高中數(shù)學(xué)幾何論文(2)
高中數(shù)學(xué)幾何論文
高中數(shù)學(xué)幾何論文篇三
摘 要：幾何概型是高中新課程人教A版《必修3》第三章概率部分的一個(gè)新增內(nèi)容，也是概率這一部分的一個(gè)難點(diǎn)，高考中選擇、填空題會(huì)有所涉及。本文就筆者在教學(xué)中遇到的一些問(wèn)題和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了歸納和整理以期和大家一探討和幫助學(xué)生理解 并靈活應(yīng)用幾何概型去解決相關(guān)問(wèn)題。
關(guān)鍵詞：點(diǎn)分布;找測(cè)度;幾何概型;轉(zhuǎn)化;平面區(qū)域
中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661(2014)09-172-03
幾何概型是高中新課程人教A版《必修3》第三章概率部分的一個(gè)新增內(nèi)容，也是概率這一部分的一個(gè)難點(diǎn)，高考中選擇、填空題會(huì)有所涉及。學(xué)生對(duì)明顯是點(diǎn)分布的幾何概型問(wèn)題較容易理解，然而，有些幾何概型的問(wèn)題，既不容易分辯出屬于幾何概率模型，也難發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的構(gòu)成區(qū)域，但仔細(xì)研究此類(lèi)問(wèn)題后，我們可以發(fā)現(xiàn)一些解題的規(guī)律。本文就筆者在教學(xué)中遇到的一些問(wèn)題和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了歸納和整理以期和大家一起探討和幫助學(xué)生理解并靈活應(yīng)用幾何概型去解決相關(guān)問(wèn)題，主要還是得從以下幾個(gè)方面去把握。
一、教學(xué)的背景
“幾何概型”這一節(jié)內(nèi)容是安排在“古典概型”之后的第二類(lèi)概率模型，是對(duì)古典概型內(nèi)容的進(jìn)一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無(wú)限的延伸。此節(jié)內(nèi)容是為更廣泛地滿足隨機(jī)模擬的需要而在新課本中增加的，這是與以往教材安排上的最大的不同之處。這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密關(guān)系，來(lái)源生活，而又高于生活。同時(shí)也暗示了它在概率論中的重要作用，在高考中的題型的轉(zhuǎn)變。筆者根據(jù)所教學(xué)生的狀況及新課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)科指導(dǎo)意見(jiàn)的要求，對(duì)教材作了一些處理并盡可能選用與日常生活息息相關(guān)的例子。對(duì)于概念，主要讓學(xué)生學(xué)會(huì)幾何概型與古典概型的比較;立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，掌握好典型例題;注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何概型。具體有以下一些整理。
二、概念的理解
1、高中新課程人教A版《必修3》中P136對(duì)幾何概型是這樣定義的：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型，計(jì)算公式如下：
而在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，這一概念不如索性這樣去定義更為合適與明了：
一般地，在幾何區(qū)域 中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域 內(nèi)”為事件 ，則事件 發(fā)生的概率 .
說(shuō)明：(1) 的測(cè)度不為 ;
(2)其中"測(cè)度"的意義依 確定，當(dāng) 分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的"測(cè)度"分別是長(zhǎng)度，面積和體積;同時(shí)還有可能是角度，在后面的例題中筆者會(huì)進(jìn)一步舉例說(shuō)明這一點(diǎn)。
(3)在區(qū)域 內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無(wú)關(guān).
2、與古典概型相比較：
(1)不同點(diǎn)：在一次試驗(yàn)中，幾何概型中所有可能的結(jié)果有無(wú)限個(gè);
(2)相同點(diǎn)：每一種結(jié)果發(fā)生的可能性相等。
三、典題的分析
1、測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型
例1：某公共汽車(chē)站每隔15分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá)，并且出發(fā)前在車(chē)站?？?分鐘(已知停靠的3分鐘包含在15分鐘之內(nèi))。乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車(chē)站后能立即上車(chē)的概率?
解析：此題可把時(shí)間等價(jià)成刻度為[0，15]的線段上的點(diǎn)，則幾何區(qū)域 的測(cè)度為15， 乘客到達(dá)車(chē)站后能立即上車(chē)的區(qū)域?yàn)榫€段[12，15]上的點(diǎn)，則區(qū)域 的測(cè)度為3，故p=
變式1：求乘客到站候車(chē)時(shí)間大于10分鐘的概率.
解析：設(shè)上輛車(chē)于時(shí)刻A離開(kāi)，而下一輛車(chē)于時(shí)刻B到達(dá)，時(shí)刻C出發(fā)。線段AC的長(zhǎng)度為15即D的測(cè)度;設(shè)P是線段AB上的點(diǎn)，且BC=3，PB=10，如圖1所示， 記候車(chē)時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻落在線段AP(AP=2即d的測(cè)度)上時(shí)，事件A發(fā)生，所
以 = A P B C
答：乘客到站候車(chē)時(shí)間大于10 分鐘的概率是2/15。
變式2：求乘客到站候車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率.
解析：此題即為變式1的對(duì)立事件，故乘客到站候車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率P=1-
例2：在等腰直角三角形 中，在斜邊 上任取一點(diǎn) ，求 小于 的概率.
解析：點(diǎn) 隨機(jī)地落在線段 上，故線段 為區(qū)域 .當(dāng)點(diǎn) 位于圖2中線段 內(nèi)時(shí)， ，故線段 即為區(qū)域 .
在 上截取 .于是
.
變式1：在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM 解析：本題把射線等價(jià)于圓弧AB(以C為圓心)上的點(diǎn)，符合幾何概型，因?yàn)檫@時(shí)射線CM可看作在 內(nèi)是等可能分布的。如圖3，在AB上截取 ，則 ，則區(qū)域D為弧AB，區(qū)域d為弧AD，則p=
變式2：
變式3：
(參考答案： 提示：變式2中區(qū)域D為線段BC;變式3中區(qū)域D為角度CAB)
評(píng)注：例1中的一個(gè)時(shí)刻是一元問(wèn)題，相當(dāng)于坐標(biāo)中的一維，基本上都可等價(jià)到特定線段上的點(diǎn)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何中的線段長(zhǎng)度之比;例2中的一條射線，也是一元，但我們?yōu)槭裁床坏葍r(jià)到線段上的點(diǎn)，而是等價(jià)到了弧上的點(diǎn)，那是因?yàn)榈葍r(jià)到線段上的點(diǎn)破壞了等可能性(因?yàn)橥染€段長(zhǎng)射線掃過(guò)的區(qū)域不同，但同等弧長(zhǎng)射線掃過(guò)的區(qū)域相同)，而變式1和3中更是進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成了角度之比。故我們?cè)诘葍r(jià)的過(guò)程中不僅要注意要一一對(duì)應(yīng)，而且還需考慮符合幾何概型的等可能性，這樣就易理解易解決了。
2、測(cè)度為面積的幾何概型
例3：假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30―7：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親 離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00―8：00之間，問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?
解析：以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)(D)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分(d)， 就表示父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙，即時(shí)間A發(fā)生，所以
變式1：甲、乙兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等另一人20分鐘，過(guò)時(shí)就可離去，試求這兩人能會(huì)面的概率.
解析：把兩人到達(dá)的時(shí)間等價(jià)于平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，符合幾何概型。以x，y表示兩人到達(dá)時(shí)刻，則會(huì)面的充要條件為 如圖3，區(qū)域D為正方形，區(qū)域d為陰影部分，則兩人能會(huì)面的概率
變式2：上例其他不變，但甲等乙20分鐘，乙等甲只等15分鐘，則概率如何?
解析：實(shí)質(zhì)是 改為
變式3：上例其他不變，但不巧甲那天的手表慢了15分鐘，則概率如何?
解析：實(shí)質(zhì)是 改為
例4：如圖6，假設(shè)你在這個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，計(jì)算它落到陰影部分的概率.
P=陰影部分三角形的面積/圓的面積=
評(píng)注：在例3中涉及到兩個(gè)時(shí)間，一般情況下都可等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)內(nèi)的二維點(diǎn)集即轉(zhuǎn)化為相應(yīng)區(qū)域的面積之比;也就是線性規(guī)劃問(wèn)題。題目的意思簡(jiǎn)單明了，但如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來(lái)求解卻比較困難. 需要我們先從實(shí)際問(wèn)題中分析得到存在的兩個(gè)變量，如此題中兩人到達(dá)的時(shí)間都是隨機(jī)的，設(shè)為兩個(gè)變量. 然后把這兩個(gè)變量所滿足的條件寫(xiě)成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把兩個(gè)集合用平面區(qū)域表示，特別注意不等式所表示區(qū)域. 我們發(fā)現(xiàn)，要表示二元一次不等式 的平面區(qū)域，按兩步解決：
(1)作出直線 ;(2)取一特殊點(diǎn)驗(yàn)證，直線的哪側(cè)符合不等式，則哪側(cè)就是所表示區(qū)域. 準(zhǔn)確得到隨機(jī)事件的構(gòu)成區(qū)域后，根據(jù)幾何概型的概率公式，易求得概率.
根據(jù)以上的解法和分析，我們把此類(lèi)疑難問(wèn)題的解決總結(jié)為以下四步：
(1)構(gòu)設(shè)變量. 從問(wèn)題情景中，發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)量是隨機(jī)的，從而構(gòu)設(shè)為變量x、y.
(2)集合表示. 用 表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則可用相應(yīng)的集合分別表示出試驗(yàn)全部結(jié)果Ω和事件A所包含試驗(yàn)結(jié)果. 一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)集合都是幾個(gè)二元一次不等式的交集.
(3)作出區(qū)域. 把以上集合所表示的平面區(qū)域作出，先作不等式對(duì)應(yīng)的直線，然后取一特殊點(diǎn)驗(yàn)證哪側(cè)是符合條件的區(qū)域.
(4)計(jì)算求解. 根據(jù)幾何概型的公式，易從平面圖形中兩個(gè)面積的比求得.
在以上四步中，第二步和第三步是解答的關(guān)鍵，通過(guò)這兩步，可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的幾何圖形. 第三步的作圖需理解其原理.
而例4中將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了平面圖形內(nèi)的點(diǎn)的分布問(wèn)題，也就是陰影部分三角形的面積/圓的面積。
3.測(cè)度為體積的幾何概型
例5：在正方體 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)E，則點(diǎn)E落在四棱錐O-ABCD(O是正方體對(duì)角線的交點(diǎn))內(nèi)的概率是多少?
解析：P(E落在四棱錐O-ABCD內(nèi))=
例6：在單位長(zhǎng)度為1的線段AB上任取三點(diǎn)C，D，E，求AC，AD，AE能構(gòu)成三角形的概率.
解析：本題可轉(zhuǎn)化為在[0，1]上分別取三個(gè)數(shù)，求使得任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)的概率。
而在[0，1]上分別取三個(gè)數(shù)等價(jià)于空間直角坐標(biāo)系的一點(diǎn)(x，y，z)， 使得任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)即 ，分析可得，如圖7，區(qū)域D為邊長(zhǎng)為1的正方體AG，區(qū)域d為六面體DBEGF，故p=
評(píng)注：例6涉及三數(shù)，即三元(三維)問(wèn)題，
可與空間坐標(biāo)一一對(duì)，一般情況下三元可
以向空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)化進(jìn)而轉(zhuǎn)化為體積之比問(wèn)題。
4、幾何概型的拓展應(yīng)用
例7： 。
解析：這里D的測(cè)度即區(qū)間 的長(zhǎng)度，d的測(cè)度即區(qū)間 的長(zhǎng)度，所以P=1/2
例8：一枚半徑為1的硬幣隨機(jī)落在邊長(zhǎng)為3的正方形所在的平面內(nèi)，且硬幣一定落在正方形內(nèi)或與正方形有交點(diǎn)，求硬幣與正方形沒(méi)有公共點(diǎn)的概率。
解析：如圖8，ABCD為已知正方形外且與已知正方形四邊距離均為1的正方形， 是在已知正方形內(nèi)部且與已知正方形四邊距離均為1的正方形。當(dāng)硬幣的圓心落在正方形ABCD內(nèi)(除A、B、C、D這四個(gè)頂點(diǎn))時(shí)，就能保證硬幣一定落在已知正方形四邊內(nèi)或與已知正方形有公共點(diǎn)
而當(dāng)硬幣的圓心落在正方形 內(nèi)時(shí)，
硬幣與已知正方形沒(méi)有公共點(diǎn)，所以：
d的測(cè)度= ，故所求的概率 。
變式：設(shè)有一個(gè)由許多個(gè)小正三角形構(gòu)成的正三角形網(wǎng)格，其中每個(gè)小正三角形的邊長(zhǎng)都等于6cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線有公共點(diǎn)的概率。
解析：此題即將正方形轉(zhuǎn)化成了正三角形，解法不變;參考答案：
例9：(2007寧夏高考)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程
(I) 若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)， b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率;
(Ⅱ)若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個(gè)數(shù)， b是從區(qū)間[0，2] 任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率;
解析：(1)是古典概率，故
(2)是幾何概型：見(jiàn)(圖9)設(shè)事件A：“方程 有實(shí)根”.當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程有實(shí)根的等價(jià)條件為 ;
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?/p>
所以所求的概率為
評(píng)注：對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要建立模型，找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型問(wèn)題，利用幾何概型的概率公式求解.
四、教學(xué)的反思
《浙江省普通高中新課程實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)》中對(duì)于幾何概型是這樣要求的：1.通過(guò)實(shí)例，初步體會(huì)幾何概型的意義;2.了解隨機(jī)均勻數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程;3.通過(guò)實(shí)例，初步體會(huì)運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率;4.結(jié)合實(shí)例和閱讀材料，了解人類(lèi)認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程，并且說(shuō)明本節(jié)學(xué)習(xí)重在了解，不必補(bǔ)充復(fù)雜的問(wèn)題，鑒于此說(shuō)明筆者對(duì)教學(xué)中遇到的幾何概型問(wèn)題做了如上這些整理，大致可以把高中數(shù)學(xué)中的幾何概率問(wèn)題解法歸納為：
1、適當(dāng)選擇觀察角度，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解;2.把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域D;3.把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域d;4.利用幾何概型概率公式計(jì)算。其中最關(guān)鍵的就是適當(dāng)選擇觀察角度，長(zhǎng)度，面積和體積有時(shí)甚至是角度，而抓住題中關(guān)鍵的語(yǔ)句就是找到正確角度的突破口。同時(shí)鑒于學(xué)科指導(dǎo)意見(jiàn)，我們?cè)诮虒W(xué)中也要注意不必補(bǔ)充復(fù)雜的問(wèn)題，以免走入教學(xué)的誤區(qū)，增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，畢竟高中階段對(duì)于幾何概型的要求并不高。
在教學(xué)的過(guò)程中注重體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的理念，注意學(xué)生的邏輯思維要從經(jīng)驗(yàn)型向理論型轉(zhuǎn)化，進(jìn)而從感性認(rèn)識(shí)能動(dòng)地躍進(jìn)到理性認(rèn)識(shí)又要從理性認(rèn)識(shí)能動(dòng)地指導(dǎo)實(shí)踐，使得學(xué)生在更高的層次理解問(wèn)題。在理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和外延的同時(shí)，讓學(xué)生在知識(shí)技能，過(guò)程和方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。
參考文獻(xiàn)：
[1] 錢(qián)衛(wèi)娣.隱性幾何概型三招致勝.實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán).西南師范大學(xué)出版社.2008.11.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.
[2] 浙江省普通高中新課程實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn).
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