高三數(shù)學(xué)必修第一學(xué)期知識(shí)點(diǎn)概括
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1、集合的概念
集合是數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念,只能給出,描述性說(shuō)明:某些制定的且不同的對(duì)象集合在一起就稱為一個(gè)集合。組成集合的對(duì)象叫元素,集合通常用大寫(xiě)字母A、B、C、…來(lái)表示。元素常用小寫(xiě)字母a、b、c、…來(lái)表示。
集合是一個(gè)確定的整體,因此對(duì)集合也可以這樣描述:具有某種屬性的對(duì)象的全體組成的一個(gè)集合。
2、元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系有屬于和不屬于兩種:元素a屬于集合A,記做a∈A;元素a不屬于集合A,記做a?A。
3、集合中元素的特性
(1)確定性:設(shè)A是一個(gè)給定的集合,x是某一具體對(duì)象,則x或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A,6?A。
(2)互異性:“集合張的元素必須是互異的”,就是說(shuō)“對(duì)于一個(gè)給定的集合,它的任何兩個(gè)元素都是不同的”。
(3)無(wú)序性:集合與其中元素的排列次序無(wú)關(guān),如集合{a,b,c}與集合{c,b,a}是同一個(gè)集合。
4、集合的分類
集合科根據(jù)他含有的元素個(gè)數(shù)的多少分為兩類:
有限集:含有有限個(gè)元素的集合。如“方程3x+1=0”的解組成的集合”,由“2,4,6,8,組成的集合”,它們的元素個(gè)數(shù)是可數(shù)的,因此兩個(gè)集合是有限集。
無(wú)限集:含有無(wú)限個(gè)元素的集合,如“到平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等于所有點(diǎn)”“所有的三角形”,組成上述集合的元素不可數(shù)的,因此他們是無(wú)限集。
特別的,我們把不含有任何元素的集合叫做空集,記錯(cuò)F,如{x?R|+1=0}。
5、特定的集合的表示
為了書(shū)寫(xiě)方便,我們規(guī)定常見(jiàn)的數(shù)集用特定的字母表示,下面是幾種常見(jiàn)的數(shù)集表示方法,請(qǐng)牢記。
(1)全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記做N。
(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排出0的集合,也稱正整數(shù)集,記做N_或N+。
(3)全體整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱為整數(shù)集Z。
(4)全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱為有理數(shù)集,記做Q。
(5)全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱為實(shí)數(shù)集,記做R。
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復(fù)數(shù)的概念:
形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,用字母C表示。
復(fù)數(shù)的表示:
復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,其中a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫復(fù)數(shù)的虛部。
復(fù)數(shù)的幾何意義:
(1)復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸:
點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點(diǎn)Z(a,b)表示,這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸。顯然,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù),除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)
(2)復(fù)數(shù)的幾何意義:復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,即
這是因?yàn)椋恳粋€(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng);反過(guò)來(lái),復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn),有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。
這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義,也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法,即幾何表示方法。
復(fù)數(shù)的模:
復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離叫復(fù)數(shù)的模,記為|Z|,即|Z|=
虛數(shù)單位i:
(1)它的平方等于-1,即i2=-1;
(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算,進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有加、乘運(yùn)算律仍然成立
(3)i與-1的關(guān)系:i就是-1的一個(gè)平方根,即方程x2=-1的一個(gè)根,方程x2=-1的另一個(gè)根是-i。
(4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1。
復(fù)數(shù)模的性質(zhì):
復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系:
對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a;當(dāng)b≠0時(shí),復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時(shí),z=bi叫做純虛數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí),z就是實(shí)數(shù)0。
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1.不等式的定義
在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學(xué)符號(hào)連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號(hào)的式子,叫做不等式.
2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小
兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的,
有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?.
另外,若b>0,則有>1?;=1?;<1?.
概括為:作差法,作商法,中間量法等.
3.不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性:a>b?;
(2)傳遞性:a>b,b>c?;
(3)可加性:a>b?a+cb+c,a>b,c>d?a+cb+d;
(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?;
(5)可乘方:a>b>0?(n∈N,n≥2);
(6)可開(kāi)方:a>b>0?(n∈N,n≥2).
復(fù)習(xí)指導(dǎo)
1.“一個(gè)技巧”作差法變形的技巧:作差法中變形是關(guān)鍵,常進(jìn)行因式分解或配方.
2.“一種方法”待定系數(shù)法:求代數(shù)式的范圍時(shí),先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式,再利用多項(xiàng)式相等的法則求出參數(shù),最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍.
3.“兩條常用性質(zhì)”
(1)倒數(shù)性質(zhì):①a>b,ab>0?<;②a<0
③a>b>0,0;④0
(2)若a>b>0,m>0,則
①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì):<;>(b-m>0);
②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì):>;<(b-m>0).
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