大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)寶典，大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)9談
數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，是眾多科學(xué)與技術(shù)必備的基礎(chǔ)，而且是一門(mén)博大精深的科學(xué)，更是一種先進(jìn)的文化，在人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過(guò)程中一直發(fā)揮著重要的作用與影響。那么大學(xué)怎么學(xué)習(xí)?小編整理了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，希望能幫助到您。
大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)寶典
大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法1
一提起“數(shù)學(xué)”課，大家都會(huì)覺(jué)得再熟悉不過(guò)了，從小學(xué)一直到高中，它幾乎就是一門(mén)陪伴著我們成長(zhǎng)的學(xué)科。然而即使有著大學(xué)之前近12年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯，我想仍會(huì)有很多同學(xué)和我一樣在初學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)遇到了很多困惑與疑問(wèn)，尤其是作為數(shù)學(xué)系的學(xué)生，在面對(duì)著“數(shù)學(xué)分析”之類的課程時(shí)，更可能會(huì)有一種摸不著頭腦的感覺(jué)。因此我在讀大一的時(shí)候，也經(jīng)常向別人請(qǐng)教一些關(guān)于“如何學(xué)好數(shù)學(xué)”之類的問(wèn)題，我就把自己?jiǎn)柕降慕Y(jié)果并結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，講一點(diǎn)有關(guān)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，希望對(duì)各位師弟師妹能有幫助。：
知難而進(jìn)，迂回式學(xué)習(xí)
了解背景，理論式學(xué)習(xí)
自然人文，全面式學(xué)習(xí)
大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法2
高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校一門(mén)重要的基礎(chǔ)課,學(xué)好它對(duì)每一個(gè)大學(xué)生都是極為重要的. 這里,就學(xué)好這門(mén)課的學(xué)習(xí)方法提一點(diǎn)建議供同學(xué)們參考:
一, 把握三個(gè)環(huán)節(jié),提高學(xué)習(xí)效率
二, 在記憶的基礎(chǔ)上理解,在完成作業(yè)中深化,在比較中構(gòu)筑知識(shí)結(jié)構(gòu)的框架.
三, 按"新=陳+差異"思路理解深化學(xué)習(xí)知識(shí).
四, "三人行,則必有我?guī)?quot;,參加老師的輔導(dǎo),向同學(xué)請(qǐng)教并相互討論.
五, 處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法:
1.分割求和法;
2.以直求曲法;
3.恒等變形法: ①等量加減法;②乘除因子法; ③積分求導(dǎo)法;
?、苋谴鷵Q法; ⑤數(shù)形結(jié)合法;⑥關(guān)系迭代法;
?、哌f推公式法;⑧相互溝通法; ⑨前后夾擊法;
⑩反思求證法;⑾構(gòu)造函數(shù)法;⑿逐步分解法
大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)9談
如何考好大學(xué)數(shù)學(xué)類課程：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談1
數(shù)學(xué)類課程，其特點(diǎn)是需要理解(有別于語(yǔ)言類和政治類課程)而又不需要做實(shí)驗(yàn) (有別于物理、化學(xué)、生物)的基礎(chǔ)課程。作為大學(xué)教師，我很清楚“考好”與“學(xué)好”的差別?！皩W(xué)好”所付出的精力和時(shí)間要比“考好”多許多，一般考試成績(jī)也不會(huì)差。若干門(mén)核心課程需要“學(xué)好”，其它的課程能“考好”就不錯(cuò)了。這里只談考好，學(xué)好以后再說(shuō)。
首先，要認(rèn)真聽(tīng)課。上課集中精神，跟教師的思路走。那怕后來(lái)發(fā)現(xiàn)教師的思路出錯(cuò)了，也有收獲。不要主觀認(rèn)為教師應(yīng)該如何講課，不要用中學(xué)教師的標(biāo)準(zhǔn)判斷大學(xué)教師。當(dāng)然，大學(xué)教師良莠不齊，有些教師的課確實(shí)不值得聽(tīng)。但學(xué)生不宜過(guò)早的下這種判斷。只要要認(rèn)真聽(tīng)課10學(xué)時(shí)以上，再判斷是否值得聽(tīng)。一般而論，低年級(jí)的課程，值得聽(tīng)的比較多。
其次，認(rèn)真閱讀教材，還有教師講課用的ppt。在中學(xué)，課后不認(rèn)真閱讀教材也不是種好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，雖然用題海戰(zhàn)術(shù)或許能使這種習(xí)慣不影響考試成績(jī)。在大學(xué)，不閱讀教材很難考出好成績(jī)。特別要注意教材和課件中的例題，無(wú)論教師是否在課堂上講解過(guò)。課前預(yù)習(xí)下教材也是種很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)考出好成績(jī)有幫助，但未必是必須的。
最后，可能也是最重要，認(rèn)真做習(xí)題。一般來(lái)說(shuō)，教師留作業(yè)的題目全部弄懂，包括問(wèn)過(guò)老師或同學(xué)后確實(shí)懂了，考試就可以80分以上。有題目做不出需要討論或請(qǐng)教是正常的，但絕對(duì)不能抄作業(yè)。如果要考90分以上，還應(yīng)該選作些書(shū)上比所留作業(yè)更難的題目。
總的講，大學(xué)里的考試都比高中階段的容易，或許剛開(kāi)始還沒(méi)有適應(yīng)時(shí)的小考是例外。與高中更看重成績(jī)相對(duì)排名不同，大學(xué)的排名在評(píng)獎(jiǎng)學(xué)金等方面也重要，但更重要的是絕對(duì)成績(jī)。成績(jī)的學(xué)時(shí)加權(quán)平均成為所謂積點(diǎn)，在以后出國(guó)申請(qǐng)獎(jiǎng)學(xué)金等方面都很重要。
如何學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)類課程：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談2
就數(shù)學(xué)課程而言，考好與學(xué)好不同。前者更強(qiáng)調(diào)運(yùn)用熟練，后者更強(qiáng)調(diào)理解深刻。當(dāng)然，真正學(xué)好了，一般也能考好。所有的課程都要爭(zhēng)取考好，而只有核心課程值得花功夫?qū)W好。
數(shù)學(xué)系的課程不少，核心的也只有幾門(mén)。數(shù)學(xué)分析、線性代收(往往還包括代數(shù)方程和解析幾何)、微分幾何、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、抽象代數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)。這些核心課程僅是考得好還不夠，還要學(xué)得好。其它的課程也重要，但如果這些核心課程學(xué)得好，相對(duì)比較容易。例如，常微分方程和數(shù)理方程，內(nèi)容駁雜，但真正深刻的思想不多;數(shù)值分析需要上機(jī)實(shí)習(xí)，但數(shù)學(xué)本身的含量也不是很高。
如果要學(xué)好這些核心類課程，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)。
首先，聽(tīng)中國(guó)教師上課。教師的講解總是重要的，特別是對(duì)于低年級(jí)的入門(mén)性課程。上大學(xué)交學(xué)費(fèi)，卻不用教師的資源，顯然不是明智的選擇。與中學(xué)聽(tīng)課更側(cè)重解題方法不同，大學(xué)的數(shù)學(xué)課程更應(yīng)該聽(tīng)教師的分析思路和概念解釋。為有更好的聽(tīng)課效果，課前應(yīng)簡(jiǎn)單預(yù)習(xí)，了解要講的大致內(nèi)容;課后要復(fù)習(xí)。特別注意理論的完整性。多數(shù)數(shù)學(xué)課程在具有不同尺度上的理論體系。全部數(shù)學(xué)課程是個(gè)體系，每門(mén)課程又是個(gè)子體系，課程中每章又自成體系，而教師組成材料時(shí)往往讓每次課也有一定的完整性。
其次，做俄國(guó)習(xí)題集的題目。想要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須多做練習(xí)。完成教師布置作業(yè)后仍有余力，應(yīng)該把教材上比作業(yè)難的題目也都做了。在此基礎(chǔ)上，我建議從俄國(guó)的習(xí)題集中找題目做。這出于兩方面的考慮。其一，俄國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系與中國(guó)的很接近，更準(zhǔn)確地講現(xiàn)在中國(guó)的教學(xué)體現(xiàn)主要是因襲俄國(guó)的，因此比較便于與課堂教學(xué)同步練習(xí)。其二，俄國(guó)很多教材沒(méi)有習(xí)題或僅有很少的練習(xí)，因此必須配套專門(mén)的習(xí)題集;往往是一本習(xí)題集要配不同的教材，所以習(xí)題集的內(nèi)容很豐富。當(dāng)然，俄國(guó)習(xí)題集的缺點(diǎn)是題目太大有些是比較機(jī)械的重復(fù)性練習(xí)。最好有內(nèi)行指點(diǎn)使用。
第三，閱讀英文教材。真正的數(shù)學(xué)概念是超越語(yǔ)言的，因此用不同的語(yǔ)言思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于理解的深入。一般而言，閱讀英文比中文吃力，因此教材更要精選。不僅要閱讀教材，而且要完成練習(xí)，這樣可以檢驗(yàn)理解程度。或許與課堂教學(xué)同步閱讀英文教材不太現(xiàn)實(shí)，不僅是時(shí)間有限，而且教學(xué)體系差別比較大?？梢詫W(xué)完門(mén)課程后再讀英文教材。英文教材需要精選，下次再專門(mén)詳細(xì)談。
最后，課程之間打通。前面說(shuō)過(guò)，全部數(shù)學(xué)課程構(gòu)成個(gè)理論體系。要學(xué)好的不僅是每門(mén)課程，而且是要把各門(mén)課程融會(huì)貫通。各門(mén)課程的分別僅是為教學(xué)方便的側(cè)重不同，彼此之間還是有聯(lián)系的。例如，數(shù)學(xué)分析課程中多元曲線和曲面積分用得都是Riemann積分，而在實(shí)函數(shù)論中將學(xué)習(xí)Lebesgue積分以及其它抽象積分，這時(shí)就應(yīng)該思考曲線和曲面Lebesgue積分的性質(zhì)與用途。再例如，高度代數(shù)中講線性空間都是有限維，泛函分析中引入無(wú)限維空間，兩者的異同也很值得推敲。
順便一提，坊間有大量的學(xué)習(xí)指導(dǎo)、習(xí)題指南之類的輔助讀物。這些對(duì)考好數(shù)學(xué)或許有一定幫助，但基本上無(wú)助于學(xué)好數(shù)學(xué)。這類書(shū)的作者，在最好的情況，也只是有些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，但一般缺乏職業(yè)數(shù)學(xué)家所具有的理解和洞察。
本科數(shù)學(xué)英文教材推薦：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談3
我選英文數(shù)學(xué)讀物的原則是深度一般不超過(guò)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)本科的水平，教學(xué)體系盡量有所差別。最好能讀大師經(jīng)典，重在融會(huì)貫通。國(guó)外有些比較新的教材，在教學(xué)法方面考慮很多，確實(shí)下功夫“淺出”，但由于讀者只是復(fù)習(xí)提高，我不認(rèn)為這些教材合適。當(dāng)然，教師還是有必要參考以充實(shí)教學(xué)內(nèi)容。
基于上述考慮，如果想學(xué)好數(shù)學(xué)，在大學(xué)4年里至少應(yīng)該讀下列各書(shū)，并完成其中至少部分習(xí)題。
第1種，兩卷本Introduction to Calculus and Analysis (Vols. 1,2) by Richard Courant and Fritz John。該書(shū)1974年由John Wiley and Sons作為Interscience系列初版，由Springer-Verlag作為Classics in Mathmatics重印。2000年的重印本被世圖公司2008年在大陸發(fā)行。該書(shū)由漢譯本，收入“數(shù)學(xué)名著譯叢”。該書(shū)的內(nèi)容與國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)分析基本接近，但還包含線性代數(shù)、微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)論性內(nèi)容。作者Courant是應(yīng)用數(shù)學(xué)的大師，F(xiàn)ritz John也是偏微分方程方面的頂級(jí)專家。該書(shū)可以在學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)分析后閱讀。
第2種，F(xiàn)inite-Dimensional Vector Spaces by Paul R. Halmos。該書(shū)1942年作為Annals of Mathematics Studies叢書(shū)的第7種由Princeton University Press出版。修改后的第2版1958年由Van Nostrand出版，1974年由Springer-Verlag出版作為Undergraduate Texts in Mathematics叢書(shū)中的一種，國(guó)內(nèi)出版了盜印本。2008年世圖公司出版在大陸發(fā)行了Springer-Verlag的1987年重印本。作者Paul R. Halmos或許不是一流的數(shù)學(xué)家，但毫無(wú)疑問(wèn)是一流的數(shù)學(xué)教育家和教科書(shū)作者。該書(shū)強(qiáng)調(diào)有限維空間與無(wú)限維空間的聯(lián)系。因此，不僅是線性代數(shù)的復(fù)習(xí)，也是泛函分析的初步導(dǎo)引。該書(shū)可以在學(xué)過(guò)線性代數(shù)后閱讀。
第3種，Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra by Morris H. Hirsch and Stephen Smale。該書(shū)1974年由Academic Press出版，有高教版的漢譯本。2004年由Elsevier出了新版Differential Equaitons, Dynamical Systems, and An introduction to Chaos by Morris H. Hirsch, Stephen Smale and Robert L. Devaney，新版本于2007年由世圖公司在大陸發(fā)行，后來(lái)又有人民郵電出版社的漢譯本。雖然新版中有些更時(shí)髦的內(nèi)容，但線性代數(shù)的內(nèi)容有所消弱。我個(gè)人更偏愛(ài)舊版。Smale是當(dāng)代大師級(jí)的數(shù)學(xué)家，Hirsch也在頂級(jí)數(shù)學(xué)家之列。該書(shū)內(nèi)容基本涵蓋國(guó)內(nèi)高度代數(shù)和常微分方程兩門(mén)課程，但在某些方面論述的更為深刻。該書(shū)可以在學(xué)過(guò)常微分方程后閱讀。
第4種，Complex Analysis by Lars V. Ahlfors。1979年McGraw-Hill出版該書(shū)第3版，有上海科技出版社的漢譯本，2004年機(jī)械工業(yè)出版社在大陸發(fā)行影印本。作者Ahlfors是大師級(jí)的數(shù)學(xué)家，曾獲Fields獎(jiǎng)(1938)和Wolf獎(jiǎng)(1981)。該書(shū)選材精練、論證嚴(yán)謹(jǐn)，有些內(nèi)容的處理別具一格。有些習(xí)題，但不算很多。該書(shū)可以在學(xué)過(guò)復(fù)變函數(shù)后閱讀。
第5種，A Survey of Modern Algebra by Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane。該書(shū)于1941年由Macmillan出了第1版，多次修訂再版，到1976年出了第4版。第4版大陸有當(dāng)年光華出版社的盜印版，并有高教的漢譯本。1998年由A K Peters出了第5版，2007年人民郵電出版社在大陸發(fā)行了第5版。該書(shū)內(nèi)容豐富，幾乎涵蓋本科水平的全部代數(shù)內(nèi)容，而且從統(tǒng)一的觀點(diǎn)組織材料。該書(shū)可以在學(xué)過(guò)抽象代數(shù)后閱讀。
第6種，Principles of Mathematical Analysis by Walter Rudin。該書(shū)1976年McGrawhill出了第3版，并有高教出的漢譯本。2007年機(jī)械工業(yè)出版社在大陸發(fā)行了重印本。該書(shū)內(nèi)容比國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)分析課程多，還包括屬于拓?fù)鋵W(xué)的度量空間的拓?fù)浜蛯儆趯?shí)變函數(shù)的Lebesgue積分，特別是有流形上積分的簡(jiǎn)明導(dǎo)論。Rudin寫(xiě)過(guò)多種分析教材，但都不是本科生程度的。該書(shū)論述簡(jiǎn)明扼要，習(xí)題量比較大，而且有些題目很難。該書(shū)應(yīng)該在學(xué)過(guò)實(shí)變函數(shù)后閱讀，但不用等學(xué)完拓樸學(xué)。
第7種，Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry by I. M. Singer and J. P. Thorpe。該書(shū)1967由Scott-Foresman出版，年Springer-Verlag作為Undergraduate Texts in Mathematics叢書(shū)出版。該書(shū)有高教的漢譯本。兩位作者都是著名數(shù)學(xué)家。該書(shū)名稱中的 “Elementary”有些誤導(dǎo)。事實(shí)上，該書(shū)包含點(diǎn)集拓?fù)?、代?shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚葍?nèi)容，比較難讀。該書(shū)可以在學(xué)過(guò)拓?fù)鋵W(xué)也就是完成了數(shù)學(xué)系本科全部主干課程后閱讀。
還應(yīng)該有分析類的書(shū)。不過(guò)，這方面我不太能吃準(zhǔn)本科和研究生課程的分界所在，暫時(shí)先不推薦了。
數(shù)學(xué)分析的推薦讀物：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談4
國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)分析教材可謂汗牛充棟，保守估計(jì)也有幾十種之多。北大、復(fù)旦等高校的教授，陸續(xù)各出過(guò)4、5種教材。這些國(guó)內(nèi)教材雖然各有特色，但差別并不是很明顯。無(wú)論用那種教材，另外再參考一種似乎就夠了。
如果要看參考書(shū)，我覺(jué)得已故北大張筑生教授的3卷本《數(shù)學(xué)分析新講》最有特色。畢竟張筑生是微分拓?fù)涮貏e是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的專家，某些問(wèn)題的處理是從更的高觀點(diǎn)。如一般隱函數(shù)定理的證明用的是迭代逼近方法，引入微分形式證明了Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理等。還有為配合其它課程應(yīng)用需求比較早的講了微分方程，而且微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用比較系統(tǒng)。但那本書(shū)沒(méi)有習(xí)題，因此不能檢驗(yàn)自己的理解程度。
經(jīng)典內(nèi)容最全的參考書(shū)還是菲赫金哥爾茨的3卷本《微積分學(xué)教程》。內(nèi)容豐富如百科全書(shū)，真可謂一套在手，別無(wú)所求。缺點(diǎn)是過(guò)于繁瑣。或許可以查閱參考，但不必通讀。我熟悉的是依據(jù)50年代俄文版譯出的老版本。高教新出版了俄文第8版的漢譯本，基本特點(diǎn)沒(méi)變。
或許比看參考書(shū)更重要的是做習(xí)題。我推崇的是吉米多維奇《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》，全書(shū)有4千多道題目。當(dāng)然不需要每道題目都做，特別是一些計(jì)算題和作圖題。但把其中的所有證明題都做了或至少思考過(guò)，將大有裨益。該書(shū)的不僅是題目合適，而且難度適中。天資一般但用功的學(xué)生，就算不能獨(dú)立完成全部題目，不會(huì)的題目稍加點(diǎn)撥就可以理解。還有些更難的數(shù)學(xué)分析問(wèn)題分析之類，或者需要很高的數(shù)學(xué)解題天賦，或者更適合高年級(jí)“經(jīng)典分析方法”之類選修課用。
數(shù)學(xué)分析這種基礎(chǔ)核心課程需要看英文教材。學(xué)完1學(xué)期后可以讀Introduction to Calculus and Analysis的卷1，全部學(xué)完后再讀卷2。
高等代數(shù)的推薦讀物：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談5
所謂高等代數(shù)其實(shí)是代數(shù)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，一般包括線性代數(shù)基礎(chǔ)再加上多項(xiàng)式。國(guó)內(nèi)的教材也出了許多。高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析不同，沒(méi)有特別深刻費(fèi)解的概念，整個(gè)課程都是些記號(hào)和算法。如果沒(méi)入門(mén)，難免暈頭轉(zhuǎn)向;但入了門(mén)，發(fā)現(xiàn)一切都很簡(jiǎn)單，經(jīng)過(guò)練習(xí)，比較容易達(dá)到如魚(yú)得水的境界。
這門(mén)課國(guó)內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)教材是北大代數(shù)小組編寫(xiě)的《高等代數(shù)》。當(dāng)年我讀的是第一版，現(xiàn)在已經(jīng)出了第3版。那本書(shū)的特點(diǎn)是內(nèi)容豐富，選材均衡。如果單獨(dú)討論某部分的特點(diǎn)，還真不太容易。第一版版題目少些，后來(lái)還專門(mén)出個(gè)補(bǔ)充題目的小冊(cè)子，新版又補(bǔ)充了習(xí)題。美中不足的是，習(xí)題沒(méi)有答案，或許是其中證明題比例很大的緣故。對(duì)于這樣本堪稱經(jīng)典的教材，有些不可思議。順便說(shuō)句題外話，該書(shū)初版有個(gè)不甚嚴(yán)密的論斷，我當(dāng)時(shí)還是年輕人比較好事，為此給位北大教授寫(xiě)信指出個(gè)反例，該教授是第3版修訂工作的負(fù)責(zé)人之一，當(dāng)年給我肯定性的回復(fù)。
線性代數(shù)也有本譯自俄文的習(xí)題集，普羅斯庫(kù)烈柯夫的《線性代數(shù)習(xí)題集》。在我看來(lái)，該書(shū)遠(yuǎn)不如吉米多維奇的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》。全書(shū)有近2千道題目，而且如書(shū)名所示，不包括多項(xiàng)式的習(xí)題。作者似乎特別喜歡行列式的題目，收集了550多道。有些較難的題目有提示或解答。
學(xué)完該課程后，可以讀本英文書(shū)Finite-Dimensional Vector Spaces，也算是著名教材。學(xué)過(guò)常微分方程后，還可以再學(xué)Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra。
數(shù)學(xué)分析推薦讀物補(bǔ)充：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談6
看到本很有特點(diǎn)的教材，常庚哲和史濟(jì)懷編《數(shù)學(xué)分析教程(上、下冊(cè))》(高教，2003)。該書(shū)是作者在中國(guó)科技大學(xué)數(shù)學(xué)系教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。
該書(shū)最初的雛形是何琛、史濟(jì)懷和徐森林的3卷本《數(shù)學(xué)分析》。直接前身是常庚哲和史濟(jì)懷3卷本的《數(shù)學(xué)分析教程》(江蘇教育，1998)。我對(duì)史濟(jì)懷的印象特別深刻，中學(xué)和大學(xué)時(shí)讀過(guò)他的小冊(cè)子《平均》和《母函數(shù)》，后來(lái)才知道他還當(dāng)過(guò)中科大的副校長(zhǎng)。我一直對(duì)國(guó)內(nèi)教材以及所效仿的俄書(shū)教材中的多元微積分部分不滿意，后來(lái)看了的徐森林《流形和Stokes定理》，才在一定程度上滿足了這方面的好奇心。該書(shū)與Calculus on Manifolds by M. Spivak相比，與國(guó)內(nèi)的教材銜接得更好些。順便一提，徐森林最近有套3卷本的《數(shù)學(xué)分析》由清華大學(xué)出版社出版。
常庚哲是初等數(shù)學(xué)界的當(dāng)年的名家，與張景中、楊路、單樽等齊名，不過(guò)張后來(lái)入選了中科院院士。我中學(xué)時(shí)在《數(shù)學(xué)通報(bào)》等期刊上讀過(guò)他的文章，也讀過(guò)他膾炙人口的小冊(cè)子《抽屜原則及其他》和《復(fù)數(shù)與幾何》，后者后來(lái)又?jǐn)U充為《復(fù)數(shù)計(jì)算與幾何證題》。這本書(shū)預(yù)示了他后來(lái)的主要研究方向是計(jì)算幾何。最近才知道59年是他便是關(guān)肇直數(shù)學(xué)分析課的助教。
該書(shū)的突出特點(diǎn)是初等數(shù)學(xué)以及微積分基本知識(shí)的精妙運(yùn)用。既給出了某些經(jīng)典內(nèi)容的新的處理，也引進(jìn)些新的教學(xué)內(nèi)容。具體的在書(shū)的序言中說(shuō)得很清楚，這里不重復(fù)了。這個(gè)特點(diǎn)的負(fù)面影響是對(duì)教材使用者的數(shù)學(xué)成熟性要求很高。因此該書(shū)很難大面積推廣。
常庚哲和張筑生都當(dāng)過(guò)中國(guó)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克隊(duì)的教習(xí)，不過(guò)他們各自的教材《數(shù)學(xué)分析新講》和《數(shù)學(xué)分析教程》卻有截然不同的特點(diǎn)。《新講》的長(zhǎng)處是觀點(diǎn)和視角，從更高的角度闡述微積分，當(dāng)然也有些技巧性的習(xí)題?！督坛獭烽L(zhǎng)于技巧，用微積分的方法處理了許多“高級(jí)”題材。其實(shí)數(shù)學(xué)中不同層次和領(lǐng)域的一些研究技巧是類似的。此外，從教材反映的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，《教程》的作者大占優(yōu)勢(shì)。我估計(jì)，多數(shù)人會(huì)認(rèn)為《教程》是更好的教材，因此我在漫談4中沒(méi)有推薦該書(shū)未免不公平。我個(gè)人更偏愛(ài)《新講》。
該書(shū)的例題和習(xí)題都偏難。習(xí)題中更難的被稱為問(wèn)題，好在有個(gè)附錄給出問(wèn)題的解答和提示。部分題目的提示比較詳細(xì)，因此對(duì)難題也不會(huì)無(wú)處下手。
如何讀數(shù)學(xué)分析教材：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談7
我個(gè)人贊同要讀3本數(shù)學(xué)分析的書(shū)，每本讀3遍。第1本當(dāng)然是教材，各校所用不同。所有書(shū)的每次閱讀都要逐字逐句的看，但側(cè)重各有不同。依次達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的4個(gè)不同境界，懂、熟、巧、通。這里先談教材。
第1遍讀教材要在教授講解之前，即是所謂預(yù)習(xí)。預(yù)習(xí)的目的是要弄清楚懂和不懂的，雖然自以為懂的未必真懂，但不懂的一定是不懂了。預(yù)習(xí)要用鉛筆做些標(biāo)注，好在大陸的教材便宜不需要循環(huán)使用。標(biāo)注分兩類，1類是自己認(rèn)為重要的概念、定理、證明思路等，這自然是有一定理解的;另1類是不理解的，如果有興致還可以按不理解的程度分星級(jí)。預(yù)習(xí)后不要?jiǎng)邮肿鲱}，這時(shí)做題事倍功半，既耽誤時(shí)間，又浪費(fèi)了題目。
第2遍讀教材是在上課之后。聽(tīng)課要基本解決懂的問(wèn)題，這次閱讀要由“懂”到“熟”，甚至“巧”。關(guān)鍵是要把教材中的字面內(nèi)容基本弄懂，而且要比較熟悉。對(duì)于數(shù)學(xué)分析這種課程，充分理解是個(gè)趨于無(wú)窮的過(guò)程。第2遍閱讀，要能用自己的話復(fù)述概念、定理及其證明思路。重要的概念如極限、連續(xù)、一致連續(xù)、可導(dǎo)、可積、一致收斂等，要能用肯定方式敘述否定命題。比較長(zhǎng)的理論性證明，如Cauchy收斂準(zhǔn)則、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)、積分存在條件、隱函數(shù)定理、Stokes類公式、Fourier級(jí)數(shù)收斂定理等，要掌握證明的主要步驟和關(guān)鍵要點(diǎn)。還要琢磨例題中具體的解題方法。這遍讀完，就可以做習(xí)題了。在做習(xí)題的過(guò)程中，也許還要回頭再看，但不用從頭到尾閱讀了。
第3遍通讀是在解完習(xí)題之后。這次要努力讀出書(shū)上沒(méi)有的內(nèi)容，開(kāi)始由“熟”到“通”。首先，重要定理要能用反例說(shuō)明條件的必要性。如果書(shū)上有反例，再自己想1個(gè)，哪怕是與書(shū)上的反例類似。其次，注意推廣和特例，特殊的結(jié)論要一般化，而一般的結(jié)論要想出非平凡的特例。第三，平衡幾何直觀和嚴(yán)格證明。對(duì)嚴(yán)格的分析陳述要想幾何圖象，而對(duì)幾何直覺(jué)要能?chē)?yán)格證明。最后，運(yùn)用類比和移植。數(shù)列極限與函數(shù)極限、數(shù)列與級(jí)數(shù)、積分與極限等，都是有同有異，有些類似的結(jié)論，比較這些結(jié)論，有助于深入理解。
如何讀數(shù)學(xué)分析參考書(shū)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談8
前面說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)分析課程之外，還要讀兩本參考書(shū)。1本是概念講解清楚的，如“漫談4”介紹過(guò)的已故張筑生教授編者《數(shù)學(xué)分析新講》，以及配套的林源渠和方企勤(已故)兩位教授遍《數(shù)學(xué)分析解題指南》。另1本是應(yīng)用靈活的，如“漫談6”介紹常庚哲和史濟(jì)懷兩位教授編《數(shù)學(xué)分析教程》。當(dāng)然，如果后面兩書(shū)被選為教材了，就要再找其它的書(shū)，好在用那兩套書(shū)為教材的學(xué)校不多。
讀參考書(shū)首先遇到的問(wèn)題是參考書(shū)與教材的內(nèi)容編排未必完全一致，特別是實(shí)數(shù)理論往往在不同的地方處理。但基本上是幾大塊，分析基礎(chǔ)、單變量微分、多變量微積分、曲線曲面微積分和級(jí)數(shù)。我建議總的原則是如果是技術(shù)性的擴(kuò)展內(nèi)容，如《數(shù)學(xué)分析新講》講Stolz定理，《數(shù)學(xué)分析教程》講閉區(qū)間上迭代函數(shù)的性質(zhì)，這些是其他教材可能不講了。多學(xué)些也沒(méi)有壞處。如果是成節(jié)甚至成章的順序調(diào)整，那就不急著學(xué)，大體上還要按教材的順序。
第1遍讀第1參考書(shū)應(yīng)該讀過(guò)教材第2遍，并且已經(jīng)完成習(xí)題之后。這樣與教材本質(zhì)相同的內(nèi)容馬上可以識(shí)別出來(lái)。重點(diǎn)看表面不同的的內(nèi)容。一般來(lái)說(shuō)，各書(shū)的概念實(shí)質(zhì)一樣(如有不同也是等價(jià)的說(shuō)法，例如函數(shù)極限的序列定義或epsilon-delta定義)，定理也應(yīng)該差不多。但定理比較復(fù)雜的證明過(guò)程可能有所不同，可能是方法包括出發(fā)點(diǎn)不同，也可能僅是敘述方式不同。除了新的具體知識(shí)點(diǎn)外，對(duì)相同內(nèi)容的解釋和描述也要重視。當(dāng)然，例題也要特別重視。例題側(cè)重不同，或強(qiáng)調(diào)概念的澄清如些反例，或發(fā)展些技巧，在讀參考書(shū)中對(duì)后一方面更要重視。第這遍讀完就做習(xí)題。習(xí)題難免有與教材重復(fù)的，可以跳過(guò)，但也要想想解題的過(guò)程。在不同的書(shū)中出現(xiàn)，說(shuō)明該題目不同凡響。
做完習(xí)題后第2遍讀第1本參考書(shū)。讀法類似于第3遍讀教材。因?yàn)橹恢匾暸c教材不同的內(nèi)容速度可以快許多。
接下來(lái)就可以第1遍讀第2參考書(shū)了。方法與第1遍讀第1參考書(shū)一樣。但該書(shū)的特點(diǎn)是求“巧”。通過(guò)應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)分析的技巧。其中應(yīng)用包括解決些趣味性的復(fù)雜問(wèn)題，或處理些應(yīng)該在后續(xù)課程中出現(xiàn)的內(nèi)容。該書(shū)的習(xí)題特別難，尤其是上卷。因此，第1遍看過(guò)后，把題目都做1遍對(duì)一般人可能很不容易，能做其中1部分，哪怕是比較簡(jiǎn)單的部分也好。做完部分習(xí)題后，把書(shū)再重讀1遍，讀法類似于第3遍讀教材。
第3遍讀第2參考書(shū)可以在每學(xué)期的期末考試之前。結(jié)合著期末復(fù)習(xí)進(jìn)行。把題目重新看看，做過(guò)的是否還會(huì)，沒(méi)有做過(guò)的是否現(xiàn)在回頭看變得簡(jiǎn)單些了。
第3遍讀第1參考書(shū)可以在學(xué)完整門(mén)課程之后。重新思考一番，爭(zhēng)取把學(xué)過(guò)的理論與方法，轉(zhuǎn)化為習(xí)慣和本能。特別值得一提的是，學(xué)數(shù)學(xué)分析，除具體內(nèi)容外，特別注意常用的論證方法。定性的如構(gòu)造區(qū)間套、抽子數(shù)列、利用聚點(diǎn)和無(wú)限覆蓋有限化(幾者在數(shù)學(xué)分析中是等價(jià)的，要能互相證明)，還要后面的壓縮映象原理等;定量的如不等式的運(yùn)用、無(wú)窮小階的估計(jì)等。
如何學(xué)高等代數(shù)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漫談9
高等代數(shù)其實(shí)是代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)系課程中相對(duì)比較簡(jiǎn)單。因?yàn)槠涓叨刃问交统橄蠡?，初學(xué)者往往不適應(yīng)。就內(nèi)容而言，高等代數(shù)除了多項(xiàng)式的基礎(chǔ)外主要是線性代數(shù)，包括行列式、線性方程組、矩陣和線性空間。作為數(shù)學(xué)分支的代數(shù)具有與初等數(shù)學(xué)中代數(shù)不同的特點(diǎn)。初等代數(shù)主要就是計(jì)算，方程的求根或式子的化簡(jiǎn)。在本科數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)計(jì)劃上，從高等代數(shù)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)抽象代數(shù)，最后到群和環(huán)等專業(yè)選修課，代數(shù)學(xué)演變成對(duì)帶有運(yùn)算的結(jié)構(gòu)進(jìn)行刻畫(huà)、分類等研究的學(xué)科。這種形式化，在一定程度上體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)高度抽象化的特點(diǎn)。
在學(xué)習(xí)高等代數(shù)書(shū)時(shí)，要注意下列幾點(diǎn)。
第一，適應(yīng)研究對(duì)象的抽象和擴(kuò)展。高等代數(shù)開(kāi)篇，就會(huì)引入數(shù)域的概念，作為數(shù)系概念的抽象。數(shù)域概念的特點(diǎn)是突出了數(shù)的兩種運(yùn)算的特性。隨著學(xué)習(xí)的深入，會(huì)相繼出現(xiàn)過(guò)去沒(méi)有接觸過(guò)的新研究對(duì)象，如映射、高維向量、矩陣、線性空間、變換等。這些新的研究對(duì)象分別由各自的運(yùn)算規(guī)律而界定。這樣將個(gè)別的演算抽象出共同的規(guī)律，并因此實(shí)現(xiàn)理論應(yīng)用的廣泛性。因此，對(duì)新的研究對(duì)象要特別注意所定義的相應(yīng)運(yùn)算。
第二，深入理解等價(jià)和化簡(jiǎn)的概念。等價(jià)是相同和相等關(guān)系的抽象和推廣，用自反、對(duì)稱和傳遞3個(gè)性質(zhì)刻畫(huà)。高等代數(shù)中有大量的等價(jià)關(guān)系，如線性方程組的同解、矩陣的等價(jià)、矩陣的合同、矩陣的相似、線性空間的同構(gòu)等。每種等價(jià)的結(jié)構(gòu)，可用種最簡(jiǎn)單的形式代表，這樣就有了各種標(biāo)準(zhǔn)形。構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程就是在保持等價(jià)的前提下化簡(jiǎn)。各種等價(jià)類的標(biāo)準(zhǔn)形式的數(shù)量特征也很重要，如秩、維數(shù)、慣性指數(shù)等。
第三，注意不同結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。特別是矩陣是高等代數(shù)的核心內(nèi)容。矩陣可以表示線性方程組，矩陣可以表示給定基下的線性變換，對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)著二次型。
第四，熟悉化繁為簡(jiǎn)的常用技巧。在許多證明中，善于把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)相同但更簡(jiǎn)單的形式。這類過(guò)程常用“不失一般性”開(kāi)頭。可以把向量組或矩陣的行或列重新排列，也可以選擇線性空間的特定組基，或者直接寫(xiě)成矩陣的某種標(biāo)準(zhǔn)形式。在計(jì)算行列式等題目中，善于遞推、類比等。求和號(hào)的應(yīng)用也能突出問(wèn)題的本質(zhì)而略去重復(fù)繁復(fù)的枝節(jié)。
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