人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題(2)
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】由∠C=90°，根據(jù)垂直定義得到DC與AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分線定理得到DC=DE，再利用HL證明三角形ACD與三角形AED全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三邊之和表示出三角形的周長(zhǎng)，將其中的DE換為DC，由CD+DB=BC進(jìn)行變形，再將BC換為AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)，由AB的長(zhǎng)可得出周長(zhǎng).
【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，
又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，
∴CD=ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，又AC=BC，
∴AC=AE=BC，又AB=6cm，
∴△DEB的周長(zhǎng)=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm.
故選A.
8.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( )
A.x+1 B.x﹣1 C.﹣x D.x
【考點(diǎn)】分式的加減法.
【分析】將分母化為同分母，通分，再將分子因式分解，約分.
【解答】解： = ﹣
=
=
=x，
故選：D.
9.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同.設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是( )
A. = B. = C. = D. =
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.
【分析】根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器的時(shí)間相同，所以可得等量關(guān)系為：現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器時(shí)間=原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)時(shí)間.
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，則現(xiàn)在可生產(chǎn)(x+50)臺(tái).
依題意得： = .
故選：A.
10.如圖，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個(gè)結(jié)論①AS=AR;②QP∥AR;③△BPR≌△QSP中( )
A.全部正確 B.僅①和②正確 C.僅①正確 D.僅①和③正確
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】判定線段相等的方法可以由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出;判定兩條直線平行，可以由“同位角相等，兩直線平行”或“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”得出;判定全等三角形可以由SSS、SAS、ASA、AAS或HL得出.
【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP
∴△ARP≌△ASP(HL)
∴AS=AR，∠RAP=∠SAP
∵AQ=PQ
∴∠QPA=∠SAP
∴∠RAP=∠QPA
∴QP∥AR
而在△BPR和△QSP中，只滿足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3個(gè)條件，所以無法得出△BPR≌△QSP
故本題僅①和②正確.
故選B.
二、填空題(每小題4分，共16分)
11.分解因式：ax4﹣9ay2= a(x2﹣3y)(x2+3y) .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】首先提取公因式a，進(jìn)而利用平方差公式進(jìn)行分解即可.
【解答】解：ax4﹣9ay2=a(x4﹣9y2)=a(x2﹣3y)(x2+3y).
故答案為：a(x2﹣3y)(x2+3y).
12.如圖，在Rt△ABC中，D，E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn)，且BD=BC，AE=AC，則∠DCE的大小為 45 (度).
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】設(shè)∠DCE=x，∠ACD=y，則∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y.然后在△DCE中，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程x+(90°﹣y)+(x+y)=180°，解方程即可求出∠DCE的大小.
【解答】解：設(shè)∠DCE=x，∠ACD=y，則∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y.
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y.
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+(90°﹣y)+(x+y)=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°.
故答案為：45.
13.如圖所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.給出下列結(jié)論：①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正確的結(jié)論是 ①②③ .(將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】此題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，只要先找出圖中的全等三角形就可判斷題中結(jié)論是否正確.
【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF，
∴AC=AB，BE=CF，即結(jié)論②正確;
∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，
∴ACN≌△ABM，即結(jié)論③正確;
∵∠BAE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE﹣∠BAC，∠2=∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1=∠2，即結(jié)論①正確;
∴△AEM≌△AFN，
∴AM=AN，∴CM=BN，
∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，
∴題中正確的結(jié)論應(yīng)該是①②③.
故答案為：①②③.
14.如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，則△PMN的周長(zhǎng)為 18 cm.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì).
【分析】根據(jù)對(duì)稱軸的意義，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周長(zhǎng).
【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周長(zhǎng)=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周長(zhǎng)=18cm.
三、解答題(共74分)
15.分解因式：(x﹣1)(x﹣3)+1.
【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.
【分析】首先利用多項(xiàng)式乘法計(jì)算出(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3，再加上1后變形成x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可.
【解答】解：原式=x2﹣4x+3+1，
=x2﹣4x+4，
=(x﹣2)2.
16.解方程： = .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移項(xiàng)合并得：2x=4，
解得：x=2，
經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，分式方程無解.
17.先化簡(jiǎn)，再求值：( ﹣ )÷ ，在﹣2，0，1，2四個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的代入求值.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x=1代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解：原式= • =2x+8，
當(dāng)x=1時(shí)，原式=2+8=10.
18.如圖，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度數(shù).
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BAF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CAF，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答.
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF= ∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°.
19.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形網(wǎng)格中，給出了△ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)).
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)將線段AC向左平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，畫出平移得到的線段A2C2，并以它為一邊作一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C2，使A2B2=C2B2.
【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換;作圖-平移變換.
【分析】(1)利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(2)直接利用平移的性質(zhì)得出平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案.
【解答】解：(1)如圖所示：△A1B1C1，即為所求;
(2)如圖所示：△A2B2C2，即為所求.
20.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D在邊AB上，使DB=BC，過點(diǎn)D作EF⊥AC，分別交AC于點(diǎn)E，CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
求證：AB=BF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，從而AAS證明△FBD≌△ABC，則AB=BF.
【解答】證明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90°，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△FBD和△ABC中，
，
∴△FBD≌△ABC(AAS)，
∴AB=BF.
21.從廣州到某市，可乘坐普通列車或高鐵，已知高鐵的行駛路程是400千米，普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍.
(1)求普通列車的行駛路程;
(2)若高鐵的平均速度(千米/時(shí))是普通列車平均速度(千米/時(shí))的2.5倍，且乘坐高鐵所需時(shí)間比乘坐普通列車所需時(shí)間縮短3小時(shí)，求高鐵的平均速度.
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)高鐵的行駛路程是400千米和普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍，兩數(shù)相乘即可得出答案;
(2)設(shè)普通列車平均速度是x千米/時(shí)，根據(jù)高鐵所需時(shí)間比乘坐普通列車所需時(shí)間縮短3小時(shí)，列出分式方程，然后求解即可;
【解答】解：(1)根據(jù)題意得：
400×1.3=520(千米)，
答：普通列車的行駛路程是520千米;
(2)設(shè)普通列車平均速度是x千米/時(shí)，則高鐵平均速度是2.5x千米/時(shí)，根據(jù)題意得：
﹣ =3，
解得：x=120，
經(jīng)檢驗(yàn)x=120是原方程的解，
則高鐵的平均速度是120×2.5=300(千米/時(shí))，
答：高鐵的平均速度是300千米/時(shí).
22.如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法);
(2)在(1)的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明).
【考點(diǎn)】作圖—基本作圖;平行線的判定.
【分析】(1)根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可;
(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BDE= ∠BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠A= ∠BDC，再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論.
【解答】解：(1)如圖所示：
(2)DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE= ∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A= ∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC.
23.如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EG、EF.
(1)求證：BG=CF;
(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF;
(2)再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF.
【解答】解：(1)∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF.
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD與△CFD中，
∵
∴△BGD≌△CFD(ASA).
∴BG=CF.
(2)BE+CF>EF.
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF.
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF(垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等).
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF.
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