …
(1)研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價(jià)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，求出y與x的關(guān)系式;
(2)當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，那么銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)8000元?
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得;
(2)根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得.
【解答】解：(1)設(shè)y=kx+b，
根據(jù)題意可得，
解得：，
則y=﹣10x+800;
(2)根據(jù)題意，得：(x﹣20)(﹣10x+800)=8000，
整理，得：x2﹣100x+2400=0，
解得：x1=40，x2=60，
∵銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，
∴x=40，
答：銷售單價(jià)定為40元/件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)8000元.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系.
五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)
21.如圖，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF與BE交于點(diǎn)G，∠AGB=60°.
(1)求證：AF=DE;
(2)若AB=6，BC=8，求AF.
【分析】(1)欲證明AF=DE，只要證明四邊形ADEF是平行四邊形即可;
(2)連接BD.利用勾股定理求出BD，再證明△BDE是等邊三角形即可;
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴BC∥EF，BC=EF，
∴AD=EF，AD∥EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴AF=DE.
(2)連接BD.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=6，
∵BC=8，
∴BD==10，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴AF∥DE，
∴∠AGB=∠BED=60°，
∵AF=DE=BE，
∴△BDE是等邊三角形，
∴AF=BE=BD=10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.
22.如圖，已知一次函數(shù)y=x﹣3與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)A(4，n)，與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)填空：n的值為 3 ，k的值為 12 ;
(2)以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)觀察反比例函數(shù)y=的圖象，當(dāng)y≥﹣3時(shí)，請(qǐng)直接寫出自變量x的取值范圍.
【分析】(1)把點(diǎn)A(4，n)代入一次函數(shù)y=x﹣3，得到n的值為3;再把點(diǎn)A(4，3)代入反比例函數(shù)y=，得到k的值為12;
(2)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，根據(jù)勾股定理得到AB=，根據(jù)AAS可得△ABE≌△DCF，根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)y≥﹣3時(shí)，自變量x的取值范圍.
【解答】解：(1)把點(diǎn)A(4，n)代入一次函數(shù)y=x﹣3，
可得n=×4﹣3=3;
把點(diǎn)A(4，3)代入反比例函數(shù)y=，
可得3=，
解得k=12.
故答案為：3，12.
(2)∵一次函數(shù)y=x﹣3與x軸相交于點(diǎn)B，
∴x﹣3=0，
解得x=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，
如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，
過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，
∵A(4，3)，B(2，0)，
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，
在Rt△ABE中，
AB===，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE與△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF(ASA)，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4+，3).
(3)當(dāng)y=﹣3時(shí)，﹣3=，
解得x=﹣4.
故當(dāng)y≥﹣3時(shí)，自變量x的取值范圍是x≤﹣4或x>0.
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解即可.
六、解答題(本大題共12分)
23.閱讀下列材料，并按要求解答.
【模型介紹】
如圖①，C是線段A、B上一點(diǎn)E、F在AB同側(cè)，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一個(gè)“K“，我們稱圖①為“K”型圖.
【性質(zhì)探究】
性質(zhì)1：如圖①，若EC=FC，△ACE≌△BFC
性質(zhì)2：如圖①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不為1.
【模型應(yīng)用】
應(yīng)用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2，AB=5.求BD.
應(yīng)用2：如圖③，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，連接EF.交AH的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，證明：K為EF中點(diǎn).
(1)請(qǐng)你完成性質(zhì)1的證明過程;
(2)請(qǐng)分別解答應(yīng)用1，應(yīng)用2提出的問題.
【分析】(1)根據(jù)AAS即可證明;
(2)①應(yīng)用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長(zhǎng)線與H.首先證明符合“k模型”，利用性質(zhì)2根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
?、趹?yīng)用2：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.由性質(zhì)1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM=AH，AH=EN，推出FM=EN，再證明△FKN≌△EKN即可解決問題;
【解答】解：(1)如圖①中，
∵∠A=∠ECF=∠B=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠F=90°，
∴∠ACE=∠F，∵EC=CF，
∴△ACE≌△BFC.
(2)①應(yīng)用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長(zhǎng)線與H.
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，CD=2，
∴AC==，
∵AC2+BC2=5+20=25，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠CHB=90°，
∴符合“K”型圖，
∴△ACD∽△CBH，
∴==，
∴==，
∵CH=2，BH=4，
∴DH=4，
在Rt△BDH中，BD==4.
②應(yīng)用2：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.
由性質(zhì)1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，
∴FM=AH，AH=EN，
∴FM=EN，
∵∠FKM=∠EKN，∠M=∠ENK=90°，
∴△FKN≌△EKN，
∴FK=KE，
∴K為EF中點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造模型解決問題，屬于中考?jí)狠S題.
第一學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷
一.選擇題(本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分)
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A.0 B.2 C.0和2 D.0和﹣2
2.如圖圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
3.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
4.把拋物線y=(x+1)2向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，所得到的拋物線是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是( )
A.(﹣2，3) B.(2，﹣3)
C.(3，﹣2)或(﹣2，3) D.(﹣2，3)或(2，﹣3)
6.如圖，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)y2=k2x的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，2)，若y1>y2，則x的取值范圍是( )
A.﹣1
C.x<﹣1或0
7.如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形A′B′C′D′的位置，此時(shí)AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E.若AB=3，則△AEC的面積為( )
A.3 B.1.5 C. D.
8.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)中自變量x和函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
從上表可知，下列說法正確的個(gè)數(shù)是( )
①拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣2，0);
?、趻佄锞€與y軸的交點(diǎn)為(0，﹣2);
?、蹝佄锞€的對(duì)稱軸是：x=1;
?、茉趯?duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空題(本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分)
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanA= .
10.一個(gè)不透明的盒子中裝有10個(gè)黑球和若干個(gè)白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從盒子中隨機(jī)摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復(fù)上述過程，共試驗(yàn)400次，其中有240次摸到白球，由此估計(jì)盒子中的白球大約有 個(gè).
11.某廠一月份生產(chǎn)產(chǎn)品50臺(tái)，計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn)產(chǎn)品120臺(tái)，設(shè)二、三月份平均每月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列出方程為 .
12.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于點(diǎn)A、B、C，直線DF分別交l1、l2、l3于點(diǎn)D、E、F，AC與DF相交于點(diǎn)H，且AH=2HB，BC=5HB，則的值為 .
13.如圖，將邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則tan∠EGB等于 .
14.墻角處有若千大小相同的小正方體堆成如圖所示實(shí)體的立體圖形，如果打算搬走其中部分小正方體(不考慮操作技術(shù)的限制)，但希望搬完后的實(shí)體的三種視圍分別保持不變，那么最多可以搬走 個(gè)小正方體.
三.作圖題(本題滿分4分)
15.用圓規(guī)、直尺作圍，不寫作法，但要保留作圍痕跡.
如圖，已知∠α，線段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC=∠α，邊BC=b.
四.解答題(本大題滿分74分，共有9道小題)
16.(8分)解下列方程：
(1)x2﹣5x+2=0
(2)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
17.(6分)小敏的爸爸買了某項(xiàng)體育比賽的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看.可門票只有一張，讀九年級(jí)的哥哥想了一個(gè)辦法，拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小敏，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小敏和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小敏去;如果和為奇數(shù)，則哥哥去.
(1)請(qǐng)用畫樹形圖或列表的方法求小敏去看比賽的概率;
(2)哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎?若公平，請(qǐng)說明理由;若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則.
18.(6分)如圖，某高樓頂部有一信號(hào)發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C兩點(diǎn)處測(cè)得該塔頂端F的仰角分別為∠α=48°，∠β=65°，矩形建筑物寬度AD=20m，高度DC=33m.計(jì)算該信號(hào)發(fā)射塔頂端到地面的高度FG(結(jié)果精確到1m).
(參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)
19.(6分)一天晚上，李明利用燈光下的影子長(zhǎng)來測(cè)量一路燈D的高度.如圖，當(dāng)在點(diǎn)A處放置標(biāo)桿時(shí)，李明測(cè)得直立的標(biāo)桿高AM與影子長(zhǎng)AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處放置同一個(gè)標(biāo)桿，測(cè)得直立標(biāo)桿高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB=1.2m，已知標(biāo)桿直立時(shí)的高為1.8m，求路燈的高CD的長(zhǎng).
20.(8分)心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB，BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分)：
(1)分別求出線段AB和曲線CD的函數(shù)關(guān)系式;
(2)開始上課后第五分鐘時(shí)與第三十分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到36，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?
21.(8分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，BF.
(1)求證：△ADE≌△CFE;
(2)若∠AFB=90°，試判斷四邊形BCFD的形狀，并加以證明.
22.(10分)某水果店銷售某種水果，原來每箱售價(jià)60元，每星期可賣200箱，為了促銷，該水果店決定降價(jià)銷售.市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣20箱.已知該水果每箱的進(jìn)價(jià)是40元，設(shè)該水果每箱售價(jià)x元，每星期的銷售量為y箱.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：
(2)當(dāng)銷售量不低于400箱時(shí)，每箱售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)多少元?
23.(10分)[歸納探究]
把長(zhǎng)為n (n為正整數(shù)) 個(gè)單位的線段，切成長(zhǎng)為1個(gè)單位的線段，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切多少次?
我們可以先從特殊入手，通過試驗(yàn)、觀察、類比，最后歸納、猜測(cè)得出結(jié)論.
不妨假設(shè)最少能切m次，我們來探究m與n之間的關(guān)系.
如圖，當(dāng)n=1時(shí)，最少需要切0次，即m=0.
如圖，當(dāng)n=2時(shí)，從線段中間最少需要切1，即m=1.
如圖，當(dāng)n=3時(shí)，第一次切1個(gè)單位長(zhǎng)的線段，第二次繼續(xù)切剩余線段1個(gè)單位長(zhǎng)即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當(dāng)n=4時(shí)，第一次切成兩根2個(gè)單位長(zhǎng)的線段，再調(diào)動(dòng)重疊切第二次即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當(dāng)n=5時(shí)，第一次切成2個(gè)單位長(zhǎng)和3個(gè)單位長(zhǎng)的線段.將兩根線段適當(dāng)調(diào)動(dòng)重疊，再切二次即可，最少需要切3次，即m=3.
仿照上述操作方法，請(qǐng)你用語言敘述，當(dāng)n=16時(shí)，所需最少切制次數(shù)的方法，
如此操作實(shí)驗(yàn)，可獲得如下表格中的數(shù)據(jù)：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
當(dāng)n=1時(shí)，m=0.
當(dāng)1
當(dāng)2
當(dāng)4
當(dāng)8
…
根據(jù)探究請(qǐng)用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
當(dāng)n=1180時(shí)，m=
[類比探究]
由一維的線段我們可以聯(lián)想到二維的平面，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
把邊長(zhǎng)n (n為正整數(shù)) 個(gè)單位的大正方形，切成邊長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方形，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切多少次?
不妨假設(shè)最少能切m次，我們來探究m與n之間的關(guān)系.
通過實(shí)驗(yàn)觀察：
當(dāng)n=1時(shí)，從行的角度分析，最少需要切0次，從列的角度分析，最少需要切0次.最少共切0，即m=0.
當(dāng)n=2時(shí)，從行的角度分析，最少需要切1次，從列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，當(dāng)1
當(dāng)n=3時(shí)，從行的角度分析，最少需要切2次，從列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，當(dāng)2
…
當(dāng)n=8時(shí)，從行的角度分析，最少需要切3次，從列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，當(dāng)4
當(dāng)8
…
根據(jù)探究請(qǐng)用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
[拓廣探究]
由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
問題(1)：把棱長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)的大正方體，切成棱長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方體，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切 次.
問題(2)：把棱長(zhǎng)為8個(gè)單位長(zhǎng)的大正方體，切成棱長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方體，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切 次，
問題(3)：把棱長(zhǎng)為n (n 為正整數(shù)) 個(gè)單位長(zhǎng)的大正方體，切成邊長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方體，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切 次.
請(qǐng)用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍： .
24.(12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q在線段DC上從點(diǎn)D出發(fā)沿DC 的力向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE⊥BC.交線段AB于點(diǎn)E.若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，QE∥BC?
(2)設(shè)△PQE的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式：
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使得△PQE的面積S最大?若存在，求出此時(shí)t的值; 若不存在，請(qǐng)說明理由.
(4)是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)Q在線段EP的垂直平分線上?若存在，求出此時(shí)t的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案與試題解析
一.選擇題(本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分)
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A.0 B.2 C.0和2 D.0和﹣2
【分析】根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，用提公因式法解答.
【解答】解：移項(xiàng)得，x2﹣2x=0，
因式分解得，x(x﹣2)=0，
解得，x1=0，x2=2，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.
2.如圖圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷.
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形;
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形;
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形;
D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
3.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可.
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，即，
解得k>﹣1且k≠0.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.
4.把拋物線y=(x+1)2向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，所得到的拋物線是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
【分析】先寫出平移前的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可.
【解答】解：拋物線y=(x+1)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，0)，
∵向下平移2個(gè)單位，
∴縱坐標(biāo)變?yōu)椹?，
∵向右平移1個(gè)單位，
∴橫坐標(biāo)變?yōu)椹?+1=0，
∴平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣2)，
∴所得到的拋物線是y=x2﹣2.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)的變化確定函數(shù)圖象的變化求解更加簡(jiǎn)便，且容易理解.
5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是( )
A.(﹣2，3) B.(2，﹣3)
C.(3，﹣2)或(﹣2，3) D.(﹣2，3)或(2，﹣3)
【分析】由矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣4，6)，即可求得答案.
【解答】解：∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，
∴位似比為：1：2，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣4，6)，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是：(﹣2，3)或(2，﹣3).
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了位似圖形的性質(zhì).此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
6.如圖，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)y2=k2x的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，2)，若y1>y2，則x的取值范圍是( )
A.﹣1
C.x<﹣1或0
【分析】易得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求得正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的另一交點(diǎn)，進(jìn)而判斷在交點(diǎn)的哪側(cè)相同橫坐標(biāo)時(shí)反比例函數(shù)的值都大于正比例函數(shù)的值即可.
【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)交點(diǎn)規(guī)律：兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，﹣2)，
由圖象可得在點(diǎn)A的右側(cè)，y軸的左側(cè)以及另一交點(diǎn)的右側(cè)相同橫坐標(biāo)時(shí)反比例函數(shù)的值都大于正比例函數(shù)的值;
∴﹣1
【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;求自變量的取值范圍應(yīng)該從交點(diǎn)入手思考.
7.如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形A′B′C′D′的位置，此時(shí)AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E.若AB=3，則△AEC的面積為( )
A.3 B.1.5 C. D.
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進(jìn)而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對(duì)等邊得到AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長(zhǎng)，即可求出三角形AEC面積.
【解答】解：∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，設(shè)AE=EC=x，則有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，
AD=BC=AB•tan30°=×3=，
根據(jù)勾股定理得：x2=(3﹣x)2+()2，
解得：x=2，
∴EC=2，
則S△AEC=EC•AD=，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
8.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)中自變量x和函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
從上表可知，下列說法正確的個(gè)數(shù)是( )
?、賿佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣2，0);
?、趻佄锞€與y軸的交點(diǎn)為(0，﹣2);
③拋物線的對(duì)稱軸是：x=1;
?、茉趯?duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】③由點(diǎn)(﹣1，﹣2)、(0，﹣2)在拋物線y=ax2+bx+c上結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可得出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣，結(jié)論③錯(cuò)誤;①由拋物線的對(duì)稱軸及拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為(﹣2，0)，結(jié)論①正確;②根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，即可找出拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0，﹣2)，結(jié)論②正確;④根據(jù)表格中數(shù)據(jù)結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣，即可得出在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，結(jié)論④錯(cuò)誤.綜上即可得出結(jié)論.
【解答】解：③∵點(diǎn)(﹣1，﹣2)、(0，﹣2)在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣，結(jié)論③錯(cuò)誤;
?、佟邟佄锞€的對(duì)稱軸為直線x=﹣，
∴當(dāng)x=﹣2和x=1時(shí)，y值相同，
∴拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣2，0)，結(jié)論①正確;
?、凇唿c(diǎn)(0，﹣2)在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0，﹣2)，結(jié)論②正確;
?、堋擤?gt;﹣2>﹣，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣，
∴在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，結(jié)論④錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵.
二.填空題(本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分)
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanA= .
【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的定義解答.
【解答】解：由sinA==知，可設(shè)a=3x，則c=5x，b=4x.
∴tanA===.
【點(diǎn)評(píng)】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角(或余角)的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.
10.一個(gè)不透明的盒子中裝有10個(gè)黑球和若干個(gè)白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從盒子中隨機(jī)摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復(fù)上述過程，共試驗(yàn)400次，其中有240次摸到白球，由此估計(jì)盒子中的白球大約有 15 個(gè).
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未知數(shù)列出方程求解.
【解答】解：∵共試驗(yàn)400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例為=0.6，
設(shè)盒子中共有白球x個(gè)，則=0.6，
解得：x=15，
故答案為：15.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率.大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系.
11.某廠一月份生產(chǎn)產(chǎn)品50臺(tái)，計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn)產(chǎn)品120臺(tái)，設(shè)二、三月份平均每月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列出方程為 50(1+x)+50(1+x)2=120 .
【分析】主要考查增長(zhǎng)率問題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×(1+增長(zhǎng)率)，如果設(shè)二、三月份每月的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn)120臺(tái)”，即可列出方程.
【解答】解：設(shè)二、三月份每月的平均增長(zhǎng)率為x，
則二月份生產(chǎn)機(jī)器為：50(1+x)，
三月份生產(chǎn)機(jī)器為：50(1+x)2;
又知二、三月份共生產(chǎn)120臺(tái);
所以，可列方程：50(1+x)+50(1+x)2=120.
故答案是：50(1+x)+50(1+x)2=120.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，可根據(jù)增長(zhǎng)率的一般規(guī)律找到關(guān)鍵描述語，列出方程;平均增長(zhǎng)率問題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量.
12.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于點(diǎn)A、B、C，直線DF分別交l1、l2、l3于點(diǎn)D、E、F，AC與DF相交于點(diǎn)H，且AH=2HB，BC=5HB，則的值為 .
【分析】求出AB：BC，由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果.
【解答】解：設(shè)BH=a，則AH=2a，BC=5a，AB=AH+BH=3a，
∴AB：BC=3a：5a=3：5，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故答案為.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理;熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵.
13.如圖，將邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則tan∠EGB等于 .
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DF=EF，設(shè)EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，從而得到AF、EF的長(zhǎng)，再求出△AEF和△BGE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BG，然后根據(jù)解直角三角形列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：由翻折的性質(zhì)得，DF=EF，
設(shè)EF=x，則AF=6﹣x，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE=×6=3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即32+(6﹣x)2=x2，
解得x=，
∴AF=6﹣=，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴=，
即=，
解得BG=4，
∴tan∠EGB=.
故答案為：.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出△AEF的各邊的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的性質(zhì)，求出△EBG的各邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.
14.墻角處有若千大小相同的小正方體堆成如圖所示實(shí)體的立體圖形，如果打算搬走其中部分小正方體(不考慮操作技術(shù)的限制)，但希望搬完后的實(shí)體的三種視圍分別保持不變，那么最多可以搬走 27 個(gè)小正方體.
【分析】留下靠墻的正方體，以及墻角處向外的一列正方體，依次數(shù)出搬走的小正方體的個(gè)數(shù)相加即可.
【解答】解：第1列最多可以搬走9個(gè)小正方體;
第2列最多可以搬走8個(gè)小正方體;
第3列最多可以搬走3個(gè)小正方體;
第4列最多可以搬走5個(gè)小正方體;
第5列最多可以搬走2個(gè)小正方體.
9+8+3+5+2=27個(gè).
故最多可以搬走27個(gè)小正方體.
故答案為：27.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是依次得出每列可以搬走小正方體最多的個(gè)數(shù)，難度較大.
三.作圖題(本題滿分4分)
15.用圓規(guī)、直尺作圍，不寫作法，但要保留作圍痕跡.
如圖，已知∠α，線段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC=∠α，邊BC=b.
【分析】先作∠MBN=∠α，再在BM和BN上分別截取BA=b，BC=b，然后分別一點(diǎn)A、C為圓心，b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，則四邊形ABCD滿足條件.
【解答】解：如圖，菱形ABCD為所作.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.
四.解答題(本大題滿分74分，共有9道小題)
16.(8分)解下列方程：
(1)x2﹣5x+2=0
(2)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
【分析】(1)公式法求解可得;
(2)因式分解法求解可得.
【解答】解：(1)∵a=1、b=﹣5，c=2，
∴△=25﹣4×1×2=17>0，
則x=;
(2)∵2(x﹣3)2﹣x(x﹣3)=0，
∴(x﹣3)(x﹣6)=0，
則x﹣3=0或x﹣6=0，
解得：x=3或x=6.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵
17.(6分)小敏的爸爸買了某項(xiàng)體育比賽的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看.可門票只有一張，讀九年級(jí)的哥哥想了一個(gè)辦法，拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小敏，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小敏和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小敏去;如果和為奇數(shù)，則哥哥去.
(1)請(qǐng)用畫樹形圖或列表的方法求小敏去看比賽的概率;
(2)哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎?若公平，請(qǐng)說明理由;若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則.
【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.
【解答】解：(1)根據(jù)題意，我們可以畫出如下的樹形圖：
或者：根據(jù)題意，我們也可以列出下表：
小敏
哥哥 2 3 5 9
4 (4，2) (4，3) (4，5) (4，9)
6 (6，2) (6，3) (6，5) (6，9)
7 (7，2) (7，3) (7，5) (7，9)
8 (8，2) (8，3) (8，5) (8，9)
從樹形圖(表)中可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16個(gè)，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.而和為偶數(shù)的結(jié)果共有6個(gè)，所以小敏看比賽的概率P(和為偶數(shù))==.
(2)哥哥去看比賽的概率P(和為奇數(shù))=1﹣=，因?yàn)?lt;，所以哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則不公平;
如果規(guī)定點(diǎn)數(shù)之和小于等于10時(shí)則小敏(哥哥)去，點(diǎn)數(shù)之和大于等于11時(shí)則哥哥(小敏)去.則兩人去看比賽的概率都為，那么游戲規(guī)則就是公平的.
或者：如果將8張牌中的2、3、4、5四張牌給小敏，而余下的6、7、8、9四張牌給哥哥，則和為偶數(shù)或奇數(shù)的概率都為，那么游戲規(guī)則也是公平的.(只要滿足兩人手中點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)(或奇數(shù))的牌的張數(shù)相等即可.)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
18.(6分)如圖，某高樓頂部有一信號(hào)發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C兩點(diǎn)處測(cè)得該塔頂端F的仰角分別為∠α=48°，∠β=65°，矩形建筑物寬度AD=20m，高度DC=33m.計(jì)算該信號(hào)發(fā)射塔頂端到地面的高度FG(結(jié)果精確到1m).
(參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)
【分析】將題目中所涉及到的仰角轉(zhuǎn)換為直角三角形的內(nèi)角，利用解直角三角形的知識(shí)求得線段FG的長(zhǎng)即可.
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD交FG于點(diǎn)E.(1分)
在Rt△FCG中，tanβ=，∴CG=.
在Rt△FAE中，tanα=，∴AE=.
∵AE﹣CG=AE﹣DE=AD，
∴﹣=AD.
即﹣=AD.
∴FG==115.5≈116.
答：該信號(hào)發(fā)射塔頂端到地面的高度FG約是116m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了仰角問題，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的將仰角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角并選擇正確的邊角關(guān)系解直角三角形.
19.(6分)一天晚上，李明利用燈光下的影子長(zhǎng)來測(cè)量一路燈D的高度.如圖，當(dāng)在點(diǎn)A處放置標(biāo)桿時(shí)，李明測(cè)得直立的標(biāo)桿高AM與影子長(zhǎng)AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處放置同一個(gè)標(biāo)桿，測(cè)得直立標(biāo)桿高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB=1.2m，已知標(biāo)桿直立時(shí)的高為1.8m，求路燈的高CD的長(zhǎng).
【分析】根據(jù)AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，從而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式求解即可.
【解答】解：設(shè)CD長(zhǎng)為x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC=CD=x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴=，即=，
解得：x=5.4.
經(jīng)檢驗(yàn)，x=5.4是原方程的解，
∴路燈高CD為5.4米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得到平行線，從而證得相似三角形.
20.(8分)心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB，BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分)：
(1)分別求出線段AB和曲線CD的函數(shù)關(guān)系式;
(2)開始上課后第五分鐘時(shí)與第三十分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到36，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?
【分析】(1)分別從圖象中找到其經(jīng)過的點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可;
(2)根據(jù)上題求出的AB和CD的函數(shù)表達(dá)式，再分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判斷;
(3)分別求出注意力指數(shù)為36時(shí)的兩個(gè)時(shí)間，再將兩時(shí)間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能.
【解答】解：(1)設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，
把B(10，40)代入得，k1=2，
∴y1=2x+20.
設(shè)C、D所在雙曲線的解析式為y2=，
把C(25，40)代入得，k2=1000，
∴y2=.
(2)當(dāng)x1=5時(shí)，y1=2×5+20=30，
當(dāng)x2=30時(shí)，y2==，
∴y1
∴第30分鐘注意力更集中.
(3)令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8
∵27.8﹣8=19.8>19，
∴經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際意義列出函數(shù)關(guān)系式，從實(shí)際意義中找到對(duì)應(yīng)的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.
21.(8分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，BF.
(1)求證：△ADE≌△CFE;
(2)若∠AFB=90°，試判斷四邊形BCFD的形狀，并加以證明.
【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線和平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定可以證明結(jié)論成立;
(2)根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以證明結(jié)論成立.
【解答】證明：(1)∵在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，
∴AD=DB，AE=CE，DE∥BC，
∵CF∥AB，DE=，DF=BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，DE=DF，
∴BD=CF，DE=FE，
∴AD=CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(SSS);
(2)四邊形BCFD是菱形，
證明：連接CD，
由(1)知DE=FE，AE=CE，四邊形BCFD是平行四邊形，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED(SAS)，
∴∠AFE=∠CDE，
∴AF∥CD，
∴∠AFB=∠DOB，
∵∠AFB=90°，
∴∠DOB=90°，
即AF⊥CD，
∵四邊形BCFD是平行四邊形，
∴四邊形BCFD是菱形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.
22.(10分)某水果店銷售某種水果，原來每箱售價(jià)60元，每星期可賣200箱，為了促銷，該水果店決定降價(jià)銷售.市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣20箱.已知該水果每箱的進(jìn)價(jià)是40元，設(shè)該水果每箱售價(jià)x元，每星期的銷售量為y箱.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：
(2)當(dāng)銷售量不低于400箱時(shí)，每箱售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)多少元?
【分析】(1)根據(jù)售量y(件)與售價(jià)x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論.
(2)設(shè)每星期利潤(rùn)為W元，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題.
【解答】解：(1)由題意可得：y=200+20(60﹣x)=﹣20x+1400(0
(2)設(shè)每星期利潤(rùn)為W元，
W=(x﹣40)(﹣20x+1400)=﹣20(x﹣55)2+4500，
∵﹣20x+1400≥400，
∴x≤50，
∵﹣20<0，拋物線開口向下，
∴x=50時(shí)，W最大值=4000.
∴每箱售價(jià)定為50元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)4000元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考常考題型.
23.(10分)[歸納探究]
把長(zhǎng)為n (n為正整數(shù)) 個(gè)單位的線段，切成長(zhǎng)為1個(gè)單位的線段，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切多少次?
我們可以先從特殊入手，通過試驗(yàn)、觀察、類比，最后歸納、猜測(cè)得出結(jié)論.
不妨假設(shè)最少能切m次，我們來探究m與n之間的關(guān)系.
如圖，當(dāng)n=1時(shí)，最少需要切0次，即m=0.
如圖，當(dāng)n=2時(shí)，從線段中間最少需要切1，即m=1.
如圖，當(dāng)n=3時(shí)，第一次切1個(gè)單位長(zhǎng)的線段，第二次繼續(xù)切剩余線段1個(gè)單位長(zhǎng)即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當(dāng)n=4時(shí)，第一次切成兩根2個(gè)單位長(zhǎng)的線段，再調(diào)動(dòng)重疊切第二次即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當(dāng)n=5時(shí)，第一次切成2個(gè)單位長(zhǎng)和3個(gè)單位長(zhǎng)的線段.將兩根線段適當(dāng)調(diào)動(dòng)重疊，再切二次即可，最少需要切3次，即m=3.
仿照上述操作方法，請(qǐng)你用語言敘述，當(dāng)n=16時(shí)，所需最少切制次數(shù)的方法，
如此操作實(shí)驗(yàn)，可獲得如下表格中的數(shù)據(jù)：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
當(dāng)n=1時(shí)，m=0.
當(dāng)1
當(dāng)2
當(dāng)4
當(dāng)8
…
根據(jù)探究請(qǐng)用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍： 2m﹣1
當(dāng)n=1180時(shí)，m= 11
[類比探究]
由一維的線段我們可以聯(lián)想到二維的平面，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
把邊長(zhǎng)n (n為正整數(shù)) 個(gè)單位的大正方形，切成邊長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方形，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切多少次?
不妨假設(shè)最少能切m次，我們來探究m與n之間的關(guān)系.
通過實(shí)驗(yàn)觀察：
當(dāng)n=1時(shí)，從行的角度分析，最少需要切0次，從列的角度分析，最少需要切0次.最少共切0，即m=0.
當(dāng)n=2時(shí)，從行的角度分析，最少需要切1次，從列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，當(dāng)1
當(dāng)n=3時(shí)，從行的角度分析，最少需要切2次，從列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，當(dāng)2
…
當(dāng)n=8時(shí)，從行的角度分析，最少需要切3次，從列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，當(dāng)4
當(dāng)8
…
根據(jù)探究請(qǐng)用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
[拓廣探究]
由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
問題(1)：把棱長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)的大正方體，切成棱長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方體，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切 6 次.
問題(2)：把棱長(zhǎng)為8個(gè)單位長(zhǎng)的大正方體，切成棱長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方體，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切 9 次，
問題(3)：把棱長(zhǎng)為n (n 為正整數(shù)) 個(gè)單位長(zhǎng)的大正方體，切成邊長(zhǎng)為1個(gè)單位小正方體，允許邊切邊調(diào)動(dòng)，最少要切 ，n≤ 次.
請(qǐng)用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
【分析】解決此題的關(guān)鍵之一是熟悉截取線段的過程，得出n與m的數(shù)量關(guān)系，其次是截取二維平面圖形，三維立體圖形次數(shù)之間的關(guān)系.
【解答】解：由截取一維線段所得到的圖標(biāo)可知當(dāng)8
故答案是：8.
然后觀察左列n的值與右列m的值的關(guān)系可以得到2m﹣1
故答案是：2m﹣1
當(dāng)n=1180時(shí)，通過計(jì)算可知符合條件的m的值等于11.
故答案是11.
熟悉了截取的過程很容易得到當(dāng)n的值相等時(shí)，截取二維圖形的次數(shù)是一維圖形的次數(shù)的2倍，截取三維圖形的次數(shù)是截取一維線段的次數(shù)的三倍.
當(dāng)8
故答案是：8.
截取一維線段時(shí)用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：2m﹣1
所以，截取二維圖片時(shí)，m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍是：
同理，截取三維立體圖形時(shí)，n為4時(shí)，要切6次，故答案是：6.
n為8時(shí)，要切9次，故答案時(shí)9.
用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
故答案是
【點(diǎn)評(píng)】熟悉截取線段的方法和截取過程，仔細(xì)觀察線段長(zhǎng)度和截取次數(shù)的關(guān)系，然后找到截取不同的圖形，當(dāng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，截取次數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
24.(12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q在線段DC上從點(diǎn)D出發(fā)沿DC 的力向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE⊥BC.交線段AB于點(diǎn)E.若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，QE∥BC?
(2)設(shè)△PQE的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式：
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使得△PQE的面積S最大?若存在，求出此時(shí)t的值; 若不存在，請(qǐng)說明理由.
(4)是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)Q在線段EP的垂直平分線上?若存在，求出此時(shí)t的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
【分析】(1)先用勾股定理求出BC，進(jìn)而得出CD=AB=10，利用銳角三角函數(shù)得出∠B的相關(guān)三角函數(shù)，再判斷出△CGQ∽△CAD，利用得出的比例式建立方程即可得出結(jié)論;
(2)同(1)的方法，利用三角函數(shù)求出CH，QH，最后利用面積的差即可得出結(jié)論;
(3)借助(2)的結(jié)論即可得出結(jié)論;
(4)先由垂直平分線得出PM=t，再表示出CN，用PM=CN建立方程即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)如圖1，記EQ與AC的交點(diǎn)為G，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，
根據(jù)勾股定理得，BC=8，
tanB==，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=10，AD=BC=8，
由運(yùn)動(dòng)知，BP=t，DQ=t，
∴PC=8﹣t，CQ=10﹣t，
∵PE⊥BC，
∴∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，sinB=，cosB=，tanB===，
∴PE=t，
∵EQ∥BC，
∴∠PEQ=∠BPE=90°，
∴四邊形CPEG是矩形，
∴CG=PE=t，
∵EQ∥BC，
∴△CGQ∽△CAD，
∴，
∴.
∴t=;
(2)如圖2，
過點(diǎn)Q作QH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠DCH=∠B，
在Rt△CHQ中，sin∠QCH===，
∴QH=(10﹣t)，cos∠HCQ===，
∴CH=(10﹣t)，
∴PH=PC+CH=8﹣t+(10﹣t)=16﹣t，
∴S=S梯形QHPE﹣S△QPH= [(10﹣t)+t]×(16﹣t)﹣×(16﹣t)×(10﹣t)=﹣(t﹣)2+，
∵點(diǎn)E在線段AB上，
∴點(diǎn)P在線段BC上，
∴0
點(diǎn)Q在CD上，
∴0
∴0
即：S=﹣(t﹣)2+(0
(3)由(2)知，S=﹣(t﹣)2+(0
∴t=時(shí)，S最大=;
(4)如圖3，
過點(diǎn)Q作QM⊥PE于M，交AC于N，
∵點(diǎn)Q在線段EP的垂直平分線上，
∴PM=PE=t，
同(2)的方法得，CN=(10﹣t)，
易知，四邊形PCNM是矩形，
∴PM=CN，
∴t=(10﹣t)，
∴t=.
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，矩形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用t表示出相關(guān)的線段.
關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷題
一、單選題(共10題;共30分)
1.把標(biāo)有1~10的10個(gè)乒乓球放在一個(gè)箱子中，搖勻后，從中任意取一個(gè)，號(hào)碼為小于7的奇數(shù)的概率是( )
A. B. C. D.
2.已知圓錐側(cè)面積為10πcm2 ， 側(cè)面展開圖的圓心角為36º，圓錐的母線長(zhǎng)為( )
A. 100cm B. 10cm C. cm D. cm
3.已知⊙O的半徑是10cm， 是120°，那么弦AB的弦心距是( )
A. 5cm B. cm C. cm D. cm
4.某中學(xué)周末有40人去體育場(chǎng)觀看足球賽，40張票分別為A區(qū)第2排1號(hào)到40號(hào)，小明同學(xué)從40張票中隨機(jī)抽取一張，則他抽取的座位號(hào)為10號(hào)的概率是
A. B. C. D.
5.經(jīng)過某十字路口的汽車，它可以繼續(xù)直行，也可以向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同，則兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的概率是
A. B. C. D.
6.如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，點(diǎn)D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一點(diǎn)E，使△ADE與△ABC相似，則AE的長(zhǎng)為( )
A. B. C. 3 D. 或
7.如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，∠APD=30°，則∠ADP的度數(shù)為( )
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
8.四位同學(xué)在研究函數(shù) (b，c是常數(shù))時(shí)，甲發(fā)現(xiàn)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn) 是方程 的一個(gè)根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當(dāng) 時(shí)， .已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則該同學(xué)是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，則S△ABC：S△DEF=( )
A. 1：3 B. 1：9 C. 1： D. 1：1.5
10.已知如圖，圓錐的母線長(zhǎng)6cm，底面半徑是3cm，在B處有一只螞蟻，在AC中點(diǎn)P處有一顆米粒，螞蟻從B爬到P處的最短距離是( )
A. 3 cm B. 3 cm C. 9cm D. 6cm
二、填空題(共10題;共30分)
11.將拋物線y=x2-2向上平移一個(gè)單位后，得一新的拋物線，那么新的拋物線的表達(dá)式是________.
12.質(zhì)地均勻的正四面體骰子的四個(gè)面上分別寫有數(shù)字：2，3，4，5.投擲這個(gè)正四面體兩次，則第一次底面上的數(shù)字能夠整除第二次底面上的數(shù)字的概率是________
13.若A( ， )，B( ， )，C(1， )為二次函數(shù)y= +4x﹣5的圖象上的三點(diǎn)，則 、 、 的大小關(guān)系是________.
14.(2015•上海)在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，點(diǎn)A在⊙B上，如果⊙D與⊙B相交，且點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，那么⊙D的半徑長(zhǎng)可以等于________ .(只需寫出一個(gè)符合要求的數(shù))
15.如圖，在正方形ABCD中，邊AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度m(0°
16.已知拋物線C1：y=﹣x2+4x﹣3，把拋物線C1先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C2 ，
將拋物線C1和拋物線C2這兩個(gè)圖象在x軸及其上方的部分記作圖象M.若直線y=kx+ 與圖象M至少有2個(gè)不同
的交點(diǎn)，則k的取值范圍是________.
17.如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D，∠A=50°，∠B=30°，則∠ADC的度數(shù)為________.
18.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么 的值等于________.
19.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=32°，則∠C=________°.
20.如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE，BE分別交于點(diǎn)G、H，∠CBE=∠BAD.有下列結(jié)論：①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD= AE2;④S△ABC=2S△ADF . 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
三、解答題(共8題;共60分)
21.如圖⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在這個(gè)三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半徑.
22.某商店購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品，如果以單價(jià)30元銷售，那么半個(gè)月內(nèi)可以售出400件.根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件.問如何提高售價(jià),才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)?
23.一個(gè)口袋中有黑球10個(gè)，白球若干個(gè)，小明從袋中隨機(jī)一次摸出10只球，記下其中黑球的數(shù)目，再把它們放回，攪均勻后重復(fù)上述過程20次，發(fā)現(xiàn)共有黑球18個(gè)，由此你能估計(jì)出袋中的白球是多少個(gè)嗎?
24.已知一拋物線與拋物線y=- x2+3形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-5，0)，根據(jù)以上特點(diǎn)，試寫出該拋物線的解析式.
25.如圖，在△ABC中，EF∥CD ， DE∥BC . 求證：AF：FD=AD：DB .
26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平移拋物線y=x2﹣2x+3，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2，0)，且與y軸交于點(diǎn)B，同時(shí)滿足以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，求平移后的拋物線的解析式.
27.如圖,已知□ABCD的面積為S，點(diǎn)P、Q時(shí)是▱ABCD對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)AQ、AP，分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)EF。甲，乙兩位同學(xué)對(duì)條件進(jìn)行分析后，甲得到結(jié)論①：“E是BC中點(diǎn)”.乙得到結(jié)論②：“四邊形QEFP的面積為 S”。請(qǐng)判斷甲乙兩位同學(xué)的結(jié)論是否正確，并說明理由.
28.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點(diǎn)P在線段AB上，P從點(diǎn)A開始沿AB邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng).點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q從E點(diǎn)開始，沿EC以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).如果P、Q同時(shí)分別從A、E出發(fā)，寫出出發(fā)時(shí)間t與△BPQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，求出t的取值范圍.
答案解析部分
一、單選題
1.【答案】A
【考點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】∵所有機(jī)會(huì)均等，共有10種結(jié)果，而號(hào)碼小于7的奇數(shù)有1，3，5共3種情況，
∴號(hào)碼為小于7的奇數(shù)的概率為：.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)概率公式即可求出答案.
2.【答案】B
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算，圓錐的計(jì)算
【解析】【分析】圓錐側(cè)面是一個(gè)扇形，扇形的面積公式，代入求值即可。
【解答】設(shè)母線長(zhǎng)為r，圓錐的側(cè)面積 =10π，
∴R=10cm.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了扇形的面積公式求解。
3.【答案】A
【考點(diǎn)】垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 和 中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案為：A.
【分析】由垂徑定理可得AC=BC，用斜邊直角邊定理可證△OAC≌△OBC.根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性質(zhì)可得OC=OA即可求解。
4.【答案】A
【考點(diǎn)】概率公式
【解析】【分析】小明同學(xué)從40張票中隨機(jī)抽取一張為獨(dú)立事件，故抽到任何一個(gè)號(hào)的概率都會(huì).
【點(diǎn)評(píng)】本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)隨機(jī)概率和知識(shí)點(diǎn)的掌握,判斷每個(gè)抽取為獨(dú)立事件為解題關(guān)鍵.
5.【答案】A
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法，概率公式
【解析】
【分析】列舉出所有情況，看兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的情況占總情況的多少即可.
【解答】列表得：
∴一共有9種情況，兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的有一種，
∴兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的概率是
， 故選A.
【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比
6.【答案】D
【考點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A是公共角，
∴當(dāng) 即 時(shí)，△AED∽△ABC，
解得：AE=;
當(dāng) 即時(shí)，△ADE∽△ABC，
解得：AE= ，
∴AE的長(zhǎng)為：或 .
故選D.
【分析】由∠A是公共角，分別從當(dāng) 即 時(shí)，△AED∽△ABC與當(dāng) 即時(shí)，△ADE∽△ABC，去分析求解即可求得答案.
7.【答案】D
【考點(diǎn)】圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠DAB=60°，
∴∠PAD=120°，
又∵∠APD=30°，
∴∠ADP=180°﹣120°﹣30°=30°.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD=120°，得到∠DAB的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ADP的度數(shù).
8.【答案】B
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,3)且圖像經(jīng)過(2，4)
設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-1)2+3
∴a+3=4
解之：a=1
∴拋物線的解析式為：y=(x-1)2+3=x2-2x+4
當(dāng)x=-1時(shí)，y=7，
∴乙說法錯(cuò)誤
故答案為：B
【分析】根據(jù)甲和丙的說法，可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)丁的說法，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,4)，因此設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，就可求出函數(shù)解析式，再對(duì)乙的說法作出判斷，即可得出答案。
9.【答案】B
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9.
故選B.
【分析】由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案.
10.【答案】B
【考點(diǎn)】勾股定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓錐的計(jì)算
【解析】【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，設(shè)該扇形的圓心角為n，
則： = ×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如圖所示：
由題意可知，AB⊥AC，且點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP= =3 cm，
故螞蟻沿線段BP爬行，路程最短，最短的路程是3 cm.
【分析】圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出展開扇形的圓心角的度數(shù)，由題意可知AB⊥AC，且點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，在Rt△ABP中，運(yùn)用勾股定理，求出BP的長(zhǎng)，即可求出螞蟻從B爬到P處的最短距離。
二、填空題
11.【答案】y=x2-1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的幾何變換
【解析】【解答】由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=x2-2向上平移一個(gè)單位后，得以新的拋物線，那么新的拋物線的表達(dá)式是，y=x2-2+1，即y=x2-1.【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減上加下減”即可求解。
12.【答案】
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法，概率公式
【解析】【解答】由樹狀圖
可知共有4×4=16種可能，第一次底面上的數(shù)字能夠整除第二次底面上的數(shù)字的有5種，所以概率是 .
故答案為： .
【分析】列表法與樹狀圖法可以不重不漏的列出所有等可能結(jié)果是16種，再找出符合第一次底面上的數(shù)字能夠整除第二次底面上的數(shù)字的結(jié)果有5種，概率=可能結(jié)果數(shù)比所有情況數(shù)，即是P=
13.【答案】 < <
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【解答】將二次函數(shù)y= +4x﹣5配方得 ，所以拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=﹣2，因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)中，B點(diǎn)離對(duì)稱軸最近，C點(diǎn)離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，所以 < < .
故答案為： < < .
【分析】先將拋物線配成頂點(diǎn)式，，然后根據(jù)拋物線的開口向上，對(duì)稱軸判斷出A、B、C三點(diǎn)中，B點(diǎn)離對(duì)稱軸最近，C點(diǎn)離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，從而得出 y2< y1< y3 .
14.【答案】14(答案不唯一)
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，
∴AC=BD=13，
∵點(diǎn)A在⊙B上，
∴⊙B的半徑為5，
∵如果⊙D與⊙B相交，
∴⊙D的半徑R滿足8
∵點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，
∴R>13，
∴13
∴14符合要求，
故答案為：14(答案不唯一).
【分析】首先求得矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)A在⊙B上得到⊙B的半徑為5，再根據(jù)⊙D與⊙B相交，得到⊙D的半徑R滿足8
15.【答案】30°或60°或150°或300°
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖1，當(dāng)m=30°時(shí)，
BP=BC，△BPC是等腰三角形;
如圖2，當(dāng)m=60°時(shí)，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
如圖3，當(dāng)m=150°時(shí)，
PB=BC，△BPC是等腰三角形;
如圖4，當(dāng)m=300°時(shí)，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
綜上所述，m的值為30°或60°或150°或300°，
故答案為30°或60°或150°或300°.
【分析】分別畫出m=30°或60°或150°或300°時(shí)的圖形，根據(jù)圖形即可得到答案.
16.【答案】0≤k<
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換
【解析】【解答】解：y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1，
∴頂點(diǎn)(2，1)
則將拋物線y=﹣x2+4x﹣3先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的新的拋物線的解析式為：y=(x﹣5)2+4.
∴頂點(diǎn)(5，4)，
把(2，1)代入y=kx+ (k≥0)得，1=2k+ ，
解得k= ，
把(5，4)代入y=kx+ (k≥0)得，4=5k+ ，
解得k= ，
∴直線y=kx+ (k≥0)與圖象M至少有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是0≤k< .
故答案為：0≤k< .
【分析】首先配方得出二次函數(shù)頂點(diǎn)式，求得拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用二次函數(shù)平移規(guī)律得出拋物線C2 ， 求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，把兩點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得.
17.【答案】110°
【考點(diǎn)】圓周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案為：110°.
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠A=100°，再由外角性質(zhì)得∠BDC=70°，再鄰補(bǔ)角的定義即可求得∠ADC的度數(shù).
18.【答案】
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ ，故答案為： .【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例;計(jì)算即可.
19.【答案】58
【考點(diǎn)】圓周角定理
【解析】【解答】解：如圖，連接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°.
答案為58.
【分析】要運(yùn)用圓周角定理，需構(gòu)造出弧所對(duì)的圓心角，因此需連接半徑OB，再利用等腰三角形的內(nèi)角和，求出∠AOB，進(jìn)而求出∠C=58°.
20.【答案】①②③
【考點(diǎn)】三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴FD= AB，
∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴FE= AB，
∴FD=FE，①正確;
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE。
在△AEH和△BEC中，
∵∠AEH=∠CEB,
AE=BE,
∠EAH=∠CBE，
∴△AEH≌△BEC(ASA)，
∴AH=BC=2CD，②正確;
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ ，即BC·AD=AB·BE，
∵ AE2=AB·AE=AB·BE，
∴BC·AD= AE2;③正確;
∵F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF . ④錯(cuò)誤;
故答案為：①②③.
【分析】①△ABE和△ABD都是直角三角形，且點(diǎn)F是斜邊AB上的中點(diǎn)，由斜邊上的中線長(zhǎng)是斜邊的一半可知;
②要證明AH=2CD，則可猜想BC=2CD，AH=BC;要證明BC=2CD，結(jié)合AD⊥BC，則需要證明AB=AC;要證明AH=BC，則需要證明△AEH≌△BEC;
③由AE2=AB·AE=AB·BE，則BC·AD=AE2 ， 可轉(zhuǎn)化為BC·AD=AB·BE，則 ， 那么只需證明△ABD～△BCE即可;
?、苡扇切蔚闹芯€平分三角形的面積，依此推理即可。
三、解答題
21.【答案】解：如圖，連接OB.
∵AD是△ABC的高.
∴BD= BC=6
在Rt△ABD中，AD= = =8.
設(shè)圓的半徑是R.
則OD=8﹣R.
在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理可以得到：R2=36+(8﹣R)2
解得：R= .
【考點(diǎn)】勾股定理，垂徑定理
【解析】【分析】連接OB，根據(jù)垂經(jīng)定理求出BD的長(zhǎng)，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，設(shè)圓的半徑是R，則OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線OB.注意：垂徑定理和勾股定理常常在一起中應(yīng)用.
22.【答案】解：設(shè)銷售單價(jià)為x元，銷售利潤(rùn)為y元.
根據(jù)題意，得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1000-20x)=-20x2+1400x-20000
當(dāng)x= =35時(shí)，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用
【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，根據(jù)總利潤(rùn)=每件日用品的利潤(rùn)×可賣出的件數(shù)，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，利用公式法可得二次函數(shù)的最值.
23.【答案】解：黑球概率近似等于頻率，設(shè)白球有m個(gè)，則解得m=101.11
故袋中的白球大約有101個(gè).
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率
【解析】【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，根據(jù)題中條件求出黑球的頻率，再近似估計(jì)白球數(shù)量.
24.【答案】解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-5，0)，
∴可設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+5)2 ，
∵所求的拋物線與y=- x2+3形狀相同，開口方向相反，
∴a= ，
∴所求拋物線解析式為y= (x+5)2
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，再根據(jù)拋物線的圖像與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線與拋物線y=- x2+3形狀相同，開口方向相反，故得出所求拋物線二次項(xiàng)系數(shù)的值，從而得出答案。
25.【答案】證明：∵EF∥CD， DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ，
即AF：FD=AD：DB.
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例
【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 ， ，推出 即可.
26.【答案】解：∵點(diǎn)B在y軸上，且△AOB是等腰直角三角形，A(﹣2，0)， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)或(0，﹣2)，
根據(jù)題意設(shè)平移后拋物線解析式為y=x2+bx+c，
將(﹣2，0)、(0，2)代入得：
，
解得： ，
∴此時(shí)拋物線解析式為y=x2+3x+2;
將(﹣2，0)、(0，﹣2)代入得：
，
解得： ，
∴此時(shí)拋物線解析式為y=x2+x﹣2，
綜上，平移后拋物線解析式為y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換，等腰直角三角形
【解析】【分析】利用A點(diǎn)坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式.
27.【答案】解:甲和乙的結(jié)論都成立，理由如下：
?、佟咴谄叫兴倪呅蜛BCD中，AD∥BC，
∴△BEQ∽△DAQ，
又∵點(diǎn)P、Q是線段BD的三等分點(diǎn)，
∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，
∵AD=BC，
∴BE：BC=1：2，
∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，即結(jié)論①正確;
?、诤廷偻砜傻命c(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，EF= BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEF= S△CBD= S平行四邊形ABCD= S，
∵S四邊形AECF=S△ACE+S△ACF= S平行四邊形ABCD= S，
∴S△AEF=S四邊形AECF-S△CEF= S，
∵EF∥BD，
∴△AQP∽△AEF，
又∵EF= BD，PQ= BD，
∴QP：EF=2：3，
∴S△AQP= S△AEF= ，
∴S四邊形QEFP=S△AEF-S△AQP= S- = S，即結(jié)論②正確.
綜上所述，甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)論都正確.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】 ① 利用平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理，易證△BEQ∽△DAQ，再由點(diǎn)P、Q是線段BD的三等分點(diǎn)，可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，繼而可證得E是BC中點(diǎn);易證F是CD的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理，可得出EF∥BD，EF= BD，再證明△CEF∽△CBD，利用相似三角形的性質(zhì)，可推出S△CEF= S，S△AEF= S，然后再證明S△AQP= s，根據(jù)S四邊形QEFP=S△AEF-S△AQP ， 可求出結(jié)果，可對(duì) ②作出判斷，即可得出結(jié)論。
28.【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t， ∴S= PB•BQ= PB•(BE+EQ)
= (6﹣t)(6+t)
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18(0≤t<6)
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式
【解析】【分析】△BPQ的面積= BP×BQ，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解，注意得到的相關(guān)線段為非負(fù)數(shù)即可.
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