2020高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式詳解
高考是人生道路上的重要轉(zhuǎn)折點,會對考生的未來發(fā)展產(chǎn)生重要的影響作用,甚至改變命運。想要在高考中取得好成績,自然是要付出努力的,只有努力才能獲得回報。這里給大家分享一些2020高考高頻考點知識歸納,希望對大家有所幫助。
2020高考數(shù)學(xué)常見誘導(dǎo)公式
公式一:
設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)
公式二:
設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
注意:在做題時,將a看成銳角來做會比較好做。
誘導(dǎo)公式記憶口訣
※規(guī)律總結(jié)※
上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為:
對于π/2k ±α(k∈Z)的三角函數(shù)值,
①當(dāng)k是偶數(shù)時,得到α的同名函數(shù)值,即函數(shù)名不改變;
②當(dāng)k是奇數(shù)時,得到α相應(yīng)的余函數(shù)值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
(奇變偶不變)
然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。
(符號看象限)
例如:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數(shù),所以取sinα。
當(dāng)α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。
所以sin(2π-α)=-sinα
上述的記憶口訣是:
奇變偶不變,符號看象限。
公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α
所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶
水平誘導(dǎo)名不變;符號看象限。
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各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割)”.
這十二字口訣的意思就是說:
第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;
第二象限內(nèi)只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”,弦函數(shù)是“-”;
第四象限內(nèi)只有余弦是“+”,其余全部是“-”.
上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦
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還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負(fù):
函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........+............+............—............—........
余弦 ...........+............—............—............+........
正切 ...........+............—............+............—........
余切 ...........+............—............+............—........
同角三角函數(shù)基本關(guān)系
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
商的關(guān)系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關(guān)系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法
六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)
構(gòu)造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。
(1)倒數(shù)關(guān)系:對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);
(2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。
(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此,可得商數(shù)關(guān)系式。
(3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。
兩角和差公式
兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
萬能公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......x,
(因為cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把x分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]
三倍角公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α),得:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
三倍角公式聯(lián)想記憶
正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負(fù)數(shù)),所以要“掙錢”(音似“正弦”))
余弦三倍角:4元3角 減 3元(減完之后還有“余”)
☆☆注意函數(shù)名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。
★另外的記憶方法:
正弦三倍角: 山無司令 (諧音為 三無四立) 三指的是"3倍"sinα, 無指的是減號, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方
余弦三倍角: 司令無山 與上同理
和差化積公式
三角函數(shù)的和差化積公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
積化和差公式
三角函數(shù)的積化和差公式
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化積公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
首先,我們知道sin(a+b)=sinaxcosb+cosaxsinb,sin(a-b)=sinaxcosb-cosaxsinb
我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinaxcosb
所以,sinaxcosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把兩式相減,就得到cosaxsinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosaxcosb-sinaxsinb,cos(a-b)=cosaxcosb+sinaxsinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosaxcosb
所以我們就得到,cosaxcosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,兩式相減我們就得到sinaxsinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:
sinaxcosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosaxsinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosaxcosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sinaxsinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式。
我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)xcos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)xsin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)xcos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)xsin((x-y)/2)
2020如何高效的掌握高中數(shù)學(xué)知識點
一、把知識點進(jìn)行分類
高中三年所學(xué)的知識點并不少,但是如果進(jìn)行分類的話,總的來說也不過八九個系列。所以要想更高效的掌握高中數(shù)學(xué)知識點,可以通過把知識點進(jìn)行分類的方法來達(dá)到。你可以想象,不同的知識點系列分別放進(jìn)不同的箱子,把每個箱子里的知識點挨個解決掉,就能夠有很不錯的掌握高中數(shù)學(xué)知識點了。 二、要按照任務(wù)來劃分計劃
把高中數(shù)學(xué)知識點進(jìn)行了分類,接下來要把各個類別的知識點分配給自己,也就是給大腦分配任務(wù),只有大腦完全掌握了才能夠在高考中取得好成績。每個類別的知識點不可能一次性解決掉,我們需要有計劃性的去攻克它們。
要注意把各個類別的知識點按照難易程度和內(nèi)容的差異性來制定計劃,比如這個類別的知識點大概要花多長時間,另一個類別可能會花的時間會更長或更短,可以把每天的學(xué)習(xí)時間中的一部分用來制定高中數(shù)學(xué)知識點的掌握上。當(dāng)然最好是把你的計劃寫出來,列出大綱,這樣就可以目標(biāo)明確的去執(zhí)行了。 三、時間的安排要注意合理化
要制定計劃是很容易的,但是最難的還是在于是不是能夠真正有效的去執(zhí)行這些計劃。如果要想讓你的計劃很完美,需要兩個方面的支撐:一個方面是這個目標(biāo)是可以量化的;另一個方面是目標(biāo)制定的時間是可以控制的。
需要明確下目標(biāo)制定的時間是可以控制的,就是把高中數(shù)學(xué)知識點的學(xué)習(xí)當(dāng)作大大小小的任務(wù),而這些任務(wù)不要一開始就是內(nèi)容多難度大,而要從小處著手,然后再一級一級的增加。循序漸進(jìn)才能取得更好的效果。
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