高中數(shù)學(xué)向量復(fù)習(xí)
向量是高考的一個(gè)亮點(diǎn),它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體,能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合,形成知識(shí)交匯點(diǎn)。下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享高中數(shù)學(xué)向量復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn),歡迎閱讀。
向量復(fù)習(xí)之概念
在數(shù)學(xué)中,幾何向量(也稱為歐幾里得向量,通常簡(jiǎn)稱向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。與之對(duì)應(yīng)的只有大小,沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量(物理學(xué)中稱標(biāo)量)
向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長(zhǎng)度:代表向量的大小。
向量的記法:印刷體記作粗體的字母(如a、b、u、v),書(shū)寫(xiě)時(shí)在字母頂上加一小箭頭→。如果給定向量的起點(diǎn)(A)和終點(diǎn)(B),可將向量記作AB(并于頂上加→)。給空間設(shè)一直角坐標(biāo)系,也能把向量以數(shù)對(duì)形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
而在物理學(xué)和工程學(xué)中,幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量,比如一個(gè)物體的位移,球撞向墻而對(duì)其施加的力等等。與之相對(duì)的是標(biāo)量,即只有大小而沒(méi)有方向的量。一些與向量有關(guān)的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系,例如向量勢(shì)對(duì)應(yīng)于物理中的勢(shì)能。
幾何向量的概念在線性代數(shù)中經(jīng)由抽象化,得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素,要注意這些抽象意義上的向量不一定以數(shù)對(duì)表示,大小和方向的概念亦不一定適用。因此,平日閱讀時(shí)需按照語(yǔ)境來(lái)區(qū)分文中所說(shuō)的"向量"是哪一種概念。不過(guò),依然可以找出一個(gè)向量空間的基來(lái)設(shè)置坐標(biāo)系,也可以透過(guò)選取恰當(dāng)?shù)亩x,在向量空間上介定范數(shù)和內(nèi)積,這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。
向量復(fù)習(xí)之運(yùn)算
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)。
加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。OB+OA=OC。
a+b=( x+x1 ,y+y1 )。
a+0=0+a=a。
向量加法的運(yùn)算律:
交換律:a+b=b+a;
結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
減法
如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量為0A-OB=BA.即“共同起點(diǎn),指向被減”
a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,則a-b=(x1-x2,y1-y2).
如圖:c=a-b 以b的結(jié)束為起點(diǎn),a的結(jié)束為終點(diǎn)。
加減變換律:a+(-b)=a-b
數(shù)乘
實(shí)數(shù)λ和向量a的叉乘乘積是一個(gè)向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。[1]
當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,方向任意。當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ,都有λa=0。[1]
注:按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。
當(dāng)∣λ∣>1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍
當(dāng)∣λ∣<1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍。
實(shí)數(shù)p和向量a的點(diǎn)乘乘積是一個(gè)數(shù)。
數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數(shù)乘向量的消去律:① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
需要注意的是:向量的加減乘(向量沒(méi)有除法)運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)加減乘運(yùn)算法則。
數(shù)量積
定義:已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作θ并規(guī)定0≤θ≤π
定義:兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量(沒(méi)有方向),記作a·b。若a、b不共線,則 ;若a、b共線,則 。[1]
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示:a·b=x·x'+y·y'。
向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
a·b=b·a(交換律)
(λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(該公式證明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因?yàn)?≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)
向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)
1.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)²≠a²·b²。
2.向量的數(shù)量積不滿足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。
3.|a·b|與|a|·|b|不等價(jià)
4.由 |a|=|b| ,不能推出a=b,也不能推出a=-b,但反過(guò)來(lái)則成立.
向量積
定義:兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量,記作a×b(這里“×”并不是乘號(hào),只是一種表示方法,與“·”不同,也可記做“∧”)。若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b垂直,則∣a×b∣=|a|*|b|(此處與數(shù)量積不同,請(qǐng)注意),若a×b=0,則a、b平行。向量積即兩個(gè)不共線非零向量所在平面的一組法向量
向量復(fù)習(xí)之定理
共線定理
若b≠0,則a//b的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb。
若設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則有x1y2=x2y1。即與平行概念相同x1y2 - x2y1=0
零向量0平行于任何向量。
垂直定理
a⊥b的充要條件是a·b=0,即x1x2+y1y2=0。
分解定理
平面向量分解定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底。
定比分點(diǎn)公式
定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ·向量PP2)
設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn),P是直線上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)任意實(shí)數(shù) λ且λ不等于-1,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有
OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)
我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式
三點(diǎn)共線定理
已知0是AB所在直線外一點(diǎn),若OC=λOA+μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線
證明:∵OC=λOA+(1-λ)OB=λOA-λOB+OB=λBA+OB
∴BO+OC=λBA 即BC=λBA
∴A、B、C三點(diǎn)共線
重心判斷式
在△ABC中,若GA+GB+GC=O,則G為△ABC的重心。
垂心判斷式
在△ABC中,若HA·HB=HB·HC=HC·HA,則H為△ABC的垂心。
內(nèi)心判斷式
在△ABC中,若aIA+bIB+cIC=0,且PI=(aPA+bPB+cPC)/(a+b+c),則I為△ABC的內(nèi)心。
外心判斷式
在△ABC中,若|OA|=|OB|=|OC|,則O為△ABC的外心,
此時(shí)O滿足(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0。