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高考數(shù)學(xué)專項練習(xí)試題

時間: 文瓊0 分享

高考考查的不僅僅是一些基礎(chǔ)知識,要想學(xué)好數(shù)學(xué),一定要掌握一定的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維,學(xué)會用數(shù)學(xué)思維解決問題,下面是小編為大家整理的關(guān)于高考數(shù)學(xué)專項練習(xí)試題,希望對您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學(xué)習(xí)!

高考數(shù)學(xué)專項練習(xí)試題

一、選擇題

1.若點P是兩條異面直線l,m外的任意一點,則(  )

A.過點P有且僅有一條直線與l,m都平行

B.過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直

C.過點P有且僅有一條直線與l,m都相交

D.過點P有且僅有一條直線與l,m都異面

答案:B 命題立意:本題考查異面直線的幾何性質(zhì),難度較小.

解題思路:因為點P是兩條異面直線l,m外的任意一點,則過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直,故選B.

2.如圖,P是正方形ABCD外一點,且PA平面ABCD,則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是(  )

A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直

B.它們兩兩垂直

C.平面PAB與平面PBC垂直,與平面PAD不垂直

D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直

答案:A 解題思路: DA⊥AB,DAPA,AB∩PA=A,

DA⊥平面PAB,又DA平面PAD, 平面PAD平面PAB.同理可證平面PAB平面PBC.把四棱錐P-ABCD放在長方體中,并把平面PBC補全為平面PBCD1,把平面PAD補全為平面PADD1,易知CD1D即為兩個平面所成二面角的平面角,CD1D=APB,

CD1D<90°,故平面PAD與平面PBC不垂直.

3.設(shè)α,β分別為兩個不同的平面,直線lα,則“l(fā)β”是“αβ”成立的(  )

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案:A 命題立意:本題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系的判定與充分必要條件的判斷,意在考查考生的邏輯推理能力.

解題思路:依題意,由lβ,lα可以推出αβ;反過來,由αβ,lα不能推出lβ.因此“l(fā)β”是“αβ”成立的充分不必要條件,故選A.

4.若m,n為兩條不重合的直線,α,β為兩個不重合的平面,則下列結(jié)論正確的是(  )

A.若m,n都平行于平面α,則m,n一定不是相交直線

B.若m,n都垂直于平面α,則m,n一定是平行直線

C.已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若mα,則nβ

D.m,n在平面α內(nèi)的射影互相垂直,則m,n互相垂直

答案:B 解題思路:本題考查了空間中線面的平行及垂直關(guān)系.在A中:因為平行于同一平面的兩直線可以平行,相交,異面,故A為假命題;在B中:因為垂直于同一平面的兩直線平行,故B為真命題;在C中:n可以平行于β,也可以在β內(nèi),也可以與β相交,故C為假命題;在D中:m,n也可以不互相垂直,故D為假命題.故選B.

5.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動,另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動,則MN的中點的軌跡的面積為(  )

A.4π B.2π

C.π D.-π

答案:D 解題思路:本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關(guān)系.如圖可知,端點N在正方形ABCD內(nèi)運動,連接ND,由ND,DM,MN構(gòu)成一個直角三角形,設(shè)P為NM的中點,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得,不論MDN如何變化,點P到點D的距離始終等于1.故點P的軌跡是一個以D為中心,半徑為1的球的球面,其面積為.

技巧點撥:探求以空間圖形為背景的軌跡問題,要善于把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面上,再聯(lián)合運用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識去求解,實現(xiàn)立體幾何到解析幾何的過渡.

6.如圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為PA,PD的中點,在此幾何體中,給出下面四個結(jié)論:

直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線EF平面PBC;平面BCE平面PAD.

其中正確結(jié)論的序號是(  )

A.1 B.1

C. 3D.4

答案:B 解題思路:本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關(guān)系.畫出幾何體的圖形,如圖,由題意可知,直線BE與直線CF是異面直線,不正確,因為E,F(xiàn)分別是PA與PD的中點,可知EFAD,所以EFBC,直線BE與直線CF是共面直線;直線BE與直線AF是異面直線,滿足異面直線的定義,正確;直線EF平面PBC,由E,F(xiàn)是PA與PD的中點,可知EFAD,所以EFBC,因為EF平面PBC,BC平面PBC,所以判斷是正確的;由題中條件不能判定平面BCE平面PAD,故不正確.故選B.

技巧點撥:翻折問題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起來,然后考查立體幾何的常見問題:垂直、角度、距離、應(yīng)用等問題.此類問題考查學(xué)生從二維到三維的升維能力,考查學(xué)生空間想象能力.解決該問題時,不僅要知道空間立體幾何的有關(guān)概念,還要注意到在翻折的過程中哪些量是不變的,哪些量是變化的.

二、填空題

7.如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形CEFB為正方形,平面ABCD平面CEFB,CE=1,AED=30°,則異面直線BC與AE所成角的大小為________.

答案:45° 解題思路:因為BCAD,所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角.

因為平面ABCD平面CEFB,且ECCB,

所以EC平面ABCD.

在RtECD中,EC=1,CD=1,故ED==.

在AED中,AED=30°,AD=1,由正弦定理可得=,即sin EAD===.

又因為EAD∈(0°,90°),所以EAD=45°.

故異面直線BC與AE所成的角為45°.

8.給出命題:

異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線;

兩異面直線a,b,如果a平行于平面α,那么b不平行于平面α;

兩異面直線a,b,如果a平面α,那么b不垂直于平面α;

兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線.

上述命題中,真命題的序號是________.

答案: 解題思路:本題考查了空間幾何體中的點、線、面之間的關(guān)系.根據(jù)異面直線的定義知:異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線,故命題為真命題;兩條異面直線可以平行于同一個平面,故命題為假命題;若bα,則ab,即a,b共面,這與a,b為異面直線矛盾,故命題為真命題;兩條異面直線在同一個平面內(nèi)的射影可以是:兩條平行直線、兩條相交直線、一點一直線,故命題為假命題.

9.如果一個棱錐的底面是正多邊形,并且頂點在底面的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐.已知一個正六棱錐的各個頂點都在半徑為3的球面上,則該正六棱錐的體積的最大值為________.

答案:16 命題立意:本題以球的內(nèi)接組合體問題引出,綜合考查了棱錐體積公式、利用導(dǎo)數(shù)工具處理函數(shù)最值的方法,同時也有效地考查了考生的運算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力.

解題思路:設(shè)球心到底面的距離為x,則底面邊長為,高為x+3,正六棱錐的體積V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27),其中0≤x<3,則V′=(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3(舍),故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

10.已知三棱錐P-ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上,球心O在AB上,PO平面ABC,=,則三棱錐與球的體積之比為________.

答案: 命題立意:本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積計算方法,意在考查考生的空間想象能力與基本運算能力.

解題思路:依題意,AB=2R,又=,ACB=90°,因此AC=R,BC=R,三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的體積V球=R3,因此VP-ABCV球=R3R3=.

三、解答題

11.如圖,四邊形ABCD與A′ABB′都是正方形,點E是A′A的中點,A′A平面ABCD.

(1)求證:A′C平面BDE;

(2)求證:平面A′AC平面BDE.

解題探究:第一問通過三角形的中位線證明出線線平行,從而證明出線面平行;第二問由A′A與平面ABCD垂直得到線線垂直,再由線線垂直證明出BD與平面A′AC垂直,從而得到平面與平面垂直.

解析:(1)設(shè)AC交BD于M,連接ME.

四邊形ABCD是正方形,

M為AC的中點.

又 E為A′A的中點,

ME為A′AC的中位線,

ME∥A′C.

又 ME?平面BDE,

A′C?平面BDE,

A′C∥平面BDE.

(2)∵ 四邊形ABCD為正方形, BD⊥AC.

∵ A′A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,

A′A⊥BD.

又AC∩A′A=A, BD⊥平面A′AC.

BD?平面BDE,

平面A′AC平面BDE.

12.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.

(1)求證:D1CAC1;

(2)設(shè)E是DC上一點,試確定E的位置,使D1E平面A1BD,并說明理由.

命題立意:本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定,考查考生的空間想象能力和推理論證能力.通過已知條件中的線線垂直關(guān)系和線面垂直的判定證明線面垂直,從而證明線線的垂直關(guān)系.并通過線段的長度關(guān)系,借助題目中線段的中點和三角形的中位線尋找出線線平行,證明出線面的平行關(guān)系.解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會作圖、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造.

解析:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,連接C1D, DC=DD1,

四邊形DCC1D1是正方形,

DC1⊥D1C.

又ADDC,ADDD1,DC∩DD1=D,

AD⊥平面DCC1D1,

又D1C平面DCC1D1,

AD⊥D1C.

∵ AD?平面ADC1,DC1平面ADC1,

且AD∩DC1=D,

D1C⊥平面ADC1,

又AC1平面ADC1,

D1C⊥AC1.

(1)題圖

(2)題圖

(2)連接AD1,AE,D1E,設(shè)AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,連接MN.

平面AD1E∩平面A1BD=MN,

要使D1E平面A1BD,

可使MND1E,又M是AD1的中點,

則N是AE的中點.

又易知ABN≌△EDN,

AB=DE.

即E是DC的中點.

綜上所述,當(dāng)E是DC的中點時,可使D1E平面A1BD.

13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足BAC=90°,AB=AC=AA′=2,點M,N分別為A′B和B′C′的中點.

(1)證明:MN平面A′ACC′;

(2)求三棱錐C-MNB的體積.

命題立意:本題主要考查空間線面位置關(guān)系、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識.意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

解析:(1)證明:如圖,連接AB′,AC′,

四邊形ABB′A′為矩形,M為A′B的中點,

AB′與A′B交于點M,且M為AB′的中點,又點N為B′C′的中點.

MN∥AC′.

又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′,

MN∥平面A′ACC′.

(2)由圖可知VC-MNB=VM-BCN,

BAC=90°, BC==2,

又三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱,且AA′=4,

S△BCN=_2_4=4.

A′B′=A′C′=2,BAC=90°,點N為B′C′的中點,

A′N⊥B′C′,A′N=.

又BB′⊥平面A′B′C′,

A′N⊥BB′,

A′N⊥平面BCN.

又M為A′B的中點,

M到平面BCN的距離為,

VC-MNB=VM-BCN=_4_=.

14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,ABDC,PAD是等邊三角形,BD=2AD=8,AB=2DC=4.

(1)設(shè)M是PC上的一點,證明:平面MBD平面PAD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

命題立意:本題主要考查線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理以及棱錐的體積的計算等,意在考查考生的邏輯推理能力與計算能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解析:(1)證明:在ABD中,因為AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,

所以BD平面PAD,

又BD平面MBD,

所以平面MBD平面PAD.

(2)過點P作OPAD交AD于點O,

因為平面PAD平面ABCD,

所以PO平面ABCD.

因此PO為四棱錐P-ABCD的高.

又PAD是邊長為4的等邊三角形,

所以PO=_4=2.

在四邊形ABCD中,ABDC,AB=2DC,

所以四邊形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中,斜邊AB上的高為=,此即為梯形ABCD的高.

所以四邊形ABCD的面積S=_=24.

故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=_24_2=16.

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