高三理科數(shù)學(xué)一?？荚嚲砑按鸢?/h1>
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高三的理科數(shù)學(xué)大家復(fù)習(xí)的如何?馬上就要一?？荚嚵耍瑪?shù)學(xué)往年的一模試卷要抓緊時間做。下面由學(xué)習(xí)啦小編為大家提供關(guān)于高三理科數(shù)學(xué)一?？荚嚲砑按鸢?，希望對大家有幫助!
高三理科數(shù)學(xué)一?？荚嚲磉x擇題
本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求.
1.已知z= (i為虛數(shù)單位)，則|z|=( )
A. B.1 C. D.2
2.計算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的結(jié)果為( )
A. B. C. D.
3.設(shè)命題p：∀a>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)是增函數(shù)，則￢p為( )
A.∃a0<1，函數(shù)f(x)=xa0(x>0)是減函數(shù)
B.∀a>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是減函數(shù)
C.∃a0>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是增函數(shù)
D.∀a>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)是減函數(shù)
4.位于平面直角坐標(biāo)系原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向是向上或向下，并且向上移動的概率為 ，則質(zhì)點P移動4次后位于點(0，2)的概率是( )
A. B. C. D.
5.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左右焦點，O為坐標(biāo)原點，若按雙曲線右支上存在一點P，使 • =0，且| |=| |，則雙曲線的離心率為( )
A.1± B.1+ C.2 D.
6.一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4m，側(cè)面展開圖的圓心角為 ，則這個圓錐的體積等于( )
A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3
7.已知向量 =(1，λ)， =(2，1)，若2 + 與 =(1，﹣2)共線，則 在 方向上的投影是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣
8.已知函數(shù)f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0)，函數(shù)f(x)相鄰兩個零點之間的絕對值為 ，則下列為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的是( )
A.[0， ] B.[ ，π] C.[ ， ] D.[ ， ]
9.在如下程序框圖中，已知f0(x)=sinx，則輸出的結(jié)果是( )
A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx
10.(x2﹣3x+2)5的展開式中，含x項的系數(shù)為( )
A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120
11.如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為( )
A.4 π B.12π C.12 π D.24π
12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當(dāng)x∈[0，2)時，f(x)= ，函數(shù)g(x)=(2x﹣x2)ex+m，若∀x1∈[﹣4，﹣2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞，﹣2] B.(﹣∞， +2] C.[ +2，+∞) D.(﹣∞， ﹣2]
高三理科數(shù)學(xué)一?？荚嚲矸沁x擇題
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共25分.
13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=2x+1，則f(﹣2)等于 .
14.中心在原點的橢圓C的一個頂點是圓E：x2+y2﹣4x+3=0的圓心，一個焦點是圓E與x軸其中的一個交點，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
15.若變量x，y滿足 ，則z= 的取值范圍是 .
16.如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1200m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為 .
三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點( ，Sn)在曲線y=2x2﹣2上.
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
18. 如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，∠PAD=120°，E和F分別是棱CD和PC的中點.
(1)求證：平面BEF⊥平面PCD;
(2)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.
19.在一次考試中，5名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績?nèi)绫硭荆?/p>
學(xué)生 A B C D E
數(shù)學(xué)(x分) 89 91 93 95 97
物理(y分) 87 89 89 92 93
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求物理分y關(guān)于數(shù)學(xué)分x的回歸方程;
(2)試估計某同學(xué)數(shù)學(xué)考100分時，他的物理得分;
(3)要從4名數(shù)學(xué)成績在90分以上的同學(xué)中選出2名參加一項活動，以X表示選中的同學(xué)中物理成績高于90分的人數(shù)，試解決下列問題：
?、偾笾辽龠x中1名物理成績在90分以下的同學(xué)的概率;
?、谇箅S機(jī)變變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
(附：回歸方程：： = x+ 中 = ， = ﹣b )
20.如圖所示，已知點A(﹣1，0)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的焦點，過點A的直線與拋物線交于M，N兩點，過點M的直線交拋物線于另一個點Q，且直線MQ過點B(1，﹣1).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證：直線QN過定點.
21.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2，且函數(shù)f(x)在點(2，f(2))處 的切線的一個方向向量是(2，﹣3).
(1)若關(guān)于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在區(qū)間[ ，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍;
(2)證明： ( )2> (n∈N*，且n≥2)
請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-1：幾何證明選講]
22.如圖，AB是圓O的直徑，C，F(xiàn)為圓O上的點，CA是∠BAF的角平分線，CD與圓O切于點C，且交AF的延長線于點D，CM⊥AB，垂足為點M.
(1)求證：DF=BM;
(2)若圓O的半徑為1，∠BAC=60°，試求線段CD的長.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
23.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸為正半軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，a為常數(shù)).
(1)求直線l普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l分圓C所得的兩弧長度之比為1：2，求實數(shù)a的值.
[選修4-5：不等式選講]
24.已知函數(shù)f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|，g(x)=x+1.
(1)當(dāng)k=1時，求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立，求實數(shù)k的取值范圍.
高三理科數(shù)學(xué)一?？荚嚲泶鸢?/h2>
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求.
1.已知z= (i為虛數(shù)單位)，則|z|=( )
A. B.1 C. D.2
【考點】復(fù)數(shù)求模.
【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;定義法;數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).
【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則和模的計算公式即可得出.
【解答】解：z= = = = = + i，
∴|z|= =1，
故選：B.
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則和模的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.
2.計算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的結(jié)果為( )
A. B. C. D.
【考點】兩角和與差的正弦函數(shù).
【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的求值.
【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，化簡所給的式子，可得結(jié)果.
【解答】解：﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°=﹣sin47°(﹣cos17°)﹣cos47°sin17°
=sin(47°﹣17°)=sin30°= ，
故選：A.
【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
3.設(shè)命題p：∀a>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)是增函數(shù)，則￢p為( )
A.∃a0<1，函數(shù)f(x)=xa0(x>0)是減函數(shù)
B.∀a>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是減函數(shù)
C.∃a0>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是增函數(shù)
D.∀a>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)是減函數(shù)
【考點】命題的否定.
【專題】計算題;規(guī)律型;簡易邏輯.
【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可.
【解答】解：因為全稱命題是否定是特稱命題，所以，命題p：∀a>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)是增函數(shù)，則￢p為：∃a0>1，函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是增函數(shù).
故選：C.
【點評】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.
4.位于平面直角坐標(biāo)系原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向是向上或向下，并且向上移動的概率為 ，則質(zhì)點P移動4次后位于點(0，2)的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】幾何概型.
【專題】計算題;方程思想;綜合法;概率與統(tǒng)計.
【分析】根據(jù)題意，分析可得質(zhì)點P移動4次后位于點(0，2)，其中向上移動3次，向右下移動1次，進(jìn)而借助排列、組合知識，由相互獨立事件的概率公式，計算可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，質(zhì)點P移動4次后位于點(0，2)，其中向上移動3次，向右下移動1次;
則其概率為C41×( )1×( )3= ，
故選：D.
【點評】本題考查相互獨立事件的概率的計算，其難點在于分析質(zhì)點P移動4次后位于點(0，2)，其中向上移動3次，向右下移動1次的情況，這里要借助排列組合的知識.
5.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左右焦點，O為坐標(biāo)原點，若按雙曲線右支上存在一點P，使 • =0，且| |=| |，則雙曲線的離心率為( )
A.1± B.1+ C.2 D.
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).
【專題】方程思想;分析法;平面向量及應(yīng)用;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】由題意可得PF2⊥x軸，且|PF2|=2c，令x=c代入雙曲線的方程，可得 =2c，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程即可得到所求值.
【解答】解：由題意可得PF2⊥x軸，且|PF2|=2c，
由x=c代入雙曲線的方程可得y=±b =± ，
即有 =2c，即c2﹣a2﹣2ac=0，
由e= ，可得e2﹣2e﹣1=0，
解得e=1+ (負(fù)的舍去).
故選：B.
【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及運用方程求解的思想，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6.一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4m，側(cè)面展開圖的圓心角為 ，則這個圓錐的體積等于( )
A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3
【考點】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺).
【專題】計算題;函數(shù)思想;綜合法;空間位置關(guān)系與距離;立體幾何.
【分析】根據(jù)已知求出圓錐的底面半徑和高，代入圓錐體積公式，可得答案.
【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，
圓錐形物體的母線長l=4m，側(cè)面展開圖的圓心角為 ，
故2πr= l，
解得：r= m，
故圓錐的高h(yuǎn)= = m，
故圓錐的體積V= = πm3，
故選：D
【點評】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握圓錐的幾何特征和體積公式是解答的關(guān)鍵.
7.已知向量 =(1，λ)， =(2，1)，若2 + 與 =(1，﹣2)共線，則 在 方向上的投影是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣
【考點】平面向量數(shù)量積的運算.
【專題】對應(yīng)思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用.
【分析】根據(jù)向量共線求出λ，再代入平面向量的投影公式計算.
【解答】解：2 + =(4，2λ+1)，
∵2 + 與 =(1，﹣2)共線，
∴﹣8﹣(2λ+1)=0，解得λ=﹣ .
∴ ， =2﹣ =﹣ .
∴ 在 方向上的投影為| |× = =﹣ .
故選：D.
【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量共線與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
8.已知函數(shù)f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0)，函數(shù)f(x)相鄰兩個零點之間的絕對值為 ，則下列為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的是( )
A.[0， ] B.[ ，π] C.[ ， ] D.[ ， ]
【考點】余弦函數(shù)的圖象.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).
【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【解答】解：由函數(shù)f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0)，函數(shù)f(x)相鄰兩個零點之間的絕對值為 ，
可得 • = ，∴ω=2，函數(shù)f(x)=3cos( ﹣2x)=3cos(2x﹣ ).
令2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+π，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，
可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z.
結(jié)合所給的選項，
故選：C.
【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
9.在如下程序框圖中，已知f0(x)=sinx，則輸出的結(jié)果是( )
A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx
【考點】程序框圖.
【專題】計算題;圖表型;數(shù)學(xué)模型法;算法和程序框圖.
【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，模擬程序的運行，分析程序運行過程中函數(shù)值呈現(xiàn)周期性變化，求出周期T后，不難得到輸出結(jié)果.
【解答】解：∵f0(x)=sinx，
f1(x)=cosx，
f2(x)=﹣sinx，
f3(x)=﹣cosx，
f4(x)=sinx，
f5(x)=cosx.
∴題目中的函數(shù)為周期函數(shù)，且周期T=4，
∴f2005(x)=f1(x)=cosx.
故選：B.
【點評】根據(jù)流程圖(或偽代碼)寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖(或偽代碼)，從流程圖(或偽代碼)中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)(如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理)⇒②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模.
10.(x2﹣3x+2)5的展開式中，含x項的系數(shù)為( )
A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120
【考點】二項式定理的應(yīng)用.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項式定理.
【分析】根據(jù)(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5，利用二項式定理展開，可得含x項的系數(shù).
【解答】解：由于(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5
=[ •x5﹣ •x4+ •x3﹣ •x2+ •x﹣1]•[ •x5﹣2 •x4+4 •x3﹣8 •x2+16 •x﹣32]，
故展開式中，含x項的系數(shù)為﹣32• ﹣16• =﹣240，
故選：A.
【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.
11.如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為( )
A.4 π B.12π C.12 π D.24π
【考點】由三視圖求面積、體積.
【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;立體幾何.
【分析】幾何體為直三棱柱，作出直觀圖，根據(jù)三棱柱的結(jié)構(gòu)特征找出外接球的球心外置，計算半徑.
【解答】解：由三視圖可知該幾何體為直三棱柱ABC﹣A'B'C'，
作出直觀圖如圖所示：則AB⊥BC，AB=BC=2，AA'=2.∴AC=2 .
∴三棱柱的外接球球心為平面ACC'A'的中心O，
∴外接球半徑r=OA= AC'= = .
∴外接球的表面積S=4π× =12π.
故選B.
【點評】本題考查了棱柱與外接球的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.
12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當(dāng)x∈[0，2)時，f(x)= ，函數(shù)g(x)=(2x﹣x2)ex+m，若∀x1∈[﹣4，﹣2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞，﹣2] B.(﹣∞， +2] C.[ +2，+∞) D.(﹣∞， ﹣2]
【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】函數(shù)思想;分析法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.
【分析】由f(x+2)=f(x)，可得周期T=2，可得f(x)在[0，2]的最小值即為f(x)在[﹣4，﹣2]的最小值，運用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得f(x)的最小值;對g(x)，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，最值，可得g(x)的最小值，由題意可得f(x)min≥g(x)min，解不等式即可得到所求范圍.
【解答】解：由f(x+2)=f(x)，可得周期T=2，
可得f(x)在[0，2]的最小值即為f(x)在[﹣4，﹣2]的最小值，
當(dāng)0≤x<1時，f(x)= ﹣2x2>f(1)= ﹣2=﹣ ，
當(dāng)1≤x<2時，f(x)= ，
f(x)在[1， )遞減，在[ ，2)遞增，
可得f(x)在x= 處取得最小值，且為﹣2;
由﹣2<﹣ ，可得f(x)在[0，2]的最小值為﹣2;
對于g(x)=(2x﹣x2)ex+m，g′(x)=(2﹣x2)ex，
當(dāng)x∈[﹣1， ]時，g′(x)>0，g(x)遞增;
當(dāng)x∈[ ，2]時，g′(x)<0，g(x)遞減.
可得x= 處g(x)取得極大值，也為最大值;
g(﹣1)=﹣3e﹣1+m
由題意可得f(x)min≥g(x)min，
即為﹣2≥﹣3e﹣1+m，即m≤ ﹣2.
故選：D.
【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查周期性和單調(diào)性的運用，注意運用最大值、最小值來解決恒成立和存在性問題，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共25分.
13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=2x+1，則f(﹣2)等于 5 .
【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).
【專題】計算題;函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義有f(﹣2)=f(2)，從而將x=2帶入x>0時的解析式f(x)=2x+1即可求出f(2)，從而得出f(﹣2)的值.
【解答】解：f(﹣2)=f(2)=22+1=5.
故答案為：5.
【點評】考查偶函數(shù)的定義，以及已知函數(shù)求值時，要注意函數(shù)的定義域.
14.中心在原點的橢圓C的一個頂點是圓E：x2+y2﹣4x+3=0的圓心，一個焦點是圓E與x軸其中的一個交點，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【考點】橢圓的簡單性質(zhì).
【專題】計算題;方程思想;數(shù)學(xué)模型法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和圓與x軸的交點，結(jié)合隱含條件求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解答】解：由x2+y2﹣4x+3=0，得(x﹣2)2+y2=1，
∴圓E的圓心為(2，0)，與x軸的交點為(1，0)，(3，0)，
由題意可得，橢圓的右頂點為(2，0)，右焦點為(1，0)，
則a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： .
故答案為： .
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題.
15.若變量x，y滿足 ，則z= 的取值范圍是 [0，1] .
【考點】簡單線性規(guī)劃.
【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;不等式.
【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義結(jié)合斜率公式進(jìn)行求解即可.
【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點(﹣1，0)的斜率，
由圖象知CD的斜率最小為0，
AD的斜率最大，
由 得 .即A(0，1)，
此時z= = =1，
即0≤z≤1，
故答案為：[0，1]
【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線斜率的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.
16.如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1200m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為 600 m .
【考點】解三角形的實際應(yīng)用.
【專題】數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;解三角形.
【分析】在△ACM中由正弦定理解出AC，在Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得出CD.
【解答】解：在△ACM中，∠MCA=60°﹣15°=45°，∠AMC=180°﹣60°=120°，
由正弦定理得 ，即 ，解得AC=600 .
在△ACD中，∵tan∠DAC= = ，
∴DC=ACtan∠DAC=600 × =600 .
故答案為：600 .
【點評】本題考查了解三角形的應(yīng)用，尋找合適的三角形是解題的關(guān)鍵.
三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點( ，Sn)在曲線y=2x2﹣2上.
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
【考點】數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項公式.
【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;等差數(shù)列與等比數(shù)列.
【分析】(1)通過Sn=2an﹣2與Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2)作差，進(jìn)而可得數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列;
(2)通過(1)裂項可知bn=4( ﹣ )，進(jìn)而并項相加即得結(jié)論.
【解答】(1)證明：依題意，Sn=2an﹣2，
∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2)，
兩式相減得：an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1，
又∵a1=2a1﹣2，即a1=2，
∴數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列;
(2)解：由(1)可知an=2n，
∴bn= = = =4( ﹣ )，
∴Tn=4(1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
=4(1﹣ )
= .
【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題.
18. 如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，∠PAD=120°，E和F分別是棱CD和PC的中點.
(1)求證：平面BEF⊥平面PCD;
(2)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.
【考點】直線與平面所成的角;平面與平面垂直的判定.
【專題】證明題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間位置關(guān)系與距離.
【分析】(1)先推導(dǎo)出四邊形ABED是矩形，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而CD⊥PD，CD⊥EF，CD⊥BE，由此得到CD⊥平面BEF，由此能證明平面BEF⊥平面PCD.
(2)以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)角系，利用向量法能求出直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.
【解答】證明：(1)∵BC=BD，E為CD中點，∴BE⊥CD，
∵AB∥CD，∴CD=2AB，
∴AB∥DE，且AB=DE，∴四邊形ABED是矩形，
∴BE∥AD，BE=AD，AB⊥AD，
∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，且CD⊥AD，
又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥EF，
∵EF∩BE=E，∴EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，
又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF，
∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
解：(2)以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)角系，
∵PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，∠PAD=120°，
∴PA= = =2，AD=BE= =2，
BC= = =2，
則P(0，﹣1， )，D(0，2，0)，B( )，C(2 ，2，0)，
=(0，3，﹣ )， =(﹣ )， =( )，
設(shè)平面PBC的法向量 =(x，y，z)，
則 ，取x= ，得 =( ， )，
設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為θ，
sinθ=|cos< >|=| |=| |= .
∴直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為 .
【點評】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，則中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用.
19.在一次考試中，5名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績?nèi)绫硭荆?/p>
學(xué)生 A B C D E
數(shù)學(xué)(x分) 89 91 93 95 97
物理(y分) 87 89 89 92 93
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求物理分y關(guān)于數(shù)學(xué)分x的回歸方程;
(2)試估計某同學(xué)數(shù)學(xué)考100分時，他的物理得分;
(3)要從4名數(shù)學(xué)成績在90分以上的同學(xué)中選出2名參加一項活動，以X表示選中的同學(xué)中物理成績高于90分的人數(shù)，試解決下列問題：
?、偾笾辽龠x中1名物理成績在90分以下的同學(xué)的概率;
②求隨機(jī)變變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
(附：回歸方程：： = x+ 中 = ， = ﹣b )
【考點】線性回歸方程.
【專題】函數(shù)思想;綜合法;概率與統(tǒng)計.
【分析】(1)根據(jù)回歸系數(shù)公式計算回歸系數(shù)，得出回歸方程;
(2)根據(jù)回歸方程估計;
(3)依次計算X=0，1，2時的概率，列出分布列計算數(shù)學(xué)期望.
【解答】解：(1) ， .
=(﹣4)2+(﹣2)2+0+22+42=40.
=(﹣4)×(﹣3)+(﹣2)×(﹣1)+0+2×2+4×3=30.
∴ = ， =90﹣0.75×93=20.25.
∴物理分y關(guān)于數(shù)學(xué)分x的回歸方程為 =0.75x+20.25.
(2)當(dāng)x=100時， =0.75×100+20.25=95.25分.
(3)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.
P(X=0)= = .
P(X=1)= = .
P(X=2)= = .
?、僦辽龠x中1名物理成績在90分以下的同學(xué)的概率為P=P(X=0)+P(X=1)= .
②X的分布列為：
X 0 1 2
P
∴X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0× +1× +2× =1.
【點評】本題考查了線性回歸方程的解法，古典概型的概率計算，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.
20.如圖所示，已知點A(﹣1，0)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的焦點，過點A的直線與拋物線交于M，N兩點，過點M的直線交拋物線于另一個點Q，且直線MQ過點B(1，﹣1).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證：直線QN過定點.
【考點】拋物線的簡單性質(zhì).
【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】(1)由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣1，即可求出拋物線的方程;
(2)設(shè)AM的方程為y=k(x+1)，代入拋物線的方程，可得ky2﹣4y+4k=0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，則y1y2=4，直線MB的方程為y+1= (x﹣1)，可得y2y3+4(y2+y3)+4=0，直線QN的方程為y﹣y2= (x﹣x2)，可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0，即可得出直線QN過定點.
【解答】(1)解：由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣1，
∴拋物線的方程為y2=4x;
(2)證明：設(shè)AM的方程為y=k(x+1)，代入拋物線的方程，可得ky2﹣4y+4k=0
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，則y1y2=4，
由kMQ= = = ，
直線MB的方程為y+1= (x﹣1)，
∴y1+1= (x1﹣1)，
可得y1=﹣ ，
∴ =﹣ ，
∴y2y3+4(y2+y3)+4=0
直線QN的方程為y﹣y2= (x﹣x2)
可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0，
∴x=1，y=﹣4，
∴直線QN過定點(1，﹣4)
【點評】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
21.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2，且函數(shù)f(x)在點(2，f(2))處 的切線的一個方向向量是(2，﹣3).
(1)若關(guān)于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在區(qū)間[ ，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍;
(2)證明： ( )2> (n∈N*，且n≥2)
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;根的存在性及根的個數(shù)判斷.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;分析法;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.
【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a的值，由題意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，即為g(x)=lnx+x2﹣3x和直線y=﹣b在[ ，2]上有兩個交點，求得g(x)的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間，即可得到所求b的范圍;
(2)可得當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)遞減.即有l(wèi)nx﹣ x2<﹣ ，即為lnx< (x2﹣1)，即有 > = ﹣ ，可令x=2，3，…，n，累加即可得證.
【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= ﹣2ax，
由題意可得在點(2，f(2))處的切線斜率為 ﹣4a=﹣ ，
解得a= ，
即有f(x)=lnx﹣ x2，
由題意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
即為g(x)=lnx+x2﹣3x和直線y=﹣b在[ ，2]上有兩個交點，
由g(x)的導(dǎo)數(shù)為g′(x)= +2x﹣3= ，
當(dāng)
當(dāng)1
則有g(shù)(1)<﹣b≤g( )，
即為﹣2<﹣b≤﹣ln2﹣ ，解得ln2+ ≤b<2;
(2)證明：由f(x)=lnx﹣ x2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= ﹣x= ，
當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)遞減.
即有l(wèi)nx﹣ x2<﹣ ，即為lnx< (x2﹣1)，
即有 > = ﹣ ，
則有 + +…+ >1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣
=1+ ﹣ ﹣ = =
=(3+ )• > .
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和不等式的證明，注意運用函數(shù)的單調(diào)性和累加法，考查運算能力，屬于中檔題.
請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-1：幾何證明選講]
22.如圖，AB是圓O的直徑，C，F(xiàn)為圓O上的點，CA是∠BAF的角平分線，CD與圓O切于點C，且交AF的延長線于點D，CM⊥AB，垂足為點M.
(1)求證：DF=BM;
(2)若圓O的半徑為1，∠BAC=60°，試求線段CD的長.
【考點】與圓有關(guān)的比例線段.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;推理和證明.
【分析】(1)根據(jù)三角形全等以及切割線定理進(jìn)行證明即可證明DF=BM;
(2)根據(jù)三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【解答】解：(1)連接OC，CB，則有∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分線，
∴∠OAC=∠FAC，
∴∠FAC=∠ACO，則OC∥AD，
∵DC是圓O的切線，∴CD⊥OC，
則CD⊥AD，
由題意得△AMC≌△ADC，
∴DC=CM，DA=AM，
由切割線定理得DC2=DF•DA=DF•AM=CM2，①，
在Rt△ABC中，由射影定理得CM2=AM•BM，②，
由①②得DF•AM=AM•MB，即DF=MB.
(2)在Rt△ABC中，AC=ABcos∠BAC=2cos30°=2× = ，
則CM= AC= ，
于是CD=CM= ，
即CD的長為 .
【點評】本題主要考查幾何的推理和證明，根據(jù)切割線定理以及三角形全等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運算和推理能力.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
23.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸為正半軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，a為常數(shù)).
(1)求直線l普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l分圓C所得的兩弧長度之比為1：2，求實數(shù)a的值.
【考點】參數(shù)方程化成普通方程;參數(shù)的意義.
【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;直線與圓;坐標(biāo)系和參數(shù)方程.
【分析】(1)利用極坐標(biāo)公式，把極坐標(biāo)方程化為普通方程，消去參數(shù)t，把參數(shù)方程化為普通方程;
(2)根據(jù)題意，得出直線l被圓C截得的弦所對的圓心角為120°，圓心C到直線l的距離d= r，由此列出方程求出a的值.
【解答】解：(1)圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ﹣2sinθ可化為ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，
利用極坐標(biāo)公式，化為普通方程是x2+y2=4x﹣2y，
即(x﹣2)2+(y+1)2=5;
直線l的參數(shù)方程為 ，
消去參數(shù)t，化為普通方程是y= ﹣ax;
(2)圓C的方程為(x﹣2)2+(y+1)2=5，圓心C為(2，﹣1)，半徑r= ，
直線l的方程為y= ﹣ax，即ax+y﹣ =0，
直線l將圓C分成弧長之比為1：2的兩段圓弧，
∴直線l被圓截得的弦所對的圓心角為120°，
∴圓心C到直線l的距離d= r= ，
即 = ，
整理得11a2﹣24a+4=0，
解得a=2或a= .
【點評】本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，由題意得出圓心C到直線l的距離d等于半徑r的一半是解題的關(guān)鍵.
[選修4-5：不等式選講]
24.已知函數(shù)f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|，g(x)=x+1.
(1)當(dāng)k=1時，求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立，求實數(shù)k的取值范圍.
【考點】絕對值不等式的解法.
【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;不等式的解法及應(yīng)用.
【分析】(1)問題轉(zhuǎn)化為|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0，設(shè)函數(shù)y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1，通過討論x的范圍求出不等式的解集即可;
(2)問題 等價于|2k﹣1|≤2，解出即可.
【解答】解(1)k=1時，不等式f(x)>g(x)化為：|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0，
設(shè)函數(shù)y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1，則y= ，
令y>0，解得：x>4或x< ，
∴原不等式的解集是{x|x< 或x>4};
(2)∵f(x)﹣|kx﹣1|+|kx﹣2k|>|kx﹣1﹣kx+2k|﹣|2k﹣1|，
∴存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立
等價于|2k﹣1|≤2，解得：﹣ ≤k≤ ，
故所求實數(shù)k的范圍是[﹣ ， ].
【點評】本題考查了絕對值不等式問題，考查函數(shù)恒成立問題以及分類討論思想，是一道中檔題.
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