做數學題有何技巧方法

時間：2020-12-25 17:56:43 維維0由分享

數學應用問題較好地考察了學生閱讀理解能力與日常生活體驗，同時又考察了學生獲取信息后的抽象概括與建模能力，判斷決策能力。那么接下來給大家分享一些關于做數學題有何技巧方法，希望對大家有所幫助。

做數學題有何技巧方法

1. 觀察與實驗

( 1 )觀察法：有目的有計劃的通過視覺直觀的發(fā)現數學對象的規(guī)律、性質和解決問題的途徑。

( 2 )實驗法：實驗法是有目的的、模擬的創(chuàng)設一些有利于觀察的數學對象，通過觀察研究將復雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強，特征清晰，同時可以試探解法、檢驗結論的重要優(yōu)勢。

2. 比較與分類

( 1 )比較法

是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數學上兩類數學對象必須有一定的關系才好比較。我們常比較兩類數學對象的相同點、相異點或者是同異綜合比較。

( 2 )分類的方法

分類是在比較的基礎上，依據數學對象的性質的異同，把相同性質的對象歸入一類，不同性質的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函數的 k 在不等于零的情況下的分類是大于零和小于零體現了不重不漏的原則。

3 .特殊與一般

( 1 )特殊化的方法

特殊化的方法是從給定的區(qū)域內縮小范圍，甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況，再去考慮問題的解答和合理性。

( 2 )一般化的方法

4. 聯(lián)想與猜想

( 1 )類比聯(lián)想

類比就是根據兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，聯(lián)想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。

通過類比聯(lián)想可以發(fā)現新的知識;通過類比聯(lián)想可以尋求到數學解題的方法和途徑：

( 2 )歸納猜想

牛頓說過：沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)明。猜想可以發(fā)現真理，發(fā)現論斷;猜想可以預見證明的方法和思路。初中數學主要是對命題的條件觀察得出對結論的猜想，或對條件和結論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。

歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的，不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤，因此作為結論是需要證明的。關鍵是猜之有理、猜之有據。

5. 換元與配方

( 1 )換元法

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。你可以先觀察算式，你可以發(fā)現這種要換元法的算式中總是有相同的式子，然后把他們用一個字母代替，算出答案，然后答案中如果有這個字母，就把式子帶進去，計算就出來啦。

( 2 )配方法

配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解。配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式

6. 構造法與待定系數法

( 1 )構造法所謂構造性的方法就是數學中的概念和方法按固定的方式經有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。常見的有構造函數，構造圖形，構造恒等式。平面幾何里面的添輔助線法就是常見的構造法。構造法解題有：直接構造、變更條件構造和變更結論構造等途徑。

( 2 )待定系數法：將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法。

7. 公式法與反證法

( 1 )公式法

利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的應用：

( 2 )反證法是“間接證明法”一類，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，就可以肯定命題的結論的正確性，從而使命題獲得了證明。

中學數學新題型解題方法和技巧

1. 數學探索題

所謂探索題就是從問題給定的題設條件中探究其相應的結論并加以證明，或從給定的題目要求中探究相應的必需具備的條件、解決問題的途徑。

條件探索題：解答策略之一是將題設和結論視為已知，同時推理，在演繹的過程中尋找出相應所需的條件。

結論探索題：通常指結論不確定不唯一，或結論需通過類比、引申、推廣，或給出特例需通過歸納得出一般結論?？梢韵炔聹y再去證明;也可以尋求具體情況下的結論再證明;或直接演繹推證。

規(guī)律探索題：實際就是探索多種解決問題的途徑，制定多種解題的策略。

活動型探索題：讓學生參與一定的社會實踐，在課內和課外的活動中，通過探究完成問題解決。

推廣型探索題：將一個簡單的問題，加以推廣，可產生新的結論，在初中教學中常見。如平行四邊形的判定，就可以產生許多新的推廣，一方面是自身的推廣，一方面可以延伸到菱形和正方形中。

探索是數學的生命線，解探索題是一種富有創(chuàng)造性的思維活動，一種數學形式的探索絕不是單一的思維方式的結果，而是多種思維方式的聯(lián)系和滲透，這樣可使學生在學習數學的過程中敢于質疑、提問、反思、推廣。通過探索去經歷數學發(fā)現、數學探究、數學創(chuàng)造的過程，體會創(chuàng)造帶來的快樂。

2. 數學情境題

情境題是以一段生活實際、故事、歷史、游戲與數學問題、數學思想和方法于情境中。這類問題往往生動有趣，激發(fā)學生強烈的研究動機，但同時數學情景題又有信息量大，開放性強的特點，因此需要學生能從場景中提煉出數學問題，同時經歷了借助數學知識研究實際問題的數學化過程。

如老師在講有理數的混合運算時，

3. 數學開放題

數學開放題是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的一種新題型，其特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結論，也正因為這樣，所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。

( 1 )數學開放題一般具有下列特征

①不確定性：所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，因此需收集其他必要的信息，才能著手解的題目。

②探究性：沒有現成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現，但是求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。

③非完備性：有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答的過程中學生的認知結構的重建。

④發(fā)散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更概括性的結論。常常通過實際問題提出，學生必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型。

⑤發(fā)展性：能激起多數學生的好奇性，全體學生都可以參與解答過程。

⑥創(chuàng)新性：教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵者、合作者。

( 2 )對數學開放題的分類

從構成數學題系統(tǒng)的四要素(條件、依據、方法、結論)出發(fā)，定性地可分成四類;如果尋求的答案是數學題的條件，則稱為條件開放題;如果尋求的答案是依據或方法，則稱為策略開放題;如果尋求的答案是結論，則稱為結論開放題;如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題。

從學生的學習生活和熟悉的事物中收集材料，設計成各種形式的數學開放性問題，意在開放學生的思路，開放學生潛在的學習能力，開放性數學問題給不同層次的學生學好數學創(chuàng)設了機會，多種解題策略的應用，有力地發(fā)展了學生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新技能，提高了學生的創(chuàng)新能力。

( 3 )以數學開放題為載體的教學特征

①師生關系開放：教師與學生成為問題解決的共同合作者和研究者

②教學內容開放：開放題往往條件不完全、或結論不完全，需要收集信息加以分析和研究，給數學留下了創(chuàng)新的空間。

③教學過程的開放性：由于研究的內容的開放性可以激起學生的好奇心、同時由于問題的開放性，就沒有現成的解題模式，因此就會留下想象的空間，使所有的學生都可參與想象和解答。

( 4 )開放題的教育價值

有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質;

有助于學生主體意識的形成;

有利于全體學生的參與，實現教學的民主性和合作性;

有利于學生體驗成功、樹立信心，增強學習的興趣;

有助于提高學生解決問題的能力。

4. 數學建模題(初中數學建模題也可以看作是數學應用題)

數學新課程標準指出 : 要學生會應用所學知識解決實際問題 , 能適應社會日常生活和生產勞動的基本需要。初中數學的學習目的之一 , 就是培養(yǎng)學生解決實際問題的能力 , 要求學生會分析和解決生產、生活中的數學問題 , 形成善于應用數學的意識和能力。從各省市的中考數學命題來看 , 也更關注學生靈活運用數學知識解決實際問題能力的考查 , 可以說培養(yǎng)學生解答應用題的能力是使學生能夠運用所學數學知識解決實際問題的基本途徑之一

數學思想方法在解題中有不可忽視的作用

1. 函數與方程的思想

函數與方程的思想是中學數學最基本的思想。所謂函數的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再運用函數的圖像與性質去分析、解決相關的問題。而所謂方程的思想是分析數學中的等量關系，去構建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質去分析解決問題。

2. 數形結合的思想

數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關的代數三角問題;而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特征用代數的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

3. 分類討論的思想

分類討論的思想之所以重要，原因一是因為它的邏輯性較強，原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣，原因三是因為它可培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。

解決分類討論問題的關鍵是化整為零，在局部討論降低難度。常見的類型：類型 1 ：由數學概念引起的的討論，如實數、有理數、絕對值、點(直線、圓)與圓的位置關系等概念的分類討論;類型 2 ：由數學運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數還是負數的問題;類型 3 ：由性質、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引起的討論;類型 4 ：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關問題引起的討論。類型 5 ：由某些字母系數對方程的影響造成的分類討論，如二次函數中字母系數對圖象的影響，二次項系數對圖象開口方向的影響，一次項系數對頂點坐標的影響，常數項對截距的影響等。

分類討論思想是對數學對象進行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在于克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。分類的步驟：①確定討論的對象及其范圍;②確定分類討論的分類標準;③按所分類別進行討論;④歸納小結、綜合得出結論。注意動態(tài)問題一定要先畫動態(tài)圖。

4 .轉化與化歸的思想

轉化與化歸市中學數學最基本的數學思想之一，數形結合的思想體現了數與形的轉化;函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化;分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

但是轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求在轉化的過程中前因和后果是充分的也是必要的;不等價轉化就只有一種情況，因此結論要注意檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題，將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題;將復雜的轉為簡單的問題;將一般的轉為特殊的問題;將實際的問題轉為數學的問題等等使問題易于解決。

常見的轉化方法有

( 1 )直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題

( 2 )換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題 . ?

( 3 )數形結合法：研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉化途徑 . ?

( 4 )等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的 . ?

( 5 )特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題，使結論適合原問題 .

( 6 )構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題 .

( 7 )坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑

轉化與化歸的指導思想?

( 1 )把什么問題進行轉化，即化歸對象 . ?

( 2 )化歸到何處去，即化歸目標 . ?

( 3 )如何進行化歸，即化歸方法 . ?