2017南充中考數(shù)學(xué)練習(xí)試卷(2)
∵D為OB的中點(diǎn)，
∴CD是△OBE的中位線，即CD= BE.
設(shè)A(x， )，則B(2x， )，CD= ，AD= ﹣ ，
∵△ADO的面積為1，
∴ AD•OC=1， ( ﹣ )•x=1，解得k= ，
故答案是： .
21.如圖，將一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，再將所折得的圖形沿EF折疊，使得點(diǎn)D和點(diǎn)A重合.若AB=3，BC=4，則折痕EF的長為 .
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);矩形的性質(zhì).
【分析】首先由折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，證得△BND是等腰三角形，則在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的長，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得MF的長，又由中位線的性質(zhì)求得EM的長，則問題得解.
【解答】解：設(shè)BC′與AD交于N，EF與AD交于M，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM= AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
設(shè)AN=x，則BN=DN=4﹣x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，
∴32+x2=(4﹣x)2，
∴x= ，
即AN= ，
∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND，
∴△ANB≌△C′ND(AAS)，
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴ ，
∴ ，
∴MF= ，
由折疊的性質(zhì)可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME= AB= ，
∴EF=ME+MF= + = .
故答案為： .
三、解答題(本大題共8小題，共57分)
22.(1)先化簡，再求值：(x+1)2+x(2﹣x)，其中x=
(2)解不等式組 ，并把解集表示在數(shù)軸上.
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值;在數(shù)軸上表示不等式的解集;解一元一次不等式組.
【分析】(1)先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可;
(2)先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可.
【解答】解：(1)原式=x2+2x+1+2x﹣x2
=4x+1，
當(dāng)x= 時(shí)，原式=4 +1;
(2)
∵解不等式①：x<4，
解不等式②：x<3，
∴原不等式組的解集是：x<3，
原不等式組的解集在數(shù)軸上表示為： .
23.如圖，C是AB的中點(diǎn)，AD=BE，CD=CE.求證：∠A=∠B.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)中點(diǎn)定義求出AC=BC，然后利用“SSS”證明△ACD和△BCE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等證明即可.
【解答】證明：∵C是AB的中點(diǎn)，
∴AC=BC，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠A=∠B.
24.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BD是直徑，且BC=2，連接CD，求BD的長.
【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.
【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.
【解答】解：∵∠A和∠D所對(duì)的弧都是弧BC，
∴∠D=∠A=45°，
∵BD是直徑，
∴∠DCB=90°，
∴∠D=∠DBC=45°，
∴CB=CD=2，
由勾股定理得：BD= =2 .
25.如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為米;然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程.
【解答】解：設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為米.
根據(jù)題意得 x=400，
解得 x1=20，x2=5.
則100﹣4x=20或100﹣4x=80.
∵80>25，
∴x2=5舍去.
即AB=20，BC=20.
答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米.
26.商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，某同學(xué)去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同.
(1)若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是多少?
(2)若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)由商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學(xué)去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與他恰好買到雪碧和奶汁的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)∵商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學(xué)去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，
∴他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是： ;
(2)畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，他恰好買到雪碧和奶汁的有2種情況，
∴他恰好買到雪碧和奶汁的概率為： = .
27.如圖1，已知雙曲線y= (k>0)與直線y=k′x交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，試回答下列問題：
(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (﹣3，﹣1) ;當(dāng)x滿足： ﹣3≤x<0或x≥3 時(shí)， ≤k′x;
(2)如圖2，過原點(diǎn)O作另一條直線l，交雙曲線y= (k>0)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限.
?、偎倪呅蜛PBQ一定是 平行四邊形 ;
?、谌酎c(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，求四邊形APBQ的面積.
(3)設(shè)點(diǎn)A，P的橫坐標(biāo)分別為m，n，四邊形APBQ可能是矩形嗎?可能是正方形嗎?若可能，直接寫出m，n應(yīng)滿足的條件;若不可能，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可解決問題，利用圖象根據(jù)正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象的上方，即可確定自變量x的范圍.
(2)①利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可.
?、诶梅指罘ㄇ竺娣e即可.
(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)即可判定.
【解答】解：(1)∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A(3，1)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3，﹣1).
由圖象可知，當(dāng)﹣3≤x<0或x≥3時(shí)， ≤k′x.
故答案為(﹣3，﹣1)，﹣3≤x<0或x≥3
(2)①∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ是平行四邊形.
故答案為：平行四邊形;
?、凇唿c(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，
∴k=3×1=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)，
由雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣1，﹣3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3，﹣1)，
如圖2，過點(diǎn)A、B分別作y軸的平行線，過點(diǎn)P、Q分別作x軸的平行線，分別交于C、D、E、F，
則四邊形CDEF是矩形，
CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，
則四邊形APBQ的面積=矩形CDEF的面積﹣△ACP的面積﹣△PDB的面積﹣△BEQ的面積﹣△AFQ的面積
=36﹣2﹣8﹣2﹣8
=16.
(3)mn=k時(shí)，四邊形APBQ是矩形，
不可能是正方形.
理由：當(dāng)AB⊥PQ時(shí)四邊形APBQ是正方形，此時(shí)點(diǎn)A、P在坐標(biāo)軸上，由于點(diǎn)A，P可能達(dá)到坐標(biāo)軸故不可能是正方形，即∠POA≠90°.
28.如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn).
(1)求證：BD=CE;
(2)若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，
?、佼?dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長;
?、谥苯訉懗鲂D(zhuǎn)過程中線段PB長的最小值與最大值.
【考點(diǎn)】三角形綜合題.
【分析】(1)欲證明BD=CE，只要證明△ABD≌△ACE即可.
(2)①分兩種情形a、如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB﹣AE=1.由△PEB∽△AEC，得 = ，由此即可解決問題.b、如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，BE=3.解法類似.
?、赼、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí)，PB的值最小.b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時(shí)，PB的值最大.分別求出PB即可.
【解答】(1)證明：如圖1中，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE.
(2)①解：a、如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB﹣AE=1.
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC.
∴ = ，
∴ = ，
∴PB=
b、如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，BE=3.
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴ = ，
∴ = ，
∴PB= ，
綜上，PB= 或 .
?、诮猓篴、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí)，PB的值最小.
理由：此時(shí)∠BCE最小，因此PB最小，(△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最小)
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由(1)可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD﹣PD= ﹣1.
b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時(shí)，PB的值最大.
理由：此時(shí)∠BCE最大，因此PB最大，(△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大)
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由(1)可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD+PD= +1.
綜上所述，PB長的最小值是 ﹣1，最大值是 +1.
29.如圖，二次函數(shù)y= x2+bx﹣ 的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣3，0)和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)： (﹣3，4) ;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO(點(diǎn)P不與A、O重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長有最大值，求出這個(gè)最大值;
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo);
(2)PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關(guān)兩個(gè)變量的二次函數(shù)，求最值即可;
(3)分點(diǎn)P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積.
【解答】解：(1)(﹣3，4);
(2)設(shè)PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣ + =﹣ (t﹣ )2+
∴當(dāng)t= 時(shí)，l有最大值
即P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為 ;
(3)存在.
?、冱c(diǎn)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，DE交AB于點(diǎn)G，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣4，0)，
∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，
由△PAD≌△EOP得OE=PA=1
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG= =
∴重疊部分的面積= =
?、诋?dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，
此時(shí)重疊部分的面積為
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