2018年山東省初二期末數(shù)學試卷
2018年山東省初二期末數(shù)學試卷
2018年的山東省初二同學們，即將到來的期末考試都有信心嗎?數(shù)學只要平時多做試卷，相信考試不會難道你的。下面由學習啦小編為大家提供關于2018年山東省初二期末數(shù)學試卷，希望對大家有幫助!
2018年山東省初二期末數(shù)學試卷選擇題
(共12小題，每小題3分，滿分36分)
1.下列分解因式正確的是( )
A.﹣a+a3=﹣a(1+a2) B.2a﹣4b+2=2(a﹣2b)
C.a2﹣1=(a﹣1)2 D.﹣a2+4b2=(2b+ a)(2b﹣a)
2.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A.一組對邊平行，另一組對邊相等
B.對角線相等
C.一條對角線平分另一條對角線
D.兩條對角線互相平分
3.繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后不能與自身重合的圖形是( )
A.平行四邊形 B.長方形 C.線段 D.等邊三角形
4.一件襯衫售價a元，利潤為m%(m>0)，則這種商品每件的成本是( )
A. B. C.a(1+m%) D.a(1﹣m%)
5.某公司要出口一批易拉罐啤酒，標準體積為每瓶350mL，現(xiàn)抽取10瓶樣品進行檢測，它們的體積與標準體積的差值(單位：mL)如下：﹣6，+3，0，+3，0，0，﹣3，0，+3，+6 ，則這10瓶易拉罐啤酒體積的平均數(shù)及眾數(shù)為( )
A.350.6mL，350mL B.0.6mL，0mL
C.356mL，353mL D.350.6mL，353mL
6.在▱ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，BC=5，OF=1.5，則四邊形ABFE的周長是( )
A.11 B.11.5 C.12 D.12.5
7.2710﹣324可以被20和30之間的某兩個整數(shù)整除，這兩個數(shù)是( )
A.22，24 B.23，25 C.26，28 D.27，29
8.設p= ﹣ ，q= ﹣ ，則p，q的關系是( )
A.p=q B.p>q C.p
9.如圖，在菱形ABCD中，對角線的交點為O，點E是BC的中點，∠BAD=110°，則∠BOE=( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
10.如圖，已知點A(1，0)，B(4，0)，將線段AB平移 得到線段CD，點B的對應點C恰好落在y軸上，且四邊形ABCD的面積為9，則四邊形ABCD的周長為( )
A.14 B.16 C.18 D.20
11.如圖，將△ABC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，則點P的坐標是( )
A.(1，1) B.(2，1) C.(1，2) D.(1，3)
12.如圖，過邊長為2的正方形ABCD的中心O引兩條互相垂直的射線，分別與正方形的邊交于E，F(xiàn)兩點，則線段EF長的取值范圍是( )
A. ≤EF≤2 B. ≤EF≤2 C. ≤EF≤2 D. ≤EF≤
2018年山東省初二期末數(shù)學試卷非選擇題
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
13.分解因式：x2﹣3x﹣4= .
14. =(a﹣1)+ .
15.某學校開展數(shù)學競賽，八(1)、八(2)班根據(jù)初賽成績各選出5名選手參加復賽，兩個班的5名選手的復賽成績?nèi)鐖D所示.根據(jù)圖示回答：一班復賽成績的中位數(shù)是 分，二班復 賽成績的極差是 分.
16.如圖，人民幣舊版壹角硬幣內(nèi)部的正多邊形每個內(nèi)角度數(shù)是 °.
17.如圖，在▱ABCD中，G是CD上一點，連接BG且延長交AD的延長線于點E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，則∠BFD= .
18.如圖，將三條線段CD，EF，GN分別繞點O旋轉(zhuǎn)，不能與線段AB重合的線段是 .
三、解答題(共7小題)
19.把下列各式因式分解：
(1)﹣9a2+6a(a﹣b)﹣(a﹣b)2;
(2)(x﹣1)(x﹣2)+ .
20.先化簡，再求值：( ﹣ )÷(a+1﹣ )，其中a=﹣ .
21.如圖，在▱ABCD中，AB=AE，連接BE且延長CD的延長線于點F.求證：AD=CF.
22.小明和小亮在課外活動中，報名參加了短跑訓練.在五次百米訓練中，所測成績?nèi)鐖D所示，請根據(jù)圖中所給信息解答以下問題：分別計算他們的平均數(shù)、極差和方差.
23.手機專賣店經(jīng)營的某種手機去年銷售總額為10萬元，今年每部售價比去年降低500元，若今年賣出的數(shù)量與去年賣出的數(shù)量相同，且銷售總額比去年減少10%，求今年每部手機的售價是多少元.
24.如圖，菱形ABCD的邊長為5，過點A作對角線AC的垂線，交CB的延長線于點E，AE=4.
(1)求證：BE=BC;
(2)求S菱形ABCD.
25.如圖，P是等腰Rt△ACB內(nèi)一點，AC=BC，且PA=8，PB=10，PC= .將△CPB繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△CP′A.
(1)直接寫出旋轉(zhuǎn)的最小角度;
(2)求∠APC的度數(shù).
2018年山東省初二期末數(shù)學試卷答案
一、選擇題(共12小題，每小題3分，滿分36分)
1.下列分解因式正確的是( )
A.﹣a+a3=﹣a(1+a2) B.2a﹣4b+2=2(a﹣2b)
C.a2﹣1=(a﹣1)2 D.﹣a2+4b2=(2b+a)(2b﹣a)
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用.
分析： 分別利用提取公因式法以及公式法分解因式得出即可.
解答： 解：A、﹣a+a3=﹣a(1﹣a2)=﹣a(1+a)(1﹣a)，故此選項錯誤;
B、2a﹣4b+2=2(a﹣2b+1)，故此選項錯誤;
C、a2﹣1=(a﹣1)(a+1)，故此選項錯誤;
D、﹣a2+4b2=(2b+a)(2b﹣a)，正確.
故選：D.
點評： 此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用乘法公式是解題關鍵.
2.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A.一組對邊平行，另一組對邊相等
B.對角線相等
C.一條對角線平分另一條對角線
D.兩條對角線互相平分
考點： 平行四邊形的判定.
分析： 根據(jù)平行四邊形的判定定理(①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;④有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形)進行判斷即可.
解答： 解：如圖：
A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形，故本選項錯誤;
B、對角線相等不能判定四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤;
C、一條對角線平分另一條對角線不能判定四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤;
D、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項正確.
故選D.
點評： 本題考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是了解平行四邊形的所有判定定理，難度不大.
3.繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后不能與自身重合的圖形是( )
A.平行四邊形 B.長方形 C.線段 D.等邊三角形
考點： 旋轉(zhuǎn)對稱圖形.
分析： 利用中心對稱圖形的性質(zhì)進而分析得出即可.
解答： 解;A、平行四邊形，是中心對稱圖形，繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合的圖形，故此選項錯誤;
B、長方形，是中心對稱圖形，繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合的圖形，故此選項錯誤;
C、線段，是中心對稱圖形，繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合的圖形，故此選項錯誤;
D、等邊三角形，不是中心對稱圖形，繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后不能與自身重合的圖形，故此選項正確;
故選：D.
點評： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確把握中心對稱圖形的定義是解題關鍵.
4.一件襯衫售價a元，利潤為m%(m>0)，則這種商品每件的成本是( )
A. B. C.a(1+m%) D.a(1﹣m%)
考點： 列代數(shù)式(分式).
分析： 根據(jù)進價與利潤之間的關系求出即可.
解答： 解：設這種商品每件的成本是x元，根據(jù)題意可得：
x(1+m%)=a，
解得：x= .
故選：B.
點評： 此題主要考查了列代數(shù)式，正確掌握進價與利潤之間的關系是解題關鍵.
5.某公司要出口一批易拉罐啤酒，標準體積為每瓶350mL，現(xiàn)抽取10瓶樣品進行檢測，它們的體積與標準體 積的差值(單位：mL)如下：﹣6，+3，0，+3，0，0，﹣3，0，+3，+6，則這10瓶易拉罐啤酒體積的平均數(shù)及眾數(shù)為( )
A.350.6mL，350mL B.0.6mL，0mL
C.356mL，353mL D.350.6mL，353mL
考點： 眾數(shù);加權(quán)平均數(shù).
分析： 首先求得﹣6，+3，0，+3，0，0，﹣3，0，+3，+6這10個數(shù)的平均數(shù)以及眾數(shù)，然后分別加上350ml，即可求解.
解答： 解：平均數(shù)是：350+ (﹣6+3+0+3+0+0﹣3+0+3+6)=350+0.6=350 .6ml，
﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10的眾數(shù)是0，因而這10瓶啤酒的質(zhì)量的眾數(shù)是：350+0=350ml.
故選A.
點評： 本題考查了眾數(shù)與平均數(shù)的求法，正確理解定理，理解與這10瓶罐頭質(zhì)量的平均數(shù)及眾數(shù)的關系是關鍵.
6.在▱ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，BC=5，OF=1.5，則四邊形ABFE的周長是( )
A.11 B.11.5 C.12 D.12.5
考點： 平行四邊形的性質(zhì).
分析： 先利用平行四邊形的性質(zhì)求出AB、CD、BC、AD的值，可利用全等的性質(zhì)得到△AEO≌△CFO，即可求出四邊形的周長.
解答： 解：已知AB=4，BC=5，OE=1.5，
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，AB=CD=4，BC=AD=5，
在△AEO和△CFO中OA=OC，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，
所以△AEO≌△CFO，OE=OF=1.5，
則ABFE的周長=EFCD的周長=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+AB+EF=5+4+3=12.
故選C.
點評： 本題考查平行四邊形的性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行;②平行四邊形的兩組對邊分別相等;③平行四邊形的兩組對角分別相等;④平行四邊形的對角線互相平分.
7.2710﹣324可以被20和30之間的某兩個整數(shù)整除，這兩個數(shù)是( )
A.22，24 B.23，25 C.26，28 D.27，29
考點： 因式分解的應用.
分析： 將2710﹣324利用分解因式的知識進行分解，再結(jié)合題目能被20至30之間的兩個整數(shù)整除即可得出答案.
解答： 解：2710﹣324
=324(36﹣1)
=324(32﹣1)(33+1)
∵可以被20和30之間的某兩個整數(shù)整除，
∴這兩個數(shù)是26，28.
故選：C.
點評： 此題考查因式分解的實際運用，利用提公因式法和平方差公式是解決問題的關鍵.
8.設p= ﹣ ，q= ﹣ ，則p，q的關系是( )
A.p=q B.p>q C.p
考點： 分式的加減法.
專題： 計算題.
分析： 把p與q代入p+q中計算，即可做出判斷.
解答： 解：∵p= ﹣ ，q= ﹣ ，
∴p+q= ﹣ + ﹣ = ﹣ =1﹣1=0，
則p=﹣q，
故選D
點評： 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
9.如圖，在菱形ABCD中，對角線的交點為O，點E是BC的中點，∠BAD=110°，則∠BOE=( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
考點： 菱形的性質(zhì).
分析： 由菱形的性質(zhì)可求得∠ABC，進一步可求得∠ABO，再利用中位線定理可得∠BOE=∠ABO，可求得答案.
解答： 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠ABC=180°﹣110°=70°，
∴∠ABO= ∠ABC=35°，
又∵E為BC中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥AB，
∴∠BOE=∠ABO=35°，
故選A.
點評： 本題主要考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形對邊平行、對角線互相平分且平分每一組對角是解題的關鍵.
10.如圖，已知點A(1，0)，B(4，0)，將線段AB平移得到線段CD，點B的對應點C恰好落在y軸上，且四邊形ABCD的面積為9，則四邊形ABCD的周長為( )
A.14 B.16 C.18 D.20
考點： 坐標與圖形變化-平移.
分析： 根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)點A、B的坐標求出AB，再利用平行四邊形的面積求出OC，然后利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)平行四邊形的周長公式列式計算即可得解.
解答： 解：∵線段AB平移得到線段CD，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵A(1，0)，B(4，0)，
∴AB=4﹣1=3，
∵四邊形ABCD的面積為9，
∴3•OC=9，
解得OC=3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC= = =5，
∴四邊形ABCD的周長=2(3+5)=16.
故選B.
點評： 本題考查了坐標與圖形變化﹣平移，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出BC長度是解題的關鍵.
11.如圖，將△ABC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，則點P的坐標是( )
A.(1，1) B.(2，1) C.(1，2) D.(1，3)
考點： 坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).
分析： 先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點A的對應點為點A′，點B的對應點為點B′，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)中心在線段AA′的垂直平分線，也在線段BB ′的垂直平分線，即兩垂直平分線的交點為旋轉(zhuǎn)中心.
解答： 解：∵將△ABC以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，
∴點A的對應點為點A′，點C的對應點為點C′，
作線段AA′和CC′的垂直平分線，它們的交點為P(1，2)，
∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標為(1，2).
故選：C.
點評： 本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標.常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.
12.如圖，過邊長為2的正方形ABCD的中心O引兩條互相垂直的射線，分別與正方形的邊交于E，F(xiàn)兩點，則線段EF長的取值范圍是( )
A. ≤EF≤2 B. ≤EF≤2 C. ≤EF≤2 D. ≤EF≤
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
分析： 如圖，作輔助線;證明△AOE≌△DOF，進而得到OE=OF，此為解決該題的關鍵性結(jié)論;求出OE的范圍，借助勾股定理即可解決問題.
解答： 解：如圖，連接EF;
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠EAO=∠FDO=45°，AO=DO;
∵∠EOF=90°，∠AOD=90°，
∴∠AOE=∠DOF;
在△AOE與△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF(SAS)，
∴OE=OF(設為λ);
由勾股定理得：
EF2=OE2+OF2=2λ2;
由題意可得：1≤λ≤ ，
∴ ，
故選A.
點評： 該題以正方形為載體，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識點的應用問題;牢固掌握全等三角形的判定等幾何知識點，是靈活解題的基礎和關鍵.
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
13.分解因式：x2﹣3x﹣4= (x+1)(x﹣4) .
考點： 因式分解-十字相乘法等.
分析： 因為﹣4=1×(﹣4)，1+(﹣4)=﹣3，所以x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4).
解答： 解：x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4).
點評： 本題考 查十字相乘法分解因式，因為x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，只要符合此形式，就可以進行因式分解，稱為十字相乘法.
14. =(a﹣1)+ .
考點： 分式的加減法.
專題： 計算題.
分析： 原式分子配方后，計算即可得到結(jié)果.
解答： 解：原式= =(a﹣1)+ ，
故答案為：
點評： 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
15.某學校開展數(shù)學競賽，八(1)、八(2)班根據(jù)初賽成績各選出5名選手參加復賽，兩個班的5名選手的復賽成績?nèi)鐖D所示.根據(jù)圖示回答：一班復賽成績的中位數(shù)是 80 分，二班復賽成績的極差是 30 分.
考點： 中位數(shù);條形統(tǒng)計圖;極差.
分析： 根據(jù)中位數(shù)和極差的概念求解.
解答： 解：八(1)班的成績按照從小到大的順序排列為：60，75，80，80，95，
則中位數(shù)為：80，
八(2)班的成績的極差為：95﹣65=30.
故答案為：80.30.
點評： 本題考查了中位數(shù)和極差的概念：極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差;將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數(shù) 據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
16.如圖，人民幣舊版壹角硬幣內(nèi)部的正多邊形每個內(nèi)角度數(shù)是 140 °.
考點： 多邊形內(nèi)角與外角.
分析： 根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得出結(jié)果.
解答： 解：∵九邊形的內(nèi)角和=(9﹣2)•180°=1260°，
又∵九邊形的每個內(nèi)角都相等，
∴每個內(nèi)角的度數(shù)=1260°÷9=140°.
故答案為：140.
點評： 本題考查多邊形的內(nèi)角和計算公式.多邊形內(nèi)角和定理：多邊形內(nèi)角和等于(n﹣2)•180°.
17.如圖，在▱ABCD中，G是CD上一點，連接BG且延長交AD的延長線于點E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，則∠BFD= 80° .
考點： 平行四邊形的性質(zhì).
分析： 根據(jù)平行四邊形的對角相等可得∠A=∠C，對邊相等可得AB=CD，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABE，然后求出四邊形BGDF是平行四邊形，最后利用平行四邊形的鄰角互補列式計算即可得解.
解答： 解：在在▱ABCD中，∠A=∠C=50°，AB=CD，
∵∠E=30°，
∴∠ABE=180°﹣50°﹣30°=100°，
∵AF=CG，
∴BF=DG，
又∵BF∥DG，
∴四邊形BGDF是平行四邊形，
∴∠BFD=180°﹣∠ABE=180°﹣100°=80°.
故答案為：80°.
點評： 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行四邊形的判定方法與性質(zhì)是解題的關鍵.
18.如圖，將三條線段CD，EF，GN分別繞點O旋轉(zhuǎn)，不能與線段AB重合的線段是 線段CD .
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
分析： 連結(jié)OA、OC、ON、OF、OB、OD、OG、OE，設小方格正方形的邊長為1，如圖，易得OA=ON=OF=2，而OC= ，根據(jù)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可判斷線段CD繞點O旋轉(zhuǎn)，不能與線段AB重合.
解答： 解：連結(jié)OA、OC、ON、OF、OB、OD、OG、OE，設小方格正方形的邊長為1，如圖，
∵OA=ON=OF=2，而OC= ，OB=OG=OE=3 ，而OD= ，
∴線段EF，GN分別繞點O旋轉(zhuǎn)，能與線段AB重合，而線段CD繞點O旋轉(zhuǎn)，不能與線段AB重合.
故答案為線段CD.
點評： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì).
三、解答題(共7小題)
19.把下列各式因式分解：
(1)﹣9a2+6a(a﹣b)﹣(a﹣b)2;
(2)(x﹣1)(x﹣2)+ .
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用.
分析： (1)首先提取負號，進而利用完全平方公式分解因式得出即可;
(2)首先去括號，進而利用完全平方公式分解因式即可.
解答： 解：(1)﹣9a2+6a(a﹣b)﹣(a﹣b)2
=﹣[(3a﹣(a﹣b)]2
=﹣(2a+b)2;
(2)(x﹣1)(x﹣2)+
=x2﹣3x+2+
=(x﹣ )2.
點評： 此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用完全平方公式是解題關鍵.
20.先化簡，再求值：( ﹣ )÷(a+1﹣ )，其中a=﹣ .
考點： 分式的化簡求值.
專題： 計算題.
分析： 原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值.
解答： 解：原式= ÷ = • = ，
當a=﹣ 時，原式= = .
點評： 此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
21.如圖，在▱ABCD中，AB=AE，連接BE且延長CD的延長線于點F.求證：AD=CF.
考點： 平行四邊形的性質(zhì).
專題： 證明題.
分析： 利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥FC，AD=BC，進而得出∠CBF=∠F，即可 得出AD=CF.
解答： 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥FC，AD=BC，
∴∠ABE=∠F，∠CBE=∠FED，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠CBF=∠F，
∴BC=FC，
∴AD=CF.
點評： 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)得出∠CBF=∠F是解題關鍵.
22.小明和小亮在課外活動中，報名參加了短跑訓練.在五次百米訓練中，所測成績?nèi)鐖D所示，請根據(jù)圖中所給信息解答以下問題：分別計算他們的平均數(shù)、極差和方差.
考點： 方差;折線統(tǒng)計圖;算術平均數(shù);極差.
分析： 從折線圖中得出小明和小亮的五次百米訓練的成績數(shù)據(jù)，再由公式計算平均數(shù)，極差，方差.
解答： 解：小明的短跑平均成績=(13.3+13.4+13.3+13.2+13.3)÷5=13.3秒，
小亮的短跑平均成績=(13.2+13.4+13.1+13.5+13.3)÷5=13.3秒，
小明的極差=13.4﹣13.2=0.2，
小亮的極差=13.5﹣13.1=0.4，
小明的方差=[(13.3﹣13.3)2+(13.4﹣13.3)2+(13.3﹣13.3)2+(13.2﹣13.3)2+(13.3﹣13.3)2]÷5=0.004，
小亮的方差=[(13.2﹣13.3)2+(13.4﹣13.3)2+(13.1﹣13.3)2+(13.5﹣13.3)2+(13.3﹣13.3)2]÷5=0.02.
點評： 本題考查平均數(shù)、極差和方差的定義與意義，方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.
23.手機專賣店經(jīng)營的某種手機去年銷售總額為10萬元，今年每部售價比去年降低500元，若今年賣出的數(shù)量與去年賣出的數(shù)量相同，且銷售總額比去年 減少10%，求今年每部手機的售價是多少元.
考點： 分式方程的應用.
分析： 設今年每部手機的售價是x元，則去年每部手機的售價是(x+500)元，根據(jù)今年的銷售總額比去年減少10%，列方程求解.
解答： 解：設今年每部手機的售價是x元，則去年每部手機的售價是(x+500)元，
由題意得， x=100000×(1﹣10%)，
解得：x=4500，
經(jīng)檢驗，x=4500是原分式方程的解，且符合題意.
答：今年每部手機的售價是4500元.
點評： 本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程求解，注意檢驗.
24.如圖，菱形ABCD的邊長為5，過點A作對角線AC的垂線，交CB的延長線于點E，AE=4.
(1)求證：BE=BC;
(2)求S菱形ABCD.
考點： 菱形的性質(zhì).
分析： (1)由條件可證得∠E+∠ACB=∠EAB+∠BAC，可證得∠E=∠EAB，可得結(jié)論;
(2)由(1)的結(jié)論，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得S菱形ABCD=S△EAC，結(jié)合條件可求得答案.
解答： (1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵EA⊥AC，
∴∠E+∠ACB=∠EAB+∠BAC，
∴∠E=∠EAB，
∴BA=BE，
∴BE=BC;
(2)解：
在Rt△ACE中，BC=BA=BE=5，
∴CE=10，
∴AC= = =2 ，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴△ABC≌△ADC，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=S△EAC= AE•AC= ×4×2 =4 .
點評： 本題主要考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的四條邊都相等是解題的關鍵.
25.如圖，P是等腰Rt△ACB內(nèi)一點，AC=BC，且PA=8，PB=10，PC= .將△CPB繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△CP′A.
(1)直接寫出旋轉(zhuǎn)的最小角度;
(2)求∠APC的度數(shù).
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
專題： 計算題.
分析： (1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得CA=CB，∠ACB=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACB等于旋轉(zhuǎn)角，于是可判斷旋轉(zhuǎn)的最小角度為90°;
(2)連結(jié)PP′，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP= ，P′A=PB=10，則可判斷△CPP′為等腰直角三角形，得到PP′= CP=6，∠CPP′=45°，然后利用勾股定理的逆定理判斷△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，于是利用∠APC=∠APP′+∠CPP′計算即可.
解答： 解：(1)∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠ACB=90°，
∵△CPB繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△CP′A，
∴∠ACB等于旋轉(zhuǎn)角，
∴旋轉(zhuǎn)的最小角度為90°;
(2)連結(jié)PP′，如圖，
∵△CPB繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△CP′A，
∴∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP= ，P′A=PB=10，
∴△CPP′為等腰直角三角形，
∴PP′= CP= × =6，∠CPP′=45°，
在△APP′中，∵PP′=6，PA=8，P′A=10，
∴PP′2+PA2=P′A2，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴∠APC=∠APP′+∠CPP′=90°+45°=135°.
點評： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角; 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.
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