高一函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)歸納
我相信,人類發(fā)現(xiàn)的知識(shí)只會(huì)流向需要它的人,從某種方面說(shuō),人只是知識(shí)的載體,知識(shí)是一種既能生產(chǎn),又能消費(fèi)的特殊能量。下面給大家分享一些關(guān)于高一函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)歸納,希望對(duì)大家有所幫助。
一次函數(shù)
1.一次函數(shù)定義與定義式:
自變量x和因變量y有如下關(guān)系:
y=kx+b
則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。
特別地,當(dāng)b=0時(shí),y是x的正比例函數(shù)。
即:y=kx(k為常數(shù),k≠0)
2.一次函數(shù)的性質(zhì):
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k
即:y=kx+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))
2.當(dāng)x=0時(shí),b為函數(shù)在y軸上的截距。
3.一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):
(1)作法與圖形:通過(guò)如下3個(gè)步驟
a 列表;
b 描點(diǎn);
c 連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn),并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))
(2)性質(zhì):
a 在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。
b 一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。
(3)k,b與函數(shù)圖像所在象限:
當(dāng)k>0時(shí),直線必通過(guò)一、三象限,y隨x的增大而增大;
當(dāng)k<0時(shí),直線必通過(guò)二、四象限,y隨x的增大而減小。
當(dāng)b>0時(shí),直線必通過(guò)一、二象限;
當(dāng)b=0時(shí),直線通過(guò)原點(diǎn)
當(dāng)b<0時(shí),直線必通過(guò)三、四象限。
特別地,當(dāng)b=O時(shí),直線通過(guò)原點(diǎn)O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí),當(dāng)k>0時(shí),直線只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),直線只通過(guò)二、四象限。
4.確定一次函數(shù)的表達(dá)式:
已知點(diǎn)A(x1,y1);B(x2,y2),請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P(x,y),都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個(gè)二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
5.一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:
(1)當(dāng)時(shí)間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
(2)當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定,水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
6.常用公式:
(1)求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
(2)求與x軸平行線段的中點(diǎn):|x1-x2|/2
(3)求與y軸平行線段的中點(diǎn):|y1-y2|/2
(4)求任意線段的長(zhǎng):√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根號(hào)下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
二次函數(shù)
1.定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
y=ax’2+bx+c
(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點(diǎn)式:y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]
交點(diǎn)式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
3.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x’2的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
4.拋物線的性質(zhì)
(1)拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線
x=-b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)
(2)拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為
P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2-4ac=0時(shí),P在x軸上。
(3)二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小
當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開(kāi)口。
|a|越大,則拋物線的開(kāi)口越小。
(4)一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。
(5)常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)
拋物線與y軸交于(0,c)
(6)拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ=b’2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b’2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b’2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)
5.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax’2+bx+c,
當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax’2+bx+c=0
此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
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