離散數(shù)學(xué)證明方法有哪些
離散數(shù)學(xué)中的概念和定理偏多,思維較抽象,證明強(qiáng)調(diào)技巧性但變化不多。下面小編給大家整理了關(guān)于離散數(shù)學(xué)證明方法,希望對(duì)你有幫助!
1離散數(shù)學(xué)證明方法
離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是計(jì)算機(jī)科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程。離散數(shù)學(xué)以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系為主要目標(biāo),其研究對(duì)象一般地是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素,因此他充分描述了計(jì)算機(jī)科學(xué)離散性的特點(diǎn)。
2離散數(shù)學(xué)證明方法
直接證明法直接證明法是最常見的一種證明的方法,它通常用作證明某一類東西具有相同的性質(zhì),或者符合某一些性質(zhì)必定是某一類東西。直接證明法有兩種思路,第一種是從已知的條件來推出結(jié)論,即看到條件的時(shí)候,并不知道它怎么可以推出結(jié)論,則可以先從已知條件按照定理推出一些中間的條件(這一步可能是沒有目的的,要看看從已知的條件中能夠推出些什么),接著,選擇可以推出結(jié)論的那個(gè)條件繼續(xù)往下推演;另外一種是從結(jié)論反推回條件,即看到結(jié)論的時(shí)候,首先要反推一下,看看從哪些條件可以得出這個(gè)結(jié)論(這一步也可能是沒有目的的,因?yàn)椴⒉恢酪玫侥膫€(gè)條件),以此類推一直到已知的條件。通常這兩種思路是同時(shí)進(jìn)行的。
反證法反證法是證明那些“存在某一個(gè)例子或性質(zhì)”,“不具有某一種的性質(zhì)”,“僅存在”等的題目。它的方法是首先假設(shè)出所求命題的否命題,接著根據(jù)這個(gè)否命題和已知條件進(jìn)行推演,直至推出與已知條件或定理相矛盾,則認(rèn)為假設(shè)是不成立的,因此,命題得證。
構(gòu)造法證明“存在某一個(gè)例子或性質(zhì)”的題目,我們可以用反證法,假設(shè)不存在這樣的例子和性質(zhì),然后推出矛盾,也可以直接構(gòu)造出這么一個(gè)例子就可以了。這就是構(gòu)造法,通常這樣的題目在圖論中多見。值得注意的是,有一些題目其實(shí)也是本類型的題目,只不過比較隱蔽罷了,像證明兩個(gè)集合等勢(shì),實(shí)際上就是證明“兩個(gè)集合中存在一個(gè)雙射”,我們即可以假設(shè)不存在,用反證法,也可以直接構(gòu)造出這個(gè)雙射。
數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的題目,而且這一類型的題目可以遞推。作這一類型題目的時(shí)候,要注意一點(diǎn)就是所要?dú)w納內(nèi)容的選擇。
3離散數(shù)學(xué)證明方法
可以嘗試將離散數(shù)學(xué)拆成三部分來學(xué):集合論與數(shù)理邏輯、近世代數(shù)(抽象代數(shù))和圖論,當(dāng)然還夾雜部分經(jīng)典的算法。
離散數(shù)學(xué)中的概念和定理偏多,思維較抽象,證明強(qiáng)調(diào)技巧性但變化不多。我覺得這是一門很需要找“感覺”的數(shù)學(xué)科目。首先要強(qiáng)記所學(xué)內(nèi)容的相關(guān)定義和定理,隨后學(xué)習(xí)證明過程時(shí)必須結(jié)合定義和定理,即每推一步就弄清其根據(jù)的是什么定義或定理。用這種方法學(xué)習(xí)一段時(shí)間后對(duì)證明就有一定感覺了,再做證明題就會(huì)感覺順手很多。
了解概念是必要的,如果概念沒有了解清楚,就無法很好的了解各種定理了。初學(xué)者學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)一定要對(duì)概念弄清楚是怎么來的,基于什么客觀事實(shí),所有的離散概念都源于實(shí)踐,因此,如果脫離實(shí)踐去單純的了解離散中的概念會(huì)很難理解。《離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》是一本我個(gè)人覺得比較全面的書,但是建議還是配套一些國(guó)內(nèi)的書籍看,比如現(xiàn)在普遍使用的曲婉玲老師的教材。這兩本相互補(bǔ)充。教學(xué)中,我會(huì)采用曲婉玲老師的教材,難度適中,但是很多定理沒有證明,就補(bǔ)充離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用幫助理解。
離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容幾乎都可以用編程實(shí)現(xiàn)的……然而,用程序員觀點(diǎn)寫的離散數(shù)學(xué)還是很少的,我只知道兩三本,名字暫時(shí)忘了。rosen的那本有不少程序,書很厚!怎么學(xué)?看概念,然后做題???a href='http://www.zbfsgm.com/biyeji/' target='_blank'>畢業(yè)了才發(fā)現(xiàn),離散數(shù)學(xué)才是最有用的書。
4離散數(shù)學(xué)證明方法
離散數(shù)學(xué)中證明[0,1]是不可數(shù)的可以做映射,把無理數(shù)還是映到自己。然后把(0,1)上的有理數(shù)以某種規(guī)律排出來設(shè)為r1,r2,r3...然后把0→r1,1→r2,r1→r3,r2→r4 r(n)→r(n+2)
康托爾在1874年和1891年分別用兩種不同的方法,證明了實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集。其中1891年所用的方法更加為人所熟知,又被稱為對(duì)角線法。證明發(fā)表之后,這種方法在數(shù)理邏輯中獲得廣泛應(yīng)用。
對(duì)角線法證明實(shí)數(shù)集不可數(shù)的大致思路如下:顯然實(shí)數(shù)集不是有限集。反設(shè)實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集之間存在一個(gè)雙射,設(shè)自然數(shù)0對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是a0,1對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a1,2對(duì)應(yīng)a2,……i對(duì)應(yīng)ai。注意任意實(shí)數(shù)可以地表示為不以無限多個(gè)9結(jié)尾的十進(jìn)制小數(shù),可設(shè)aij為ai小數(shù)點(diǎn)后的第j+1位。
現(xiàn)在確定一個(gè)實(shí)數(shù)_,并說明它不能和任何自然數(shù)對(duì)應(yīng)。_的整數(shù)部分是0;設(shè)_j為_小數(shù)點(diǎn)后的第j+1位,令_j=0,當(dāng)aij≠0;_j=1,當(dāng)aij=0。_的表示形式是一個(gè)不以無限多個(gè)9結(jié)尾的十進(jìn)制小數(shù),但是它不等于任何一個(gè)ai,因?yàn)橛啥x,_小數(shù)點(diǎn)后的第i+1位_i不等于aii。因此“實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集之間存在一個(gè)雙射”的假設(shè)不成立,所以實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集。
5離散數(shù)學(xué)證明題解題方法
離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是計(jì)算機(jī)科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程。離散數(shù)學(xué)以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系為主要目標(biāo),其研究對(duì)象一般地是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素,因此他充分描述了計(jì)算機(jī)科學(xué)離散性的特點(diǎn)。
1、定義和定理多。
離散數(shù)學(xué)是建立在大量定義上面的邏輯推理學(xué)科。因而對(duì)概念的理解是我們學(xué)習(xí)這門學(xué)科的核心。在這些概念的基礎(chǔ)上,特別要注意概念之間的聯(lián)系,而描述這些聯(lián)系的實(shí)體則是大量的定理和性質(zhì)。
●證明等價(jià)關(guān)系:即要證明關(guān)系有自反、對(duì)稱、傳遞的性質(zhì)。
●證明偏序關(guān)系:即要證明關(guān)系有自反、反對(duì)稱、傳遞的性質(zhì)。(特殊關(guān)系的證明就列出來兩種,要證明剩下的幾種只需要結(jié)合定義來進(jìn)行)。
●證明滿射:函數(shù)f:_Y,即要證明對(duì)于任意的yY,都有_
或者對(duì)于任意的f(_1)=f(_2),則有_1=_2。
●證明集合等勢(shì):即證明兩個(gè)集合中存在雙射。有三種情況:第
一、證明兩個(gè)具體的集合等勢(shì),用構(gòu)造法,或者直接構(gòu)造一個(gè)雙射,或者構(gòu)造兩個(gè)集合相互間的入射;第
二、已知某個(gè)集合的基數(shù),如果為?,就設(shè)它和R之間存在雙射f,然后通過f的性質(zhì)推出另外的雙射,因此等勢(shì);如果為?0,則設(shè)和N之間存在雙射;第
三、已知兩個(gè)集合等勢(shì),然后再證明另外的兩個(gè)集合等勢(shì),這時(shí),先設(shè)已知的兩個(gè)集合存在雙射,然后根據(jù)剩下題設(shè)條件證明要證的兩個(gè)集合存在雙射。
●證明群:即要證明代數(shù)系統(tǒng)封閉、可結(jié)合、有幺元和逆元。(同樣,這一部分能夠作為證明題的概念更多,要結(jié)合定義把它們?nèi)扛阃笍?。
●證明子群:雖然子群的證明定理有兩個(gè),但如果考證明子群的話,通常是第二個(gè)定理,即設(shè)是群,S是G的非空子集,如果對(duì)于S中的任意元素a和b有a_b-
1是的子群。對(duì)于有限子群,則可考慮第一個(gè)定理。
●證明正規(guī)子群:若是一個(gè)子群,H是G的一個(gè)子集,即要證明對(duì)于任意的aG,有aH=Ha,或者對(duì)于任意的hH,有a-1 ____H。這是最常見的題目中所使用的方法。 ●證明格和子格:子格沒有條件,因此和證明格一樣,證明集合中任意兩個(gè)元素的最大元和最小元都在集合中。
圖論雖然方法性沒有前幾部分的強(qiáng),但是也有一定的方法,如最長(zhǎng)路徑法、構(gòu)造法等等 下面講一下離散證明題的證明方法:
1、直接證明法
直接證明法是最常見的一種證明的方法,它通常用作證明某一類東西具有相同的性質(zhì),或者符合某一些性質(zhì)必定是某一類東西。
直接證明法有兩種思路,第一種是從已知的條件來推出結(jié)論,即看到條件的時(shí)候,并不知道它怎么可以推出結(jié)論,則可以先從已知條件按照定理推出一些中間的條件(這一步可能是沒有目的的,要看看從已知的條件中能夠推出些什么),接著,選擇可以推出結(jié)論的那個(gè)條件繼續(xù)往下推演;另外一種是從結(jié)論反推回條件,即看到結(jié)論的時(shí)候,首先要反推一下,看看S,則_,使得f(_)=y。 ●證明入射:函數(shù)f:_Y,即要證明對(duì)于任意的_
1、_2_,且_1≠_2,則f(_1) ≠f(_2);
從哪些條件可以得出這個(gè)結(jié)論(這一步也可能是沒有目的的,因?yàn)椴⒉恢酪玫侥膫€(gè)條件),以此類推一直到已知的條件。通常這兩種思路是同時(shí)進(jìn)行的。
2、反證法
反證法是證明那些“存在某一個(gè)例子或性質(zhì)”,“不具有某一種的性質(zhì)”,“僅存在唯一”等的題目。
它的方法是首先假設(shè)出所求命題的否命題,接著根據(jù)這個(gè)否命題和已知條件進(jìn)行推演,直至推出與已知條件或定理相矛盾,則認(rèn)為假設(shè)是不成立的,因此,命題得證。
3、構(gòu)造法
證明“存在某一個(gè)例子或性質(zhì)”的題目,我們可以用反證法,假設(shè)不存在這樣的例子和性質(zhì),然后推出矛盾,也可以直接構(gòu)造出這么一個(gè)例子就可以了。這就是構(gòu)造法,通常這樣的題目在圖論中多見。值得注意的是,有一些題目其實(shí)也是本類型的題目,只不過比較隱蔽罷了,像證明兩個(gè)集合等勢(shì),實(shí)際上就是證明“兩個(gè)集合中存在一個(gè)雙射”,我們即可以假設(shè)不存在,用反證法,也可以直接構(gòu)造出這個(gè)雙射。
4、數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的題目,而且這一類型的題目可以遞推。作這一類型題目的時(shí)候,要注意一點(diǎn)就是所要?dú)w納內(nèi)容的選擇。
學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的最大困難是它的抽象性和邏輯推理的嚴(yán)密性。在離散數(shù)學(xué)中,假設(shè)讓你解一道題或證明一個(gè)命題,你應(yīng)首先讀懂題意,然后尋找解題或證明的思路和方法,當(dāng)你相信已找到了解題或證明的思路和方法,你必須把它嚴(yán)格地寫出來。一個(gè)寫得很好的解題過程或證明是一系列的陳述,其中每一條陳述都是前面的陳述經(jīng)過簡(jiǎn)單的推理而得到的。仔細(xì)地寫解題過程或證明是很重要的,既能讓讀者理解它,又能保證解題過程或證明準(zhǔn)確無誤。一個(gè)好的解題過程或證明應(yīng)該是條理清楚、論據(jù)充分、表述簡(jiǎn)潔的。針對(duì)這一要求,在講課中老師會(huì)提供大量的典型例題供同學(xué)們參考和學(xué)習(xí)。
在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)中所遇到的這些困難,可以通過多學(xué)、多看、認(rèn)真分析講課中所給出的典型例題的解題過程,再加上多練,從而逐步得到解決。在此特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn):深入地理解和掌握離散數(shù)學(xué)的基本概念、基本定理和結(jié)論,是學(xué)好離散數(shù)學(xué)的重要前提之一。所以,同學(xué)們要準(zhǔn)確、全面、完整地記憶和理解所有這些基本定義和定理。
學(xué)好高數(shù)=基本概念透+基本定理牢+基本網(wǎng)絡(luò)有+基本常識(shí)記+基本題型熟。數(shù)學(xué)就是一個(gè)概念+定理體系(還有推理),對(duì)概念的理解至關(guān)重要,比如說極限、導(dǎo)數(shù)等
再快樂的單身漢遲早也會(huì)結(jié)婚,幸福不是永久的嘛!
愛就像坐旋轉(zhuǎn)木馬,雖然永遠(yuǎn)在你愛人的身后,但隔著永恒的距離。
相互牽著的手,永不放開,直到他的出現(xiàn),你離開了我.
時(shí)光就這樣靜靜的流淌,那些在躺在草地上曬太陽的時(shí)光,那些拂面吹來的風(fēng).
明知道是讓對(duì)方痛苦的愛就不要讓它繼續(xù)下去,割舍掉。如果不行就將它凍結(jié)在自己內(nèi)心最深的角落。