初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)歸納最新
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初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)歸納
1、圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
2、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合
3、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合
4、同圓或等圓的半徑相等
5、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓
6、和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這條線段的垂直平分線
7、到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這個(gè)角的平分線
8、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡,是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
9、定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
10、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧
11、推論1:
①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧
③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
12、推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等
13、圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形
14、定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弦的弦心距相等
15、推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等
16、定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半
17、推論:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等
18、推論:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑
19、推論:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形
20、定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角
21、①直線L和⊙O相交d﹤r
②直線L和⊙O相切d=r
③直線L和⊙O相離d﹥r(jià)
22、切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
23、切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑
24、推論:經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)
25、推論:經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心
26、切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
27、圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等
28、弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角
29、推論:如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等,那么這兩個(gè)弦切角也相等
30、相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等
31、推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)
32、切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)
33、推論:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等
34、如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上
35、①兩圓外離d﹥R+r
②兩圓外切d=R+r
③兩圓相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r(jià))
④兩圓內(nèi)切d=R-r(R﹥r(jià))
⑤兩圓內(nèi)含d﹤R-r(R﹥r(jià))
36、定理:相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
37、定理:把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線,以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
38、定理:
任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓,這兩個(gè)圓是同心圓
39、正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n
40、定理:正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形
41、正n邊形的面積Sn=pr/2p表示正n邊形的周長(zhǎng),r為邊心距
42、正三角形面積√3a2/4a表示邊長(zhǎng)
43、如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角,由于這些角的和應(yīng)為360°,因此
k(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4
44、弧長(zhǎng)計(jì)算公式:L=n兀R/180
45、扇形面積公式:
S扇形=n兀R2/360=LR/2
外公切線長(zhǎng)=d-(R+r)
初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征:如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則
①點(diǎn)在圓上<===>d=r;②點(diǎn)在圓內(nèi)<===>dd>r.
二.圓的對(duì)稱性:
1.與圓相關(guān)的概念:
④同心圓:圓心相同,半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。
⑤等圓:能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓,半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。
⑥等?。涸谕瑘A或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。
⑦圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.
⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.
2.圓是軸對(duì)稱圖形,直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸,圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。
3.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
說(shuō)明:根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō),如果具備:
①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧。
上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。
4.定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。
推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
三.圓周角和圓心角的關(guān)系:
1.圓周角的定義:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.
2.圓周角定理;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.
推論1:同弧或等弧所對(duì)圓周角相等;反之,在同圓或等圓中,相等圓周角所對(duì)弧也相等;
推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑;
四.確定圓的條件:
1.理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件:
經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.
2.定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:
(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形:經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.
(2)三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.
(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.
初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)整理
1.在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心,線段OA叫做半徑。
2.連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。
3.圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧,簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓。能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。
4.圓是軸對(duì)稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。
5.垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
6.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
7.我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
8.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等。
9.在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弦相等。
10.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弧相等。
11.頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
12.在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。
13.半圓(或半徑)所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
14.如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。
15.在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓周角相等,他們所對(duì)的弧一定相等。
16.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。
17.點(diǎn)P在圓外——d>r點(diǎn)P在圓上——d=r點(diǎn)P在圓內(nèi)——d
18.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
19.經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的外心。
20.直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線。
21.直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線,這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。
22.直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn),這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離。
23.直線L和○O—d
直線L和○O相離——d>r
24.經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
25.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。
26.經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
27.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
28.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的內(nèi)心。
29.如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離,(分外離和內(nèi)含)如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切,(分外切和內(nèi)切)。如果這兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。
30.兩圓圓心的距離叫做圓心距。
31.我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑,正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
32.在半徑是R的圓中,因?yàn)?60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2πR,所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為
nπR
L=——
180
33.由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形
34.在半徑是R的圓中,因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積S=πR2nπR2
S扇形=——
360
35.我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。
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