2020高考數(shù)學(xué)選擇題解題技巧
高考數(shù)學(xué)選擇題占總分值的五分之二,其解答特點是“四選一”,怎樣才能快速、準(zhǔn)確、無誤地選擇好這個“一”呢?下面就是小編給大家?guī)淼母呖紨?shù)學(xué)選擇題解題技巧,希望大家喜歡!
高考數(shù)學(xué)選擇題解題技巧
選擇題和其它題型相比,解題思路和方法有著一定的區(qū)別,原因在于它有與其它題型明顯不同的特點:①立意新穎、構(gòu)思精巧、迷惑性強,題材內(nèi)容相關(guān)相近、真假難分;②技巧性高、靈活性大、概念性強,題材內(nèi)容多變、解法奇特;③知識面廣、跨度較大、切入點多、綜合性強.因此,只要抓住了選擇題的如上特點,就能很好的完成選擇題的解答.本文例析解答選擇題的幾種方法,以期對大家有所幫助.
一、直接法
直接從題目條件出發(fā),運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識,通過嚴(yán)密推理和準(zhǔn)確計算,從而得出正確結(jié)論,然后對照題目所給出的選擇支“對號入座”.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目,常用此法.
例1 關(guān)于函數(shù)f(x)=sin2x-(23)|x|+12,看下面四個結(jié)論: ①f(x)是奇函數(shù);
②當(dāng)x>2015時,f(x)>12恒成立; ③f(x)的最大值是32; ④f(x)的最小值是-12.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ).
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析 f(x)=sin2x-(23)|x|+12=1-cos2x2-(23)|x|+12=1-12cos2x-(23)|x|
∴f(x)為偶函數(shù),①錯.∵當(dāng)x=1000π時,x>2015, sin21000π=0,
∴f(1000π)=12-(23)1000π<12,②錯.又∵-1≤cos2x≤1,∴12≤1-12cos2x≤32,從而1-12cos2x-(23)|x|<32,③錯.又∵sin2x≥0,-(23)|x|≥-1,∴f(x) ≥-12,
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,可知④正確.故應(yīng)選A.
題后反思 直接法是解答選擇題最常用的基本方法,中、低檔選擇題可用此法迅速求解,直接法運用的范圍很廣,只要運算正確必能得到正確答案.
二、特例法
也稱特值法、特形法,就是運用滿足題設(shè)條件的某些特殊值、特殊關(guān)系或特殊圖形對選項進(jìn)行檢驗或推理,從而得到正確選項的方法,常用的特例法有特殊的數(shù)值、數(shù)列、函數(shù)、圖形、角、位置等.
例2 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x-1,x≤0
x(1/2),x>0,若f(x0)>1,則x0的取值范圍為( ).
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 ∵f(12)=22<1, ∴12不符合題意,∴排除選項A、B、C,故應(yīng)選D.
圖1例3 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖1所示,則b的取值范圍是( ).
A.(-∞,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2, +∞)
解析 設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x.此時a=1, b=-3, c=2, d=0. 故應(yīng)選A.
題后反思 這類題目若是腳踏實地來求解,不僅運算量大,而且很容易出錯,但通過選擇特殊值進(jìn)行運算,則既快又準(zhǔn).當(dāng)然,所選值必須滿足已知條件.
三、排除法
排除法也叫篩選法或淘汰法,使用排除法的前提條件是答案唯一,具體做法是采用簡捷有效的手段對各個備選答案進(jìn)行“篩選”,將其中與題干相矛盾的干擾支逐一排除,從而獲得正確結(jié)論.
例4 直線ax-y+b=0與圓x2+y2-2ax+2by=0的圖像可能是( ).
解析 由圓的方程知圓必過原點,∴排除A、C選項.因圓心為(a,-b),由B、D兩圖中的圓可知a>0,-b>0.而直線方程可化為y=ax+b,故應(yīng)選B.
題后反思 用排除法解選擇題的一般規(guī)律是:①對于干擾支易于淘汰的選擇題,可采用排除法,能剔除幾個就先剔除幾個;②允許使用題干中的部分條件淘汰選擇支;③如果選擇支中存在等效命題,因答案唯一,故等效命題應(yīng)該同時排除;④如果選擇支存在兩個相反的或互不相容的,則其中至少有一個是假的;⑤如果選擇支之間存在包含關(guān)系,須據(jù)題意定結(jié)論.
四、驗證法
又叫代入法,就是將各個選擇支分別代入條件去驗證命題,能使命題成立的就是應(yīng)選答案.
例5 在下列四個函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對于區(qū)間(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|恒成立”的只有( ).
A.f(x)=1x B.f(x)=|x|
C.f(x)=2x D. f(x)=x2
解析 當(dāng)f(x)=1x時,|f(x1)-f(x2)||x1-x2|=1|x1x2|<1. ∴|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|恒成立. 故選A.
例6 若圓x2+y2=r2 (r>0)上恰有相異兩點到直線4x-3y+25=0的距離等于1,則r的取值范圍是( ).
A.[4,6] B.[4,6) C.(4,6] D.(4,6)
解析 圓心到直線4x-3y+25=0的距離為5,則當(dāng)r=4時,圓上只有一個點到直線的距離為1,當(dāng)r=6時,圓上有三個點到直線的距離等于1,故應(yīng)選D.
題后反思 代入驗證法適用于題設(shè)復(fù)雜、結(jié)論簡單的選擇題,這里把選項代入驗證,若第一個恰好滿足題意就沒有必要繼續(xù)驗證了,大大提高了解題速度.
五、數(shù)形結(jié)合法
“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,對于一些具體幾何背景的數(shù)學(xué)題,如能構(gòu)造出與之相應(yīng)的圖形進(jìn)行分析,則能在數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)中獲得形象直觀的解法.
例7 若函數(shù)y=f(x) (x∈R)滿足f(x+2)=f(x), 且x∈[-1,1]時,f(x)=|x|,則函數(shù)y=f(x) (x∈R)的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像的交點個數(shù)為( ).
A.2 B.3 C.4 D.無數(shù)個
圖2解析 如圖2,在同一直角坐標(biāo)系中,做出函數(shù)y=f(x)及y=log3|x|的圖像,由圖像可得其交點的個數(shù)為4個,故選C.
例8 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x-1,x≤0,
x1/2,x>0.若f(x0)>1,則x0的取值范圍為( ).
A.(-1,1)
B. (-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-1,+∞)
D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
圖3解析 如圖3,在同一直角坐標(biāo)系中,做出題設(shè)函數(shù)f(x) 和直線y=1的圖像,它們相交于(-1,1)和(1,1)兩點,則要使f(x0)>1,只要x0<-1或x0>1. 故選D.
題后反思 這種數(shù)形結(jié)合的解題策略,在解答有些選擇題時非常簡便有效,但一定要熟悉有關(guān)函數(shù)圖像、方程曲線、幾何圖形等,否則錯誤的圖像反會導(dǎo)致錯選.
六、邏輯分析法
分析法就是根據(jù)結(jié)論的要求,通過對題干和選擇支的關(guān)系進(jìn)行觀察分析、尋求充分條件,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從而做出正確判斷的一種方法.分析法可分為定性分析法和定量分析法.
例9 若定義在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)=log2a(x+1)滿足f(x)>0,則a的取值范圍是( ).
A.(0,12) B.(0, 12]
C.(12,+∞) D.(0, +∞)
解析 要使f(x)>0成立,只要2a和x+1同時大于1或同時小于1成立,
當(dāng)x∈(-1,0)時,x+1∈(0,1),則2a∈(0,1),故選A.
題后反思 分析法對能力要求較高,在解題過程中須保持平和心態(tài),仔細(xì)分析,認(rèn)真驗證.
七、極端值法
從有限到無限,從近似到精確,從量變到質(zhì)變,應(yīng)用極端值法解決某些問題,可以避開抽象、復(fù)雜的運算,降低難度,優(yōu)化解題過程.
例10 對任意θ∈(0,π2),都有( ).
A.sin(sinθ) B.sin(sinθ)>cosθ>cosθ(cosθ)
C.sin(cosθ) D.sin(cosθ) 解析 當(dāng)θ→0時,sin(sinθ)→0, cosθ→1,cosθ(cosθ)→cos1, 故排除A、B;當(dāng)θ→π2, cos(sinθ)→cos1, cosθ→0, 故排除C, ∴選D.
例11 設(shè)a=sinα+cosα, b=sinβ+cosβ,且0<α<β<π4, 則( ).
A.a B.a C.a D.a2+b22 解析 ∵0<α<β<π4,若令α→0,則a→1,b→2,a2+b22→32,易知:1<1.5<2<1.5.∴應(yīng)選A.
題后反思 有一類比較大小的問題,使用常規(guī)方法難以奏效(或過于繁雜),又無特殊值可取,在這種情況下,取極限往往會收到意想不到的效果.
八、估值法
由于選擇題提供了唯一正確的選擇支,解答又無需過程,因此可通過猜測、合情推理、估算而獲得答案,這樣往往可以減少運算量,避免“小題大做”.
圖4例12 如圖4,在多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長為3的正方形,EF∥AB,EF=32,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積為( ).
A.92 B.5 C.6 D. 152
解析 由已知條件可知,EF∥面ABCD,則F到平面ABCD的距離為2,∴VF-ABCD=13×32×2=6.而該多面體的體積必大于6,故選D.
題后反思 有些問題,由于受條件限制,無法(有時也沒有必要)進(jìn)行正確的運算和判斷,而又能依賴于估算,估算實質(zhì)上是一種數(shù)字意義,它以正確的算理為基礎(chǔ),通過合理的觀察、比較、判斷、推理,從而做出正確的結(jié)論.估算省去了很多推導(dǎo)過程和復(fù)雜計算,節(jié)省了時間,顯得快捷,其應(yīng)用非常廣泛,它是人們發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題的一種重要方法.
求解選擇題的方法還有歸納推導(dǎo)法、割補法、無招勝有招等方法,限于篇幅,不再贅述.
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