高一數(shù)學(xué)科必修必考知識點(diǎn)

時(shí)間：2021-05-03 15:26:24 贊銳0由分享

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高一數(shù)學(xué)科必修必考知識點(diǎn)1

(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)

1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射.

2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：

(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).

(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會(huì)求分段函數(shù)的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(_)，那么y=f[g(_)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(_)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).

3、求函數(shù)y=f(_)的反函數(shù)的一般步驟：

(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域;

(2)由y=f(_)的解析式求出_=f-1(y);

(3)將_，y對換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(_)，并注明定義域.

注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起.

②熟悉的應(yīng)用，求f-1(_0)的值，合理利用這個(gè)結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運(yùn)算.

(二)、函數(shù)的解析式與定義域

1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時(shí)，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：

(1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題，這時(shí)自變量_有實(shí)際意義，求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;

(2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

①分式的分母不得為零;

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tan_(_∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cot_(_∈R，_≠kπ，k∈Z)等.

應(yīng)注意，一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域，求另一個(gè)函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

已知f(_)的定義域是[a，b]，求f[g(_)]的定義域是指滿足a≤g(_)≤b的_的取值范圍，而已知f[g(_)]的定義域[a，b]指的是_∈[a，b]，此時(shí)f(_)的定義域，即g(_)的值域.

2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

(1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí)，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.

(2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(_)=a_+b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可.

(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的表達(dá)式時(shí)，可用換元法求函數(shù)f(_)的表達(dá)式，這時(shí)必須求出g(_)的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.

(4)若已知f(_)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(_)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量(如f(-_)，等)，必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(_)的表達(dá)式.

(三)、函數(shù)的值域與最值

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域.

(2)換元法：運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元.

(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(_)與其反函數(shù)f-1(_)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.

(4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(_)變形為關(guān)于_的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數(shù)的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如_>0時(shí)，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.

3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實(shí)際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)問題上，求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

(四)、函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(_)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，都有f(-_)=-f(_)(或f(-_)=f(_))，那么函數(shù)f(_)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點(diǎn)：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(_)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(_)=-f(_)或f(-_)=f(_)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).

2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：

注意如下結(jié)論的運(yùn)用：

(1)不論f(_)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|_|)總是偶函數(shù);

(2)f(_)、g(_)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f(_)+g(_)是奇函數(shù)，f(_)·g(_)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論

(1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)若奇函數(shù)f(_)在_=0處有意義，則f(0)=0成立.

(4)若f(_)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

(5)若f(_)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則F(_)=f(_)+f(-_)是偶函數(shù)，G(_)=f(_)-f(-_)是奇函數(shù).

(6)奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(_)對定義域內(nèi)的任一_都有f(a+_)=f(a-_)，則y=f(_)的圖象關(guān)于直線_=a對稱，即y=f(a+_)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(_)對定義域內(nèi)的任-_都有f(a+_)=-f(a-_)，則y=f(_)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+_)為奇函數(shù)。

高一數(shù)學(xué)科必修必考知識點(diǎn)2

重點(diǎn)難點(diǎn)講解：

1.回歸分析：

就是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系形式進(jìn)行測定，確定一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便進(jìn)行估計(jì)預(yù)測的統(tǒng)計(jì)分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。

2.線性回歸方程

設(shè)_與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n組觀測值的n個(gè)點(diǎn)(_i,yi)(i=1,......,n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。

其中。

3.線性相關(guān)性檢驗(yàn)

線性相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，它給出了一個(gè)具體檢驗(yàn)y與_之間線性相關(guān)與否的辦法。

①在課本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測值組數(shù))相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05。

②由公式，計(jì)算r的值。

③檢驗(yàn)所得結(jié)果

如果|r|≤r0.05，可以認(rèn)為y與_之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)。

如果|r|>r0.05，可以認(rèn)為y與_之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，即y與_之間具有線性相關(guān)關(guān)系。

典型例題講解：

例1.從某班50名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，測得其數(shù)學(xué)考試成績與物理考試成績資料如表：序號12345678910數(shù)學(xué)成績54666876788285879094，物理成績61806286847685828896試建立該10名學(xué)生的物理成績對數(shù)學(xué)成績的線性回歸模型。

解：設(shè)數(shù)學(xué)成績?yōu)開，物理成績?yōu)椋瑒t可設(shè)所求線性回歸模型為，

計(jì)算，代入公式得∴所求線性回歸模型為=0.74_+22.28。

說明：將自變量_的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應(yīng)的因變量的估計(jì)值，由回歸模型知：數(shù)學(xué)成績每增加1分，物理成績平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對自己班的數(shù)學(xué)、化學(xué)成績進(jìn)行分析。

例2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限_和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：_23456y2.23.85.56.57.0

若由資料可知y對_成線性相關(guān)關(guān)系。試求：

(1)線性回歸方程;(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?

分析：本題為了降低難度，告訴了y與_間成線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。

解：(1)列表如下：i12345_i23456yi2.23.85.56.57.0_iyi4.411.422.032.542.049162536于是b=,?！嗑€性回歸方程為：=b_+a=1.23_+0.08。

(2)當(dāng)_=10時(shí)，=1.23×10+0.08=12.38(萬元)即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬元。

說明：本題若沒有告訴我們y與_間是線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。如果本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時(shí)，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測也是不可信的。

例3.某省七年的國民生產(chǎn)總值及社會(huì)商品零售總額如下表所示：已知國民生產(chǎn)總值與社會(huì)商品的零售總額之間存在線性關(guān)系，請建立回歸模型。年份國民生產(chǎn)總值(億元)

社會(huì)商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計(jì)4333.012194.24

解：設(shè)國民生產(chǎn)總值為_，社會(huì)商品零售總額為y,設(shè)線性回歸模型為。

依上表計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)后代入的表達(dá)式得：∴所求線性回歸模型為y=0.445957_+37.4148,表明國民生產(chǎn)總值每增加1億元，社會(huì)商品零售總額將平均增加4459.57萬元。

例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量_kg與每單位面積蔬菜每年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992_(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999_(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求_與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān);

(2)若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。

分析：(1)使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來完成;(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05比較，若r>r0.05，則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。

解：(1)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i123456789101112131415_i707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0_iyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關(guān)系數(shù)：r=由于n=15，故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.514，則r>r0.05，從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。

(2)設(shè)所求的回歸直線方程為=b_+a，則∴回歸直線方程為=0.0931_+0.7102。

當(dāng)_=150時(shí)，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。

說明：求解兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計(jì)算量較大，需要細(xì)心謹(jǐn)慎計(jì)算，如果會(huì)使用含統(tǒng)計(jì)的科學(xué)計(jì)算器，能簡單得到，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計(jì)算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

高一數(shù)學(xué)科必修必考知識點(diǎn)3

1.“包含”關(guān)系—子集

注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè)A={__2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同時(shí)BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ