高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用
高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用
函數(shù)思想和方程思想是學(xué)習(xí)數(shù)列的兩大精髓.“從基本量出發(fā),知三求二.”這是方程思想的體現(xiàn).而“將數(shù)列看成一種特殊的函數(shù),等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于n的函數(shù).”則蘊(yùn)含了數(shù)列中的函數(shù)思想.借助有關(guān)函數(shù)、方程的性質(zhì)來解決數(shù)列問題,常能起到化難為易的功效。以下是小編給大家?guī)淼姆匠趟枷朐跀?shù)列上的應(yīng)用,僅供考生閱讀。
函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用(含具體案例)
本文列舉幾例分類剖析:
一、方程思想
1.知三求二
等差(或等比)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式集中了等差(或等比)數(shù)列的五個(gè)基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)數(shù)列最基本的題型,通過解方程的方法達(dá)到解決問題的目的.
例1等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a10=30,a20=50,(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若Sn=242,求n的值.
解(1)由a10=a1+9d=30,
a20=a1+19d=50,
解得a1=12,
因?yàn)閚∈N*,所以n=11.
2.轉(zhuǎn)化為基本量
在等差(等比)數(shù)列中,如果求得a1和d(q),那么其它的量立即可得.
例2在等比數(shù)列{an}中,已知a6―a4=24,a3a5=64,求{an}的前8項(xiàng)的和S8.
解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)
由a3a5=(a1q3)2=64,得a1q3=±8.
將a1q3=―8代入(1),
得q2=―2(舍去);
將a1q3=8代入(1),得q=±2.
當(dāng)q=2時(shí),a1=1,S8=255;
當(dāng)q=―2時(shí),a1=―1,S8=85.
3.加減消元法利用Sn求an
利用Sn求an是求通項(xiàng)公式的一種重要方法,其實(shí)這種方法就是方程思想中加減消元法的運(yùn)用.
例3(2011年佛山二模)已知數(shù)列{an}、{bn}中,對(duì)任何正整數(shù)n都有:
a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.
若數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解將等式左邊看成Sn,令
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.
依題意Sn=(n―1)?2n+1,(1)
又構(gòu)造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1,(2)
兩式相減可得
Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).
又因?yàn)閿?shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為
bn=2n―1,
所以an=n (n≥2).
當(dāng)n=1,由題設(shè)式子可得a1=1,符合an=n.
從而對(duì)一切n∈N*,都有an=n.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n.
4.等差、等比的綜合問題
這一類的綜合問題往往還是回歸到數(shù)列的基本量去建立方程組.
例4設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解根據(jù)求和定義和等差中項(xiàng)建立關(guān)于a1,a2,a3的方程組.
由已知得a1+a2+a3=7,
(a1+3)+(a3+4)2=3a2.
解得a2=2.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,
由a2=2,可得a1=2q,a3=2q.
又S3=7,可知2q+2+2q=7,
即2q2―5q+2=0,
解得q1=2,q2=12.
由題意得q>1,所以q=2.
可得a1=1,
從而數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n―1.
二、函數(shù)思想
數(shù)列是一類定義在正整數(shù)或它的有限子集上的特殊函數(shù).可見,任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義,具有函數(shù)的一些固有特征.如一次、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、周期性等在數(shù)列中有廣泛的應(yīng)用.如等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d),
前n項(xiàng)和的公式
Sn=na1+n(n―1)2d
=d2n2+(a1―d2)n,
當(dāng)d≠0時(shí),可以看作自變量n的一次和二次函數(shù).因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí),應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識(shí),以它的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶,架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁,揭示了它們間的內(nèi)在聯(lián)系,從而有效地分解數(shù)列問題.
1.運(yùn)用函數(shù)解析式解數(shù)列問題
在等差數(shù)列中,Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),故可用研究二次函數(shù)的方法進(jìn)行解題.
例5等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且S10=100,S100=10,求S110,并求出當(dāng)n為何值時(shí)Sn有最大值.
分析顯然公差d≠0,所以Sn是n的二次函數(shù)且無常數(shù)項(xiàng).
解設(shè)Sn=an2+bn(a≠0),則
a×102+b×10=100,
a×1002+b×100=10.
解得a=―11100,
b=11110.
所以Sn=―11100n2+11110n.
從而S110=―11100×1102+11110×110
=―110.
函數(shù)Sn=―11100n2+11110n的對(duì)稱軸為
n=111102×11100=55211=50211.
因?yàn)閚∈N*,
所以n=50時(shí)Sn有最大值.
2.利用函數(shù)單調(diào)性解數(shù)列問題
通過構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明數(shù)列的單調(diào)性.
例6已知數(shù)列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2),求證an>an+1.
解設(shè)f(x)=ln(1+x)x(x≥2),
則f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因?yàn)閤≥2,
所以x1+x<1,ln(1+x)>1,
所以f ′(x)<0.
即f(x)在[2,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).
故當(dāng)n≥2時(shí),an>an+1.
例7已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,bn=1+anan.
(1)若a1=―52,求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;
(2)若對(duì)任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取值范圍.
(1)分析最大、最小是函數(shù)的一個(gè)特征,一般可以從研究函數(shù)的單調(diào)性入手,用來研究函數(shù)最大值或最小值的方法同樣適用于研究數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).
解由題設(shè)易得an=n―72,
所以bn=2n―52n―7.
由bn=2n―52n―7=1+22n―7,
可考察函數(shù)f(x)=1+22x―7的單調(diào)性.
當(dāng)x<72時(shí),f(x)為減函數(shù),
且f(x)<1;
當(dāng)x>72時(shí),f(x)為減函數(shù),
且f(x)>1.
所以數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為b4=3,最小項(xiàng)為b3=―1.
(2)分析由于對(duì)任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,本題實(shí)際上就是求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng).
由于bn=1+1n―1+a1,
故可以考察函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1的形態(tài).
解由題,得an=n―1+a1,
所以bn=1+1n―1+a1.
考察函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1,
當(dāng)x<1―a1時(shí),f(x)為減函數(shù),
且f(x)<1;
當(dāng)x>1―a1時(shí),f(x)為減函數(shù),
且f(x)>1.
所以要使b8是最大項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)7<1―a1<8,
所以a1的取值范圍是―7
3.利用函數(shù)周期性解數(shù)列問題
例8數(shù)列{an}中a1=a2=1,a3=2,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.試求S100=a1+a2+…+a100的值.
分析從遞推式不易直接求通項(xiàng),觀察前幾項(xiàng)a1=1,a2=1,a3=2,a4=4,a5=1,a6=1,a7=2,a8=4,a9=1,…可猜測(cè)該數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.
解由已知
兩式相減得
通過上述實(shí)例的分析與說明,我們可以發(fā)現(xiàn),在數(shù)列的教學(xué)中,應(yīng)重視方程函數(shù)思想的滲透,應(yīng)該把函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)有機(jī)地融入到數(shù)列中,通過數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的相互交匯,使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善,同時(shí)也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高.
高中數(shù)學(xué)思想方法介紹,高中數(shù)學(xué)解題思想方法與講解
數(shù)學(xué)思想,是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中,經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí);基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想,它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征,并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想,就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。
數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)及規(guī)律的理性認(rèn)識(shí),是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí),是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)方法。學(xué)生大腦中若不蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法,會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏自主性,往往就成為離不開教師這個(gè)拐棍的被動(dòng)學(xué)習(xí)者,學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)不能用數(shù)學(xué)思想方法有效連接,支離破碎。所以,學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,大腦有了數(shù)學(xué)思想,學(xué)習(xí)才有方向?qū)б?,心中有了明確方向,才能主動(dòng)思考,才有利于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),才能知道如何去思考和解決問題。
高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想
1.轉(zhuǎn)化與化歸思想:
是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識(shí)范圍內(nèi)可解問題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想.這種化歸應(yīng)是等價(jià)轉(zhuǎn)化,即要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果應(yīng)是充分必要的,這樣才能保證轉(zhuǎn)化后所得結(jié)果仍為原題的結(jié)果. 高中數(shù)學(xué)中新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程,就是一個(gè)在已有知識(shí)和新概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行化歸的過程.因此,化歸思想在數(shù)學(xué)中無處不在. 化歸思想在解題教學(xué)中的的運(yùn)用可概括為:化未知為已知,化難為易,化繁為簡(jiǎn).從而達(dá)到知識(shí)遷移使問題獲得解決.但若化歸不當(dāng)也可能使問題的解決陷入困境. 例證
2.邏輯劃分思想(即分類與整合思想):
是當(dāng)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性在局部上有不同點(diǎn)而又不便化歸為單一本質(zhì)屬性的問題解決時(shí),而根據(jù)其不同點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)膭澐謽?biāo)準(zhǔn)分類求解,并綜合得出答案的一種基本數(shù)學(xué)思想.但要注意按劃分標(biāo)準(zhǔn)所分各類間應(yīng)滿足互相排斥,不重復(fù),不遺漏,最簡(jiǎn)潔的要求. 在解題教學(xué)中常用的劃分標(biāo)準(zhǔn)有:按定義劃分;按公式或定理的適用范圍劃分;按運(yùn)算法則的適用條件范圍劃分;按函數(shù)性質(zhì)劃分;按圖形的位置和形狀的變化劃分;按結(jié)論可能出現(xiàn)的不同情況劃分等.需說明的是: 有些問題既可用分類思想求解又可運(yùn)用化歸思想或數(shù)形結(jié)合思想等將其轉(zhuǎn)化到一個(gè)新的知識(shí)環(huán)境中去考慮,而避免分類求解.運(yùn)用分類思想的關(guān)鍵是尋找引起分類的原因和找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn). 例證
3. 函數(shù)與方程思想(即聯(lián)系思想或運(yùn)動(dòng)變化的思想):
就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)去分析研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系,抽象其數(shù)量特征,建立函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)或方程有關(guān)知識(shí)解決問題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想.
4. 數(shù)形結(jié)合思想:
將數(shù)學(xué)問題中抽象的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為一定的幾何圖形的性質(zhì)(或位置關(guān)系);或者把幾何圖形的性質(zhì)(或位置關(guān)系)抽象為適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系,使抽象思維與形象思維結(jié)合起來,實(shí)現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,從而使隱蔽的條件明朗化,是化難為易,探索解題思維途徑的重要的基本數(shù)學(xué)思想.
5. 整體思想:
處理數(shù)學(xué)問題的著眼點(diǎn)或在整體或在局部.它是從整體角度出發(fā),分析條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,對(duì)應(yīng)關(guān)系,相互聯(lián)系及變化規(guī)律,從而找出最優(yōu)解題途徑的重要的數(shù)學(xué)思想.它是控制論,信息論,系統(tǒng)論中“整體—部分—整體”原則在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn).在解題中,為了便于掌握和運(yùn)用整體思想,可將這一思想概括為:記住已知(用過哪些條件?還有哪些條件未用上?如何創(chuàng)造機(jī)會(huì)把未用上的條件用上?),想著目標(biāo)(向著目標(biāo)步步推理,必要時(shí)可利用圖形標(biāo)示出已知和求證);看聯(lián)系,抓變化,或化歸;或數(shù)形轉(zhuǎn)換,尋求解答.一般來說,整體范圍看得越大,解法可能越好.
在整體思想指導(dǎo)下,解題技巧只需記住已知,想著目標(biāo), 步步正確推理就夠了.
中學(xué)數(shù)學(xué)中還有一些數(shù)學(xué)思想,如:
集合的思想;
補(bǔ)集思想;
歸納與遞推思想;
對(duì)稱思想;
逆反思想;
類比思想;
參變數(shù)思想
有限與無限的思想;
特殊與一般的思想.
它們大多是本文所述基本數(shù)學(xué)思想在一定知識(shí)環(huán)境中的具體體現(xiàn).所以在中學(xué)數(shù)學(xué)中,只要掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),把握代數(shù),三角,立體幾何,解析幾何的每部分的知識(shí)點(diǎn)及聯(lián)系,掌握幾個(gè)常用的基本數(shù)學(xué)思想和將它們統(tǒng)一起來的整體思想,就定能找到解題途徑.提高數(shù)學(xué)解題能力。