三次數(shù)學(xué)危機(jī)論文
數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)的三次數(shù)學(xué)危機(jī),與其說是“數(shù)學(xué)的危機(jī)”,不如說是“數(shù)學(xué)哲學(xué)的危機(jī)”.下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享三次數(shù)學(xué)危機(jī)論文，歡迎閱讀。
三次數(shù)學(xué)危機(jī)論文篇一
摘要：本文主要通過數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)的產(chǎn)生與消除，針對(duì)它們的本質(zhì)淺談自己的認(rèn)識(shí)，實(shí)際導(dǎo)致這三次危機(jī)原因在與人的認(rèn)識(shí)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對(duì)萬(wàn)物皆數(shù)的誤解，隨著無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，把第一次數(shù)學(xué)危機(jī)度過了。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對(duì)無(wú)窮小的誤解，微積分的出現(xiàn)產(chǎn)生了一種新的方法，即分析方法，分析方法是算和證的結(jié)合。是通過無(wú)窮趨近而確定某一結(jié)果。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，給數(shù)學(xué)界以極大的震動(dòng)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。為了探求其根源和解決難題的途徑，在數(shù)學(xué)界邏輯界進(jìn)行了不懈的探討，提出了一系列解決方案，并在不知不覺中大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展。
關(guān)鍵詞：危機(jī);萬(wàn)物皆數(shù);無(wú)窮小;分析方法;集合
一、前 言
數(shù)學(xué)常常被人們認(rèn)為是自然科學(xué)中發(fā)展得最完善的一門學(xué)科，但在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，卻經(jīng)歷了三次危機(jī)，人們?yōu)榱耸箶?shù)學(xué)向前發(fā)展，從而引入一些新的東西使問題化解，在第一次危機(jī)中導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生;第二次危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)微積分誕生后，無(wú)窮小量的刻畫問題，最后是柯西解決了這個(gè)問題;第三次危機(jī)發(fā)生在19世紀(jì)末，羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學(xué)界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數(shù)學(xué)危機(jī)。本文回顧了數(shù)學(xué)上三次危機(jī)的產(chǎn)生與發(fā)展，并給出了自己對(duì)這三次危機(jī)的看法，最后得出確定性喪失的結(jié)論。
二、數(shù)學(xué)史上的第一次“危機(jī)”
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是發(fā)生在公元前580-568年之間的古希臘。那時(shí)的數(shù)學(xué)正值昌盛，忒被是以畢達(dá)哥拉斯為代表的畢氏學(xué)派對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)進(jìn)行了研究，他們認(rèn)為“萬(wàn)物旨數(shù)”。所謂數(shù)就是指整數(shù)，他們確定數(shù)的目的是企圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理，信條是：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，即世界上只存在整數(shù)與分?jǐn)?shù)，除此之外他們不認(rèn)識(shí)也不承認(rèn)別的數(shù)。在那個(gè)時(shí)期。上述思想是絕對(duì)權(quán)威、是“真理”。但是不久人們發(fā)現(xiàn)即使邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線不是可比數(shù)。這樣畢達(dá)哥拉斯“萬(wàn)物皆數(shù)”是不成立的，絕對(duì)的權(quán)威受到了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)：一方面證明單位正方形對(duì)角線的長(zhǎng)不是整數(shù)分?jǐn)?shù)，按照他們的觀點(diǎn)，這種長(zhǎng)度不是數(shù)!另一方面，他們不承認(rèn)自己的觀點(diǎn)有問題，這就陷入了極大的矛盾之中，這是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
三、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。其實(shí)我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料，阿基米德的逼近法實(shí)際上已經(jīng)掌握了無(wú)限小分析的基本要素，直到很多年后。牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地――微積分。微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中，第一步用了無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法，當(dāng)然無(wú)窮小量不能為零;第二步牛頓又把無(wú)窮小量看作零，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式，在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程卻在邏輯上自相矛盾。直到19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論?？挛髡J(rèn)為把無(wú)窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾。無(wú)窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無(wú)窮小的概念，另外Weistrass創(chuàng)立了極限理論，加上實(shí)數(shù)理論，集合論的建立，從而把無(wú)窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決。
四、數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)
1.悖論的產(chǎn)生及意義
(1)什么是悖論
悖論來自希臘語(yǔ)，意思是“多想一想”。這個(gè)次的意義比較豐富，它包括一切與人的知覺和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論，那些結(jié)論會(huì)使我們驚異無(wú)比。悖論是自相矛盾的命題，即如果承認(rèn)這個(gè)命題成立，就可推出它的否定命題成立;反之，如果承認(rèn)這個(gè)命題的否定命題成立，又可推出原命題成立。如果承認(rèn)它是真的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是假的;如果承認(rèn)它是假的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖論，他們震撼了邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要?jiǎng)?chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
(2)悖論產(chǎn)生的意義
疏忽學(xué)悖論是在數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系發(fā)展到相當(dāng)高的階段才出現(xiàn)的。它是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系可能存在的內(nèi)在矛盾的揭示。雖然暫時(shí)引起人們的思想混亂，對(duì)正常的科學(xué)研究可能會(huì)形成一定的沖擊，但它對(duì)于揭露原有理論體系中的邏輯矛盾，對(duì)于揭露原有理論的缺陷或局限性，對(duì)于這一步深入理解，任何和評(píng)價(jià)原有科學(xué)理念，對(duì)于原有的科學(xué)概念或理論的進(jìn)一步充實(shí)完善和促進(jìn)科學(xué)管理的產(chǎn)生都有相當(dāng)重要的意義，同時(shí)也為科學(xué)研究提供新的課題和研究方向。
2.第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生與解決
(1)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在1902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，號(hào)稱天衣無(wú)縫，絕對(duì)正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。
羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認(rèn)為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實(shí)雖是這樣但原因卻又是什么呢?這是由于R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合的角度就有RR。一個(gè)集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因?yàn)榧纫猂有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應(yīng)該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會(huì)引出最大的這類事物。歸根結(jié)底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實(shí)質(zhì)上，羅素悖論就是一個(gè)以否定形式陳述的最大集合悖論。
(2)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決
羅素的悖論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們就開始為這場(chǎng)危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進(jìn)行這個(gè)工作的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過德國(guó)的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)(即所謂zF公理系統(tǒng))，這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來。
現(xiàn)在，我們通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論，集合是先定義了全集I，空集，在經(jīng)過一系列一元和二元運(yùn)算而得來的。而在七條公理上建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以發(fā)展。
三次數(shù)學(xué)危機(jī)是我們數(shù)學(xué)史發(fā)展中的一個(gè)奠基，他為我們?nèi)蘸蟾敿?xì)、深入的研究數(shù)學(xué)做了很好的鋪墊，我我想以后也許會(huì)有第四次數(shù)學(xué)危機(jī)，但數(shù)學(xué)家也會(huì)把它化解掉，只有出現(xiàn)危機(jī)，才能使我們的數(shù)學(xué)研究達(dá)到更高的境界。
三次數(shù)學(xué)危機(jī)論文篇二
數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，始終與人類社會(huì)的生產(chǎn)和生活有著密不可分的聯(lián)系。在新教材中，任何一個(gè)新概念的引入，都特別強(qiáng)調(diào)它的現(xiàn)實(shí)背景、數(shù)學(xué)理論發(fā)展背景或數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史背景，只有這樣才能讓學(xué)生感到知識(shí)發(fā)展水到渠成。所以特別希望在教學(xué)中能不時(shí)滲透數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)，充分發(fā)揮和利用數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，使學(xué)生通過了解數(shù)學(xué)史，而更加全面更加深刻地理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)。
一、集合論的誕生
一般認(rèn)為，集合論誕生于1873年底。1873年11月29日，康托爾(G.Gsntor，1845-1918)在給戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916)的信中提問“正整數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間能否一一對(duì)應(yīng)起來?”這是一個(gè)導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的大問題。幾天后，康托爾用反證法證明了此問題的否定性結(jié)果，“實(shí)數(shù)是不可數(shù)集”，并將這一結(jié)果以標(biāo)題為《關(guān)于全體實(shí)代數(shù)數(shù)集合的一個(gè)性質(zhì)》的論文發(fā)表在德國(guó)《克萊爾數(shù)學(xué)雜志》上，這是“關(guān)于無(wú)窮集合論的第一篇革命性論文”，在其系列論文中，他首次定義了集合、無(wú)窮集合、導(dǎo)集、序數(shù)、集合運(yùn)算等，康托爾的這篇文章標(biāo)志著集合論的誕生。
二、集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)
康托爾的集合論是數(shù)學(xué)史上最具革命性和創(chuàng)造性的理論，他處理了數(shù)學(xué)上最棘手的對(duì)象——無(wú)窮集合，讓無(wú)數(shù)因“無(wú)窮”而困擾許久的數(shù)學(xué)家們?cè)谶@種神奇的數(shù)學(xué)世界找回了自己的精神家園。它的概念和方法滲透到了代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支，甚至滲透到物理學(xué)等其他自然學(xué)科，為這些學(xué)科提供了奠基的方法。幾乎可以說，沒有集合論的觀點(diǎn)，很難對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)獲得一個(gè)深刻的理解。
集合論誕生的前后20年里，經(jīng)歷千辛萬(wàn)苦，但最終獲得了世界的承認(rèn)，到了20世紀(jì)初，集合論已經(jīng)得到數(shù)學(xué)家們的普遍贊同，大家一致認(rèn)為，一切數(shù)學(xué)成果都可以建立在集合論的基礎(chǔ)之上了，簡(jiǎn)言之，借助集合論的概念，便可以建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，就連集合論誕生之初強(qiáng)烈反對(duì)的著名數(shù)學(xué)家龐加萊(Jules Henri Poincaré，1854-1912)也興高采烈地在1900年的第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣布：“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。今天，我們可以說絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了。”然而，好景不長(zhǎng)，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出，集合論是有漏洞的!如果是這樣，則意味著數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)出現(xiàn)了漏洞，對(duì)數(shù)學(xué)界來說，這將是多么可怕啊!
三、羅素(Bertrand Russell，1872-1970)悖論導(dǎo)致第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
1903年，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素在《數(shù)學(xué)原理》一書上給出一個(gè)悖論，很清楚地表現(xiàn)出集合論的矛盾，從而動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生，史稱“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”。
羅素構(gòu)造了一個(gè)所有不屬于自身(即不包含自身作為元素)的集合R，現(xiàn)在問R是否屬于R?如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不屬于自身，即R不屬于R。另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬于R，這樣，不論任何情況都存在矛盾，這就是有名的羅素悖論(也稱理發(fā)師悖論)。
羅素悖論不僅動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，也波及到了邏輯領(lǐng)域，德國(guó)的著名邏輯學(xué)家弗里茲在他的關(guān)于集合的基礎(chǔ)理論完稿而即將付印時(shí)，收到了羅素關(guān)于這一悖論的信，他立刻發(fā)現(xiàn)，自己忙了很久得出的一系列結(jié)果卻被這條悖論攪得一團(tuán)糟，他只能在自己著作的末尾寫道：“一個(gè)科學(xué)家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時(shí)卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了。”這樣，羅素悖論就影響到了一向被認(rèn)為極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬砷T學(xué)科——數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)。
四、消除悖論，化解危機(jī)
羅素悖論的存在，明確地表示集合論的某些地方是有毛病的，由于20世紀(jì)的數(shù)學(xué)是建立在集合論上的，因此，許多數(shù)學(xué)家開始致力于消除矛盾，化解危機(jī)。數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案，希望能夠通過對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對(duì)集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。
在20世紀(jì)初，大概有兩種方法。一種是1908年由數(shù)學(xué)家策梅洛(Zermelo，Ernst Friedrich Ferdinand，1871～1953)提出的公理化集合論，把原來直觀的集合概念建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)上，對(duì)集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，從而避免悖論的出現(xiàn)，這就是集合論發(fā)展的第二階段：公理化集合。
解鈴還須系鈴人，在此之前，危機(jī)的制造者羅素在他的著作中提出了層次的理論以解決這個(gè)矛盾，又稱分支類型化。不過這個(gè)層次理論十分復(fù)雜，而策梅洛則把這個(gè)方法加以簡(jiǎn)化，提出了“決定性公理(外延公理)、初等集合公理、分離公理組、冪集合公理、并集合公理、選擇公理和無(wú)窮公理”，通過引進(jìn)這七條公理限制排除了一些不適當(dāng)?shù)募?，從而消除了羅素悖論產(chǎn)生的條件。后來，策梅洛的公理系統(tǒng)又經(jīng)其他人，特別是弗蘭克爾(A.A.Fraenkel)和斯科倫(T.Skolem)的修正和補(bǔ)充，成為現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)的“策梅洛——弗蘭克爾公理系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱ZF系統(tǒng))”，這樣，數(shù)學(xué)又回到嚴(yán)謹(jǐn)和無(wú)矛盾的領(lǐng)域，而且更促使一門新的數(shù)學(xué)分支——《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》迅速發(fā)展。
五、危機(jī)的啟示
從康托爾集合論的提出至今，時(shí)間已經(jīng)過去了一百多年，數(shù)學(xué)又發(fā)生了巨大的變化，而這一切都與康托爾的開拓性工作密不可分，也和數(shù)學(xué)家們的艱辛努力密不可分。從危機(jī)的產(chǎn)生到解決，我們可以看到，數(shù)學(xué)的發(fā)展跟提出問題和面對(duì)困難是離不開的，期間要經(jīng)歷無(wú)數(shù)的挫折和失敗，但是只要堅(jiān)持，終會(huì)走向成功。
矛盾的消除，危機(jī)的化解，往往給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容，新的變化，甚至革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭(zhēng)是事物發(fā)展的歷史性動(dòng)力的基本原理。正如數(shù)學(xué)家克萊因(FelixChristianKlein1849-1925)在《數(shù)學(xué)——確定性喪失》中說：“與未來的數(shù)學(xué)相關(guān)的不確定性和可疑，將取代過去的確定性和自滿，雖然這次悖論已經(jīng)找到解釋，危機(jī)也已化解，但是更多的還是未知，因?yàn)橹灰屑?xì)分析，矛盾又將會(huì)被認(rèn)識(shí)更為深刻的研究者發(fā)現(xiàn)，這種發(fā)現(xiàn)不應(yīng)該被認(rèn)為是‘危機(jī)’，而應(yīng)該感到，下一個(gè)突破的機(jī)會(huì)來到了。”
參考文獻(xiàn)：
1.《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書——數(shù)學(xué)必修1》教師教學(xué)用，人民教育出版社
2.胡作玄，《第三次數(shù)學(xué)危機(jī)》
三次數(shù)學(xué)危機(jī)論文篇三
中華人民共和國(guó)的誕生，為中國(guó)數(shù)千年的文明史揭開了新的篇章，我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的研究出現(xiàn)了生機(jī)勃勃的景象，以下是小編搜集的一篇關(guān)于三次數(shù)學(xué)危機(jī)探討的論文范文，供大家閱讀參考，
從我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展看三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
1 引言
數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，比如正與負(fù)、加法與減法、微分與積分、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。但是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無(wú)窮，連續(xù)與離散，乃至存在與構(gòu)造，邏輯與直觀，具體對(duì)象與抽象對(duì)象，概念與計(jì)算等等。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。而在矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭(zhēng)的歷史，斗爭(zhēng)的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。
2 三次數(shù)學(xué)危機(jī)
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在古希臘，源于畢達(dá)哥拉斯的以數(shù)為基礎(chǔ)的宇宙模型和數(shù)是可公度的信條。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，事物的本質(zhì)是由數(shù)構(gòu)成的，并以數(shù)為基礎(chǔ)，構(gòu)造了宇宙模型[1].在畢達(dá)哥拉斯看來，數(shù)就是整數(shù)或整數(shù)之比。但這一信條后來遇到了困難。因?yàn)橛行?shù)是不可公度的。這一矛盾，導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯關(guān)于數(shù)的信條的破產(chǎn)，并進(jìn)一步導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯以數(shù)為基礎(chǔ)的宇宙模型的破產(chǎn)。這在當(dāng)時(shí)產(chǎn)生的震動(dòng)太大了，因此歷史上稱之為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
17、18世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭(zhēng)論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)[2].在17世紀(jì)晚期，形成了微積分學(xué)。牛頓和萊布尼茨被公認(rèn)為微積分的奠基者。他們的功績(jī)主要在于把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微積分，有明確的計(jì)算步驟，微分法和積分法互為逆運(yùn)算[3].由于新誕生的微積分方法中隱含著邏輯推理上的嚴(yán)重缺陷，導(dǎo)致了無(wú)窮小悖論[4].當(dāng)時(shí)牛頓等人不能自圓其說，而且，其后一百年間的數(shù)學(xué)家也未能有力的回答貝克萊的質(zhì)問，由此而引起數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，造成第二次數(shù)學(xué)危機(jī).
19世紀(jì)末分析嚴(yán)格化的最高成就--集合論，似乎給數(shù)學(xué)家們帶來了一勞永逸擺脫基礎(chǔ)危機(jī)的希望。龐加萊甚至在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上宣稱：現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了![5]但就在第二年，一場(chǎng)搖撼整個(gè)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的暴風(fēng)雨來臨了，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素以一個(gè)簡(jiǎn)單明了的集合論悖論打破了人們的上述希望，引起了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的新爭(zhēng)論。他把關(guān)于集合論的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來。
它和其它一些集合論悖論一樣，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響是十分深刻、巨大的，甚至可以說是動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，并導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
3 從我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展看三次數(shù)學(xué)危機(jī)
中華人民共和國(guó)的誕生，為中國(guó)數(shù)千年的文明史揭開了新的篇章，我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的研究出現(xiàn)了生機(jī)勃勃的景象，這是我們國(guó)家社會(huì)主義建設(shè)的需要，也是我們黨和國(guó)家非常重視科學(xué)技術(shù)的結(jié)果，
數(shù)學(xué)論文《從我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展看三次數(shù)學(xué)危機(jī)。中國(guó)科學(xué)院于1950年開始籌建數(shù)學(xué)研究所，1952年正式成立。全國(guó)各高等院校普遍設(shè)置了數(shù)學(xué)系，《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》和《數(shù)學(xué)通報(bào)》復(fù)刊。1958年~1960年的大躍進(jìn)時(shí)期，在極左思潮影響下，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論研究受到很大沖擊，積極的一面是明確了向世界先進(jìn)水平看齊的奮斗目標(biāo)，也重視理論聯(lián)系實(shí)際，線性規(guī)劃得到大力推廣并創(chuàng)造了切實(shí)可行的圖上作業(yè)法,運(yùn)籌學(xué)由此在我國(guó)發(fā)展起來。在發(fā)展我國(guó)高科技過程中，例如1965年9月17日，我國(guó)科學(xué)工作者在世界上首次用人工方法合成結(jié)晶牛胰島素。
我們不能不承認(rèn)，數(shù)學(xué)對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活的影晌正在與日俱增。許多學(xué)科都在悄悄地經(jīng)歷著一場(chǎng)數(shù)學(xué)化的進(jìn)程?，F(xiàn)在，已經(jīng)沒有哪個(gè)領(lǐng)域能夠抵御得住數(shù)學(xué)方法的滲透。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)加以普及，使得數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的工作能對(duì)現(xiàn)實(shí)生活產(chǎn)生應(yīng)有的積極影響，這已成為人們?nèi)找嬷匾暤恼n題。
4 總結(jié)
綜上所述三次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展影響是巨大的。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)中產(chǎn)生的歐幾里德幾何對(duì)樹立天文學(xué)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使古希臘數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)生了根本性的變化，使古希臘的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)轉(zhuǎn)向幾何。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義;阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開及求和;柯西指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都是變量，并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分;狄利克雷給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義;美國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家羅賓遜又利用無(wú)窮小量引進(jìn)超實(shí)數(shù)的概念，建立了非標(biāo)準(zhǔn)分析，同樣也能精確的描述微積分，解決無(wú)窮小悖論。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)建立了實(shí)數(shù)理論，且在此基礎(chǔ)上建立了極限的基本定理，使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上，康托爾創(chuàng)立了集合論。而且還產(chǎn)生了公理化方法論和數(shù)理邏輯等一批新穎學(xué)科。我國(guó)以至世界各國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展也都依賴于三次數(shù)學(xué)危機(jī)中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)的新內(nèi)容。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個(gè)層層深入、層層遞進(jìn)的過程。
參考文獻(xiàn)：
[1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室著.現(xiàn)代數(shù)學(xué)概論[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]張光遠(yuǎn).現(xiàn)代化知識(shí)文庫(kù)：二十世紀(jì)數(shù)學(xué)史話[M].知識(shí)出版社，1984.2
[3]袁小明.數(shù)學(xué)史話[M].山東教育出版社，1985.
[4]于寅.近代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].華中理工大學(xué)出版社，1999.3.
[5]王浩.數(shù)理邏輯通俗講話[M].北京：科學(xué)出版社，1991.
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