九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
從今天起，我們要學(xué)會(huì)堅(jiān)持!因?yàn)橛辛藞?jiān)持，我們才會(huì)朝著目標(biāo)堅(jiān)定地前行;因?yàn)橛辛藞?jiān)持，我們才會(huì)努力尋求解決困難的辦法;因?yàn)橛辛藞?jiān)持，我們才有可能把夢(mèng)想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。你是否有想過(guò)自己可以參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽并且拿獎(jiǎng)。下面就是小編為大家梳理歸納的內(nèi)容，希望能夠幫助到大家。
九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
基礎(chǔ)題
1.(2013年北京)在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5，從中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，其標(biāo)號(hào)大于2的概率為( )
A.15 B.25 C.35 D.45
2.(2013年上海)將“定理”的英文單詞theorem中的7個(gè)字母分別寫在7張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌子上，任取1張，那么取到字母e的概率為_(kāi)___________.
3.(2013年湖北宜昌)2012～2013NBA整個(gè)常規(guī)賽季中，科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.科比罰球投籃2次，一定全部命中 B.科比罰球投籃2次，不一定全部命中
C.科比罰球投籃1次，命中的可能性較大 D.科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小
4.(2013年福建福州)袋中有紅球4個(gè)，白球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別.從袋中隨機(jī)地取出1個(gè)球，如果取到白球的可能性較大，那么袋中白球的個(gè)數(shù)可能是( )
A.3個(gè) B.不足3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)或5個(gè)以上
5.(2013年海南益陽(yáng))有三張大小、形狀及背面完全相同的卡片，卡片正面分別畫有正三角形、正方形、圓，從這三張卡片中任意抽取一張，卡片正面的圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是________.
6.在一個(gè)不透明的盒子中，共有“一白三黑”四個(gè)圍棋子，它們除了顏色之外沒(méi)有其他區(qū)別.
(1)隨機(jī)地從盒中提出一子，則提出白子的概率是多少?
(2)隨機(jī)地從盒中提出一子，不放回再提第二子.請(qǐng)你用畫樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率.
B級(jí) 中等題
7.(2013年重慶)從3,0，-1，-2，-3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，作為函數(shù)y=(5-m2)x和關(guān)于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，且方程有實(shí)數(shù)根的概率為_(kāi)_______.
8.(2013年湖北襄陽(yáng))襄陽(yáng)市轄區(qū)內(nèi)旅游景點(diǎn)較多，李老師和剛初中畢業(yè)的兒子準(zhǔn)備到古隆中、水鏡莊、黃家灣三個(gè)景點(diǎn)去游玩.如果他們各自在這三個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)作為游玩的第一站(每個(gè)景點(diǎn)被選為第一站的可能性相同)，那么他們都選擇古隆中為第一站的概率是________.
9.在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)上1,2,3,4.小明先隨機(jī)地摸出1個(gè)小球，小強(qiáng)再隨機(jī)的摸出1個(gè)小球.記小明摸出球的標(biāo)號(hào)為x，小強(qiáng)摸出的球標(biāo)號(hào)為y.小明和小強(qiáng)在此基礎(chǔ)上共同協(xié)商一個(gè)游戲規(guī)則：當(dāng)x>y時(shí)，小明獲勝，否則小強(qiáng)獲勝.
(1)若小明摸出的球不放回，求小明獲勝的概率;
(2)若小明摸出的球放回后小強(qiáng)再隨機(jī)摸球，問(wèn)他們制定的游戲規(guī)則公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
10.(2012年江西)如圖7?2?3，大小、質(zhì)地相同，僅顏色不同的兩雙拖鞋(分左、右腳)共四只，放置在地板上[可表示為(A1，A2)，(B1，B2)].
(1)若先將兩只左腳拖鞋中取出一只，再?gòu)膬芍挥夷_拖鞋中隨機(jī)取出一只，求恰好匹配成相同顏色的一雙拖鞋的概率;
(2)若從這四只拖鞋中隨機(jī)地取出兩
11.(2013年江西)甲、乙、丙3人聚會(huì)，每人帶了一件從外盒包裝上看完全相同的禮物(里面的東西只有顏色不同)，將3件禮物放在一起，每人從中隨機(jī)抽取一件.
(1)下列事件是必然事件的是( )
A.乙抽到一件禮物 B.乙恰好抽到自己帶來(lái)的禮物
C.乙沒(méi)有抽到自己帶來(lái)的禮物 D.只有乙抽到自己帶來(lái)的禮物
證明題
例1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高
求證：DC=AB+BD
分析一：用分解法，把DC分成兩部分，分別證與AB，BD相等。
可以高AD為軸作△ADB的對(duì)稱三角形△ADE，再證EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C
輔助線是在DC上取DE=DB，連結(jié)AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一線段，證它與DC相等。
仍然以高AD為軸，作出DC的對(duì)稱線段DF。
為便于證明，輔助線用延長(zhǎng)DB到F，使BF=AB，連結(jié)AF，則可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知：△ABC中，兩條高AD和BE相交于H，兩條邊BC和AC的中垂線相交于O，垂足是M，N
求證：AH=2MO， BH=2NO
證明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)
連結(jié)并延長(zhǎng)CO到G使OG=CO連結(jié)AG，BG
則BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO
∴四邊形AGBH是平行四邊形，
∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO
證明二：(折半法――作出AH，BH的一半)
分別取AH，BH的中點(diǎn)F，G連結(jié)FG，MN
則FG=MN= AB，F(xiàn)G∥MN∥AB
九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
1.設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，求代數(shù)式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值.
2.若m<0，n>0，|m|<|n|，且|x+m|+|x-n|=m+n，求x的取值范圍.
3.設(shè)(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，試求a0+a2+a4+a6的值.
4.解方程2|x+1|+|x-3|=6.
5.解不等式||x+3|-|x-1||>2.
6.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式.
7.設(shè)有一張8行、8列的方格紙，隨便把其中32個(gè)方格涂上黑色，剩下的32個(gè)方格涂上白色.下面對(duì)涂了色的方格紙施行“操作”，每次操作是把任意橫行或者豎列上的各個(gè)方格同時(shí)改變顏色.問(wèn)能否最終得到恰有一個(gè)黑色方格的方格紙?
8.如果正整數(shù)p和p+2都是大于3的素?cái)?shù)，求證：6|(p+1).
9.房間里凳子和椅子若干個(gè)，每個(gè)凳子有3條腿，每把椅子有4條腿，當(dāng)它們?nèi)蝗俗虾螅灿?3條腿(包括每個(gè)人的兩條腿)，問(wèn)房間里有幾個(gè)人?
答案：
1.因?yàn)閨a|=-a，所以a≤0，又因?yàn)閨ab|=ab，所以b≤0，因?yàn)閨c|=c，所以c≥0.所以a+b≤0，c-b≥0，a-c≤0.所以
原式=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b.
2.因?yàn)閙<0，n>0，所以|m|=-m，|n|=n.所以|m|<|n|可變?yōu)閙+n>0.當(dāng)x+m≥0時(shí)，|x+m|=x+m;當(dāng)x-n≤0時(shí)，|x-n|=n-x.故當(dāng)-m≤x≤n時(shí)，
|x+m|+|x-n|=x+m-x+n=m+n.
3.分別令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2+a4+a6=-8128.
4.略
5.略
6.商式為x2-3x+3，余式為2x-4
7.答案是否定的.設(shè)橫行或豎列上包含k個(gè)黑色方格及8-k個(gè)白色方格，其中0≤k≤8.當(dāng)改變方格的顏色時(shí)，得到8-k個(gè)黑色方格及k個(gè)白色方格.因此，操作一次后，黑色方格的數(shù)目“增加了”(8-k)-k=8-2k個(gè)，即增加了一個(gè)偶數(shù).于是無(wú)論如何操作，方格紙上黑色方格數(shù)目的奇偶性不變.所以，從原有的32個(gè)黑色方格(偶數(shù)個(gè))，經(jīng)過(guò)操作，最后總是偶數(shù)個(gè)黑色方格，不會(huì)得到恰有一個(gè)黑色方格的方格紙.
8.大于3的質(zhì)數(shù)p只能具有6k+1，6k+5的形式.若p=6k+1(k≥1)，則p+2=3(2k+1)不是質(zhì)數(shù)，所以，p=6k+5(k≥0).于是，p+1=6k+6，所以，6|(p+1).
9.設(shè)凳子有x只，椅子有y只，由題意得3x+4y+2(x+y)=43，
即5x+6y=43.
所以x=5，y=3是的非負(fù)整數(shù)解.從而房間里有8個(gè)人.
排列組合問(wèn)題：
1.有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有()
A768種B32種C24種D2的10次方中
解：
根據(jù)乘法原理，分兩步：
第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5×4×3×2×1=120種不同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有120÷5=24種。
第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說(shuō)每一對(duì)夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2=32種
綜合兩步，就有24×32=768種。
2若把英語(yǔ)單詞hello的字母寫錯(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有()
A119種B36種C59種D48種
解：
5全排列5_4_3_2_1=120
有兩個(gè)l所以120/2=60
原來(lái)有一種正確的所以60-1=59
九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
一.選擇題
1.﹣22=()
A.﹣2B.﹣4C.2D.4
【分析】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則求解.
【解答】解：﹣22=﹣4，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方的運(yùn)算法則.
2.太陽(yáng)與地球的平均距離大約是150000000千米，數(shù)據(jù)150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A.1.5×108B.1.5×109C.0.15×109D.15×107
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
【解答】解：將150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.5×108.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.
3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，則()
A.B.C.D.
【分析】根據(jù)題意得出△ADE∽△ABC，進(jìn)而利用已知得出對(duì)應(yīng)邊的比值.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴===，
則=，
∴A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊的比是解題關(guān)鍵.
4.|1+|+|1﹣|=()
A.1B.C.2D.2
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：原式1++﹣1=2，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，利用差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)是解題關(guān)鍵.
5.設(shè)x，y，c是實(shí)數(shù)，()
A.若x=y，則x+c=y﹣cB.若x=y，則xc=yc
C.若x=y，則D.若，則2x=3y
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：A、兩邊加不同的數(shù)，故A不符合題意;
B、兩邊都乘以c，故B符合題意;
C、c=0時(shí)，兩邊都除以c無(wú)意義，故C不符合題意;
D、兩邊乘以不同的數(shù)，故D不符合題意;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記等式的性質(zhì)并根據(jù)等式的性質(zhì)求解是解題關(guān).
6.若x+5>0，則()
A.x+1<0B.x﹣1<0C.<﹣1D.﹣2x<12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每個(gè)選項(xiàng)中不等式的解集，即得出選項(xiàng).
【解答】解：∵x+5>0，
∴x>﹣5，
A、根據(jù)x+1<0得出x<﹣1，故本選項(xiàng)不符合題意;
B、根據(jù)x﹣1<0得出x<1，故本選項(xiàng)不符合題意;
C、根據(jù)<﹣1得出x<5，故本選項(xiàng)符合題意;
D、根據(jù)﹣2x<12得出x>﹣6，故本選項(xiàng)不符合題意;
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵.
7.某景點(diǎn)的參觀人數(shù)逐年增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年為10.8萬(wàn)人次，2016年為16.8萬(wàn)人次.設(shè)參觀人次的平均年增長(zhǎng)率為x，則()
A.10.8(1+x)=16.8B.16.8(1﹣x)=10.8
C.10.8(1+x)2=16.8D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8
【分析】設(shè)參觀人次的平均年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：10.8萬(wàn)人次×(1+增長(zhǎng)率)2=16.8萬(wàn)人次，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可.
【解答】解：設(shè)參觀人次的平均年增長(zhǎng)率為x，由題意得：
10.8(1+x)2=16.8，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b.
8.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1.把△ABC分別繞直線AB和BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的地面圓的周長(zhǎng)分別記作l1，l2，側(cè)面積分別記作S1，S2，則()
A.l1：l2=1：2，S1：S2=1：2B.l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C.l1：l2=1：2，S1：S2=1：4D.l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)分別計(jì)算l1，l2，再由扇形的面積公式計(jì)算S1，S2，求比值即可.
【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，
l2=2π×AB=4π，
∴l(xiāng)1：l2=1：2，
∵S1=×2π×=π，
S2=×4π×=2π，
∴S1：S2=1：2，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，主要利用了圓的周長(zhǎng)為2πr，側(cè)面積=lr求解是解題的關(guān)鍵.
9.設(shè)直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是實(shí)數(shù)，且a<0)的圖象的對(duì)稱軸，()
A.若m>1，則(m﹣1)a+b>0B.若m>1，則(m﹣1)a+b<0
C.若m<1，則(m﹣1)a+b>0D.若m<1，則(m﹣1)a+b<0
【分析】根據(jù)對(duì)稱軸，可得b=﹣2a，根據(jù)有理數(shù)的乘法，可得答案.
【解答】解：由對(duì)稱軸，得
b=﹣2a.
(m﹣1)a+b=ma﹣a﹣2a=(m﹣3)a
當(dāng)m<1時(shí)，(m﹣3)a>0，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用對(duì)稱軸得出b=﹣2a是解題關(guān)鍵.
10.如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為AC邊的中點(diǎn)，線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D.設(shè)BD=x，tan∠ACB=y，則()
A.x﹣y2=3B.2x﹣y2=9C.3x﹣y2=15D.4x﹣y2=21
【分析】過(guò)A作AQ⊥BC于Q，過(guò)E作EM⊥BC于M，連接DE，根據(jù)線段垂直平分線求出DE=BD=x，根據(jù)等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根據(jù)勾股定理求出即可.
【解答】解：
過(guò)A作AQ⊥BC于Q，過(guò)E作EM⊥BC于M，連接DE，
∵BE的垂直平分線交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴==y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E為AC中點(diǎn)，
∴CM=QM=CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=(3y)2+(9﹣x)2，
即2x﹣y2=9，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵
抽屜原理、奇偶性問(wèn)題：
1.一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種，問(wèn)最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的?
解：可以把四種不同的顏色看成是4個(gè)抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個(gè)抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后4個(gè)抽屜中還剩3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。
把四種顏色看做4個(gè)抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后，4個(gè)抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9(只)
答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。
2.有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個(gè)人去取，才能保證有3人能取得完全一樣?
答案為21
解：
每人取1件時(shí)有4種不同的取法,每人取2件時(shí),有6種不同的取法.
當(dāng)有11人時(shí),能保證至少有2人取得完全一樣:
當(dāng)有21人時(shí),才能保證到少有3人取得完全一樣.
3.某盒子內(nèi)裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍(lán)色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問(wèn)：最少必須從袋中取出多少只球?解：需要分情況討論，因?yàn)闊o(wú)法確定其中黑球與白球的個(gè)數(shù)。
當(dāng)黑球或白球其中沒(méi)有大于或等于7個(gè)的，那么就是：
6_4+10+1=35(個(gè))
如果黑球或白球其中有等于7個(gè)的，那么就是：
6_5+3+1=34(個(gè))
如果黑球或白球其中有等于8個(gè)的，那么就是：
6_5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9個(gè)的，那么就是：
6_5+1+1=32
4.地上有四堆石子，石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時(shí)各取出1個(gè)，然后都放入第四堆中，那么，能否經(jīng)過(guò)若干次操作，使得這四堆石子的個(gè)數(shù)都相同?(如果能請(qǐng)說(shuō)明具體操作，不能則要說(shuō)明理由)
不可能。
因?yàn)榭倲?shù)為1+9+15+31=56
56/4=14
14是一個(gè)偶數(shù)
而原來(lái)1、9、15、31都是奇數(shù)，取出1個(gè)和放入3個(gè)也都是奇數(shù)，奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后，結(jié)果一定還是奇數(shù)，不可能得到偶數(shù)(14個(gè))
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