高中數(shù)學(xué)思想與邏輯：11種數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)與例題講解

　　高中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化化歸思想與邏輯劃分思想例題講解

　　在轉(zhuǎn)化過程中，應(yīng)遵循三個(gè)原則：

　　1、熟悉化原則，即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題;

　　2、簡單化原則，即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;

　　3、直觀化原則，即將抽象總是具體化.

　　策略一：正向向逆向轉(zhuǎn)化

　　一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一，解題時(shí)，如果從下面入手思維受阻，不妨從它的正面出發(fā)，逆向思維，往往會(huì)另有捷徑.

　　例1 ：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不共面的取法共有__________種.

　　A、150 B、147 C、144 D、141

　　分析：本題正面入手，情況復(fù)雜，若從反面去考慮，先求四點(diǎn)共面的取法總數(shù)再用補(bǔ)集思想，就簡單多了.

　　10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)取法有 種，其中面ABC內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)都共面有 種，同理其余3個(gè)面內(nèi)也有 種，又，每條棱與相對(duì)棱中點(diǎn)共面也有6種，各棱中點(diǎn)4點(diǎn)共面的有3種， 不共面取法有 種，應(yīng)選(D).

　　策略二：局部向整體的轉(zhuǎn)化

　　從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題卻需要從總體上去把握事物，不糾纏細(xì)節(jié)，從系統(tǒng)中去分析問題，不單打獨(dú)斗.

　　例2：一個(gè)四面體所有棱長都是 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球表面積為( )

　　A、 B、 C、 D、

　　分析：若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形去求解，過程冗長，容易出錯(cuò)，但把正四面體補(bǔ)形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn)，因?yàn)檎拿骟w棱長為 ，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑為 ，應(yīng)選(A).

　　策略三：未知向已知轉(zhuǎn)化

　　又稱類比轉(zhuǎn)化，它是一種培養(yǎng)知識(shí)遷移能力的重要學(xué)習(xí)方法，解題中，若能抓住題目中已知關(guān)鍵信息，鎖定相似性，巧妙進(jìn)行類比轉(zhuǎn)換，答案就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生.

　　例3：在等差數(shù)列 中，若 ，則有等式

　　( 成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列 中， ，則有等式_________成立.

　　分析：等差數(shù)列 中， ，必有 ，故有 類比等比數(shù)列 ，因?yàn)?，故 成立.

　　二、邏輯劃分思想

　　例題1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求實(shí)數(shù) a 取值的集合.

　　解 A= ： 分兩種情況討論

　　(1)B=￠，此時(shí)a=0;

　　(2)B為一元集合，B= ，此時(shí)又分兩種情況討論 ：

　　(i) B={-1}，則 =-1，a=-1

　　(ii)B={1}，則 =1， a=1.(二級(jí)分類)

　　綜合上述 所求集合為 .

　　例題2、設(shè)函數(shù)f(x)=ax -2x+2，對(duì)于滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　例題3、已知 ，試比較 的大小.

　　【分析】

　　于是可以知道解本題必須分類討論，其劃分點(diǎn)為 .

　　小結(jié)：分類討論的一般步驟：

　　(1)明確討論對(duì)象及對(duì)象的范圍P.(即對(duì)哪一個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論);

　　(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，將P進(jìn)行合理分類，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏，不越級(jí)討論.;

　　(3)逐類討論，獲取階段性結(jié)果.(化整為零，各個(gè)擊破);

　　(4)歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.(主元求并，副元分類作答).

　　十一種數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)與詳解

　　數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí);基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。

　　1、函數(shù)方程思想

　　函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時(shí)，還需要函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。

　　笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……等等;不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。

　　函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f (x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解決問題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題、集合問題、數(shù)列問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

　　函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題;有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析;含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系;實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答;等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。

　　2、數(shù)形結(jié)合思想

　　“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數(shù)和幾何相結(jié)合，例如對(duì)幾何問題用代數(shù)方法解答，對(duì)代數(shù)問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號(hào)((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(hào)(a^2+(b-1)^2)+根號(hào)((a-1)^2+b^2)+根號(hào)(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐標(biāo)系中，把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)點(diǎn)到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四點(diǎn)的距離，就可以求出它的最小值。

　　3、分類討論思想

　　當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對(duì)這個(gè)量或圖形的各種情況進(jìn)行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時(shí)候，就要分類討論a的取值情況。

　　4、方程思想

　　當(dāng)一個(gè)問題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問題。例如證明柯西不等式的時(shí)候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次方程的判別式。

　　5、整體思想

　　從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。

　　6、化歸思想

　　在于將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡單的問題。三角函數(shù)，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數(shù)學(xué)的尺規(guī)作圖等數(shù)學(xué)理論無不滲透著轉(zhuǎn)化的思想。常見的轉(zhuǎn)化方式有：一般 特殊轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化，復(fù)雜 簡單轉(zhuǎn)化，數(shù)形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，聯(lián)想轉(zhuǎn)化，類比轉(zhuǎn)化等。

　　轉(zhuǎn)化思想亦可在狹義上稱為化歸思想。化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化手段，轉(zhuǎn)化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B來解決問題A的方法。

　　7、隱含條件思想

　　沒有明文表述出來，但是根據(jù)已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個(gè)常規(guī)或者真理。例如一個(gè)等腰三角形，一條線段垂直于底邊，那么這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。

　　8、類比思想

　　把兩個(gè)(或兩類)不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嬗邢嗤蝾愃浦帲敲淳屯茢嗨鼈冊(cè)谄渌矫嬉部赡苡邢嗤蝾愃浦帯?/p>

　　9、建模思想

　　為了更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性地描述一個(gè)實(shí)際現(xiàn)象，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)候我們需要做一些實(shí)驗(yàn)，但這些實(shí)驗(yàn)往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實(shí)際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。

　　10、歸納推理思想

　　由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納)，簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理

　　另外，還有概率統(tǒng)計(jì)思想等數(shù)學(xué)思想，例如概率統(tǒng)計(jì)思想是指通過概率統(tǒng)計(jì)解決一些實(shí)際問題，如摸獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率、某次考試的綜合分析等等。另外，還可以用概率方法解決一些面積問題。

　　我來舉例子~~圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

　　也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

　　角平分線平行線，等腰三角形來添。

　　角平分線加垂線，三線合一試試看。

　　線段垂直平分線，常向兩端把線連。

　　要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。

　　三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

　　三角形中有中線，延長中線等中線。

　　平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。

　　梯形里面作高線，平移一腰試試看。

　　平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。

　　證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

　　等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

　　直接證明有困難，等量代換少麻煩。

　　斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

　　半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。

　　圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。

　　切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。

　　要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

　　是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

　　弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

　　圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。

　　弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

　　要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。

　　還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓

　　如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

　　內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。

　　若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。

　　要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

　　輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

　　假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。

　　基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。

　　解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。

　　切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。

　　分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

　　虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

　　11、極限思想

　　極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。