七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

時間：2023-02-20 00:24:29 錦祥0由分享

七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)大全

很多同學(xué)在學(xué)習(xí)中習(xí)慣于跟著老師一節(jié)一節(jié)的走，一章一章的學(xué)，不太對意章節(jié)與學(xué)科整體系統(tǒng)之間的關(guān)系，只見樹木，不見森林。隨著時間推移，所學(xué)知識不斷增加，就會感到內(nèi)容繁雜、頭緒不清，記憶負(fù)擔(dān)加重。以下是小編整理的初一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)人教版【三篇】，希望對大家有幫助。

七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

正數(shù)和負(fù)數(shù)

⒈正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

注意：①字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù);當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù);當(dāng)a表示0時，-a仍是0。(如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷)

②正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。

2.具有相反意義的量

若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：

零上8℃表示為：+8℃;零下8℃表示為：-8℃

3.0表示的意義

⑴0表示“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人;

⑵0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：

(3)0表示一個確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準(zhǔn)，比如以海平面為基準(zhǔn)，則0米就表示海平面。

有理數(shù)

1.有理數(shù)的概念

⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))

⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

⑶正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。

理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①π是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。3，整數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)

注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8?也是偶數(shù)，-1,-3,-5?也是奇數(shù)。

2.有理數(shù)的分類

⑴按有理數(shù)的意義分類⑵按正、負(fù)來分正整數(shù)

整數(shù)0正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)有理數(shù)0(0不能忽視)

負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

總結(jié)：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)(也叫自然數(shù))

②負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)

③正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)

④負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)

數(shù)軸

⒈數(shù)軸的概念

規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。

注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線;⑵原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不

可;⑶同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一;⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。

2.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。

⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對應(yīng)關(guān)系。(如，數(shù)軸上的點(diǎn)π不是有理數(shù))

3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小

⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;

⑵正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù);

⑶兩個負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。

4.數(shù)軸上特殊的(小)數(shù)

⑴最小的自然數(shù)是0，無的自然數(shù);

⑵最小的正整數(shù)是1，無的正整數(shù);

⑶的負(fù)整數(shù)是-1，無最小的負(fù)整數(shù)

5.a可以表示什么數(shù)

⑴a>0表示a是正數(shù);反之，a是正數(shù)，則a>0;

⑵a<0表示a是負(fù)數(shù);反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0

⑶a=0表示a是0;反之，a是0,，則a=0

相反數(shù)

⒈相反數(shù)

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。

注意：⑴相反數(shù)是成對出現(xiàn)的;⑵相反數(shù)只有符號不同，若一個為正，則另一個為負(fù);

⑶0的相反數(shù)是它本身;相反數(shù)為本身的數(shù)是0。

2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定

⑴任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個;

⑵0的相反數(shù)是0;

⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=0

3.相反數(shù)的幾何意義

在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個數(shù)，是互為相反數(shù);互為相反數(shù)的兩個數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)(0除外)在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對應(yīng)原點(diǎn);原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。

4.相反數(shù)的求法

⑴求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號“-”即可求得(如：5的相反數(shù)是-5);

⑵求多個數(shù)的和或差的相反數(shù)時，要用括號括起來再添“-”，然后化簡(如;5a+b的相反數(shù)是-(5a+b)?；喌?5a-b);

⑶求前面帶“-”的單個數(shù)，也應(yīng)先用括號括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數(shù)是-(-5)，化

簡得5)

5.相反數(shù)的表示方法

⑴一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。

當(dāng)a>0時，-a<0(正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù))

當(dāng)a<0時，-a>0(負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù))

當(dāng)a=0時，-a=0，(0的相反數(shù)是0)

絕對值

⒈絕對值的幾何定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對值，記作|a|。

2.絕對值的代數(shù)定義

⑴一個正數(shù)的絕對值是它本身;⑵一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);⑶0的絕對值是0.

可用字母表示為：

①如果a>0，那么|a|=a;②如果a<0，那么|a|=-a;③如果a=0，那么|a|=0。

可歸納為①：a≥0，<═>|a|=a(非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身;絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。)②a≤0，<═>|a|=-a(非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù);絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)經(jīng)典考題

如數(shù)軸所示，化簡下列各數(shù)

|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|

解：由題知道，因為a>0，b<0，c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0，

所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c

3.絕對值的性質(zhì)

任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對值具有非負(fù)性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0;絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0<═>|a|=0;

⑵一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0;

⑶任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|≥a;

⑷絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a(a>0)，則x=±a;

⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|;

⑹絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b;

⑺若幾個數(shù)的絕對值的和等于0，則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。

(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負(fù)數(shù)同時為0)

經(jīng)典考題

已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值

解：因為|a+3|≥0，|2b-2|≥0，|c-1|≥0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0

所以|a+3|=0，|2b-2|=0，|c-1|=0

即a=-3,b=1,c=1

所以a+b+c=-3+1+1=-1

4.有理數(shù)大小的比較

⑴利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小;

⑵利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小;異號兩數(shù)比較大小，正數(shù)

大于負(fù)數(shù)。

5.絕對值的化簡

①當(dāng)a≥0時，|a|=a;②當(dāng)a≤0時，|a|=-a

6.已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)

一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為0的數(shù)是0，沒有絕對值為負(fù)數(shù)的數(shù)。如：|a|=5，則a=土5

有理數(shù)的加減法

1.有理數(shù)的加法法則

⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加;

⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值;⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零;

⑷一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

⑴加法交換律：a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在運(yùn)用運(yùn)算律時，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”;

②符號相同的兩個數(shù)先相加——“同號結(jié)合法”;

③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”;

④幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”;

⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。

3.加法性質(zhì)

一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大;加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小;加0后的和等于原數(shù)。即：

⑴當(dāng)b>0時，a+b>a⑵當(dāng)b<0時，a+b<a⑶當(dāng)b=0時，a+b=a< p="">

4.有理數(shù)減法法則

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。

5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義

在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計算。

在和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的讀法：①按這個式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”

②按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”

6.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時的一些技巧：

Ⅰ.把符號相同的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)

=-33+18-15-1+23(省略加號和括號)

=(-33-15-1)+(18+23)(把符號相同的加數(shù)相結(jié)合)

=-49+41(運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算)

=-8(運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算)

Ⅱ.把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合(湊整法)

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8(省略加號和括號)

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8(把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合)

=4-10+3.8(運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算)

=7.8-10(把符號相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)算)=-2.2(得出結(jié)論)

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合(同分母結(jié)合法)313217-+-+-524528

321137原式=(--)+(-+)+(+-)552248

1=-1+0-8

1=-18-

Ⅳ.既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合(先統(tǒng)一后結(jié)合)312)+(-3)-(-10)-(+1.25)483

13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)84834

13121=+3-3+10-184834

31112=(3-1)+(-3)+1044883

12=2-3+1023

1=-3+136

1=106(+0.125)-(-3

Ⅴ.把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合(先拆分后結(jié)合)-31617+10-12+45112215

七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

第一章有理數(shù)

1.1正數(shù)與負(fù)數(shù)

①正數(shù)：大于0的數(shù)叫正數(shù)。(根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面也加上“+”)

②負(fù)數(shù)：在以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負(fù)號“—”的數(shù)叫負(fù)數(shù)。與正數(shù)具有相反意義。

③0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，是的中性數(shù)。

注意：搞清相反意義的量：南北;東西;上下;左右;上升下降;高低;增長減少等

1.2有理數(shù)

1、有理數(shù)(1)整數(shù):正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù);(2)分?jǐn)?shù);正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù);

(3)有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

2、數(shù)軸(1)定義：通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫數(shù)軸;

(2)數(shù)軸三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度;

(3)原點(diǎn)：在直線上任取一個點(diǎn)表示數(shù)0，這個點(diǎn)叫做原點(diǎn);

(4)數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)的關(guān)系：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，但數(shù)軸上

的點(diǎn)，不都是表示有理數(shù)。

3、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。(例：2的相反數(shù)是-2;0的相反數(shù)是0)

4、絕對值：(1)數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。從幾何意義上講，

數(shù)的絕對值是兩點(diǎn)間的距離。

(2)一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。

兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

1.3有理數(shù)的加減法

①有理數(shù)加法法則：

1、同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2、絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。

3、一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

加法的交換律和結(jié)合律

②有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。

1.4有理數(shù)的乘除法

①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘;

任何數(shù)同0相乘，都得0;

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

乘法交換律/結(jié)合律/分配律

②有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù);

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除;

0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

1.5有理數(shù)的乘方

1、求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪。在a的n次方中，a叫做底數(shù)，n叫做

指數(shù)。負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0。

2、有理數(shù)的混合運(yùn)算法則：先乘方，再乘除，最后加減;同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行;如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行。

3、把一個大于10的數(shù)表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學(xué)計數(shù)法，注意a的范圍為1≤a<10。

4、從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。四舍五入遵從精確到哪一位就從這一位的下一位開始，而不是從數(shù)字的末尾往前四舍五入。比如：3.5449精確到0.01就是3.54而不是3.55.

第二章整式的加減

2.1整式

1、單項式：由數(shù)字和字母乘積組成的式子。系數(shù)，單項式的次數(shù).單項式指的是數(shù)或字母的積的代數(shù)式.單獨(dú)一個數(shù)或一個字母也是單項式.因此，判斷代數(shù)式是否是單項式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中數(shù)與字母是否是乘積關(guān)系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、減運(yùn)算關(guān)系，其也不是單項式.

2、單項式的系數(shù)：是指單項式中的數(shù)字因數(shù);

3、單項數(shù)的次數(shù)：是指單項式中所有字母的指數(shù)的和.

4、多項式：幾個單項式的和。判斷代數(shù)式是否是多項式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中的每一項是否是單項式.每個單項式稱項，常數(shù)項，多項式的次數(shù)就是多項式中次數(shù)的次數(shù)。多項式的次數(shù)是指多項式里次數(shù)項的次數(shù)，這里ab是次數(shù)項，其次數(shù)是6;多項式的項是指在多項式中，每一個單項式.特別注意多項式的項包括它前面的性質(zhì)符號.

5、它們都是用字母表示數(shù)或列式表示數(shù)量關(guān)系。注意單項式和多項式的每一項都包括它前面的符號。

6、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。33

2.2整式的加減

1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項。與字母前面的系數(shù)(≠0)無關(guān)。

2、同類項必須同時滿足兩個條件：(1)所含字母相同;(2)相同字母的次數(shù)相同，二者缺一不可.同類項與系數(shù)大小、字母的排列順序無關(guān)

3、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項?？梢赃\(yùn)用交換律，結(jié)合律和分配律。

4、合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變;

5、去括號法則：去括號，看符號：是正號，不變號;是負(fù)號，全變號。

6、整式加減的一般步驟：

一去、二找、三合

(1)如果遇到括號按去括號法則先去括號.(2)結(jié)合同類項.(3)合并同類項

第三章一元一次方程

3.1一元一次方程

1、方程是含有未知數(shù)的等式。

2、方程都只含有一個未知數(shù)(元)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程。注意：判斷一個方程是否是一元一次方程要抓住三點(diǎn)：

1)未知數(shù)所在的式子是整式(方程是整式方程);

2)化簡后方程中只含有一個未知數(shù);

3)經(jīng)整理后方程中未知數(shù)的次數(shù)是1.

3、解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解。

4、等式的性質(zhì)：1)等式兩邊同時加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等;

2)等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

注意：運(yùn)用性質(zhì)時，一定要注意等號兩邊都要同時變;運(yùn)用性質(zhì)2時，一定要注意0這個數(shù).

3.2、3.3解一元一次方程

在實際解方程的過程中，以下步驟不一定完全用上，有些步驟還需重復(fù)使用.因此在解方程時還要注意以下幾點(diǎn)：

①去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項;分子是一個整體，去分母后應(yīng)加上括號;去分母與分母化整是兩個概念，不能混淆;

②去括號：遵從先去小括號，再去中括號，最后去大括號;不要漏乘括號的項;不要弄錯符號;③移項：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(移項要變符號)移項要變號;

④合并同類項：不要丟項，解方程是同解變形，每一步都是一個方程，不能像計算或化簡題那樣寫能連等的形式;

⑤系數(shù)化為1：:字母及其指數(shù)不變系數(shù)化成1，在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解。不要分子、分母搞顛倒。

3.4實際問題與一元一次方程

一.概念梳理

⑴列一元一次方程解決實際問題的一般步驟是：①審題，特別注意關(guān)鍵的字和詞的意義，弄清相關(guān)

數(shù)量關(guān)系;②設(shè)出未知數(shù)(注意單位);③根據(jù)相等關(guān)系列

出方程;④解這個方程;⑤檢驗并寫出答案(包括單位名稱)。

⑵一些固定模型中的等量關(guān)系及典型例題參照一元一次方程應(yīng)用題專練學(xué)案。

二、思想方法(本單元常用到的數(shù)學(xué)思想方法小結(jié))

⑴建模思想：通過對實際問題中的數(shù)量關(guān)系的分析，抽象成數(shù)學(xué)模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解決實際問題的思想就是方程思想.

⑶化歸思想：解一元一次方程的過程，實質(zhì)上就是利用去分母、去括號、移項、合并同類項、未知

數(shù)的系數(shù)化為1等各種同解變形，不斷地用新的更簡單的方程來代替原來的方程，最

后逐步把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.體現(xiàn)了化“未知”為“已知”的化歸思想.

⑷數(shù)形結(jié)合思想：在列方程解決問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數(shù)量關(guān)系，使問題中的

數(shù)量關(guān)系很直觀地展示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.

⑸分類思想：在解含字母系數(shù)的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解有關(guān)方

案設(shè)計的實際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運(yùn)用.

三、數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)

1.解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，應(yīng)該注意什么問題.

2.尋找實際問題的數(shù)量關(guān)系時，要善于借助直觀分析法，如表格法，直線分析法和圖示分析法等.

3.列方程(\)解應(yīng)用題的檢驗包括兩個方面：⑴檢驗求得的結(jié)果是不是方程的解;

⑵是要判斷方程的解是否符合題目中的實際意義.

四、一元一次方程典型例題

m3例1.已知方程2x-+3x=5是一元一次方程，則.

解：由一元一次方程的定義可知m-3=1，解得m=4.或m-3=0，解得m=3

所以m=4或m=3

警示：很多同學(xué)做到這種題型時就想到指數(shù)是1，從而寫成m=1，這里一定要注意x的指數(shù)是(m

-3).

2例2.已知x??2是方程ax-(2a-3)x+5=0的解，求a的值.

解：∵x=-2是方程ax-(2a-3)x+5=0的解

∴將x=-2代入方程，

2得a?(-2)-(2a-3)?(-2)+5=02

化簡，得4a+4a-6+5=0

∴a=18

點(diǎn)撥：要想解決這道題目，應(yīng)該從方程的解的定義入手，方程的解就是使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，這樣把x=-2代入方程，然后再解關(guān)于a的一元一次方程就可以了.

例3.解方程2(x+1)-3(4x-3)=9(1-x).

解：去括號，得2x+2-12x+9=9-9x，

移項，得2+9-9=12x-2x-9x.

合并同類項，得2=x，即x=2.

點(diǎn)撥：此題的一般解法是去括號后將所有的未知項移到方程的左邊，已知項移到方程的右邊，其實，我們在去括號后發(fā)現(xiàn)所有的未知項移到方程的左邊合并同類項后系數(shù)不為正，為了減少計算的難度，我們可以根據(jù)等式的對稱性，把所有的未知項移到右邊去，已知項移到方程的左邊，最后再寫成x=a的形式.

例4.解方程

解析：方程兩邊乘以8，再移項合并同類項，得同樣，方程兩邊乘以6，再移項合并同類項，得

方程兩邊乘以4，再移項合并同類項，得x?1?12

方程兩邊乘以2，再移項合并同類項，得x=3.

說明：解方程時，遇到多重括號，一般的方法是從里往外或從外往里運(yùn)用乘法的分配律逐層去特號，而本題最簡捷的方法卻不是這樣，是通過方程兩邊分別乘以一個數(shù)，達(dá)到去分母和去括號的目的。

例5.解方程

解析：方程可以化為

去括號移項合并同類項，得-7x=11，所以x=?11.7

說明：一見到此方程，許多同學(xué)立即想到老師介紹的方法，那就是把分母化成整數(shù)，即各分?jǐn)?shù)分子分母都乘以10，再設(shè)法去分母，其實，仔細(xì)觀察這個方程，我們可以將分母化成整數(shù)與去分母兩步一步到位，第一個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以2，第二個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以5，第三個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以10.

例6.解方程

就能很快得到答案：x=3.

3，12=3×4，知識鏈接：此題如果直接去分母，或者通分，數(shù)字較大，運(yùn)算煩瑣，發(fā)現(xiàn)分母6=2×

20=4×5，30=5×6，聯(lián)系到我們小學(xué)曾做過這樣的分式化簡題，故采用拆項法解之比較簡便.

例7.參加某保險公司的醫(yī)療保險，住院治療的病人可享受分段報銷，?保險公司制度的報銷細(xì)

則如下表，某人今年住院治療后得到保險公司報銷的金額是1260元，那么此人的實際醫(yī)療費(fèi)是()

A.2600元解析：設(shè)此人的實際醫(yī)療費(fèi)為x元，根據(jù)題意列方程，得

500×0+500×60%+(x-500-500)×80%=1260.

解之，得x=2200，即此人的實際醫(yī)療費(fèi)是2200元.故選B.

點(diǎn)撥：解答本題首先要弄清題意，讀懂圖表，從中應(yīng)理解醫(yī)療費(fèi)是分段計算累加求和而得的.因

60%<1260<2000×80%，所以可知判斷此人的醫(yī)療費(fèi)用應(yīng)按第一檔至第三檔累加計算.為500×

例8.我市某縣城為鼓勵居民節(jié)約用水，對自來水用戶按分段計費(fèi)方式收取水費(fèi)：若每月用水不超過7立方米，則按每立方米1元收費(fèi);若每月用水超過7立方米，則超過部分按每立方米2元收費(fèi).如果某戶居民今年5月繳納了17元水費(fèi)，那么這戶居民今年5月的用水量為__________立方米.

7<17，所以該戶居民今年5月的用水量超標(biāo).解析：由于1×

1+2(x-7)=17，解得x=12.設(shè)這戶居民5月的用水量為x立方米，可得方程：7×

所以，這戶居民5月的用水量為12立方米.

七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

初一上冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

第一章有理數(shù)知識點(diǎn)一：有理數(shù)的分類

有理數(shù)

正整數(shù)

含正有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

正分?jǐn)?shù)

零

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

含負(fù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

有理數(shù)的另一種分類

整數(shù)自然數(shù)

0負(fù)整數(shù)

有理數(shù)

正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

想一想：零是整數(shù)嗎?自然數(shù)一定是整數(shù)嗎?自然數(shù)一定是正整數(shù)嗎?整數(shù)一定是自然數(shù)嗎?

零是整數(shù);自然數(shù)一定是整數(shù);自然數(shù)不一定是正整數(shù)，因為零也是自然數(shù);整數(shù)不一定是自然數(shù)，因為負(fù)整數(shù)不是自然數(shù)。判斷正誤：

①不帶“-”號的數(shù)都是正數(shù)()②如果a是正數(shù)，那么-a一定是負(fù)數(shù)()③不存在既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的數(shù)()④0℃表示沒有溫度()

知識點(diǎn)二：數(shù)軸

1、填空

①規(guī)定了的原點(diǎn)，正方向和單位長度(三要素)的直線叫做數(shù)軸。

②比-3大的負(fù)整數(shù)是_______;已知m是整數(shù)且-4<m<3，則m為___________。③有理數(shù)中，的負(fù)整數(shù)是____，最小的正整數(shù)是____。的非正數(shù)是____。④與原點(diǎn)的距離為三個單位的點(diǎn)有____個，他們分別表示的有理數(shù)是________。2、請畫一個數(shù)軸，并檢查它是否具備數(shù)軸三要素?< p="">

3、選擇題

①在數(shù)軸上，原點(diǎn)及原點(diǎn)左邊所表示的數(shù)是()A整數(shù)B負(fù)數(shù)C非負(fù)數(shù)D非正數(shù)②下列語句中正確的是()

A數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示整數(shù)B數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示分?jǐn)?shù)

C數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示有理數(shù)D所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來

知識點(diǎn)三：相反數(shù)

相反數(shù):只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù),0的相反數(shù)是0。在數(shù)軸上位于原點(diǎn)兩側(cè)且離原點(diǎn)距離相等。1、填空

①-2的相反數(shù)是;它的倒數(shù)是;它的絕對值是。

②|-3|的相反數(shù)是;它的倒數(shù)是;它的絕對值是。

③相反數(shù)是它本身的數(shù)是0;倒數(shù)是它本身的數(shù)是1和-1;絕對值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。2、選擇

①若a和b是互為相反數(shù)，則a+b=()

A、–2aB、2bC、0D、任意有理數(shù)②下列說法正確的是()A、–1/4的相反數(shù)是0.25B、4的相反數(shù)是-0.25

C、0.25的倒數(shù)是-0.25D、0.25的相反數(shù)的倒數(shù)是-0.25

③用-a表示的數(shù)一定是()A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、正數(shù)或負(fù)數(shù)D、都不對A、–1B、1C、±1D、03、判斷

①互為相反的兩個數(shù)在數(shù)軸上位于原點(diǎn)兩旁()②在一個數(shù)前面添上“-”號，它就成了一個負(fù)數(shù)()

③只要符號不同，這兩個數(shù)就是相反數(shù)()

知識點(diǎn)四：絕對值

1、絕對值的幾何意義:一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。2、絕對值的代數(shù)定義：(1)一個正數(shù)的絕對值是它本身;(2)一個負(fù)數(shù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);(3)0的絕對值是0;(4)|a|大于或者等于0。3、比較兩個數(shù)的大小關(guān)系

數(shù)學(xué)中規(guī)定：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從大到小的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。由此可知：(1)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù);(2)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。1、化簡

(1)-|-2/3|=_____;(2)|-3.3|-|+4.3|=___;(3)1-|-1/2|=___;(4)-1-|1-1/2|=______。3、填空題。

①若|a|=3，則a=____;|a+1|=0，則a=____。②若|a-5|+|b+3|=0，則a=___，b=___。

④一個數(shù)的相反數(shù)是最小的正整數(shù)，那么這個數(shù)是()

③若|x+2|+|y-2|=0，則x=___，y=___。④絕對值小于2的整數(shù)有________。⑤絕對值等于它本身的數(shù)有___________。⑥絕對值不大于3的負(fù)整數(shù)有__________。

⑦數(shù)a和b的絕對值分別為2和5，且在數(shù)軸上表示a的點(diǎn)在表示b的點(diǎn)左側(cè)，則b的值為。

⑧將2.5,0,-1,1/2,-3,-1/3,2,1/3,1這組數(shù)按從大到小的順序排列，并用“>”號連接。

知識點(diǎn)五：有理數(shù)加減法

1、有理數(shù)的加、減法法則

①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

絕對值不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值。②互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。④減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。2、計算

知識點(diǎn)六：乘除法法則

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。0乘以任何數(shù)，都得0。