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2017內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題(2)

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  【解答】解:原式=1﹣ ﹣3+2×

  =1﹣ ﹣3+

  =﹣2.

  20.先化簡(jiǎn),再求值:( ﹣x+1)÷ ,其中x= ﹣2.

  【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.

  【分析】首先將括號(hào)里面的通分相減,然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法,化簡(jiǎn)后代入x的值即可求解.

  【解答】解:原式=[ ﹣ ]•

  = •

  = ,

  當(dāng)x= ﹣2時(shí),

  原式= = =2 .

  21.解不等式組: ,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

  【考點(diǎn)】解一元一次不等式;在數(shù)軸上表示不等式的解集.

  【分析】首先解每個(gè)不等式,兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式的解集.

  【解答】解:由①得x≥4,

  由②得x<1,

  ∴原不等式組無(wú)解,

  22.國(guó)務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國(guó)足球改革的總體方案》,這是中國(guó)足球歷史上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球知識(shí),傳播足球文化,我市舉行了“足球進(jìn)校園”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),為了解足球知識(shí)的普及情況,隨機(jī)抽取了部分獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

  獲獎(jiǎng)等次 頻數(shù) 頻率

  一等獎(jiǎng) 10 0.05

  二等獎(jiǎng) 20 0.10

  三等獎(jiǎng) 30 b

  優(yōu)勝獎(jiǎng) a 0.30

  鼓勵(lì)獎(jiǎng) 80 0.40

  請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問(wèn)題:

  (1)a= 60 ,b= 0.15 ,且補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

  (2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)描述獲獎(jiǎng)分布情況,問(wèn)獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少?

  (3)在這次競(jìng)賽中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎(jiǎng),若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級(jí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法,計(jì)算恰好選中甲、乙二人的概率.

  【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法;頻數(shù)(率)分布表;頻數(shù)(率)分布直方圖;扇形統(tǒng)計(jì)圖.

  【分析】(1)根據(jù)公式頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù),求得樣本總數(shù),再根據(jù)公式得出a,b的值即可;

  (2)根據(jù)公式優(yōu)勝獎(jiǎng)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)=優(yōu)勝獎(jiǎng)的頻率×360°計(jì)算即可;

  (3)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來(lái),利用概率公式求解即可.

  【解答】解:(1)樣本總數(shù)為10÷0.05=200人,

  a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人,

  b=30÷200=0.15,

  故答案為200,0.15;

  (2)優(yōu)勝獎(jiǎng)所在扇形的圓心角為0.30×360°=108°;

  (3)列表:甲乙丙丁分別用ABCD表示,

  A B C D

  A AB AC AD

  B BA BC BD

  C CA CB CD

  D DA DB DC

  ∵共有12種等可能的結(jié)果,恰好選中A、B的有2種,

  畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

  ∴P(選中A、B)= = .

  23.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABO的邊AB垂直與x軸,垂足為點(diǎn)B,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)C,且與AB相交于點(diǎn)D,OB=4,AD=3,

  (1)求反比例函數(shù)y= 的解析式;

  (2)求cos∠OAB的值;

  (3)求經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式.

  【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題;反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

  【分析】(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,m)(m>0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3+m),由點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù)C、D點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、m的二元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;

  (2)由m的值,可找出點(diǎn)A的坐標(biāo),由此即可得出線段OB、AB的長(zhǎng)度,通過(guò)解直角三角形即可得出結(jié)論;

  (3)由m的值,可找出點(diǎn)C、D的坐標(biāo),設(shè)出過(guò)點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b,由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論.

  【解答】解:(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,m)(m>0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3+m),

  ∵點(diǎn)C為線段AO的中點(diǎn),

  ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2, ).

  ∵點(diǎn)C、點(diǎn)D均在反比例函數(shù)y= 的函數(shù)圖象上,

  ∴ ,解得: .

  ∴反比例函數(shù)的解析式為y= .

  (2)∵m=1,

  ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4),

  ∴OB=4,AB=4.

  在Rt△ABO中,OB=4,AB=4,∠ABO=90°,

  ∴OA= =4 ,cos∠OAB= = = .

  (3))∵m=1,

  ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1).

  設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b,

  則有 ,解得: .

  ∴經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=﹣ x+3.

  24.如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.

  (1)求證:△AEC≌△ADB;

  (2)若AB=2,∠BAC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).

  【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).

  【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等得到兩對(duì)邊相等,一對(duì)角相等,利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可;

  (2)根據(jù)∠BAC=45°,四邊形ADFC是菱形,得到∠DBA=∠BAC=45°,再由AB=AD,得到三角形ABD為等腰直角三角形,求出BD的長(zhǎng),由BD﹣DF求出BF的長(zhǎng)即可.

  【解答】解:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,

  ∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,

  ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,

  在△AEC和△ADB中,

  ,

  ∴△AEC≌△ADB(SAS);

  (2)∵四邊形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,

  ∴∠DBA=∠BAC=45°,

  由(1)得:AB=AD,

  ∴∠DBA=∠BDA=45°,

  ∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形,

  ∴BD2=2AB2,即BD=2 ,

  ∴AD=DF=FC=AC=AB=2,

  ∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2.

  25.“世界那么大,我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò),騎自行車(chē)旅行越來(lái)越受到人們的喜愛(ài),各種品牌的山地自行車(chē)相繼投放市場(chǎng).順風(fēng)車(chē)行經(jīng)營(yíng)的A型車(chē)2015年6月份銷(xiāo)售總額為3.2萬(wàn)元,今年經(jīng)過(guò)改造升級(jí)后A型車(chē)每輛銷(xiāo)售價(jià)比去年增加400元,若今年6月份與去年6月份賣(mài)出的A型車(chē)數(shù)量相同,則今年6月份A型車(chē)銷(xiāo)售總額將比去年6月份銷(xiāo)售總額增加25%.

  (1)求今年6月份A型車(chē)每輛銷(xiāo)售價(jià)多少元(用列方程的方法解答);

  (2)該車(chē)行計(jì)劃7月份新進(jìn)一批A型車(chē)和B型車(chē)共50輛,且B型車(chē)的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型車(chē)數(shù)量的兩倍,應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車(chē)獲利最多?

  A、B兩種型號(hào)車(chē)的進(jìn)貨和銷(xiāo)售價(jià)格如表:

  A型車(chē) B型車(chē)

  進(jìn)貨價(jià)格(元/輛) 1100 1400

  銷(xiāo)售價(jià)格(元/輛) 今年的銷(xiāo)售價(jià)格 2400

  【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用;分式方程的應(yīng)用.

  【分析】(1)設(shè)去年A型車(chē)每輛x元,那么今年每輛(x+400)元,列出方程即可解決問(wèn)題.

  (2)設(shè)今年7月份進(jìn)A型車(chē)m輛,則B型車(chē)(50﹣m)輛,獲得的總利潤(rùn)為y元,先求出m的范圍,構(gòu)建一次函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.

  【解答】解:(1)設(shè)去年A型車(chē)每輛x元,那么今年每輛(x+400)元,

  根據(jù)題意得 ,

  解之得x=1600,

  經(jīng)檢驗(yàn),x=1600是方程的解.

  答:今年A型車(chē)每輛2000元.

  (2)設(shè)今年7月份進(jìn)A型車(chē)m輛,則B型車(chē)(50﹣m)輛,獲得的總利潤(rùn)為y元,

  根據(jù)題意得50﹣m≤2m

  解之得m≥ ,

  ∵y=m+(50﹣m)=﹣100m+50000,

  ∴y隨m 的增大而減小,

  ∴當(dāng)m=17時(shí),可以獲得最大利潤(rùn).

  答:進(jìn)貨方案是A型車(chē)17輛,B型車(chē)33輛.

  26.已知點(diǎn)P(x0,y0)和直線y=kx+b,則點(diǎn)P到直線y=kx+b的距離證明可用公式d= 計(jì)算.

  例如:求點(diǎn)P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離.

  解:因?yàn)橹本€y=3x+7,其中k=3,b=7.

  所以點(diǎn)P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離為:d= = = = .

  根據(jù)以上材料,解答下列問(wèn)題:

  (1)求點(diǎn)P(1,﹣1)到直線y=x﹣1的距離;

  (2)已知⊙Q的圓心Q坐標(biāo)為(0,5),半徑r為2,判斷⊙Q與直線y= x+9的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;

  (3)已知直線y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行,求這兩條直線之間的距離.

  【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題.

  【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P到直線y=kx+b的距離公式直接計(jì)算即可;

  (2)先利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出圓心Q到直線y= x+9,然后根據(jù)切線的判定方法可判斷⊙Q與直線y= x+9相切;

  (3)利用兩平行線間的距離定義,在直線y=﹣2x+4上任意取一點(diǎn),然后計(jì)算這個(gè)點(diǎn)到直線y=﹣2x﹣6的距離即可.

  【解答】解:(1)因?yàn)橹本€y=x﹣1,其中k=1,b=﹣1,

  所以點(diǎn)P(1,﹣1)到直線y=x﹣1的距離為:d= = = = ;

  (2)⊙Q與直線y= x+9的位置關(guān)系為相切.

  理由如下:

  圓心Q(0,5)到直線y= x+9的距離為:d= = =2,

  而⊙O的半徑r為2,即d=r,

  所以⊙Q與直線y= x+9相切;

  (3)當(dāng)x=0時(shí),y=﹣2x+4=4,即點(diǎn)(0,4)在直線y=﹣2x+4,

  因?yàn)辄c(diǎn)(0,4)到直線y=﹣2x﹣6的距離為:d= = =2 ,

  因?yàn)橹本€y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行,

  所以這兩條直線之間的距離為2 .

  27.如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=8 cm,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→C方向以 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q,以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°(點(diǎn)M,C位于PQ異側(cè)).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),△PQM與△ADC重疊部分的面積為y(cm2)

  (1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí),x= 4 ;

  (2)當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí),x=   ;

  (3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

  【考點(diǎn)】三角形綜合題.

  【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí),四邊形AMQP是正方形,此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合,由此即可解決問(wèn)題.

  (2)如圖1中,當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí),作PE⊥QC于E,先證明DQ=QE=EC,由PE∥AD,得 = = ,由此即可解決問(wèn)題.

  (3)分三種情形①當(dāng)0

  【解答】解:(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí),四邊形AMQP是正方形,此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合,AP=CP=4 ,所以x= =4.

  故答案為4.

  (2)如圖1中,當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí),作PE⊥QC于E.

  ∵△MQP,△PQE,△PEC都是等腰直角三角形,MQ=PQ=PC

  ∴DQ=QE=EC,

  ∵PE∥AD,

  ∴ = = ,∵AC=8 ,

  ∴PA= ,

  ∴x= ÷ = .

  故答案為 .

  (3)①當(dāng)0

  ∵AP= x,

  ∴EF=PE=x,

  ∴y=S△PEF= •PE•EF= x2.

 ?、诋?dāng)4

  ∵PQ=PC=8 ﹣ x,

  ∴PM=16﹣2x,∴ME=PM﹣PE=16﹣3x,

  ∴y=S△PMQ﹣S△MEG= (8 ﹣ x)2﹣ (16﹣3x)2=﹣ x2+32x﹣64.

  ③當(dāng)

  ∴y=S△PMQ= PQ2= (8 ﹣ x)2=x2﹣16x+64.

  綜上所述y= .

  28.已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

  (1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式;

  (2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

  (3)在(1)的條件下,設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少?

  【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

  【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線AD的解析式,接著求出點(diǎn)D的坐標(biāo),將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式確定a的值;

  (2)由于沒(méi)有明確說(shuō)明相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),因此需要分情況討論:①△ABC∽△BAP;②△ABC∽△PAB;

  (3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí),t最小即可.

  【解答】解:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),

  ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),

  ∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

  ∴b=﹣3 ,

  ∴y=﹣ x﹣3 ,

  當(dāng)x=2時(shí),y=﹣5 ,

  則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,﹣5 ),

  ∵點(diǎn)D在拋物線上,

  ∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ,

  解得,a=﹣ ,

  則拋物線的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3 ;

  (2)如圖1中,作PH⊥x軸于H,設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)(m,n),

  當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí),∠BAC=∠PBA,

  ∴tan∠BAC=tan∠PBA,即 = ,

  ∴ = ,即n=﹣a(m﹣1),

  ∴ 解得m=﹣4或1(舍棄),

  當(dāng)m=﹣4時(shí),n=5a,

  ∵△BPA∽△ABC,

  ∴ = ,

  ∴AB2=AC•PB,

  ∴42= ,

  解得a=﹣ 或 (舍棄),

  則n=5a=﹣ ,

  ∴點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣4,﹣ ).

  當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí),∠CBA=∠PBA,

  ∴tan∠CBA=tan∠PBA,即 = ,

  ∴ = ,

  ∴n=﹣3a(m﹣1),

  ∴ ,

  解得m=﹣6或1(舍棄),

  當(dāng)m=﹣6時(shí),n=21a,

  ∵△PBA∽△ABC,

  ∴ = ,即AB2=BC•PB,

  ∴42= • ,

  解得a=﹣ 或 (不合題意舍棄),

  則點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣6,﹣3 ),

  綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(﹣4,﹣ )和(﹣6,﹣3 ).

  (3)如圖2中,作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,

  則tan∠DAN= = = ,

  ∴∠DAN=60°,

  ∴∠EDF=60°,

  ∴DE= = EF,

  ∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= + =BE+EF,

  ∴當(dāng)BE和EF共線時(shí),t最小,

  則BE⊥DM,此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)(1,﹣4 ).
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