小升初奧數(shù)知識(shí)點(diǎn):完全平方數(shù)及余數(shù)同余與周期
小升初奧數(shù)知識(shí)點(diǎn):完全平方數(shù)及余數(shù)同余與周期
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小升初奧數(shù)知識(shí)點(diǎn):余數(shù)、同余與周期
一、同余的定義:
?、偃魞蓚€(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同,則稱a、b對(duì)于模m同余。
?、谝阎齻€(gè)整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余,記作a≡b(mod m),讀作a同余于b模m。
二、同余的性質(zhì):
二、同余的性質(zhì):
①自身性:a≡a(mod m);
?、趯?duì)稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);
③傳遞性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);
④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);
?、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m),則an≡bn(mod m);
?、咄缎?若a≡ b(mod m),整數(shù)c,則a×c≡ b×c(mod m×c);
三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí):
?、偃鬉=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b
?、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余數(shù)特征
?、僖粋€(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和,Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、費(fèi)爾馬小定理:如果p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)),a是自然數(shù),且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。
余數(shù)及其應(yīng)用
基本概念:對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0
余數(shù)的性質(zhì):
①余數(shù)小于除數(shù)。
?、谌鬭、b除以c的余數(shù)相同,則c|a-b或c|b-a。
?、踑與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。
?、躠與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。
小升初奧數(shù)知識(shí)點(diǎn):完全平方數(shù)
完全平方數(shù)特征:
1. 末位數(shù)字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。
5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。
6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。
7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。
平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2