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九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

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從今天起,我們要學(xué)會(huì)堅(jiān)持!因?yàn)橛辛藞?jiān)持,我們才會(huì)朝著目標(biāo)堅(jiān)定地前行;因?yàn)橛辛藞?jiān)持,我們才會(huì)努力尋求解決困難的辦法;因?yàn)橛辛藞?jiān)持,我們才有可能把夢(mèng)想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。你是否有想過(guò)自己可以參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽并且拿獎(jiǎng)。下面就是小編為大家梳理歸納的內(nèi)容,希望能夠幫助到大家。

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

基礎(chǔ)題

1.(2013年北京)在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,從中隨機(jī)摸出1個(gè)小球,其標(biāo)號(hào)大于2的概率為(  )

A.15 B.25 C.35 D.45

2.(2013年上海)將“定理”的英文單詞theorem中的7個(gè)字母分別寫在7張相同的卡片上,字面朝下隨意放在桌子上,任取1張,那么取到字母e的概率為_(kāi)___________.

3.(2013年湖北宜昌)2012~2013NBA整個(gè)常規(guī)賽季中,科比罰球投籃的命中率大約是83.3%,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(  )

A.科比罰球投籃2次,一定全部命中 B.科比罰球投籃2次,不一定全部命中

C.科比罰球投籃1次,命中的可能性較大 D.科比罰球投籃1次,不命中的可能性較小

4.(2013年福建福州)袋中有紅球4個(gè),白球若干個(gè),它們只有顏色上的區(qū)別.從袋中隨機(jī)地取出1個(gè)球,如果取到白球的可能性較大,那么袋中白球的個(gè)數(shù)可能是(  )

A.3個(gè) B.不足3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)或5個(gè)以上

5.(2013年海南益陽(yáng))有三張大小、形狀及背面完全相同的卡片,卡片正面分別畫有正三角形、正方形、圓,從這三張卡片中任意抽取一張,卡片正面的圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是________.

6.在一個(gè)不透明的盒子中,共有“一白三黑”四個(gè)圍棋子,它們除了顏色之外沒(méi)有其他區(qū)別.

(1)隨機(jī)地從盒中提出一子,則提出白子的概率是多少?

(2)隨機(jī)地從盒中提出一子,不放回再提第二子.請(qǐng)你用畫樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果,并求恰好提出“一黑一白”子的概率.

B級(jí) 中等題

7.(2013年重慶)從3,0,-1,-2,-3這五個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),作為函數(shù)y=(5-m2)x和關(guān)于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值,恰好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,且方程有實(shí)數(shù)根的概率為_(kāi)_______.

8.(2013年湖北襄陽(yáng))襄陽(yáng)市轄區(qū)內(nèi)旅游景點(diǎn)較多,李老師和剛初中畢業(yè)的兒子準(zhǔn)備到古隆中、水鏡莊、黃家灣三個(gè)景點(diǎn)去游玩.如果他們各自在這三個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)作為游玩的第一站(每個(gè)景點(diǎn)被選為第一站的可能性相同),那么他們都選擇古隆中為第一站的概率是________.

9.在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球,把它們分別標(biāo)上1,2,3,4.小明先隨機(jī)地摸出1個(gè)小球,小強(qiáng)再隨機(jī)的摸出1個(gè)小球.記小明摸出球的標(biāo)號(hào)為x,小強(qiáng)摸出的球標(biāo)號(hào)為y.小明和小強(qiáng)在此基礎(chǔ)上共同協(xié)商一個(gè)游戲規(guī)則:當(dāng)x>y時(shí),小明獲勝,否則小強(qiáng)獲勝.

(1)若小明摸出的球不放回,求小明獲勝的概率;

(2)若小明摸出的球放回后小強(qiáng)再隨機(jī)摸球,問(wèn)他們制定的游戲規(guī)則公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2012年江西)如圖7?2?3,大小、質(zhì)地相同,僅顏色不同的兩雙拖鞋(分左、右腳)共四只,放置在地板上[可表示為(A1,A2),(B1,B2)].

(1)若先將兩只左腳拖鞋中取出一只,再?gòu)膬芍挥夷_拖鞋中隨機(jī)取出一只,求恰好匹配成相同顏色的一雙拖鞋的概率;

(2)若從這四只拖鞋中隨機(jī)地取出兩

11.(2013年江西)甲、乙、丙3人聚會(huì),每人帶了一件從外盒包裝上看完全相同的禮物(里面的東西只有顏色不同),將3件禮物放在一起,每人從中隨機(jī)抽取一件.

(1)下列事件是必然事件的是(  )

A.乙抽到一件禮物 B.乙恰好抽到自己帶來(lái)的禮物

C.乙沒(méi)有抽到自己帶來(lái)的禮物 D.只有乙抽到自己帶來(lái)的禮物

證明題

例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高

求證:DC=AB+BD

分析一:用分解法,把DC分成兩部分,分別證與AB,BD相等。

可以高AD為軸作△ADB的對(duì)稱三角形△ADE,再證EC=AE。

∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C

輔助線是在DC上取DE=DB,連結(jié)AE。

分析二:用合成法,把AB,BD合成一線段,證它與DC相等。

仍然以高AD為軸,作出DC的對(duì)稱線段DF。

為便于證明,輔助線用延長(zhǎng)DB到F,使BF=AB,連結(jié)AF,則可得

∠ABD=2∠F=2∠C。

例2.已知:△ABC中,兩條高AD和BE相交于H,兩條邊BC和AC的中垂線相交于O,垂足是M,N

求證:AH=2MO, BH=2NO

證明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)

連結(jié)并延長(zhǎng)CO到G使OG=CO連結(jié)AG,BG

則BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO

∴四邊形AGBH是平行四邊形,

∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO

證明二:(折半法――作出AH,BH的一半)

分別取AH,BH的中點(diǎn)F,G連結(jié)FG,MN

則FG=MN= AB,F(xiàn)G∥MN∥AB

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

1.設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,求代數(shù)式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值.

2.若m<0,n>0,|m|<|n|,且|x+m|+|x-n|=m+n,求x的取值范圍.

3.設(shè)(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,試求a0+a2+a4+a6的值.

4.解方程2|x+1|+|x-3|=6.

5.解不等式||x+3|-|x-1||>2.

6.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式.

7.設(shè)有一張8行、8列的方格紙,隨便把其中32個(gè)方格涂上黑色,剩下的32個(gè)方格涂上白色.下面對(duì)涂了色的方格紙施行“操作”,每次操作是把任意橫行或者豎列上的各個(gè)方格同時(shí)改變顏色.問(wèn)能否最終得到恰有一個(gè)黑色方格的方格紙?

8.如果正整數(shù)p和p+2都是大于3的素?cái)?shù),求證:6|(p+1).

9.房間里凳子和椅子若干個(gè),每個(gè)凳子有3條腿,每把椅子有4條腿,當(dāng)它們?nèi)蝗俗虾螅灿?3條腿(包括每個(gè)人的兩條腿),問(wèn)房間里有幾個(gè)人?

答案:

1.因?yàn)閨a|=-a,所以a≤0,又因?yàn)閨ab|=ab,所以b≤0,因?yàn)閨c|=c,所以c≥0.所以a+b≤0,c-b≥0,a-c≤0.所以

原式=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b.

2.因?yàn)閙<0,n>0,所以|m|=-m,|n|=n.所以|m|<|n|可變?yōu)閙+n>0.當(dāng)x+m≥0時(shí),|x+m|=x+m;當(dāng)x-n≤0時(shí),|x-n|=n-x.故當(dāng)-m≤x≤n時(shí),

|x+m|+|x-n|=x+m-x+n=m+n.

3.分別令x=1,x=-1,代入已知等式中,得

a0+a2+a4+a6=-8128.

4.略

5.略

6.商式為x2-3x+3,余式為2x-4

7.答案是否定的.設(shè)橫行或豎列上包含k個(gè)黑色方格及8-k個(gè)白色方格,其中0≤k≤8.當(dāng)改變方格的顏色時(shí),得到8-k個(gè)黑色方格及k個(gè)白色方格.因此,操作一次后,黑色方格的數(shù)目“增加了”(8-k)-k=8-2k個(gè),即增加了一個(gè)偶數(shù).于是無(wú)論如何操作,方格紙上黑色方格數(shù)目的奇偶性不變.所以,從原有的32個(gè)黑色方格(偶數(shù)個(gè)),經(jīng)過(guò)操作,最后總是偶數(shù)個(gè)黑色方格,不會(huì)得到恰有一個(gè)黑色方格的方格紙.

8.大于3的質(zhì)數(shù)p只能具有6k+1,6k+5的形式.若p=6k+1(k≥1),則p+2=3(2k+1)不是質(zhì)數(shù),所以,p=6k+5(k≥0).于是,p+1=6k+6,所以,6|(p+1).

9.設(shè)凳子有x只,椅子有y只,由題意得3x+4y+2(x+y)=43,

即5x+6y=43.

所以x=5,y=3是的非負(fù)整數(shù)解.從而房間里有8個(gè)人.

排列組合問(wèn)題:

1.有五對(duì)夫婦圍成一圈,使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有()

A768種B32種C24種D2的10次方中

解:

根據(jù)乘法原理,分兩步:

第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體,進(jìn)行排列有5×4×3×2×1=120種不同的排法,但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈,就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù),因此實(shí)際排法只有120÷5=24種。

第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置,也就是說(shuō)每一對(duì)夫妻均有2種排法,總共又2×2×2×2×2=32種

綜合兩步,就有24×32=768種。

2若把英語(yǔ)單詞hello的字母寫錯(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有()

A119種B36種C59種D48種

解:

5全排列5_4_3_2_1=120

有兩個(gè)l所以120/2=60

原來(lái)有一種正確的所以60-1=59

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

一.選擇題

1.﹣22=()

A.﹣2B.﹣4C.2D.4

【分析】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則求解.

【解答】解:﹣22=﹣4,

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方,解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方的運(yùn)算法則.

2.太陽(yáng)與地球的平均距離大約是150000000千米,數(shù)據(jù)150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.1.5×108B.1.5×109C.0.15×109D.15×107

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).

【解答】解:將150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為:1.5×108.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

3.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,則()

A.B.C.D.

【分析】根據(jù)題意得出△ADE∽△ABC,進(jìn)而利用已知得出對(duì)應(yīng)邊的比值.

【解答】解:∵DE∥BC,

∴△ADE∽△ABC,

∵BD=2AD,

∴===,

則=,

∴A,C,D選項(xiàng)錯(cuò)誤,B選項(xiàng)正確,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),正確得出對(duì)應(yīng)邊的比是解題關(guān)鍵.

4.|1+|+|1﹣|=()

A.1B.C.2D.2

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì),可得答案.

【解答】解:原式1++﹣1=2,

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì),利用差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)是解題關(guān)鍵.

5.設(shè)x,y,c是實(shí)數(shù),()

A.若x=y,則x+c=y﹣cB.若x=y,則xc=yc

C.若x=y,則D.若,則2x=3y

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì),可得答案.

【解答】解:A、兩邊加不同的數(shù),故A不符合題意;

B、兩邊都乘以c,故B符合題意;

C、c=0時(shí),兩邊都除以c無(wú)意義,故C不符合題意;

D、兩邊乘以不同的數(shù),故D不符合題意;

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì),熟記等式的性質(zhì)并根據(jù)等式的性質(zhì)求解是解題關(guān).

6.若x+5>0,則()

A.x+1<0B.x﹣1<0C.<﹣1D.﹣2x<12

【分析】求出已知不等式的解集,再求出每個(gè)選項(xiàng)中不等式的解集,即得出選項(xiàng).

【解答】解:∵x+5>0,

∴x>﹣5,

A、根據(jù)x+1<0得出x<﹣1,故本選項(xiàng)不符合題意;

B、根據(jù)x﹣1<0得出x<1,故本選項(xiàng)不符合題意;

C、根據(jù)<﹣1得出x<5,故本選項(xiàng)符合題意;

D、根據(jù)﹣2x<12得出x>﹣6,故本選項(xiàng)不符合題意;

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì),能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵.

7.某景點(diǎn)的參觀人數(shù)逐年增加,據(jù)統(tǒng)計(jì),2014年為10.8萬(wàn)人次,2016年為16.8萬(wàn)人次.設(shè)參觀人次的平均年增長(zhǎng)率為x,則()

A.10.8(1+x)=16.8B.16.8(1﹣x)=10.8

C.10.8(1+x)2=16.8D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8

【分析】設(shè)參觀人次的平均年增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可得等量關(guān)系:10.8萬(wàn)人次×(1+增長(zhǎng)率)2=16.8萬(wàn)人次,根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可.

【解答】解:設(shè)參觀人次的平均年增長(zhǎng)率為x,由題意得:

10.8(1+x)2=16.8,

故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程,若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b.

8.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分別繞直線AB和BC旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的地面圓的周長(zhǎng)分別記作l1,l2,側(cè)面積分別記作S1,S2,則()

A.l1:l2=1:2,S1:S2=1:2B.l1:l2=1:4,S1:S2=1:2

C.l1:l2=1:2,S1:S2=1:4D.l1:l2=1:4,S1:S2=1:4

【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)分別計(jì)算l1,l2,再由扇形的面積公式計(jì)算S1,S2,求比值即可.

【解答】解:∵l1=2π×BC=2π,

l2=2π×AB=4π,

∴l(xiāng)1:l2=1:2,

∵S1=×2π×=π,

S2=×4π×=2π,

∴S1:S2=1:2,

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算,主要利用了圓的周長(zhǎng)為2πr,側(cè)面積=lr求解是解題的關(guān)鍵.

9.設(shè)直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是實(shí)數(shù),且a<0)的圖象的對(duì)稱軸,()

A.若m>1,則(m﹣1)a+b>0B.若m>1,則(m﹣1)a+b<0

C.若m<1,則(m﹣1)a+b>0D.若m<1,則(m﹣1)a+b<0

【分析】根據(jù)對(duì)稱軸,可得b=﹣2a,根據(jù)有理數(shù)的乘法,可得答案.

【解答】解:由對(duì)稱軸,得

b=﹣2a.

(m﹣1)a+b=ma﹣a﹣2a=(m﹣3)a

當(dāng)m<1時(shí),(m﹣3)a>0,

故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,利用對(duì)稱軸得出b=﹣2a是解題關(guān)鍵.

10.如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E為AC邊的中點(diǎn),線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D.設(shè)BD=x,tan∠ACB=y,則()

A.x﹣y2=3B.2x﹣y2=9C.3x﹣y2=15D.4x﹣y2=21

【分析】過(guò)A作AQ⊥BC于Q,過(guò)E作EM⊥BC于M,連接DE,根據(jù)線段垂直平分線求出DE=BD=x,根據(jù)等腰三角形求出BD=DC=6,求出CM=DM=3,解直角三角形求出EM=3y,AQ=6y,在Rt△DEM中,根據(jù)勾股定理求出即可.

【解答】解:

過(guò)A作AQ⊥BC于Q,過(guò)E作EM⊥BC于M,連接DE,

∵BE的垂直平分線交BC于D,BD=x,

∴BD=DE=x,

∵AB=AC,BC=12,tan∠ACB=y,

∴==y,BQ=CQ=6,

∴AQ=6y,

∵AQ⊥BC,EM⊥BC,

∴AQ∥EM,

∵E為AC中點(diǎn),

∴CM=QM=CQ=3,

∴EM=3y,

∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x,

在Rt△EDM中,由勾股定理得:x2=(3y)2+(9﹣x)2,

即2x﹣y2=9,

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形等知識(shí)點(diǎn),能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵

抽屜原理、奇偶性問(wèn)題:

1.一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套,顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種,問(wèn)最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的?

解:可以把四種不同的顏色看成是4個(gè)抽屜,把手套看成是元素,要保證有一副同色的,就是1個(gè)抽屜里至少有2只手套,根據(jù)抽屜原理,最少要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后4個(gè)抽屜中還剩3只手套。再根據(jù)抽屜原理,只要再摸出2只手套,又能保證有一副手套是同色的,以此類推。

把四種顏色看做4個(gè)抽屜,要保證有3副同色的,先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后,4個(gè)抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理,只要再摸出2只手套,又能保證有1副是同色的。以此類推,要保證有3副同色的,共摸出的手套有:5+2+2=9(只)

答:最少要摸出9只手套,才能保證有3副同色的。

2.有四種顏色的積木若干,每人可任取1-2件,至少有幾個(gè)人去取,才能保證有3人能取得完全一樣?

答案為21

解:

每人取1件時(shí)有4種不同的取法,每人取2件時(shí),有6種不同的取法.

當(dāng)有11人時(shí),能保證至少有2人取得完全一樣:

當(dāng)有21人時(shí),才能保證到少有3人取得完全一樣.

3.某盒子內(nèi)裝50只球,其中10只是紅色,10只是綠色,10只是黃色,10只是藍(lán)色,其余是白球和黑球,為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球,問(wèn):最少必須從袋中取出多少只球?解:需要分情況討論,因?yàn)闊o(wú)法確定其中黑球與白球的個(gè)數(shù)。

當(dāng)黑球或白球其中沒(méi)有大于或等于7個(gè)的,那么就是:

6_4+10+1=35(個(gè))

如果黑球或白球其中有等于7個(gè)的,那么就是:

6_5+3+1=34(個(gè))

如果黑球或白球其中有等于8個(gè)的,那么就是:

6_5+2+1=33

如果黑球或白球其中有等于9個(gè)的,那么就是:

6_5+1+1=32

4.地上有四堆石子,石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時(shí)各取出1個(gè),然后都放入第四堆中,那么,能否經(jīng)過(guò)若干次操作,使得這四堆石子的個(gè)數(shù)都相同?(如果能請(qǐng)說(shuō)明具體操作,不能則要說(shuō)明理由)

不可能。

因?yàn)榭倲?shù)為1+9+15+31=56

56/4=14

14是一個(gè)偶數(shù)

而原來(lái)1、9、15、31都是奇數(shù),取出1個(gè)和放入3個(gè)也都是奇數(shù),奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后,結(jié)果一定還是奇數(shù),不可能得到偶數(shù)(14個(gè))

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