2017年黑龍江大慶中考數(shù)學模擬真題(2)
(2)若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑.
25.(10分)四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對角線AC平分∠BAD.
(1)①，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
(2)②，若將(1)中的條件“∠B=90°”去掉，(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由.
(3)③，若∠DAB=90°，探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
26.(12分)，二次函數(shù)y=kx2-3kx-4k(k≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點(點A在點B的右側(cè))，與y軸交于點C，OC=OA.
(1)求點A坐標和拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在，說明理由;
(3)過拋物線上的點Q作垂直于y軸的直線，交y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，直接寫出點Q的坐標.
2017年黑龍江大慶中考數(shù)學模擬試題答案
1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A
9.B 解析：∵點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，∴EF⊥AB，EF∥BC，∴EG是△DCH的中位線，∴DG=HG.由折疊的性質(zhì)可得∠AGH=∠ABH=90°，∴∠AGH=∠AGD=90°，∠BAH=∠HAG.易證△ADG≌△AHG(SAS)，∴AD=AH，∠DAG=∠HAG，∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=13∠BAD=30°.在Rt△ABH中，AH=AD=4，∠BAH=30°，∴HB=2，AB=23，∴CD=23.
10.D 解析：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥y軸于點E，則易得△AOD∽△CBE.由兩個三角形相似可得AOBC=ADCE=ODBE=3.設(shè)點A的橫坐標為3a，則其縱坐標為3a2，則BE=OD3=a，CE=AD3=a2.∵直線BC是由直線AO向上平移4個單位得到的，∴CO=4，∴EO=4+a2，即點B的坐標為a，4+a2.又∵點A，B都在雙曲線y=kx上，∴k=3a•3a2=a•4+a2，解得a=1(舍去0)，∴k=92.
11.x(x-2)(x+2) 12.24
13.50(1-x)2=32 14.183 15.14 16.128
17.-43 解析：設(shè)點A(a，-a+1)，B (b，-b+1)(a
18.①②④ 解析：∵AF是AB翻折而來，∴AF=AB=6.∵AD=BC=33，∴DF=AF2-AD2=3，∴F是CD中點，∴①正確;，連接OP.∵⊙O與AD相切于點P，∴OP⊥AD.∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴AOAF=OPDF.設(shè)OP=OF=x，則AO=6-x，6-x6=x3，解得x=2，即⊙O的半徑為2，∴②正確;∵在Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF.∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③錯誤;，連接OG，PG，作OH⊥FG.∵∠AFD= 60°，OF=OG，∴△OFG為等邊三角形.同理，△OPG為等邊三角形.∴∠POG=∠FOG=60°，OH=32OG=3，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S陰影=(S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH)+(S扇形OGF-S△OFG)=S矩形OPDH-32S△OFG=2×3-3212×2×3=32.∴④正確.故答案為①②④.
19.解：∵∠AEC=42°，∴∠AED=180°-∠AEC=138°.(2分)∵EF平分∠AED，∴∠DEF=12∠AED=69°.(4分)又∵AB∥CD，∴∠AFE=∠DEF=69°.(6分)
20.解：(1)原式=1-4+2=-1.(3分)
(2)原式=a-1-1a-1÷(a-2)2a(a-1)=a-2a-1•a(a-1)(a-2)2=aa-2.(6分)
21.證明：∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∴AF∥EC.(3分)∵DF=DC，BE=BA，∴BE=DF，∴AF=EC，(6分)∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AE=CF.(8分)
22.解：(1)調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：19÷38%=50(人).(2分)C組的人數(shù)有50-15-19-4=12(人)，補全條形圖所示.(4分)
(2)畫樹狀圖如下.(6分)共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中甲的結(jié)果有6種，∴P(恰好選中甲)=612=12.(8分)
23.解：(1)設(shè)該商家第一次購進機器人x個，依題意得11000x+10=240002x，解得x=100.(2分)經(jīng)檢驗，x=100是所列方程的解，且符合題意.(3分)
答：該商家第一次購進機器人100個.(4分)
(2)設(shè)每個機器人的標價是a元.則依 題意得(100+200)a-11000-24000≥(11000+24000)×20%，解得a≥140.(7分)
答：每個機器人的標價至少是140元.(8分)
24.(1)證明：連接OD.(1分)∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE，∴DO∥MN.(3分)∵DE⊥MN，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線.(4分)
(2)解：連接CD.∵DE⊥MN，∴∠AED=90°.在Rt△AED中，DE=6cm，AE=3cm，∴AD=AE2+DE2=35cm.(6分)∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠AED=90°.∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴ACAD=ADAE，即AC=AD2AE，∴AC=15cm，∴OA=12AC=7.5cm，即⊙O的半徑是7.5cm.(8分)
25.解：(1)AC=AD+AB.(1分)理由如下：在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°.∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∴AB=12AC，同理AD=12AC.∴AC=AD+AB.(3分)
(2)(1)中的結(jié)論成立.(4分)理由如下：②，以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊與AB的延長線交于點E.∵∠BAC=60°，∴△AEC為等邊三角形，∴AC=AE=CE.∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE.∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE.∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB.(6分)
(3)結(jié)論：AD+AB=2AC.(7分)理由如下：③，過點C作CE⊥AC與AB的延長線交于點E.∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，∴∠DCB= 90°.∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE.又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°.∴AC=CE.又∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE.(9分)在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE=ACcos45°=2AC，∴AD+AB=2A C.(10分)
26.解：(1)當y=0時，kx2-3kx-4k=0.∵k≠0，∴x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4，∴B(-1，0)，A(4，0).(2分)∵OA=OC，∴C(0，4).把x=0，y=4代入y=kx2-3kx-4k，得k=-1，則拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.(4分)
(2)①當∠PCA=90°時，過點P作PM⊥y軸于M，①，∴∠MCP+∠ACO=90°.∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCP=∠OAC.∵OA=OC，∴∠MCP=∠OAC=45°，∴∠MCP=∠MPC=45°，∴MC=MP. 設(shè)P(m，-m2+3m+4)，則PM=CM=m，OM=-m2+3m+4，∴m+4=-m2+3m+4，解得m1=0(舍去)，m2=2，∴-m2+3m+4=6，即P(2，6).(6分)
?、诋?ang;PAC=90°時，過點P作PN⊥y軸于N，設(shè)AP與y軸交于點F，②，則有PN∥x軸，∴∠FPN=∠OAP.∵∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FPN=45°，AO=OF=4，∴PN=NF，設(shè)P(n，-n2+3n+4)，則PN=-n，ON=n2-3n-4，∴-n+4=n2-3n-4，解得n1=-2，n2=4(舍去)，∴-n2+3n+4=-6，即P(-2，-6).
綜上所述，點P的坐標是(2，6)或(-2，-6).(8分)
(3)當點Q的坐標是3+172，2或3-172，2時，線段EF的長度最短.(12分) 解析：③，∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°，∴四邊形OEDF是矩形，∴EF=OD.∴當線段EF的長度最短時，OD最小，此時OD⊥AC.∵OA=OC，∴∠COD=∠AOD=45°，CD=AD.∵DF∥OC，∴△ADF∽△ACO，∴FDOC=ADAC=12，∴FD=12OC=2，∴yQ=2，解-x2+3x+4=2，得x1=3+172，x2=3-172，∴點Q的坐標是3+172，2或3-172，2.
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