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2020高考數(shù)學三角函數(shù)誘導(dǎo)公式詳解

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高考是人生道路上的重要轉(zhuǎn)折點,會對考生的未來發(fā)展產(chǎn)生重要的影響作用,甚至改變命運。想要在高考中取得好成績,自然是要付出努力的,只有努力才能獲得回報。這里給大家分享一些2020高考高頻考點知識歸納,希望對大家有所幫助。

2020高考數(shù)學常見誘導(dǎo)公式

公式一:

設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)

公式二:

設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:

任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六:

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

注意:在做題時,將a看成銳角來做會比較好做。

誘導(dǎo)公式記憶口訣

※規(guī)律總結(jié)

上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為:

對于π/2k ±α(k∈Z)的三角函數(shù)值,

①當k是偶數(shù)時,得到α的同名函數(shù)值,即函數(shù)名不改變;

②當k是奇數(shù)時,得到α相應(yīng)的余函數(shù)值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

(奇變偶不變)

然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

(符號看象限)

例如:

sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數(shù),所以取sinα。

當α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα

上述的記憶口訣是:

奇變偶不變,符號看象限。

公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α

所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶

水平誘導(dǎo)名不變;符號看象限。

#

各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割)”.

這十二字口訣的意思就是說:

第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;

第二象限內(nèi)只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”,弦函數(shù)是“-”;

第四象限內(nèi)只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦

#

還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負:

函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

正弦 ...........+............+............—............—........

余弦 ...........+............—............—............+........

正切 ...........+............—............+............—........

余切 ...........+............—............+............—........

同角三角函數(shù)基本關(guān)系

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的關(guān)系:

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方關(guān)系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)

構(gòu)造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

(1)倒數(shù)關(guān)系:對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);

(2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。

(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此,可得商數(shù)關(guān)系式。

(3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。

兩角和差公式

兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

萬能公式推導(dǎo)

附推導(dǎo):

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......x,

(因為cos^2(α)+sin^2(α)=1)

再把x分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

三倍角公式推導(dǎo)

附推導(dǎo):

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α),得:

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

三倍角公式聯(lián)想記憶

記憶方法:諧音、聯(lián)想

正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負數(shù)),所以要“掙錢”(音似“正弦”))

余弦三倍角:4元3角 減 3元(減完之后還有“余”)

☆☆注意函數(shù)名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

★另外的記憶方法:

正弦三倍角: 山無司令 (諧音為 三無四立) 三指的是"3倍"sinα, 無指的是減號, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方

余弦三倍角: 司令無山 與上同理

和差化積公式

三角函數(shù)的和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

積化和差公式

三角函數(shù)的積化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化積公式推導(dǎo)

附推導(dǎo):

首先,我們知道sin(a+b)=sinaxcosb+cosaxsinb,sin(a-b)=sinaxcosb-cosaxsinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinaxcosb

所以,sinaxcosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把兩式相減,就得到cosaxsinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosaxcosb-sinaxsinb,cos(a-b)=cosaxcosb+sinaxsinb

所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosaxcosb

所以我們就得到,cosaxcosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,兩式相減我們就得到sinaxsinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:

sinaxcosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosaxsinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosaxcosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sinaxsinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式。

我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)xcos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)xsin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)xcos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)xsin((x-y)/2)

2020如何高效的掌握高中數(shù)學知識點

一、把知識點進行分類

高中三年所學的知識點并不少,但是如果進行分類的話,總的來說也不過八九個系列。所以要想更高效的掌握高中數(shù)學知識點,可以通過把知識點進行分類的方法來達到。你可以想象,不同的知識點系列分別放進不同的箱子,把每個箱子里的知識點挨個解決掉,就能夠有很不錯的掌握高中數(shù)學知識點了。  二、要按照任務(wù)來劃分計劃

把高中數(shù)學知識點進行了分類,接下來要把各個類別的知識點分配給自己,也就是給大腦分配任務(wù),只有大腦完全掌握了才能夠在高考中取得好成績。每個類別的知識點不可能一次性解決掉,我們需要有計劃性的去攻克它們。

要注意把各個類別的知識點按照難易程度和內(nèi)容的差異性來制定計劃,比如這個類別的知識點大概要花多長時間,另一個類別可能會花的時間會更長或更短,可以把每天的學習時間中的一部分用來制定高中數(shù)學知識點的掌握上。當然最好是把你的計劃寫出來,列出大綱,這樣就可以目標明確的去執(zhí)行了。  三、時間的安排要注意合理化

要制定計劃是很容易的,但是最難的還是在于是不是能夠真正有效的去執(zhí)行這些計劃。如果要想讓你的計劃很完美,需要兩個方面的支撐:一個方面是這個目標是可以量化的;另一個方面是目標制定的時間是可以控制的。

需要明確下目標制定的時間是可以控制的,就是把高中數(shù)學知識點的學習當作大大小小的任務(wù),而這些任務(wù)不要一開始就是內(nèi)容多難度大,而要從小處著手,然后再一級一級的增加。循序漸進才能取得更好的效果。

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