數(shù)學論文導數(shù)及應用范文

　　導數(shù)的幾何意義伴隨著導數(shù)進入高中數(shù)學教材后，給函數(shù)圖象及性質(zhì)的研究開辟了一條新的途徑.下面是學習啦小編為你整理的數(shù)學論文導數(shù)及應用，一起來看看吧。

　　數(shù)學論文導數(shù)及應用篇一

　　一. 利用導數(shù)的幾何意義求光滑曲線切線的斜率

　　函數(shù)y=f(x)在點的導數(shù) 表示曲線y=f(x)在點 處切線的斜率,這就是導數(shù)的幾何意義。我們通過例題看一下,如何利用導數(shù)的幾何意義求光滑曲線切線的斜率。

　　例題1 求曲線y=x2在點(1,1)處切線的方程。

　　解:由導函數(shù)定義

　　應用點斜式方程,可得曲線在(1,1)處的切線方程:y-1=2(x-1)

　　即2x-y-1=0 .

　　二. 利用導數(shù)的物理意義求瞬時速度、加速度、電流強度等。

　　導數(shù)的物理意義沒有統(tǒng)一的解釋,對于不同的物理量,導數(shù)有不同的物理意義。例如,變速直線運動路程函數(shù)S對時間t的導數(shù) 就是瞬時速度;瞬時速度V對時間t的導數(shù) 就是加速度;通過導體某截面的電量Q對時間t的導數(shù) 就是電流強度。下面我們看一個具體的例題。

　　例題2 已知物體的運動規(guī)律為s=t3(米) ,求這個物體在t=2秒時的速度。

　　解:有導函數(shù)的定義

　　有運動物體運動路程對時間的物理意義可知

　　將t=2,帶入上式,得

　　三. 利用導數(shù)的符號判別函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性及利用導數(shù)證明不等式

　　導數(shù)是對函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展,導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要工具,廣泛運用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢及證明不等式等方面。具體例題如下:

　　例題3 討論函數(shù) 的單調(diào)性。

　　解: ,當x>0時, >0 ;當x<0時, <0 .函數(shù)的定義域為 ,因為在 內(nèi) <0,所以函數(shù) 在 上單調(diào)減少;因為在 內(nèi) >0,所以函數(shù) 在 上單調(diào)增加。

　　例題4 證明當x>0時,

　　解:設 則 , 在x=0時為零,在 內(nèi)均大于零,故函數(shù) 在 上單調(diào)增加,對于任何x>0,有 .即

　　所以

　　四. 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

　　根據(jù)導數(shù)在駐點兩側(cè)的符號,可以判斷函數(shù)在該駐點是極大值還是極小值。需要注意的是極值點可能是駐點,也可能是導數(shù)不存在的點。下面我們看一個有駐點求極值的例題:

　　例題5 求函數(shù) 的極值 .

　　解:這個函數(shù)的定義域為

　　令 =0,求得駐點

　　在 內(nèi), >0 ;在(1,3)內(nèi), <0;在 內(nèi), >0.由此可知,

　　五. 利用導數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的最大值和最小值。

　　人們做任何事情,小到日常用具的制作,大至生產(chǎn)科研和各類經(jīng)營活動,都要講究效率,考慮怎樣以最小的投入得到最大的產(chǎn)出,這類問題在數(shù)學上往往可以歸納為求某一函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最大與最小值的問題。

　　例6、把長度為16cm的線段分成兩段,各圍成一個正方形,它們的面積之和的最小值為多少?

　　解:設一段長為xcm,則另一段長(16-x)cm.

　　∴面積和

　　∴S′= -2,令S′=0有x=8.

　　在 內(nèi), <0 ;在(8,16)內(nèi), >0 .

　　∴當x=8時,S有最小值8cm2.

　　數(shù)學論文導數(shù)及應用篇二

　　摘 要： 微分中值定理和導數(shù)應用是微積分課程的重要組成部分和微分學的核心內(nèi)容之一，同時它也是微積分課程教學的重點和難點問題.本文就如何做好這部分的教學做了研究與探討.

　　關鍵詞： 微分中值定理 導數(shù)應用 微積分課程教學

　　微分中值定理和導數(shù)應用在微積分課程中具有重要的地位與作用.微分中值定理是聯(lián)系函數(shù)和導數(shù)的橋梁，它是導數(shù)應用的理論基礎和前提.導數(shù)應用是導數(shù)作用的具體體現(xiàn)，是利用導數(shù)解決實際問題和最優(yōu)化理論應用的基礎.下面我就微分中值定理和導數(shù)應用的相關教學問題談談思考.

　　一、微分中值定理的教學思考

　　微分中值定理是這章的開頭部分，其作用和地位顯而易見.這部分教學主要講清以下兩個問題，第一個問題是要講清為什么要講這部分內(nèi)容，也就是其重要性.從教材內(nèi)容上看，前面我們已經(jīng)講解了導數(shù)及微分，讓學生明白了導數(shù)及微分的重要性，但沒有講解究竟如何應用導數(shù)的問題，因此有必要進一步加強研究導數(shù)的應用，而微分中值定理是導數(shù)應用的理論支撐，它是后面研究函數(shù)的極限、單調(diào)性、凹凸性、最值等的基礎.從微積分產(chǎn)生的歷史來看，微積分的產(chǎn)生可以歸結(jié)為四大問題，其中之一為函數(shù)的最值問題，而解決函數(shù)最值問題的理論前提和基礎就是微分中值定理.第二個問題就是要講清羅爾定理、拉格朗日定理和柯西中值定理這三個定理內(nèi)容及相互間的聯(lián)系.這三個定理在條件和結(jié)論上都有很大的相似性，它們之間有很密切的內(nèi)在聯(lián)系.為了方便敘述，我們簡單地羅列一下內(nèi)容.羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導;(3)在區(qū)間端點處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0.拉格朗日定理：如果函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導;(3)對任一x∈(a，b)，F(xiàn)′(x)≠0，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ∈(a，b)，使得[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f′(ξ)/F′(ξ).從條件上看，三個定理都有閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)和開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導的共性條件.從結(jié)論上來看，它們都是通過導數(shù)聯(lián)系函數(shù)增量與自變量的關系.那么條件和結(jié)論如何聯(lián)系的呢?我們可以按照如下方式進行分析.羅爾定理條件(1)表明f(x)對應的曲線在閉區(qū)間[a，b]上是不間斷的，條件(2)表明曲線在開區(qū)間(a，b)內(nèi)光滑.條件(3)表明曲線在閉區(qū)間[a，b]上的平均變化率即[f(b)-f(a)]/(b-a)為0.結(jié)論表明f(x)對應的曲線在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有平行于兩端點連線的切線或者在某點的切線的斜率等于f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的平均變化率為0.拉格朗日中值定理條件與羅爾定理條件(1)(2)一樣，結(jié)論表明f(x)對應的曲線在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有平行于兩端點連線的切線或者在某點的切線的斜率等于f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的平均變化率為[f(b)-f(a)]/(b-a).柯西中值定理與拉格朗日中值定理類似，只不過要通過其中兩個函數(shù)的關系看出參數(shù)方程的形式而已.從條件和結(jié)論可以看出三個定理的密切相關性，也可以從定理的證明看出它們之間的關系.在講條件和結(jié)論關系時，要注意強調(diào)條件是結(jié)論成立的必要條件而非充分條件.

　　二、導數(shù)應用的教學思考

　　導數(shù)應用的內(nèi)容豐富，在這里我們主要講羅比達法則、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值及最值等方面.

　　1.關于羅比達法則教學方法方面.我們要強調(diào)極限未定式的類型判別和轉(zhuǎn)換方法，同時強調(diào)該法則不是萬能的和唯一的.極限未定式類型分為0/0，∞/∞，∞-∞，0・∞，1，∞，0等類型，其中0/0和∞/∞為基本類型，可以直接使用羅比達法則求極限，而其他幾種類型必須轉(zhuǎn)換為基本類型才能使用.其中∞-∞和0・∞類型既可以轉(zhuǎn)化為0/0型，又可以轉(zhuǎn)化成∞/∞型，這樣在計算極限時就要選擇轉(zhuǎn)化方向，其標準是通過求導后求極限變得更簡單，易求出結(jié)果.最后三種類型屬于冪指函數(shù)類型，該類型可以通過取對數(shù)或?qū)懗鲋笖?shù)函數(shù)形式轉(zhuǎn)化成基本類型.同時要強調(diào)的是用羅比達法則求極限的前提和條件，即使可以使用該法則求極限也不一定是最簡單的，只有和其他方法如等價無窮小替換法、四則運算求極限方法結(jié)合起來才能更有效地解決求極限的問題.

　　2.關于函數(shù)的單調(diào)性的教學.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本形態(tài)之一，也是學生比較熟悉的概念.在教學時，第一步，我們可以從高中簡單的例子著手，讓學生回顧相關的內(nèi)容.第二步，設置一些復雜的例子，這些例子難以用高中的方法來解決，從而引出本節(jié)課的主題――用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性.第三步，通過觀察函數(shù)單調(diào)性的圖形特征，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，讓學生猜出判斷函數(shù)單調(diào)性的條件.第四步，通過單調(diào)性定義，聯(lián)系拉格朗日中值定理，給出嚴格證明.最后通過例題講解定理的應用，說明判斷函數(shù)單調(diào)性關鍵在于判斷函數(shù)導數(shù)的符號.同時強調(diào)，一階導數(shù)大于零(或小于零)只是函數(shù)單調(diào)增加(或減少)的充分而非必要條件.

　　3.關于函數(shù)的極值和最值的教學.函數(shù)的極值和最值是導數(shù)應用的最重要部分，它是利用導數(shù)解決實際問題的具體訓練，也是最優(yōu)化理論的基礎.在概念引入時可以設計從回顧單調(diào)性的定理或例題出發(fā)引出單調(diào)增加區(qū)間和單調(diào)減少區(qū)間的分界點，從而引出極值點的概念，進一步可以引進最值的概念.從引入的例子進一步分析函數(shù)在何時達到極值，從引入例子的圖形很容易看出函數(shù)達到極值的條件，從而歸納出可導函數(shù)取得極值的必要和一階充分條件.由一階充分條件分析可以得出函數(shù)的二階充分條件，要注意的是二階充分條件是在駐點處的二階導數(shù)符號不等于0就可保證函數(shù)的極值性.由求極值的方法立即可得出求最值的方法，從而為導數(shù)解決實際問題提供方法.但在實際問題中函數(shù)f(x)往往不是現(xiàn)成的，需要通過分析實際問題，得出函數(shù)關系，進而轉(zhuǎn)化為最值問題，因此在課堂教學中要有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識，培養(yǎng)運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.