山東省八年級數(shù)學(xué)期末試卷及答案
山東省的八年級同學(xué)們，這次的期末數(shù)學(xué)考試大家都很有信心?想不想校對數(shù)學(xué)試卷的答案呢?下面由學(xué)習(xí)啦小編為大家提供關(guān)于山東省八年級數(shù)學(xué)期末試卷及答案，希望對大家有幫助!
山東省八年級數(shù)學(xué)期末試卷一、選擇題
(每題3分，共42分)
1.在以下綠色食品、回收、 節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 軸對稱圖形.
分析： 根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
解答： 解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意;
B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意;
C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意;
D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意.
故選：A.
點(diǎn)評： 本題主要考查軸對稱圖形的知識點(diǎn).確定軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
2.已知三角形的兩邊長分別為3、5，則第三邊a的取值范圍是( )
A.22 D.a<8
考點(diǎn)： 三角形三邊關(guān)系.
分析： 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，第三邊的長一定大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.
解答： 解：5﹣3
點(diǎn)評： 已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.
3.下列計算錯誤的是( )
A.5a3﹣a3=4a3 B.﹣a2(﹣a)4=﹣a6
C.(a﹣b)3(b﹣a)2=(a﹣b)5 D.2m•3n=6m+n
考點(diǎn)： 同底數(shù)冪的乘法;合并同類項;冪的乘方與積的乘方.
分析： 根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)，冪的乘方的性質(zhì)，積的乘方的性質(zhì)，合并同類項的法則，對各選項分析判斷后利用排除法求解.
解答： 解：A、B、C選項的計算都正確;
而D選項中，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的法則知，2m•3n≠6m+n，因為底數(shù)不同，不能運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，故錯誤.
故選D.
點(diǎn)評： 本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，理清指數(shù)的變化是解題的關(guān)鍵.
4.一個正多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角之比為1：4，那么這個多邊形的邊數(shù)為( )
A.8 B.9 C.10 D.12
考點(diǎn)： 多邊形內(nèi)角與外角.
分析： 設(shè)正多邊形的每個外角的度數(shù)為x，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到x+4x=180°，解出x=36°，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°即可計算出多邊形的邊數(shù).
解答： 解：設(shè)正多邊形的每個外角的度數(shù)為x，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x，依題意有
x+4x=180°，
解得x=36°，
這個多邊形的邊數(shù)=360°÷36°=10.
故選：C.
點(diǎn)評： 本題考查了多邊形的外角定理：多邊形的外角和為360°.也考查了鄰補(bǔ)角的定義.
5.計算(﹣2×104)×(4×105)的正確結(jié)果是( )
A.﹣2×1020 B.2×109 C.8×109 D.﹣8×109
考點(diǎn)： 單項式乘單項式.
分析： 根據(jù)單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，計算即可.
解答： 解：原式=(﹣2×4)×104+5=﹣8×109，
故選：D.
點(diǎn)評： 本題考查了單項式與單項式相乘，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
6.下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為( )
A.a(x+y)=ax+ay B.x2﹣4x+4=x(x﹣4)+4
C.10x2﹣5x=5x(2x﹣1) D.x2﹣16+3x=(x﹣4)(x+4)+3x
考點(diǎn)： 因式分解的意義.
專題： 因式分解.
分析： 根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，利用排除法求解.
解答： 解：A、是多項式乘法，故A選項錯誤;
B、右邊不是積的形式，x2﹣4x+4=(x﹣2)2，故B選項錯誤;
C、提公因式法，故C選項正確;
D、右邊不是積的形式，故D選項錯誤;
故選：C.
點(diǎn)評： 這類問題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用分解因式的定義來判斷.
7.若 ，則m、n滿足條件的取值為( )
A.m=6，n=1 B.m=5，n=1 C.m=5，n=0 D.m=6，n=0
考點(diǎn)： 整式的除法;同底數(shù)冪的乘法.
分析： 根據(jù)單項式相除的法則和同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)，再根據(jù)相同字母的次數(shù)相同列出方程，解方程即可求出m、n的值.
解答： 解：∵xmyn÷ =4xm﹣3yn﹣1，
∴m﹣3=2，n﹣1=0，
解得m=5，n=1
故選B.
點(diǎn)評： 考查了單項式相除的運(yùn)算法則和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)，熟練掌握法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
8.下列分式運(yùn)算中正確的是( )
A. =
B. =
C. =
D. =
考點(diǎn)： 分式的基本性質(zhì).
分析： 根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項判斷.
解答： 解：A、c等于零時，錯誤，故A錯誤;
B、分子分母每乘同一個數(shù)，故B錯誤;
C、分子分母沒除以同一個不為零的數(shù)，故C錯誤;
D、分子分母都乘以10，故D正確;
故選：D.
點(diǎn)評： 考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論.
9.如圖，已知：∠1=∠2，要證明△ABC≌△ADE，還需補(bǔ)充的條件是( )
A.AB=AD，AC=AE B.AB=AD，BC=DE C.AC=AE，BC=DE D.以上都不對
考點(diǎn)： 全等三角形的判定.
分析： 本題已經(jīng)具備了一角對應(yīng)相等，若要補(bǔ)充兩邊，一定是夾此角的兩邊方可，根據(jù)各選項提供已知及全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案.
解答： 解：∵∠1=∠2
∴∠E=∠C(三角形內(nèi)角和定理)
∵∠E和∠C的夾邊分別是AE、DE、BC、AC
∴只要AC=AE，BC=DE，符合SAS，則△ABC≌△ADE
故選C.
點(diǎn)評： 本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理及三角形內(nèi)角和定理，找著∠E=∠C是解決本題的關(guān)鍵.
10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(m，3)與點(diǎn)B(4，n)關(guān)于y軸對稱，那么(m+n)2015的值為( )
A.﹣1 B.1 C.﹣72015 D.72015
考點(diǎn)： 關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
分析： 根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案.
解答： 解：由點(diǎn)A(m，3)與點(diǎn)B(4，n)關(guān)于y軸對稱，得n=3，m=﹣4.
(m+n)2015=(3﹣4)2015=﹣1，
故選：A.
點(diǎn)評： 本題考查了關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：(1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù);(2)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù);(3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).
11.如果x2+14x+c是一個完全平方式，那么常數(shù)c的值可以是( )
A.49 B.169 C.±49 D.±169
考點(diǎn)： 完全平方式.
分析： 如果x2+14x+c是一個完全平方式，則對應(yīng)的判別式△=0，即可得到一個關(guān)于m的方程，即可求解.
解答： 解：根據(jù)題意得：x2+14x+c是一個完全平方式，
則對應(yīng)的判別式△=142﹣4c=0，
解得：c=49.
故選：A.
點(diǎn)評： 本題主要考查了完全平方式，正確理解一個二次三項式是完全平方式的條件是解題的關(guān)鍵.
12.對于任何整數(shù)a，多項式(3a+5)2﹣4都能( )
A.被9整除 B.被a整除 C.被a+1整除 D.被a﹣1整除
考點(diǎn)： 因式分解-運(yùn)用公式法.
專題： 計算題.
分析： 多項式利用平方差公式分解，即可做出判斷.
解答： 解：原式=(3a+5+2)(3a+5 ﹣2)=3(3a+7)(a+1)，
則對于任何整數(shù)a，多項式(3a+5)2﹣4都能被a+1整除.
故選C
點(diǎn)評： 此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.
13.如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若AC= ，CE=1，則△DBE的周長為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 線段垂直平分 線的性質(zhì);含30度角的直角三角形.
分析： 如圖，連接AE.則由“垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等”推知BE=AE;在直角△ABC中、直角△ACE中，利用30度所對的直角邊是斜邊的一半得到：AC= AB、CE= AE，故△DBE的周長=AC+AE+BE.
解答： 解：∵在直角△ACE中，AC= ，CE=1，
∴由勾股定理知 AE= =2，
如圖，連接AE.
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE.
∴∠2=∠B.
又在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAD=60°，∠2=∠B=30°.
∴∠1=∠2=30°，AB=2AC，
∴CE=DE= AE=1.
∴△DBE的周長= AB+BE+DE=AC+AE+DE= +2+1=3+ .
故選：D.
點(diǎn)評： 此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等角對等邊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì).由已知條件結(jié)合各知識點(diǎn)得到結(jié)論對選項逐一驗證時解答本題的 關(guān)鍵
14.如圖為楊輝三角系數(shù)表，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如(a+b)n(其中n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，例如：(a+b)=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么(a+b)6展開式中前四項系數(shù)分別為( )
A.1，5，6，8 B.1，5，6，10 C.1，6，15，18 D.1，6，15，20
考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
分析： 由(a+b)=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各項展開式的系數(shù)除首尾兩項都是1外，其余各項系數(shù)都等于(a+b)n﹣1的相鄰兩個系數(shù)的和，由此可得(a+b)4的各項系數(shù)依次為1、4、6、4、1;(a+b)5的各項系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1;因此(a+b)6的系數(shù)分別為1、6、15、20、15、6、1.
解答： 解：可以發(fā)現(xiàn)：(a+b)n的各項展開式的系數(shù)除首尾兩項都是1外，其余各項系數(shù)都等于(a+b)n﹣1的相鄰兩個系數(shù)的和，
則(a+b)4的各項系數(shù)依次為1、4、6、4、1;
(a+b)5的各項系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1;
則(a+b)6的系數(shù)分別為1、6、15、20、15、6、1.
前四項系數(shù)分別為1、6、15、20.
故選：D.
點(diǎn)評： 本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵.
山東省八年級數(shù)學(xué)期末試卷二、填空題
(每題3分，共15分)答案直接填在題中橫線上.
15.計算：2x3•(﹣3x)2= 18x5 .
考點(diǎn)： 單項式乘單項式.
分析： 根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加;單項式乘單項式，把系數(shù)和相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)，作為積的一個因式計算即可.
解答： 解：2x3•(﹣3x)2=2x3•9x2=18x5.
故答案為：18x5.
點(diǎn)評： 本題是冪的乘方與單項式乘法的小綜合運(yùn)算，要養(yǎng)成先定符號的習(xí)慣，還要注意區(qū)別系數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算.
16.分解因式：(x﹣1)(x+3)+4= (x+1)2 .
考點(diǎn)： 因式分解-運(yùn)用公式法.
專題： 計算題.
分析： 原式整理后，利用完全平方公式分解即可.
解答： 解：原式=x2+3x﹣x﹣3+4=x2+2x+1=(x+1)2.
故答案為：(x+1)2
點(diǎn)評： 此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
17.若分式 的值為0，則x的值為 ﹣2 .
考點(diǎn)： 分式的值為零的條件.
分析： 根據(jù)分式的值為0的條件及分式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式組，求出x的值即可.
解答： 解：∵分式 的值為0，
∴ ，
解得x=﹣2.
故答案為：﹣2.
點(diǎn)評： 本題考查的是分式的值為0的條件，熟知分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解答此題的關(guān)鍵.
18.如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿射線BC的方向平移2個單位后，得到△A′B′C′，連接A′C，則△A′B′C的周長為 12 .
考點(diǎn)： 平移的性質(zhì).
分析： 根據(jù)平移性質(zhì)，判定△A′B′C為等邊三角形，然后求解.
解答： 解：由題意，得BB′=2，
∴B′C=BC﹣BB′=4.
由平移性質(zhì)，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，
∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，
∴△A′B′C為等邊三角形，
∴△A′B′C的周長=3A ′B′=12.
故答案為：12.
點(diǎn) 評： 本題考查的是平移的性質(zhì)，熟知圖形平移后新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同是解答此題的關(guān)鍵.
19. 新定義一種運(yùn)算：a@b=(a+b)2﹣(a﹣b)2，下面給出關(guān)于這種運(yùn)算的幾個結(jié)論：
?、?@(﹣2)=﹣8;②a@b=b@a;③若a@b=0，則a一定為0;④若a+b=0，那么(a@a)+(b@b)=8a2.
其中正確結(jié)論的序號是?、佗冖堋?
考點(diǎn)： 完全平方公式.
專題： 新定義.
分析： 利用新定義代入求解并判定即可.
解答： 解：①1@(﹣2)=(1﹣2)2﹣(1+2)2﹣8;正確，
②a@b=(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab，b@a=(b+a)2﹣(b﹣a)2=4ab;所以a@b=b@a;正確，
?、廴鬭@b=4ab=0，則a，b至少一個為0;故不正確，
?、苋鬭+b=0，那么(a@a)+(b@b)=4a2+4a2=8a2.正確.
正確結(jié)論的序號是①②④.
故答案為：①②④.
點(diǎn)評： 本題主要考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是理解新定義.
山東省八年級數(shù)學(xué)期末試卷三、解答題
(本大題共3小題，共19分)
20.如圖，在△ABC和△BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE，求證：∠ACB= ∠AFB.
考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì).
專題： 證明題.
分析： 先根據(jù)SSS定理得出△ABC≌△DEB(SSS)，故∠ACB=∠EBD，再根據(jù)∠AFB是△BFC的外角，可知∠AFB=∠ACB+∠EBD，由此可得出∠AFB=2∠ACB，故可得出結(jié)論.
解答： 證明：在△ABC與△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB(SSS)，
∴∠ACB=∠EBD.
∵∠AFB是△BF C的外角，
∴∠AFB=∠ACB+∠EBD，
∴∠AFB=2∠ACB，即∠ACB= ∠AFB.
點(diǎn)評： 本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.
21.先化簡再求值：已知A=2x+y，B=2x﹣y，求代數(shù)式(A2﹣B2)(x﹣2y)的值，其中x=﹣1，y=2.
考點(diǎn)： 整式的混合運(yùn)算—化簡求值.
分析： 把A、B的值代入，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計算，合并后算乘法，最后代入求出即可.
解答： 解：∵A=2x+y，B=2x﹣y，
∴(A2﹣B2)(x﹣2y)
=[(2x+y)2﹣(2x﹣y)2](x﹣2y)
=8xy(x﹣2y)
=8x2y﹣16xy2，
當(dāng)x=﹣1，y=2時，原式=16+64=80.
點(diǎn)評： 本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力和化簡能力，注意運(yùn)算順序，難度適中.
22.如圖所示，△ABC中，∠BAC=110°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在線段AB、BC、AC上，且BD=BE，CE=CF，求∠DEF的度數(shù).
考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).
分析： 設(shè)∠B=x，∠C=y，在△BDE中，由BD=BE，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠BED= (180°﹣x)，同理在△CEF中，求出∠CEF= (180°﹣y).由平角的定義得到∠BED+∠DEF+∠CEF=180°，即∠DEF=180°﹣(∠BED+∠CEF)=180°﹣ = ，又在△ABC中由∠BAC=110°，得出x+y=180°﹣110°=70°，代入即可求出∠DEF= ×70°=35°.
解答： 解：設(shè)∠B=x，∠C=y，
在△BDE中，∵BD=BE，
∴∠BED= (180°﹣x)，
同理在△CEF中，∵CE=CF，
∴∠CEF= (180°﹣y).
∵∠BED+∠DEF+∠CEF=180°，
∴∠DEF=180°﹣(∠BED+∠CEF)
=180°﹣
= ，
又∵∠BAC=110°，
∴x+y=180°﹣110°=70°，
∴∠DEF= ×70°=35°.
點(diǎn)評： 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義，關(guān)鍵是設(shè)出輔助未知數(shù)x與y，得出x+y=70°，再整體代入∠DEF= .
(本大題共2小題，共21分)
23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線.
【實驗與探究】
(1)由圖觀察易知A(0，4)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(4，0)，請在圖中分別標(biāo)明B(5，2)、C(﹣2，3)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′、C′的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B′ (2，5) 、C′ (3，﹣2) ;
【歸納與發(fā)現(xiàn)】
(2)結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a，b)關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 (b，a) (不必證明);
【運(yùn)用與拓廣】
(3)已知兩點(diǎn)D(1，﹣2)、E(﹣1，﹣3)，試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小.(要有必要的畫圖說明，并保留作圖痕跡)
考點(diǎn)： 一次函數(shù)綜合題.
分析： (1)觀察圖形可得出B′(2，5)，C′(3，﹣2);
(2)由(1)可知，關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)P'(b，a);
(3)作出點(diǎn)E關(guān)于直線l對稱點(diǎn)F，連接FD交l于點(diǎn)Q，則QF=QE，故EQ+QD=FQ+QD=FD.
解答： 解：(1)由圖可知，B′(2，5 )，C′(3，﹣2);
故答案為：(2，5)，C'(3，﹣2).
(2)由(1)可知，關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)P'(b，a);
故答案為：(b，a).
(3)作出點(diǎn)E關(guān)于直線l對稱點(diǎn)F，連接FD交l于點(diǎn)Q，則QF=QE，故EQ+QD=FQ+QD=FD.
點(diǎn)評： 本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是利用圖形找出點(diǎn)關(guān)于直線l的對對稱點(diǎn).
24.設(shè)y=kx，是否存在實 數(shù)k，使得代數(shù)式(x﹣y)(2x﹣y)﹣3x(2x﹣y)能化簡為5x2?若能，請求出所有滿足條件的k的值;若不能，請說明理由.
考點(diǎn)： 因式分解的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有
分析： 先利用因式分解得到原式=(x﹣y)(2x﹣y)﹣3x(2x﹣y)=﹣4x2+y2，再把當(dāng)y=kx代入得到原式=(k2﹣4)x2，所以當(dāng)k2﹣4=5滿足條件，然后解關(guān)于k的方程即可.
解答： 解：能.
假設(shè)存在實數(shù)k，因為(x﹣y)(2x﹣y)﹣3x(2x﹣y)=﹣4x2+y2，
將y=kx代入，原式=﹣4x2+(kx)2=(k2﹣4)x2，
∵(k2﹣4)x2=5x2，
∴k2﹣4=5，則k2=9，
解得 k=±3.
點(diǎn)評： 本題考查了因式分解的運(yùn)用：利用因式分解解決求值問題;利用因式分解解決證明問題;利用因式分解簡化計算問題.
(本大題共2小題，共23分)
25.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
(1)如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形;
(2)若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE=AF ，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形?證明你的結(jié)論.
考點(diǎn)： 等腰直角三角形;全等三角形 的判定與性質(zhì).
專題： 幾何綜合題.
分析： (1)先連接AD，構(gòu)造全等三角形：△BED和△AFD.AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形;
(2)還是證明：△BED≌△AFD，主要證∠DAF=∠DBE(∠DBE=180°﹣45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°)，再結(jié)合兩組對邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等.
解答： (1)證明：連接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=AD.
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS).
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF.
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°.
∴△DEF為等腰直角三角形.
(2)解：△DEF為等腰直角三角形.
證明：若E，F(xiàn)分別是AB，CA延長線上的點(diǎn)，如圖所示：
連接AD，
∵AB=AC，
∴△ABC為等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD，AD⊥BC(三線合一)，
∴∠DAC=∠ABD=45°.
∴∠DAF=∠DBE=135°.
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE(SAS).
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB.
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF仍為等腰直角三角形.
點(diǎn)評： 本題利用了等腰直角三角形底邊上的中線平分頂角，并且等于底邊的一半，還利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，及等腰直角三角形的判定.
26.閱讀材料：
分解因式：x2+2x﹣3
解：原式=x2+2x+1﹣1﹣3
=(x2+2x+1)﹣4
=(x+1)2﹣4
=(x+1+2)(x+1﹣2)
=(x+3)(x﹣1)
此種方法抓住了二次項和一次項的特點(diǎn)，然后加一項，使這三項成為完全平方式，我們把這種分解因式的方法叫配方法.請仔細(xì)體會配方法的特點(diǎn)，然后嘗試用配方法解決下列問題：
(1)分解因式：m2﹣4mn+3n2;
(2)無論m取何值，代數(shù)式m2﹣3m+2015總有一個最小值，請你嘗試用配方法求出它的最小值.
考點(diǎn)： 配方法的應(yīng)用.
專題： 閱讀型.
分析： (1)二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方;
(2)利用配方法將代數(shù)式m2﹣3m+2015轉(zhuǎn)化為完全平方與和的形式= ，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.
解答： 解：(1)m2﹣4mn+3n2=m2﹣4mn+4n2﹣n2
=(m﹣2n)2﹣n2
=(m﹣3n)(m﹣n);
(2)m2﹣3m+2015=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
即代數(shù)式m2﹣3m+2015的最小值為 .
點(diǎn)評： 本題考查了配方法的應(yīng)用，解題時要注意配方法的步驟.注意在變形的過程中不要改變式子的值.
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