山東煙臺高三一?？荚嚁?shù)學試卷(2)
山東煙臺高三一?？荚嚁?shù)學試卷
山東煙臺高三一?？荚嚁?shù)學試卷答案
一、選擇題：本大題共10小題;每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，把正確選項的代號涂在答題卡上.
1.已知集合A={x|0
A.[0，1) B.(0，1) C.[1，3) D.(1，3)
【考點】交、并、補集的混合運算.
【分析】求出B中x的范圍確定出B，根據(jù)全集R求出B的補集，找出A與B補集的交集即可.
【解答】解：由y= ，得到x2﹣1≥0，
解得：x≥1或x≤﹣1，即B=(﹣∞，﹣1]∪[1，+∞)，
∵全集為R，A=(0，3)，
∴∁RB=(﹣1，1)，
則A∩(∁RB)=(0，1).
故選：B.
2.復數(shù)z滿足 =i(i為虛數(shù)單位)，則 =( )
A.1+i B.1﹣i C. D.
【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算.
【分析】設出復數(shù)z，利用復數(shù)相等的充要條件求解即可.
【解答】解：復數(shù)z滿足 =i，設z=a+bi，
可得：a+bi=(a+bi﹣i)i，
可得： ，解得a=b= ，
∴ = .
故選：D.
3.記集合A={(x，y)|x2+y2≤16}，集合B={(x，y)|x+y﹣4≤0，(x，y)∈A}表示的平面區(qū)域分別為Ω1，Ω2.若在區(qū)域Ω1內任取一點P(x，y)，則點P落在區(qū)域Ω2中的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】幾何概型.
【分析】由題意，根據(jù)幾何概型的公式，只要求出平面區(qū)域Ω1，Ω2的面積，利用面積比求值.
【解答】解：由題意，兩個區(qū)域對應的圖形如圖，
其中 ， ，
由幾何概型的公式可得點P落在區(qū)域Ω2中的概率為 ;
故選B.
4.不等式|x﹣3|+|x+1|>6的解集為( )
A.(﹣∞，﹣2) B.(4，+∞) C.(﹣∞，﹣2)∪(4，+∞) D.(﹣2，4)
【考點】絕對值不等式的解法.
【分析】分類討論，利用絕對值的幾何意義，即可得出結論.
【解答】解：x<﹣1時，﹣x+3﹣x﹣1>6，∴x<﹣2，∴x<﹣2;
﹣1≤x≤3時，﹣x+3+x+1>6，不成立;
x>3時，x﹣3+x+1>6，∴x>4，
∴所求的解集為(﹣∞，﹣2)∪(4，+∞).
故選：C.
5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積與其外接球的體積之比為( )
A.1：3π B. C. D.
【考點】由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖知該幾何體是一個三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，根據(jù)對應的正方體求出外接球的半徑，由柱體、球體的體積公式求出該幾何體的體積與其外接球的體積之比.
【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個三棱柱A′B′D′﹣ABD，如圖：
底面是一個等腰直角三角形，兩條直角邊分別是2、高為2，
∴幾何體的體積V=sh= =4，
由圖得，三棱柱A′B′D′﹣ABD與正方體A′B′C′D′﹣ABCD的外接球相同，且正方體的棱長為2，
∴外接球的半徑R= = ，
則外接球的體積V′= = ，
∴該幾何體的體積與其外接球的體積之比為 = ，
故選：D.
6.△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，2 且| |=| |，則向量 在向量 方向上的投影為( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考點】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義.
【分析】利用向量加法的幾何意義 得出△ABC是以A為直角的直角三角形.由題意畫出圖形，借助圖形求出向量 在向量 方向上的投影.
【解答】解：∵2 ，
∴2 + + = ，
∴ + + + = ，
∴ ，
∴O，B，C共線為直徑，
∴AB⊥AC
∵| |=| |，△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，
∴| |=| |=1，∴| |=2，
∴如圖，| |=1，| |=2，∠A=90°，∠B=60°，
∴向量 在向量 方向上的投影為| |cos60°= .
故選A.
7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：y=f(x﹣1)的圖象關于(1，0)點對稱，且當x≥0時恒有f(x+2)=f(x)，當x∈[0，2)時，f(x)=ex﹣1，則f=( )
A.1﹣e B.e﹣1 C.﹣1﹣e D.e+1
【考點】函數(shù)恒成立問題.
【分析】根據(jù)圖象的平移可知y=f(x)的圖象關于(0，0)點對稱，可得函數(shù)為奇函數(shù)，由題意可知當x≥0時，函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，可得f=f(0)﹣f(1)，求解即可.
【解答】解：∵y=f(x﹣1)的圖象關于(1，0)點對稱，
∴y=f(x)的圖象關于(0，0)點對稱，
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∵當x≥0時恒有f(x+2)=f(x)，當x∈[0，2)時，f(x)=ex﹣1，
∴f
=f
=f(0)﹣f(1)
=0﹣(e﹣1)
=1﹣e，
故選A.
8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=18，則判斷框內應填入的條件是( )
A.k>2? B.k>3? C.k>4? D.k>5?
【考點】程序框圖.
【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸入S的值，條件框內的語句是決定是否結束循環(huán)，模擬執(zhí)行程序即可得到答案.
【解答】解：程序在運行過程中各變量值變化如下表：
k S 是否繼續(xù)循環(huán)
循環(huán)前 1 0
第一圈 2 2 是
第二圈 3 7 是
第三圈 4 18 否
故退出循環(huán)的條件應為k>3?
故選：B.
9.將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ< )個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min= ，則φ=( )
A. B. C. D.
【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.
【分析】利用三角函數(shù)的最值，求出自變量x1，x2的值，然后判斷選項即可.
【解答】解：因為將函數(shù)f(x)=sin2x的周期為π，函數(shù)的圖象向右平移φ(0<φ< )個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x1﹣x2|min= ，
不妨x1= ，x2= ，即g(x)在x2= ，取得最小值，sin(2× ﹣2φ)=﹣1，此時φ= ，不合題意，
x1= ，x2= ，即g(x)在x2= ，取得最大值，sin(2× ﹣2φ)=1，此時φ= ，滿足題意.
故選：D.
10.已知f(x)為定義在(0，+∞)上的單調遞增函數(shù)，對任意x∈(0，+∞)，都滿足f[f(x)﹣log2x]=3，則函數(shù)y=f(x)﹣f′(x)﹣2(f′(x)為f(x)的導函數(shù))的零點所在區(qū)間是( )
A. B. C.(1，2) D.(2，3)
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.
【分析】設t=f(x)﹣log2x，則f(x)=log2x+t，又由f(t)=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f(x)的解析式，由二分法分析可得h(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2).
【解答】解：根據(jù)題意，對任意的x∈(0，+∞)，都有f[f(x)﹣log2x]=3，
又由f(x)是定義在(0，+∞)上的單調遞增函數(shù)，
則f(x)﹣log2x為定值，
設t=f(x)﹣log2x，則f(x)=log2x+t，
又由f(t)=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2;
則f(x)=log2x+2，f′(x)= ，
將f(x)=log2x+2，f′(x)= 代入f(x)﹣f′(x)=2，
可得log2x+2﹣=2，
即log2x﹣ =0，
令h(x)=log2x﹣ ，
分析易得h(1)= <0，h(2)=1﹣ >0，
則h(x)的零點在(1，2)之間，
故選：C.
二、填空題：本大題共有5個小題，每小題5分，共25分.把正確答案填在答題卡的相應位置.
11.已知100名學生某月飲料消費支出情況的頻率分布直方圖如圖所示.則這100名學生中，該月飲料消費支出超過150元的人數(shù)是 30 .
【考點】頻率分布直方圖.
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關系，即可求出正確的結果.
【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，得;
消費支出超過150元的頻率(0.004+0.002)×50=0.3，
∴消費支出超過150元的人數(shù)是100×0.3=30.
故答案為：30.
12.已知a= sinxdx則二項式(1﹣ )5的展開式中x﹣3的系數(shù)為 ﹣80 .
【考點】二項式定理;定積分.
【分析】利用積分求出a的值，然后求解二項展開式所求項的系數(shù).
【解答】解：a= sinxdx=﹣cosx =﹣(cosπ﹣cos0)=2.
二項式(1﹣ )5的展開式中x﹣3的系數(shù)為： ，
故答案為：﹣80.
13.若變量x，y滿足約束條件 ，且z=2x+y的最小值為﹣6，則k= ﹣2 .
【考點】簡單線性規(guī)劃.
【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即先確定z的最優(yōu)解，然后確定k的值即可.
【解答】解：作出不等式對應的平面區(qū)域，(陰影部分)
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點A時，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時z最小.
目標函數(shù)為2x+y=﹣6，
由 ，解得 ，
即A(﹣2，﹣2)，
∵點A也在直線y=k上，
∴k=﹣2，
故答案為：﹣2.
14.已知雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x的公共焦點為F，其中一個交點為P，若|PF|=5，則雙曲線的離心率為 2 .
【考點】雙曲線的簡單性質.
【分析】由已知條件推導出設雙曲線方程為 ，且過P(3， )，由此能求出雙曲線的離心率.
【解答】解：∵雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x的公共焦點為F，
∴雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2，0)，
∵雙曲線 ﹣ =1與拋物線y2=8x的一個交點為P，|PF|=5，
∴xP=5﹣2=3，yP= = ，
∴設雙曲線方程為 ，
把P(3， )代入，得
解得a2=1，或a2=36(舍)，
∴e= =2.
故答案為：2.
15.設函數(shù)f(x)= ，若函數(shù)y=2[f(x)]2+2bf(x)+1有8個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是 (﹣ ，﹣ ) .
【考點】函數(shù)零點的判定定理.
【分析】由題意可得即要求對應于f(x)=某個常數(shù)k，有2個不同的k，每一個常數(shù)可以找到4個x與之對應，就出現(xiàn)了8個不同實數(shù)解.故先根據(jù)題意作出f(x)的簡圖，由圖可知，只有滿足條件的k在開區(qū)間(0，1)時符合題意.再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可得b的不等式，可以得出答案.
【解答】解：根據(jù)題意作出f(x)的簡圖：
由圖象可得當f(x)∈(0，1)時，
函數(shù)有四個不同零點.
若方程2f2(x)+2bf(x)+1=0有8個不同實數(shù)解，令k=f(x)，
則關于k的方程2k2+2bk+1=0有兩個不同的實數(shù)根k1、k2，且k1和k2均為大于0且小于1的實數(shù).
即有k1+k2=﹣b，k1k2= .
故： ，即 ，
可得﹣
故答案為：(﹣ ，﹣ ).
三、解答題：本大題共6個小題，共75分.解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或推理步驟.
16.已知函數(shù) .
(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上的最值;
(2)設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足 ，f(C)=1，且sinB=2sinA，求a、b的值.
【考點】正弦定理;三角函數(shù)中的恒等變換應用;余弦定理.
【分析】(1)展開兩角和與差的正弦、余弦，然后利用輔助角公式化積，結合x的范圍求得函數(shù)的最值;
(2)由f(C)=1求得C值，再由正弦定理把已知等式化角為邊，結合余弦定理求得a、b的值.
【解答】解：(1)∵
=
= +sin2x﹣cos2x
=
= .
∵ ，∴2x﹣ ，
∴f(x)在2x﹣ =﹣ ，即x=﹣ 時，取最小值 ;
在2x﹣ = 時，即x= 時，取最大值1;
(2)f(C)=sin(2C﹣ )=1，
∵0
∴ ，則 ，C= .
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理得：b=2a，①
由余弦定理得： ，
即c2=a2+b2﹣ab=3，②
解①②得：a=1，b=2.
17.設函數(shù) ，數(shù)列{an}滿足 ，n∈N*，且n≥2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對n∈N*，設 ，若 恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.
【考點】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.
【分析】(1)通過代入計算可知an﹣an﹣1= (n≥2)，進而可知數(shù)列{an}是首項為1、公差為 的等差數(shù)列，計算即得結論;
(2)通過(1)裂項可知 = ( ﹣ )，進而并項相加可知Sn= ，問題轉化為求 的最小值，通過令g(x)= (x>0)，求導可知g(x)為增函數(shù)，進而計算可得結論.
【解答】解：(1)依題意，an﹣an﹣1= (n≥2)，
又∵a1=1，
∴數(shù)列{an}是首項為1、公差為 的等差數(shù)列，
故其通項公式an=1+ (n﹣1)= ;
(2)由(1)可知an+1= ，
∴ = ( ﹣ )，
∴
= ( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= ，
恒成立等價于 ≥ ，即t≤ 恒成立.
令g(x)= (x>0)，則g′(x)= >0，
∴g(x)= (x>0)為增函數(shù)，
∴當n=1時 取最小值 ，
故實數(shù)t的取值范圍是(﹣∞， ].
18.某集成電路由2個不同的電子元件組成.每個電子元件出現(xiàn)故障的概率分別為 .兩個電子元件能否正常工作相互獨立，只有兩個電子元件都正常工作該集成電路才能正常工作.
(1)求該集成電路不能正常工作的概率;
(2)如果該集成電路能正常工作，則出售該集成電路可獲利40元;如果該集成電路不能正常工作，則每件虧損80元(即獲利﹣80元).已知一包裝箱中有4塊集成電路，記該箱集成電路獲利x元，求x的分布列，并求出均值E(x).
【考點】離散型隨機變量的期望與方差;互斥事件的概率加法公式;相互獨立事件的概率乘法公式;離散型隨機變量及其分布列.
【分析】(1)記“該集成電路不正常工作”為事件A，利用對立事件概率計算公式能求出該集成電路不能正常工作的概率.
(2)由已知，可知X的取值為﹣320，﹣200，﹣80，40，160，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX.
【解答】解：(1)記“該集成電路不正常工作”為事件A，
則P(A)=1﹣(1﹣ )×(1﹣ )= ，
∴該集成電路不能正常工作的概率為 .
(2)由已知，可知X的取值為﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
P(X=﹣320)=( )2= ，
P(X=﹣200)= ，
P(X=﹣80)= = ，
P(X=40)= = ，
P(X=160)=( )4= ，
∴X的分布列為：
X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160
P
∴EX= 160× =40.
19.如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE﹣BCF和一個正四棱錐P﹣ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2.
(1)證明：平面PAD⊥平面ABFE;
(2)求正四棱錐P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
【考點】二面角的平面角及求法;平面與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)證明：AD⊥平面ABFE，即可證明平面PAD⊥平面ABFE;
(Ⅱ)建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關系即可求正四棱錐P﹣ABCD的高.
【解答】(Ⅰ)證明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，
所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，
所以：平面PAD⊥平面ABFE….
(Ⅱ)∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A為坐標原點，AB，AE，AD分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
設正四棱錐P﹣ABCD的高為h，AE=AD=2，
則A(0，0，0)，F(xiàn)(2，2，0)，C(2，0，2)，
=(2，2，0)， =(2，0，2)， =(1，﹣h，1)，
=(x，y，z)是平面AFC的法向量，則 ，
令x=1，則y=z=﹣1，即 =(1，﹣1，﹣1)，
設 =(x，y，z)是平面ACP的法向量，
則 ，令x=1，則y=﹣1，z=﹣1﹣h，即 =(1，﹣1，﹣1﹣h)，
∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
∴cos< ， >= = = .
得h=1或h=﹣ (舍)
則正四棱錐P﹣ABCD的高h=1.
20.已知函數(shù)f(x)=eax(其中e=2.71828…)， .
(1)若g(x)在[1，+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當 時，求函數(shù)g(x)在[m，m+1](m>0)上的最小值.
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性;利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調性得到a≥ 在x∈[1，+∞)上恒成立，而 ≤1，從而求出a的范圍即可;
(2)將a的值代入g(x)，通過討論m的范圍，判斷出g(x)的單調性，從而求出對應的g(x)的最小值即可.
【解答】解：(1)由題意得g(x)= = 在[1，+∞)上是增函數(shù)，
故 = ≥0在[1，+∞)上恒成立，
即ax﹣1≥0在[1，+∞)恒成立，
a≥ 在x∈[1，+∞)上恒成立，而 ≤1，
∴a≥1;
(2)當a= 時，g(x)= ，g′(x)= ，
當x>2時，g′(x)>0，g(x)在[2，+∞)遞增，
當x<2且x≠0時，g′(x)<0，即g(x)在(0，2)，(﹣∞，0)遞減，
又m>0，∴m+1>1，
故當m≥2時，g(x)在[m，m+1]上遞增，此時，g(x)min=g(m)= ，
當1
當0
綜上，當0
21.已知橢圓C： =1，點M(x0，y0)是橢圓C上一點，圓M：(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=r2.
(1)若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程;
(2)從原點O向圓M：(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 作兩條切線分別與橢圓C交于P，Q兩點(P，Q不在坐標軸上)，設OP，OQ的斜率分別為k1，k2.
?、僭噯杒1k2是否為定值?若是，求出這個定值;若不是，說明理由;
?、谇髚OP|•|OQ|的最大值.
【考點】橢圓的簡單性質.
【分析】(1)先求出圓心M( ， )，由此能求出圓M的方程.
(2)①推導出k1，k2是方程 =0的兩根，由此能利用韋達定理能求出k1k2為定值.
?、谠OP(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立 ，由此利用橢圓性質，結合已知條件能求出|OP|•|OQ|的最大值.
【解答】解：(1)橢圓C右焦點的坐標為( ，0)，
∴圓心M( ， )，
∴圓M的方程為(x﹣ )2+(y± )2= .
(2)①∵圓M與直線OP：y=k1x相切，∴ = ，
即(4﹣5 ) +10x0y0k1+4﹣5y02=0，
同理，(4﹣5x02)k2+10x0y0k+4﹣5 =0，
∴k1，k2是方程 =0的兩根，
∴k1k2= = = =﹣ .
?、谠OP(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立 ，
解得 ， ，
同理， ， ，
∴(|PQ|•|OQ|)2=( )•( )
= • = ≤ = ，
當且僅當k1=± 時，取等號，
∴|OP|•|OQ|的最大值為 .
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