2017內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題(2)
【解答】解:原式=1﹣ ﹣3+2×
=1﹣ ﹣3+
=﹣2.
20.先化簡,再求值:( ﹣x+1)÷ ,其中x= ﹣2.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】首先將括號里面的通分相減,然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法,化簡后代入x的值即可求解.
【解答】解:原式=[ ﹣ ]•
= •
= ,
當x= ﹣2時,
原式= = =2 .
21.解不等式組: ,并把解集在數(shù)軸上表示出來.
【考點】解一元一次不等式;在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【分析】首先解每個不等式,兩個不等式的解集的公共部分就是不等式的解集.
【解答】解:由①得x≥4,
由②得x<1,
∴原不等式組無解,
22.國務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國足球改革的總體方案》,這是中國足球歷史上的重大改革.為了進一步普及足球知識,傳播足球文化,我市舉行了“足球進校園”知識競賽活動,為了解足球知識的普及情況,隨機抽取了部分獲獎情況進行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表:
獲獎等次 頻數(shù) 頻率
一等獎 10 0.05
二等獎 20 0.10
三等獎 30 b
優(yōu)勝獎 a 0.30
鼓勵獎 80 0.40
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a= 60 ,b= 0.15 ,且補全頻數(shù)分布直方圖;
(2)若用扇形統(tǒng)計圖來描述獲獎分布情況,問獲得優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少?
(3)在這次競賽中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎,若從這四位同學(xué)中隨機選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級競賽,請用樹狀圖或列表的方法,計算恰好選中甲、乙二人的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;頻數(shù)(率)分布表;頻數(shù)(率)分布直方圖;扇形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)根據(jù)公式頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù),求得樣本總數(shù),再根據(jù)公式得出a,b的值即可;
(2)根據(jù)公式優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)=優(yōu)勝獎的頻率×360°計算即可;
(3)畫樹狀圖或列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來,利用概率公式求解即可.
【解答】解:(1)樣本總數(shù)為10÷0.05=200人,
a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人,
b=30÷200=0.15,
故答案為200,0.15;
(2)優(yōu)勝獎所在扇形的圓心角為0.30×360°=108°;
(3)列表:甲乙丙丁分別用ABCD表示,
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12種等可能的結(jié)果,恰好選中A、B的有2種,
畫樹狀圖如下:
∴P(選中A、B)= = .
23.如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,△ABO的邊AB垂直與x軸,垂足為點B,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過AO的中點C,且與AB相交于點D,OB=4,AD=3,
(1)求反比例函數(shù)y= 的解析式;
(2)求cos∠OAB的值;
(3)求經(jīng)過C、D兩點的一次函數(shù)解析式.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題;反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)設(shè)點D的坐標為(4,m)(m>0),則點A的坐標為(4,3+m),由點A的坐標表示出點C的坐標,根據(jù)C、D點在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關(guān)于k、m的二元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;
(2)由m的值,可找出點A的坐標,由此即可得出線段OB、AB的長度,通過解直角三角形即可得出結(jié)論;
(3)由m的值,可找出點C、D的坐標,設(shè)出過點C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b,由點C、D的坐標利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論.
【解答】解:(1)設(shè)點D的坐標為(4,m)(m>0),則點A的坐標為(4,3+m),
∵點C為線段AO的中點,
∴點C的坐標為(2, ).
∵點C、點D均在反比例函數(shù)y= 的函數(shù)圖象上,
∴ ,解得: .
∴反比例函數(shù)的解析式為y= .
(2)∵m=1,
∴點A的坐標為(4,4),
∴OB=4,AB=4.
在Rt△ABO中,OB=4,AB=4,∠ABO=90°,
∴OA= =4 ,cos∠OAB= = = .
(3))∵m=1,
∴點C的坐標為(2,2),點D的坐標為(4,1).
設(shè)經(jīng)過點C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b,
則有 ,解得: .
∴經(jīng)過C、D兩點的一次函數(shù)解析式為y=﹣ x+3.
24.如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,當四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等得到兩對邊相等,一對角相等,利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可;
(2)根據(jù)∠BAC=45°,四邊形ADFC是菱形,得到∠DBA=∠BAC=45°,再由AB=AD,得到三角形ABD為等腰直角三角形,求出BD的長,由BD﹣DF求出BF的長即可.
【解答】解:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,
∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,
在△AEC和△ADB中,
,
∴△AEC≌△ADB(SAS);
(2)∵四邊形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,
∴∠DBA=∠BAC=45°,
由(1)得:AB=AD,
∴∠DBA=∠BDA=45°,
∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形,
∴BD2=2AB2,即BD=2 ,
∴AD=DF=FC=AC=AB=2,
∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2.
25.“世界那么大,我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò),騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛,各種品牌的山地自行車相繼投放市場.順風(fēng)車行經(jīng)營的A型車2015年6月份銷售總額為3.2萬元,今年經(jīng)過改造升級后A型車每輛銷售價比去年增加400元,若今年6月份與去年6月份賣出的A型車數(shù)量相同,則今年6月份A型車銷售總額將比去年6月份銷售總額增加25%.
(1)求今年6月份A型車每輛銷售價多少元(用列方程的方法解答);
(2)該車行計劃7月份新進一批A型車和B型車共50輛,且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍,應(yīng)如何進貨才能使這批車獲利最多?
A、B兩種型號車的進貨和銷售價格如表:
A型車 B型車
進貨價格(元/輛) 1100 1400
銷售價格(元/輛) 今年的銷售價格 2400
【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用;分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)去年A型車每輛x元,那么今年每輛(x+400)元,列出方程即可解決問題.
(2)設(shè)今年7月份進A型車m輛,則B型車(50﹣m)輛,獲得的總利潤為y元,先求出m的范圍,構(gòu)建一次函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.
【解答】解:(1)設(shè)去年A型車每輛x元,那么今年每輛(x+400)元,
根據(jù)題意得 ,
解之得x=1600,
經(jīng)檢驗,x=1600是方程的解.
答:今年A型車每輛2000元.
(2)設(shè)今年7月份進A型車m輛,則B型車(50﹣m)輛,獲得的總利潤為y元,
根據(jù)題意得50﹣m≤2m
解之得m≥ ,
∵y=m+(50﹣m)=﹣100m+50000,
∴y隨m 的增大而減小,
∴當m=17時,可以獲得最大利潤.
答:進貨方案是A型車17輛,B型車33輛.
26.已知點P(x0,y0)和直線y=kx+b,則點P到直線y=kx+b的距離證明可用公式d= 計算.
例如:求點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離.
解:因為直線y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離為:d= = = = .
根據(jù)以上材料,解答下列問題:
(1)求點P(1,﹣1)到直線y=x﹣1的距離;
(2)已知⊙Q的圓心Q坐標為(0,5),半徑r為2,判斷⊙Q與直線y= x+9的位置關(guān)系并說明理由;
(3)已知直線y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行,求這兩條直線之間的距離.
【考點】一次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)點P到直線y=kx+b的距離公式直接計算即可;
(2)先利用點到直線的距離公式計算出圓心Q到直線y= x+9,然后根據(jù)切線的判定方法可判斷⊙Q與直線y= x+9相切;
(3)利用兩平行線間的距離定義,在直線y=﹣2x+4上任意取一點,然后計算這個點到直線y=﹣2x﹣6的距離即可.
【解答】解:(1)因為直線y=x﹣1,其中k=1,b=﹣1,
所以點P(1,﹣1)到直線y=x﹣1的距離為:d= = = = ;
(2)⊙Q與直線y= x+9的位置關(guān)系為相切.
理由如下:
圓心Q(0,5)到直線y= x+9的距離為:d= = =2,
而⊙O的半徑r為2,即d=r,
所以⊙Q與直線y= x+9相切;
(3)當x=0時,y=﹣2x+4=4,即點(0,4)在直線y=﹣2x+4,
因為點(0,4)到直線y=﹣2x﹣6的距離為:d= = =2 ,
因為直線y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行,
所以這兩條直線之間的距離為2 .
27.如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=8 cm,AD⊥BC于點D,點P從點A出發(fā),沿A→C方向以 cm/s的速度運動到點C停止,在運動過程中,過點P作PQ∥AB交BC于點Q,以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°(點M,C位于PQ異側(cè)).設(shè)點P的運動時間為x(s),△PQM與△ADC重疊部分的面積為y(cm2)
(1)當點M落在AB上時,x= 4 ;
(2)當點M落在AD上時,x= ;
(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍.
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)當點M落在AB上時,四邊形AMQP是正方形,此時點D與點Q重合,由此即可解決問題.
(2)如圖1中,當點M落在AD上時,作PE⊥QC于E,先證明DQ=QE=EC,由PE∥AD,得 = = ,由此即可解決問題.
(3)分三種情形①當0
【解答】解:(1)當點M落在AB上時,四邊形AMQP是正方形,此時點D與點Q重合,AP=CP=4 ,所以x= =4.
故答案為4.
(2)如圖1中,當點M落在AD上時,作PE⊥QC于E.
∵△MQP,△PQE,△PEC都是等腰直角三角形,MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC,
∵PE∥AD,
∴ = = ,∵AC=8 ,
∴PA= ,
∴x= ÷ = .
故答案為 .
(3)①當0
∵AP= x,
∴EF=PE=x,
∴y=S△PEF= •PE•EF= x2.
?、诋?
∵PQ=PC=8 ﹣ x,
∴PM=16﹣2x,∴ME=PM﹣PE=16﹣3x,
∴y=S△PMQ﹣S△MEG= (8 ﹣ x)2﹣ (16﹣3x)2=﹣ x2+32x﹣64.
③當
∴y=S△PMQ= PQ2= (8 ﹣ x)2=x2﹣16x+64.
綜上所述y= .
28.已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個交點為D.
(1)若點D的橫坐標為2,求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似,求點P的坐標;
(3)在(1)的條件下,設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點),連接BE.一動點Q從點B出發(fā),沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段ED以每秒 個單位的速度運動到點D后停止,問當點E的坐標是多少時,點Q在整個運動過程中所用時間最少?
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點式確定點A、B的坐標,進而求出直線AD的解析式,接著求出點D的坐標,將D點坐標代入拋物線解析式確定a的值;
(2)由于沒有明確說明相似三角形的對應(yīng)頂點,因此需要分情況討論:①△ABC∽△BAP;②△ABC∽△PAB;
(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,根據(jù)正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時,t最小即可.
【解答】解:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),
∴點A的坐標為(﹣3,0)、點B兩的坐標為(1,0),
∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過點A,
∴b=﹣3 ,
∴y=﹣ x﹣3 ,
當x=2時,y=﹣5 ,
則點D的坐標為(2,﹣5 ),
∵點D在拋物線上,
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ,
解得,a=﹣ ,
則拋物線的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3 ;
(2)如圖1中,作PH⊥x軸于H,設(shè)點 P坐標(m,n),
當△BPA∽△ABC時,∠BAC=∠PBA,
∴tan∠BAC=tan∠PBA,即 = ,
∴ = ,即n=﹣a(m﹣1),
∴ 解得m=﹣4或1(舍棄),
當m=﹣4時,n=5a,
∵△BPA∽△ABC,
∴ = ,
∴AB2=AC•PB,
∴42= ,
解得a=﹣ 或 (舍棄),
則n=5a=﹣ ,
∴點P坐標(﹣4,﹣ ).
當△PBA∽△ABC時,∠CBA=∠PBA,
∴tan∠CBA=tan∠PBA,即 = ,
∴ = ,
∴n=﹣3a(m﹣1),
∴ ,
解得m=﹣6或1(舍棄),
當m=﹣6時,n=21a,
∵△PBA∽△ABC,
∴ = ,即AB2=BC•PB,
∴42= • ,
解得a=﹣ 或 (不合題意舍棄),
則點P坐標(﹣6,﹣3 ),
綜上所述,符合條件的點P的坐標(﹣4,﹣ )和(﹣6,﹣3 ).
(3)如圖2中,作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,
則tan∠DAN= = = ,
∴∠DAN=60°,
∴∠EDF=60°,
∴DE= = EF,
∴Q的運動時間t= + =BE+EF,
∴當BE和EF共線時,t最小,
則BE⊥DM,此時點E坐標(1,﹣4 ).
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