高三數(shù)學復習資料匯總
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高中數(shù)學第一章-集合
考試內容:
集合、子集、補集、交集、并集.
邏輯聯(lián)結詞.四種命題.充分條件和必要條件.
(1)理解集合、子集、補集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意義;了解屬于、包含、相等關系的意義;掌握有關的術語和符號,并會用它們正確表示一些簡單的集合.
(2)理解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關系;掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.
§01. 集合與簡易邏輯 知識要點
一、知識結構:
本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分:
二、知識回顧:
(一) 集合
1. 基本概念:集合、元素;有限集、無限集;空集、全集;符號的使用.
2. 集合的表示法:列舉法、描述法、圖形表示法.
集合元素的特征:確定性、互異性、無序性.
集合的性質:
?、偃魏我粋€集合是它本身的子集,記為;
②空集是任何集合的子集,記為;
?、劭占侨魏畏强占系恼孀蛹?
如果,同時,那么A = B.
如果.
[注]:①Z= {整數(shù)}(√) Z ={全體整數(shù)} (×)
?、谝阎蟂 中A的補集是一個有限集,則集合A也是有限集.(×)(例:S=N; A=,則CsA= {0})
?、?空集的補集是全集.
?、苋艏螦=集合B,則CBA = , CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ).
3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐標軸上的點集.
?、趝(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R二、四象限的點集.
?、踸(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的點集.
[注]:①對方程組解的集合應是點集.
例: 解的集合{(2,1)}.
?、邳c集與數(shù)集的交集是. (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 則A∩B =)
4. ①n個元素的子集有2n個. ②n個元素的真子集有2n -1個. ③n個元素的非空真子集有2n-2個.
5. ⑴①一個命題的否命題為真,它的逆命題一定為真. 否命題逆命題.
?、谝粋€命題為真,則它的逆否命題一定為真. 原命題逆否命題.
例:①若應是真命題.
解:逆否:a = 2且 b = 3,則a+b = 5,成立,所以此命題為真.
?、?.
解:逆否:x + y =3x = 1或y = 2.
,故是的既不是充分,又不是必要條件.
?、菩》秶瞥龃蠓秶?大范圍推不出小范圍.
3. 例:若.
4. 集合運算:交、并、補.
5. 主要性質和運算律
(1) 包含關系:
(2) 等價關系:
(3) 集合的運算律:
交換律:
結合律:
分配律:.
0-1律:
等冪律:
求補律:A∩CUA=φ A∪CUA=U ðCUU=φ ðCUφ=U
反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6. 有限集的元素個數(shù)
定義:有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù),記為card( A)規(guī)定 card(φ) =0.
基本公式:
(3) card(ðUA)= card(U)- card(A)
(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根軸法(零點分段法)
?、賹⒉坏仁交癁閍0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并將各因式x的系數(shù)化“+”;(為了統(tǒng)一方便)
?、谇蟾?,并在數(shù)軸上表示出來;
?、塾捎疑戏酱┚€,經過數(shù)軸上表示各根的點(為什么?);
?、苋舨坏仁?x的系數(shù)化“+”后)是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.
(自右向左正負相間)
則不等式的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號確定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論;
?、谝辉尾坏仁絘x2+box>0(a>0)解的討論.
二次函數(shù) ()的圖象 | |||
一元二次方程 | 有兩相異實根 | 有兩相等實根 | 無實根 |
R | |||
2.分式不等式的解法
(1)標準化:移項通分化為>0(或<0); ≥0(或≤0)的形式,
(2)轉化為整式不等式(組)
3.含絕對值不等式的解法
(1)公式法:,與型的不等式的解法.
(2)定義法:用“零點分區(qū)間法”分類討論.
(3)幾何法:根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結合思想方法解題.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”:根據(jù)判別式和韋達定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”:作二次函數(shù)圖象,用數(shù)形結合思想分析列式解之.
(三)簡易邏輯
1、命題的定義:可以判斷真假的語句叫做命題。
2、邏輯聯(lián)結詞、簡單命題與復合命題:
“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結詞;不含有邏輯聯(lián)結詞的命題是簡單命題;由簡單命題和邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題。
構成復合命題的形式:p或q(記作“p∨q” );p且q(記作“p∧q” );非p(記作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判斷
(1)“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反;
(2)“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真,其他情況時為假;
(3)“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假,其他情況時為真.
4、四種命題的形式:
原命題:若P則q; 逆命題:若q則p;
否命題:若┑P則┑q;逆否命題:若┑q則┑p。
(1)交換原命題的條件和結論,所得的命題是逆命題;
(2)同時否定原命題的條件和結論,所得的命題是否命題;
(3)交換原命題的條件和結論,并且同時否定,所得的命題是逆否命題.
5、四種命題之間的相互關系:
一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系:(原命題逆否命題)
?、?、原命題為真,它的逆命題不一定為真。
②、原命題為真,它的否命題不一定為真。
?、?、原命題為真,它的逆否命題一定為真。
6、如果已知pq那么我們說,p是q的充分條件,q是p的必要條件。
若pq且qp,則稱p是q的充要條件,記為p⇔q.
7、反證法:從命題結論的反面出發(fā)(假設),引出(與已知、公理、定理…)矛盾,從而否定假設證明原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法。
高中數(shù)學第二章-函數(shù)
考試內容:
映射、函數(shù)、函數(shù)的單調性、奇偶性.
反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關系.
指數(shù)概念的擴充.有理指數(shù)冪的運算性質.指數(shù)函數(shù).
對數(shù).對數(shù)的運算性質.對數(shù)函數(shù).
函數(shù)的應用.
考試要求:
(1)了解映射的概念,理解函數(shù)的概念.
(2)了解函數(shù)單調性、奇偶性的概念,掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調性、奇偶性的方法.
(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關系,會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).
(4)理解分數(shù)指數(shù)冪的概念,掌握有理指數(shù)冪的運算性質,掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像 和性質.
(5)理解對數(shù)的概念,掌握對數(shù)的運算性質;掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質.
(6)能夠運用函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質解決某些簡單的實際問題.
§02. 函數(shù) 知識要點
一、本章知識網絡結構:
二、知識回顧:
(一) 映射與函數(shù)
1. 映射與一一映射
2.函數(shù)
函數(shù)三要素是定義域,對應法則和值域,而定義域和對應法則是起決定作用的要素,因為這二者確定后,值域也就相應得到確定,因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).
3.反函數(shù)
反函數(shù)的定義
設函數(shù)的值域是C,根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關系,用y把x表示出,得到x=(y). 若對于y在C中的任何一個值,通過x=(y),x在A中都有唯一的值和它對應,那么,x=(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù),這樣的函數(shù)x=(y) (yC)叫做函數(shù)的反函數(shù),記作,習慣上改寫成
(二)函數(shù)的性質
?、焙瘮?shù)的單調性
定義:對于函數(shù)f(x)的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,
?、湃舢攛1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù);
?、迫舢攛1<x2時,都有f(x1)>f(x2),則說f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù).
若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性,這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調函數(shù).
2.函數(shù)的奇偶性
7. 奇函數(shù),偶函數(shù):
?、排己瘮?shù):
設()為偶函數(shù)上一點,則()也是圖象上一點.
偶函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足
?、俣x域一定要關于軸對稱,例如:在上不是偶函數(shù).
②滿足,或,若時,.
?、破婧瘮?shù):
設()為奇函數(shù)上一點,則()也是圖象上一點.
奇函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足
?、俣x域一定要關于原點對稱,例如:在上不是奇函數(shù).
?、跐M足,或,若時,.
8. 對稱變換:①y = f(x)
?、趛 =f(x)
?、踶 =f(x)
9. 判斷函數(shù)單調性(定義)作差法:對帶根號的一定要分子有理化,例如:
在進行討論.
10. 外層函數(shù)的定義域是內層函數(shù)的值域.
例如:已知函數(shù)f(x)= 1+的定義域為A,函數(shù)f[f(x)]的定義域是B,則集合A與集合B之間的關系是 .
解:的值域是的定義域,的值域,故,而A,故.
11. 常用變換:
?、?
證:
?、?/p>
證:
12. ⑴熟悉常用函數(shù)圖象:
例:→關于軸對稱. →→
→關于軸對稱.
?、剖煜し质綀D象:
例:定義域,
值域→值域前的系數(shù)之比.
(三)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的圖象和性質
a>1 | 0<a<1 | ||
圖 象 | |||
性 質 | (1)定義域:R | ||
(2)值域:(0,+∞) | |||
(3)過定點(0,1),即x=0時,y=1 | |||
(4)x>0時,y>1;x<0時,0<y<1 | (4)x>0時,0<y<1;x<0時,y>1. | ||
(5)在 R上是增函數(shù) | (5)在R上是減函數(shù) |
對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質:
對數(shù)運算:
a>1 | 0<a<1 | ||
圖 象 | |||
性 質 | (1)定義域:(0,+∞) | ||
(2)值域:R | |||
(3)過點(1,0),即當x=1時,y=0 | |||
(4)時 時 y>0 | 時 時 | ||
(5)在(0,+∞)上是增函數(shù) | 在(0,+∞)上是減函數(shù) |
注⑴:當時,.
?、疲寒敃r,取“+”,當是偶數(shù)時且時,,而,故取“—”.
例如:中x>0而中x∈R).
?、?)與互為反函數(shù).
當時,的值越大,越靠近軸;當時,則相反.
(四)方法總結
?、?相同函數(shù)的判定方法:定義域相同且對應法則相同.
?、艑?shù)運算:
(以上)
注⑴:當時,.