反證法首先假設(shè)某命題不成立(即在原命題的題設(shè)下，結(jié)論不成立)，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說(shuō)假設(shè)不成立，原命題得證。下面由學(xué)習(xí)啦小編給你帶來(lái)關(guān)于高中數(shù)學(xué)反證法例題，希望對(duì)你有幫助!

　　高中數(shù)學(xué)反證法例題一

　　選擇題

　　1.否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是(　　)

　　A.有一個(gè)解

　　B.有兩個(gè)解

　　C.至少有三個(gè)解

　　D.至少有兩個(gè)解

　　[答案]　C

　　[解析]　在邏輯中“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n+1個(gè)”，所以“至多有兩個(gè)解”的否定為“至少有三個(gè)解”，故應(yīng)選C.

　　2.否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為(　　)

　　A.a、b、c都是奇數(shù)

　　B.a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)

　　C.a、b、c都是偶數(shù)

　　D.a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

　　[答案]　B

　　[解析]　a，b，c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù);②有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù);③有一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù);④三個(gè)偶數(shù).因?yàn)橐穸á冢约僭O(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”.故應(yīng)選B.

　　3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是(　　)

　　A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°

　　B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60°

　　C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°

　　D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一個(gè)不大于”的否定是“都大于60°”.故應(yīng)選B.

　　4.用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是(　　)

　　A.假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)

　　B.假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)

　　C.假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)

　　D.假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一個(gè)”反設(shè)詞應(yīng)為“沒(méi)有一個(gè)”，也就是說(shuō)本題應(yīng)假設(shè)為a，b，c都不是偶數(shù).

　　5.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是(　　)

　　A.a

　　B.a≤b

　　C.a=b

　　D.a≥b

　　[答案]　B

　　[解析]　“a>b”的否定應(yīng)為“a=b或a

　　6.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為(　　)

　　A.一定是異面直線

　　B.一定是相交直線

　　C.不可能是平行直線

　　D.不可能是相交直線

　　[答案]　C

　　[解析]　假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.故應(yīng)選C.

　　7.設(shè)a，b，c∈(-∞，0)，則三數(shù)a+1b，c+1a，b+1c中(　　)

　　A.都不大于-2

　　B.都不小于-2

　　C.至少有一個(gè)不大于-2

　　D.至少有一個(gè)不小于-2

　　[答案]　C

　　[解析]　a+1b+c+1a+b+1c

　　=a+1a+b+1b+c+1c

　　∵a，b，c∈(-∞，0)，

　　∴a+1a=--a+-1a≤-2

　　b+1b=--b+-1b≤-2

　　c+1c=--c+-1c≤-2

　　∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6

　　∴三數(shù)a+1b、c+1a、b+1c中至少有一個(gè)不大于-2，故應(yīng)選C.

　　8.若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則(　　)

　　A.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行

　　B.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直

　　C.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交

　　D.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面

　　[答案]　B

　　[解析]　對(duì)于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m

　　則有l(wèi)∥m，與l、m異面矛盾;對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥α);對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)P與l、m都異面的直線不唯一.

　　9.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)了”，四位歌手的話(huà)只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是(　　)

　　A.甲

　　B.乙

　　C.丙

　　D.丁

　　[答案]　C

　　[解析]　因?yàn)橹挥幸蝗双@獎(jiǎng)，所以丙、丁只有一個(gè)說(shuō)對(duì)了，同時(shí)甲、乙中只有一人說(shuō)對(duì)了，假設(shè)乙說(shuō)的對(duì)，這樣丙就錯(cuò)了，丁就對(duì)了，也就是甲也對(duì)了，與甲錯(cuò)矛盾，所以乙說(shuō)錯(cuò)了，從而知甲、丙對(duì)，所以丙為獲獎(jiǎng)歌手.故應(yīng)選C.

　　10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…)，試證“數(shù)列{xn}或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿(mǎn)足xnxn+1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為(　　)

　　A.對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xn=xn+1

　　B.存在正整數(shù)n，使xn=xn+1

　　C.存在正整數(shù)n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1

　　D.存在正整數(shù)n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

　　[答案]　D

　　[解析]　命題的結(jié)論是“對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”.故應(yīng)選D.

　　高中數(shù)學(xué)反證法例題二

　　填空題

　　11.命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是________.

　　[答案]　沒(méi)有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形

　　[解析]　“至少有一個(gè)”的否定是“沒(méi)有一個(gè)”.

　　12.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么反設(shè)的內(nèi)容是________________.

　　[答案]　a，b都不能被5整除

　　[解析]　“至少有一個(gè)”的否定是“都不能”.

　　13.用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：

　?、?ang;A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A=∠B=90°不成立;

　　②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角;

　?、奂僭O(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°.

　　正確順序的序號(hào)排列為_(kāi)___________.

　　[答案]?、邰佗?/p>

　　[解析]　由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②.

　　14.用反證法證明質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)的過(guò)程如下：

　　假設(shè)______________.設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.

　　顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù).這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立.于是，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè).

　　[答案]　質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)　除p1、p2、…、pn之外

　　[解析]　由反證法的步驟可得.

　　高中數(shù)學(xué)反證法例題三

　　解答題

　　15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.

　　求證：a>0，b>0，c>0.

　　[證明]　用反證法：

　　假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，

　　不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a+b+c>0，

　　可得c>-(a+b)，

　　又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)

　　ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab

　　即ab+bc+ca<-a2-ab-b2

　　∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，

　　這與已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假設(shè)不成立.

　　因此a>0，b>0，c>0成立.

　　16.已知a，b，c∈(0,1).求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時(shí)大于14.

　　[證明]　證法1：假設(shè)(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正數(shù)，∴1-a、1-b、1-c都是正數(shù).(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12，

　　同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.

　　三式相加，得

　　(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，

　　即32>32，矛盾.

　　所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.

　　證法2：假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得

　　(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①

　　因?yàn)?

　　同理，0

　　所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②

　　因?yàn)棰倥c②矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立.

　　17.已知函數(shù)f(x)是(-∞，+∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.

　　(1)若a+b≥0，求證：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);

　　(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論.

　　[解析]　(1)證明：∵a+b≥0，∴a≥-b.

　　由已知f(x)的單調(diào)性得f(a)≥f(-b).

　　又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).

　　兩式相加即得：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

　　(2)逆命題：

　　f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.

　　下面用反證法證之.

　　假設(shè)a+b<0，那么：

　　a+b<0?a<-b?f(a)

　　?f(a)+f(b)

　　這與已知矛盾，故只有a+b≥0.逆命題得證.

　　18.(2010?湖北理，20改編)已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1423n-1.求證：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.

　　[解析]　假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br、bs、bt(rbs>br，則只可能有2bs=br+bt成立.

　　∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.

　　兩邊同乘3t-121-r，化簡(jiǎn)得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，

　　由于r

　　故數(shù)列{bn}中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.