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數(shù)學必修五第一單元提綱

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要想學好數(shù)學,多做題是不可避免的。當然,我們也要善于總結,做好知識點提綱,下面小編給大家分享一些數(shù)學必修五第一單元提綱,希望能夠幫助大家,歡迎閱讀!

數(shù)學必修五第一單元提綱

(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)

1、對應、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應,而函數(shù)又是一種特殊的映射.

2、對于函數(shù)的概念,應注意如下幾點:

(1)掌握構成函數(shù)的三要素,會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式.

(3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數(shù),其中g(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù).

3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:

(1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)將x,y對換,得反函數(shù)的習慣表達式y(tǒng)=f-1(x),并注明定義域.

注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起.

②熟悉的應用,求f-1(x0)的值,合理利用這個結論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運算.

(二)、函數(shù)的解析式與定義域

1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應法則的同時,求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型:

(1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題,這時自變量x有實際意義,求定義域要結合實際意義考慮;

(2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:

①分式的分母不得為零;

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等.

應注意,一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時,定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一個函數(shù)的定義域,求另一個函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.

已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時f(x)的定義域,即g(x)的值域.

2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

(1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關系時,必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學的有關知識尋求函數(shù)的解析式.

(2)有時題設給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù),可設f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設條件,列出方程組,求出a,b即可.

(3)若題設給出復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時,可用換元法求函數(shù)f(x)的表達式,這時必須求出g(x)的值域,這相當于求函數(shù)的定義域.

(4)若已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x),等),必須根據(jù)已知等式,再構造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達式.

(三)、函數(shù)的值域與最值

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:

(1)直接法:亦稱觀察法,對于結構較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質,直接觀察得出函數(shù)的值域.

(2)換元法:運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當根式里一次式時用代數(shù)換元,當根式里是二次式時,用三角換元.

(3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.

(4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法:把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數(shù)的單調性求值域:當能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性,可采用單調性法求出函數(shù)的值域.

(8)數(shù)形結合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結合求函數(shù)的值域.

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實質是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.

如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時,函數(shù)的最小值為2.可見定義域對函數(shù)的值域或最值的影響.

3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用

函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”,“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上,求解時要特別關注實際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值.

(四)、函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義:對于函數(shù)f(x),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點:(1)定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質).

2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式:

注意如下結論的運用:

(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|x|)總是偶函數(shù);

(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù),那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函數(shù),f(x)·g(x)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函數(shù)的復合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

(4)奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關奇偶性的幾個性質及結論

(1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.

(2)如要函數(shù)的定義域關于原點對稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義,則f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定義域關于原點對稱,則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù),G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

(6)奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱,即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),則y=f(x)的圖象關于點(a,0)成中心對稱圖形,即y=f(a+x)為奇函數(shù)。

高中學好數(shù)學的方法是什么

1.學數(shù)學要善于思考,自己想出來的答案遠比別人講出來的答案印象深刻。

2.課前要做好預習,這樣上數(shù)學課時才能把不會的知識點更好的消化吸收掉。

3.數(shù)學公式一定要記熟,并且還要會推導,能舉一反三。

4.學好數(shù)學最基礎的就是把課本知識點及課后習題都掌握好。

5.數(shù)學80%的分數(shù)來源于基礎知識,20%的分數(shù)屬于難點,所以考120分并不難。

6.數(shù)學需要沉下心去做,浮躁的人很難學好數(shù)學,踏踏實實做題才是硬道理。

7.數(shù)學要想學好,不琢磨是行不通的,遇到難題不能躲,研究明白了才能罷休。

8.數(shù)學最主要的就是解題過程,懂得數(shù)學思維很關鍵,思路通了,數(shù)學自然就會了。

9.數(shù)學不是用來看的,而是用來算的,或許這一秒沒思路,當你拿起筆開始計算的那一秒,就豁然開朗了。

10.數(shù)學題目不會做,原因之一就是例題沒研究明白,所以數(shù)學書上的例題絕對不要放過。

高中學數(shù)學的技巧

1.重視課堂的學習效率

新知識的接受和數(shù)學能力的培養(yǎng),主要是在課堂上進行,所以要特別重視課堂的學習效率,上課時要緊跟老師的思路,積極開展思維,預測下面的步驟,比較自己的解題思路與老師所講的有哪些不同。課后要及時復習,不留疑點,對不懂的地方要及時請教老師或同學,切忌不懂將懂,或將不懂的地方跳過。課后還要注重基礎知識的學習和基本技能的培養(yǎng),要多記公式、定理,因為它們是學好數(shù)學的關鍵和必備條件。

2.多做習題,養(yǎng)成良好的解題習慣

要想學好數(shù)學,多做題是不可避免的。當然,多做題并不等于搞題海戰(zhàn)術。做的題目要有代表性,不能胡子眉毛一把抓,碰到哪道題就做哪道題。有些題適合我們做,而有些題卻超出了我們的能力范圍,做這些題目只能是浪費我們寶貴的時間,不會達到任何效果。做的題要難易適中,通過做些有代表的題目,要力爭能舉一反三。數(shù)學是一門邏輯性很強的學科,需要縝密的思維,解題要有條理,在做題的過程中學會熟練運用正確的解題方法,掌握一些基本題型的解題規(guī)律。只有平時大量的訓練,見多了、做多了,自然就熟能生巧,考試的時候就會應付自如,不至于亂了陣腳。

3.調整好心態(tài),正確對待平時的考試

大家都知道,數(shù)學是個邏輯性極強的學科,要求有清醒的頭腦,數(shù)學運算過程中的每個解題步驟都很重要,漏掉了哪個步驟都是不行的。因此,在做數(shù)學題的時候,保持一個平靜的心態(tài)是很重要。這就要求我們平時要學會善于把握自己的情緒,要能及時地調整好自己的心態(tài),戒驕戒躁,千萬不能一遇到解不出來的題目就焦躁不安。焦躁是學習數(shù)學的大忌。

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