初中數(shù)學(xué)幾何題解題技巧
初中數(shù)學(xué)幾何題解題技巧
立體幾何是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn),而且在中考中立體幾何屬于必考點(diǎn),通常在一個(gè)題目中會(huì)包含多個(gè)立體幾何的考查點(diǎn),掌握立體幾何解題技巧至關(guān)重要。接下來(lái)學(xué)習(xí)啦小編為你整理了初中數(shù)學(xué)幾何題解題技巧，一起來(lái)看看吧。
初中數(shù)學(xué)幾何題解題技巧一.添輔助線有二種情況
1按定義添輔助線：
如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們,相交后證交角為90°;證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍;證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。
2按基本圖形添輔助線：
每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”!這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：
(1)平行線是個(gè)基本圖形：
當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線
(2)等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：
當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：
出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線;出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形
出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。
(5)三角形中位線基本圖形
幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形;當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形;當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。
(6)全等三角形：
全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等;如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以添加軸對(duì)稱形全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線
(7)相似三角形：
相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線型，旋轉(zhuǎn)型;當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)(中點(diǎn)可看成比為1)可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。
(8)特殊角直角三角形
當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2;30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進(jìn)行證明
(9)半圓上的圓周角
出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角;出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦---直徑;平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。
初中數(shù)學(xué)幾何題解題技巧二.基本圖形的輔助線的畫法
1.三角形問(wèn)題添加輔助線方法
方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。 方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。
方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。
方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于
第一條線段，而另一部分等于第二條線段。
2.平行四邊形中常用輔助線的添法
平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：
(1)連對(duì)角線或平移對(duì)角線：
(2)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形
(3)連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線
(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。
(5)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.
3.梯形中常用輔助線的添法
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：
(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。
(2)梯形外平移一腰
(3)梯形內(nèi)平移兩腰
(4)延長(zhǎng)兩腰
(5)過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高
(6)平移對(duì)角線
(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。
(8)過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。
(9)作中位線
當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
4.圓中常用輔助線的添法
在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。
(1)見(jiàn)弦作弦心距
有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑)，通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。
(2)見(jiàn)直徑作圓周角
在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。
(3)見(jiàn)切線作半徑
命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。
(4)兩圓相切作公切線
對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。
(5)兩圓相交作公共弦
對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。
初中幾何常見(jiàn)輔助線作法歌訣匯編
人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添?把握定理和概念。
還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。
要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。 梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。 證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。 直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。 半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。 切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。 弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。 弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。 還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。 內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。 要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。 假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。 解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。 分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。
幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線;知中點(diǎn)、作中線，中線處長(zhǎng)加倍看; 底角倍半角分線，有時(shí)也作處長(zhǎng)線;線段和差及倍分，延長(zhǎng)截取證全等; 公共角、公共邊，隱含條件須挖掘;全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊; 中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦;四邊形、對(duì)角線，比例相似平行線; 梯形問(wèn)題好解決，平移腰、作高線;兩腰處長(zhǎng)義一點(diǎn)，亦可平移對(duì)角線; 正余弦、正余切，有了直角就方便;特殊角、特殊邊，作出垂線就解決;
實(shí)際問(wèn)題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙;圓中問(wèn)題也不難，下面我們慢慢談; 弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連;切點(diǎn)圓心緊相連，切線常把半徑添; 兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦;切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線; 基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解;以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便。
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